北京市2021年中考二轮复习数学课件：选择、填空压轴题

2021年北京市中考数学选择题压轴题练习
1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线P A的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△P AB∽△ADE，即可判断出y＝（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
【解答】解：（1）当点P在AB上移动时，
点D到直线P A的距离为：
y＝DA＝BC＝4（0≤x≤3）．
（2）如图1，当点P在BC上移动时，，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝，
∵∠P AB+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠P AB＝∠ADE，
在△P AB和△ADE中，
1/ 2
∴△P AB∽△ADE，
∴，
∴，
∴y＝（3＜x≤5）．
综上，可得
y关于x的函数大致图象是：
．
故选：D．
2/ 2。

2021年北京市中考数学选择题压轴题练习
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）
A．图象的对称轴是直线x＝1
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1，3
D．当﹣1＜x＜3时，y＜0
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴直线为：x＝＝1，故A正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B正确；
∵二次函数的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1，3，故C正确；
∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，故D错误．
故选：D．
1/ 1。

2021北京初三二模数学选择压轴汇编选择压轴（教师版）1.（海淀）8．如图，一架梯子AB 靠墙而立，梯子顶端B 到地面的距离BC 为2 m ，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B 竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y 与顶端下滑的距离x 满足的函数关系是 ( A ) 正比例函数关系 ( B ) 一次函数关系 ( C ) 二次函数关系( D ) 反比例函数关系答案B2.（西城）8.如图，∠MAN=60°，点B 在射线AN 上，AB=2。

点P 在射线AM 上运动（点P 不与点A 重合），连接BP ，以点B 为圆心，BP 为半径作弧交射线AN 于点Q ，连接PQ 。

若AP=x ，PQ=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）。

答案C3.（东城）8．四位同学在研究函数y =-x 2+bx +c （b ，c 是常数）时，甲同学发现当x =1时，函数有最大值；乙同学发现函数y =-x 2+bx +c 的图象与y 轴的交点为（0,-3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x =3时，函数的值为0.若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是A.甲B. 乙C.丙D.丁答案BxA'B'ABC4.（朝阳）8．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：表中4≤x＜6组的频数b满足25≤b≤35．下面有四个推断：①表中a的值为100；②表中c的值可以为0.31；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．所有合理推断的序号是（A）①②（B）③④（C）①②③（D）②③④答案A5.（石景山）8．右图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为(-2，0)，表示冰壶馆的点的坐标为(-3，2)，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是A．滑雪大跳台(-5，0)B．五一剧场(-3，-2)C．冬奥组委会(-5，4)D．全民畅读艺术书店(5，0)答案A6.（丰台）8．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错．误．的是 A ．第30天该产品的市场日销售量最大B ．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大C ．第20天该产品的日销售总利润最大D ．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多答案C7.（昌平）8.世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏（℃）两种，它们之间的换算关系如下表所示：（A ）32 （B ）－20 （C ）－40 （D ）40答案C8.（门头沟） 8．如图，是函数（0≤x ≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：（1）当x >3时，y 随x 的增大而增大； （2）该函数图象与x 轴有三个交点； （3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6；（4）当x > 0时，y 随x 的增大而增大。

2021中考数数学填空选择题压轴题含答案1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F 停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G 随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为2﹣2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S=8+．其中正确的命题有．（填序号）【分析】判断出△BAE≌△ADF即可判断出①正确；进而判断出∠AGB=90°，从而得到点G是以AB为直径的圆弧上一点，再判断出此圆弧所对的圆心角，即可判断出②正确，再用圆外一点到圆上的最小距离的确定方法判断出此圆弧上一点到点D的距离最小，再用勾股定理即可判断出③正确，再判断出△DMG∽△DAP求出GM，进而求出△BCG的高GN，利用三角形的面积公式得出△BCG的面积，进而判断出④错误．【解答】解：∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动，∴AE=DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠DAF+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，即∠AGB=90°，∴AF⊥BE．故①正确；∵∠AGB=90°，∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧的一部分，由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C，∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，∴长度为=π，故命题②正确；如图，设AB的中点为点P，连接PD，∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，∴当点G在PD上时，DG有最小值，在Rt△ADP中，AP=AB=2，AD=4，根据勾股定理得，PD=2，∴DG的最小值为2﹣2，故③正确；过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，∴GM∥PA，∴△DMG∽△DAP，∴，∴GM=，∴△BCG的高GN=4﹣GM=，∴S△BCG=×4×=4+，故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：①②③【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，圆的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2.在三角形纸片ABC 中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，30AC cm =.将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），剪去CDE ∆后得到双层BDE ∆（如图2），再沿着边BDE ∆某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为 cm.【答案】40或8033【解析】(1)H(2)P试题解析：先判断该平行四边形是菱形，在求出周长，注意分类讨论.∴ 所得的平行四边形的周长为8033cm.考点： 菱形的判定及性质.3． 已知矩形ABCD 的四个顶点均在反比例函数1y x的图象上，且点A 的横坐标是2，则矩形ABCD 的面积为 ． 【答案】7.5yxDBCAO点睛：本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x 对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称中心是原点，并能应用图形的对称性解决问题是关键.4．如图．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，Rt △MPN ，∠MPN =90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE =2PF 时，AP = ．【答案】3．考点：相似三角形的判定与性质；和差倍分．5.如图，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④453OD =；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）【试题解答】 ：如图，分别过点A 、B 作AN OB ⊥ 于点N ，BM x ⊥ 轴于点M 在四边形OABC 中， ∵A(8，0); C(3，4) ∴B(11,4)∵D 、E 是线段OB 的三等分点， 12OD BD ∴= ∵CB ∥OF ∴△ODF ∽△BDC111222OF OD OF BC OA BC BD ∴==∴==， ∴F 是OA 的中点，故①正确.∵C(3，4) ∴OC=5≠OA ∴四边形OABC 不是菱形.,DOF COD EBG ODF COD EBG ∴∠≠∠=∠∠≠∠=∠(40)17,F CF OC CFO COF ∴=<∴∠>∠，， DFO EBG ∴∠≠∠故OFD ∆ 和BEG ∆ 不相似.则②错误；由①得，点G 是AB 的中点，∴FG 是△OAB 的中位线 ∴FG ∥OB ，∵D 、E 是线段OB 的三等分点，∵DF ∥FG ∴四边形DEGH 是梯形()551202121223DEGF DE FG h S OB h OB AN -∴==⋅=⋅=四边形 则③正确113733OD OB == ,故④错误.综上：①③正确.6. 如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC∆为直角三角形，则BM 的长为 ．【答案】1或212. 【解析】试题分析：在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，可得∠B=∠C=45°，由折叠可知，BM='MB ，若使'MBC ∆为直角三角形，分两种情况：①0'90MB C ∠=,由∠C=45°可得'MB ='CB ，设BM=x ，则'MB ='CB =x ，MC=2x ，所以x+2x =21BC =+，解得x=1，即BM=1；②0'90B MC ∠=，此时点B 和点C 重合，BM=12122BC +=.所以BM 的长为1或212+. 考点：折叠（翻折变换）.7. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D 作DE AM ，垂足为E ，若1DE DC ，2AE EM ，则BM 的长为.【答案】255【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠AMB=∠DAE ，∵DE=DC ，∴AB=DE ，∵DE ⊥AM ，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM 和△DEA 中，90AMB DAEB DEA AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DEA （AAS ），∴AM=AD ，∵AE=2EM ，∴BC=AD=3EM ，连接DM ，如图所示：在Rt △DEM 和Rt △DCM 中，DM DM DE DC =⎧⎨=⎩，∴Rt △DEM ≌Rt △DCM （HL ），∴EM=CM ，∴BC=3CM ，设EM=CM=x ，则BM=2x ，AM=BC=3x ，在Rt △ABM 中，由勾股定理得：12+（2x ）2=（3x ）2， 解得：525.考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质．8．如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是km．【答案】（203﹣20）km．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．9．一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°．E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为cm．．【答案】26考点：直角三角形的性质；梯形中位线定理；综合题．10．如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．【答案】【解析】试题解析：如图1，过E 作PQ ⊥DC ，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，∵DC ∥AB ，∴PQ ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD=45°，∴△PEC 是等腰直角三角形，∴PE=PC ， 设PC=x , 则PE=x ，PD=4-x EQ=4-x ∴PD=EQ∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ ，∴△DPE ≌△EQF, ∴DE=EF ∴ △DEC ≌△BEC ∴DE=BE ，∴EF=BE ∵EQ ⊥FB, ∴FQ=BQ=1/2BF ，∵AB=4，F 是AB 的中点，∴BF=2，∴FQ=BQ=PE=1，∴CE=2，Rt △DAF 中，DF=2242=25+，∵DE=EF ，DE ⊥EF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DE 25=102∴22DE PE -，如图2，连接GM、GN，交EF于H，∵∠GFE=45°，∴△GHF是等腰直角三角形，∴GH=FH=2510332=，∴EH=EF﹣FH=10210 1033-=，∴△EMN的周长=EN+MN+EM=1052525210 2632+++=．考点：1.折叠；2.正方形的性质.11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为______．【答案】（﹣2，﹣3）．【解析】试题解析：如图，点B,C的坐标为(2,1),(6,1)，得BC=4.由得A(4,3)，设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得解得AB的解析式为y=x−1，当y=1时,x=1,即P(1,0)，由中点坐标公式，得:A′(−2,−3).故答案为：(−2,−3).12. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F 分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是______（用含m的代数式表示）【答案】（m+2）．【解析】解：如图，连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD=AD=CD，∠DBC=∠A=45°，∠ADB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠ADE=∠BDF ，在△ADE和△BDF中，∵∠A=∠DBF，AD=BD，∠ADE=∠BDF，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE=BF，DE=DF，在Rt△DEF中，DF=DE=m，∴EF=DE=m，∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+m，故答案为：（m+2）．点睛：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出DF=DE．13. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点,,A C D，与BC相交于点E，连接,AC AE，若78∠=．D∠=︒，则EAC【答案】27【解析】试题分析：根据菱形的性质可知AD=DC，AD∥BC，因此可知∠DAC=∠DCA，错误!未定义书签。

2021年北京市中考数学选择题压轴题练习1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2；⑤∠ADC ＝22.5°，其中正确的是（）A．①③④B．③④⑤C．①②④D．①②⑤【分析】①根据旋转的性质知∠CAD＝∠BAF，AD＝AF，因为∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，所以∠CAD+∠BAE＝45°，可得∠EAF＝45°＝∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；②根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD＝BF，DE＝EF；由此即可确定说法是否正确；④据①BF＝CD，EF＝DE，∠FBE＝90°，根据勾股定理判断．⑤可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．【解答】解：①根据旋转的性质知∠CAD＝∠BAF，AD＝AF，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝45°．∴∠EAF＝45°，∴△AEF≌△AED；故①正确；②∵根据旋转的性质，∴△ADC≌△ABF，∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；故此选项正确；③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD＝BF，DE＝EF，∴BE+DC＝BE+BF＞DE＝EF，故③错误；④∵AB＝AC，△ADC旋转90°至△AFB，∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，根据旋转的性质可得△ADC≌△ABF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠FBE＝45°+45°＝90°，∴BE2+BF2＝EF2，∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF＝CD，又∵EF＝DE，∴BE2+CD2＝DE2，故④正确．⑤∵可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．故正确的有：①②④．故选：C．。

专题突破(二) 选择压轴题型动点函数图象和立体图形的展开折叠是初中数学和高中数学的重要接轨点之一，是北京中考选择压轴题的热点，近年来立体图形的展开与折叠只在2010年出现，更多的是考查动点函数图象．1．[202X·北京] 一个寻宝游戏的寻宝通道如图Z2－1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为( )图Z2－1A ．A →O →B B ．B →A →C C ．B →O →CD ．C →B →O 2．[202X·北京] 已知点A 为某封闭图形边界上的一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图Z2－2所示，则该封闭图形可能是图Z2－3中的( )图Z2－2图Z2－33．[2013·北京]如图Z2－4，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是图Z2－5中的()图Z2－4图Z2－54．[2012·北京]小翔在如图Z2－6①所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒，他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程，设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与教练的距离为y(单位：米)，表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示，则这个固定位置可能是图①中的()图Z2－6A．点M B．点N C．点P D．点Q5．[2011·北京]如图Z2－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，D是AB边上的一个动点(不与点A，B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD ＝x，CE＝y，则图Z2－8的图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()图Z2－7图Z2－86．[2010·北京]美术课上，老师要求同学们将图Z2－9所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，图Z2－10中的四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是()图Z2－9图Z2－10一、动点生成函数图象1．[202X·海淀二模]如图Z2－11所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处(点O与点P不重合)利用仪器测量了∠POQ的大小．设蜜蜂飞行时间为x，∠POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是图Z2－12中的()图Z2－11图Z2－122．[202X·东城一模]如图Z2－13①，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C ＝∠EDF＝90°，点A与点D重合，点E在AB上，AB＝4，DE＝2.如图②，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD＝x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是图Z2－14中的()图Z2－13图Z2－143．[202X·西城一模]如图Z2－15，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线l，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥l于点H，连接P A.如果PA＝x，AH＝y，那么图Z2－16的图象中，能大致表示y与x的函数关系的是()图Z2－15图Z2－164．[202X·西城一模]如图Z2－17，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为顶点任作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P，Q，连接PQ，过点A作AH⊥PQ于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是图Z2－18中的()图Z2－17图Z2－185．[202X·朝阳二模]如图Z2－19，矩形ABCD中，E为AD的中点，点F为BC上的动点(不与B，C重合)．连接EF，以EF为直径的圆分别交BE，CE于点G，H.设BF的长度为x，弦FG与FH的长度和为y，则图Z2－20中的图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象大致是()图Z2－19图Z2－20二、由函数图象判断运动情况6．[202X·海淀一模]小明在书上看到了一个实验：一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象，如图Z2－21所示．小明选择的物体可能是()图Z2－21图Z2－227．[202X·燕山一模]李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y(单位：米)与时间t(单位：分)的函数关系的图象大致如图Z2－23所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用P点表示李阿姨家的位置)()图Z2－23图Z2－248．[202X·海淀二模]如图Z2－25①，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图②所示，那么微型记录仪可能位于图①中的()图Z2－25A．点M B．点N C．点P D．点Q9．[202X·海淀二模]如图Z2－26①，在矩形ABCD中，AB<BC，AC，BD交于点O.点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于点F.设AE＝x，图①中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则这条线段可能是图①中的()图Z2－26A．线段EF B．线段DEC．线段CE D．线段BE10．[202X·房山一模]如图Z2－27①，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝2BD，点P是AO上一个动点，过点P作AC的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP＝x，△OMN 的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则菱形的周长为()图Z2－27A．2 B．2 3 C．4 D．2 5三、几何体的折叠与展开11．[2008·北京]已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图Z2－28所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是()图Z2－28图Z2－2912．[202X·西城二模]图Z2－30表示一个正方体的展开图，图Z2－31中的四个正方体中只有一个符合要求，那么这个正方体是()图Z2－30图Z2－3113．[202X·门头沟二模]如图Z2－32，把此图形折叠起来，它会变为图Z2－33中的哪个立体图形()图Z2－32图Z2－3314．[2012·密云一模]在正方体的表面上画有如图Z2－34①中所示的粗线，图②是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中，画法正确的是()图Z2－34图Z2－3515．[2013·西城二模]如图Z2－36，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是()图Z2－36图Z2－37参考答案1.C [解析] A 项，从A 点到O 点y 随x 增大一直减小，故A 不符合题意；B 项，从B 点到A 点y 随x 增大先减小再增大，从A 到C 点y 随x 的增大先减小再增大，在A 点y 最大，故B 不符合题意；C 项，从B 点到O 点y 随x 增大先减小再增大，从O 点到C 点y 随x 的增大先减小再增大，在B ，C 点y 最大，故C 符合题意；D 项，从C 点到M 点y 随x 的增大而减小，一直到y 为0，从M 点到B 点y 随x 的增大而增大，明显与图象不符，故D 不符合题意．2．A [解析] 根据等边三角形、菱形、正方形、圆的性质，分析得到y 随x 的增大而的变化的关系，然后选择答案即可．A 项，等边三角形，点P 在开始与结束的两边上匀速变化，在点A 的对边上时，y 先变速减小，再变速增加，符合题中图象；B 项，菱形，点P 在开始与结束的两边上匀速变化，在另两边上时，y 都是先变速减小，再变速增加，题中图象不符合；C 项，正方形，点P 在开始与结束的两边上匀速变化，在另两边上，y 先变速增加至点P 到∠A 的对角顶点，再变速减小至另一个顶点，题干图象不符合；D 项，圆，AP 的长度，先变速增加至AP 为直径，然后再变速减小至点P 回到A 时为0，题中图象不符合．3．A [解析] 作OC ⊥AP ，根据垂径定理得AC ＝12AP ＝12x ，再根据勾股定理可计算出OC ＝124－x 2，然后根据三角形面积公式得到y ＝14x ·4－x 2(0≤x ≤2)，再根据解析式对四个图形进行判断．4．D [解析] 分别假设这个位置在点M ，N ，P ，Q ，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．A 项，假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B 项，假设这个位置在点N ，则从A 到C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C 项，假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误；D 项，经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确．故选D.5．B [解析] 本题需先根据题意，求出BC ，AC 的长，再分别计算出当x ＝0和x ＝2时y 的值，即可求得y 与x 的函数图象．∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2，∴BC ＝1，AC ＝3，∴当x ＝0时，y 的值是3，当x ＝1时，y 的值是2 33，∵当x ＝2时CD 的垂线与CA 平行，虽然x 不能取到2，但y 应该是无穷大， ∴y 与x 的函数关系图象大致是B. 6．B一、动点生成函数图象1．D [解析] 先分析∠POQ 的增减情况，再确定∠POQ 增大的过程用的时间要大于∠POQ 减小的过程用的时间即可得到答案．∵蜜蜂按照箭头所示的方向沿P →A →B →P →C →D →P 的路径匀速飞行， ∴∠POQ 的度数是由0°先增大再减小到0°再增大再减小到0°，当直线OQ 与圆相切时∠POQ 最大，角度增大的过程中蜜蜂所经过的路程圆的优弧长大于角度减小的过程中蜜蜂所经过的路程，∵蜜蜂按照着箭头所示的方向沿P →A →B →P →C →D →P 的路径匀速飞行， ∴∠POQ 增大的过程用的时间要大于∠POQ 减小的过程用的时间． 2．B3．C [解析] 如图，当PH 与圆O 相切时，∵四边形OAHP 是正方形，∴AH ＝6，PA ＝6 2，当点P 在圆O 上运动时，y 与x 之间的关系既不是一次函数也不是二次函数，并且在x ＝6 2时，函数取得最大值6，因为6＜6 2＜12， 故选C.4．D [解析] 解法一：应用特殊元素法和排除法求解． ①当点P 与点O 重合时，x ＝0，y ＝2.故可排除C 选项； ②当点Q 与点O 重合时，y ＝3.故可排除A 选项； ③当x ＝2，即AP ⊥x 轴时，∵AH ⊥PQ ， ∴AH ＜AQ ＝2，即y ＜2.故可排除B 选项． 故选D.解法二：常规解法，如图， 设Q (0，q )．∵∠BAQ ＋∠QAC ＝∠CAP ＋∠QAC ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠CAP .又∠ABQ ＝∠ACP ， ∴△ABQ ∽△ACP . ∴AB AC ＝BQ CP. ①若x ≥2，则23＝3－qx －2，化简可得，q ＝13－2x3. ∵S △APQ ＝12(2＋x )×3－12(3－q )×2－12x ×q ，S △APQ ＝12×x 2＋q 2×y ，则12(2＋x )×3－12(3－q )×2－12x ×q ＝12×x 2＋q 2×y ， 整理，得y x 2＋q 2＝(3－q )x ＋2q ， 则y9x 2＋4x 2－52x ＋1699＝2x 2－8x ＋263，所以y 13（x 2－4x ＋13）＝2(x 2－4x ＋13)，y ＝213x 2－4x ＋13＝2 1313 （x －2）2＋9，∴当x ＝2时，y 有最小值． ②若0＜x ＜2，则23＝q －32－x ，化简可得，q ＝13－2x3. 同理：y ＝213x 2－4x ＋13＝2 1313 （x －2）2＋9，则在0＜x ＜2范围内，y 随x 增大而减小． 综上所述，只有D 选项符合题意． 故选D.5．D [解析] 如图，作EM ⊥BC 于点M ，∵点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点， ∴BE ＝CE ，∠EBM ＝∠ECM ， ∴点M 是BC 的中点，设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝2b ， 则BM ＝CM ＝b ，EM ＝a ， ∴BE ＝CE ＝a 2＋b 2， ∴sin ∠EBM ＝sin ∠ECM ＝aa 2＋b 2. ∵EF 是⊙O 的直径，∴∠BGF ＝∠CHF ＝90°.∵BF ＝x ，∴CF ＝2b －x ，∴FG ＝BF ·sin ∠EBM ＝ax a 2＋b 2， FH ＝CF ·sin ∠ECM ＝a （2b －x ）a 2＋b 2， ∴FG ＋FH ＝2ab a 2＋b 2. ∵ab 为定值，∴FG ＋FH ＝2ab a 2＋b 2为定值． 故选D.二、由函数图象判断运动情况6．B [解析] 由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降， 由结尾可知A ，C 错误，由中间不变可知，D 错误．故选B.7．D [解析] 由函数图象的变化趋势，得路程变远，路程不变，路程变近，故D 符合题意．故选D.8．D [解析] 由图可知，A 项，甲虫与点M 的距离选逐渐增大，至点B 时最大，然后逐渐变小再变大，与图②不符合；B 项，甲虫与点N 的距离从A 到O 逐渐变小，从O 到B 逐渐变大，从B 到ON 与半圆的交点逐渐变小，然后至点A 逐渐变大，且甲虫在点A ，B 与点N 的距离相等，与图②不符合．C 项，甲虫与点P 的距离从点A 至点B 减小，从点B 至OP 与半圆的交点减小，然后增大直至到点A ，与图②不符合；D 项，甲虫与点Q 的距离，从点A 到点Q 与AB 的垂线的垂足减小，再至点B 增大，从点B 到OP 与半圆的交点减小，然后至点A 一直增大，与图②符合．故选D.9．B [解析] A 选项，线段EF 的长度随着x 的增大先变小再变大，并且是一个轴对称的函数图象；B 选项，线段DE 的长随着x 的增大先变小再变大，最小值在DE ⊥AC 时取得； C 选项，线段CE 的长随着x 的增大而减小到0；D 选项，线段BE 的长随着x 的增大先变小再变大，最小值在BE ⊥AC 时取得．10．D [解析] 根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，AC ＝2AO ，从而得到AO ＝BD ，设AO ＝a ，然后证明△AMN 和△ABD 相似，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出MN ，然后根据三角形的面积列出y 与x 的函数解析式，再根据二次函数的最值问题求出a ，从而得出AO ，BO 的长，再利用勾股定理列式求出AB ，再根据菱形的周长公式求解即可．三、几何体的折叠与展开11．D [解析] 此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意知蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的路程最短，就用到“两点间线段最短”．12．B [解析] 根据相邻面、对面的关系，可得答案．空白面的两个邻面是斜线面，故选B.13．B[解析] 根据相邻面、对面的关系，可得答案．有圆的面的邻面是有线段的面，线段的端点不在有圆的面上，故选B.14．A[解析] 本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证正方体的表面展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．可把A，B，C，D选项折叠，能够复原图①的只有A.故选A.15．D[解析] 由平面图形的折叠及立方体图形的表面展开图的特点解题．选项A，B，C折叠后都不符合题意，只有选项D折叠后符合．故选D.。

2024北京中考数学二轮复习专题一选择、填空压轴题类型一分析统计图(表)1.根据国家统计局2019—2023年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如下：2019—2023年普遍本专科、中等职业教育及普遍高中招生人数第1题图下面有四个推断：①2019—2023年，普通本专科招生人数逐年增多；②2023年普通高中招生人数比2019年增加约4%；③2019—2023年，中等职业教育招生人数逐年减少；④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．所有合理推断的序号是()A.①④ B.②③ C.①②④D.①②③④2.为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a 名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：每周课外阅读时间x (小时)0≤x <22≤x <44≤x <66≤x <8x ≥8合计频数817b 15a 频率0.080.17c 0.151表中4≤x <6组的频数b 满足25≤b ≤35.下面有四个推断：①表中a的值为100；②表中c的值可以为0.31；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6.所有合理推断的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.②③④3.密云水库是首都北京重要水源地，水源地生态保护对保障首都水源安全及北京市生态和城市可持续发展具有不可替代的作用．以下是1986—2023年密云水库水体面积和年降水量变化图．1986—2023年密云水库水体面积和年降水量变化图第3题图(以上数据来源于《全国生态气象公报(2023年)》，部分年份缺数据)对于现有数据有以下结论：①2004年的密云水库水体面积最小，仅约为20km2；②2015—2023年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势．表明水资源储备增多；③在1986—2023年中，2023年的密云水库水体面积最大，约为170km2；④在1986—2023年中，密云水库年降水量最大的年份，水体面积也最大．其中结论正确的是()A.②③B.②④C.①②③D.③④4.某公司计划招募一批技术人员，他们对25名面试合格人员又进行了理论知识和实践操作测试，其中25名入围者的面试成绩排名，理论知识成绩排名与实践操作成绩的排名情况如图所示第4题图下面有3个推断：①甲的理论知识成绩排名比面试成绩排名靠前；②甲的实践操作成绩排名与理论知识成绩排名相同；③乙的理论知识成绩排名比甲的理论知识成绩排名靠前．其中合理的是()A.①B.①②C.①③D.①②③5.多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．下图是1998年至2019年二氧化硫(SO2)和二氧化氮(NO2)的年平均浓度值变化趋势图．第5题图下列说法错误的是()A.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数B.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数C.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差D.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快6.“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的实际平均续航里程数据整理成图．其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户.第6题图下列推断不正确的是()A.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组C.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D.这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组7.某种预防病虫害的农药即将于三月15日之前喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月1—15日的天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在________日开始进行．1—15日天气情况第7题图类型二分析与判断函数图象1.如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t 表示小球滚动的时间，v 表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时v 与t 的函数关系的图象大致是()第1题图2.某农科所响应“乡村振兴”号召，为某村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗先在农科所的温室中生长，平均高度长到大约20cm 时，移至该村的大棚内继续生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y (cm)与生长时间x (天)的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm 时，开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是()第2题图A.10天B.18天C.33天D.48天3.有一圆形苗圃如图①所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃⊙O 的直径，且AB ⊥C D.入口K位于AD ︵中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为t ，与入口K 的距离为S ，表示S 与t 的函数关系的图象大致如图②所示，则该园丁行进的路线可能是()第3题图A.A →O →DB.C →A →O →BC.D →O →CD.O →D →B →C4.(2023通州区一模)为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W 与时间t 的关系如图所示，我们用W t表示t时刻某企业的污水排放量，用－Wt1－Wt2t1－t2的大小评价在t1至t2这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示．第4题图给出下列四个结论：①在t1≤t≤t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t1时刻，乙企业的污水排放量高；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④在0≤t≤t1，t1≤t≤t2，t2≤t≤t3这三段时间中，甲企业在t2≤t≤t3的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是()A.①②③B.①③④C.②④D.①③5.(2023房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)均满足(x1－x2)(y1－y2)>0.下列四个函数图象中，所有正确的函数图象的序号是()第5题图A.①②B.③④C.①③D.②④类型三代数类问题1.(2023西城区期末)现有函数y ＋4（x <a ），2－2x （x ≥a ），如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x ＝m 时，y ＝n ，那么实数a 的取值范围是()A.－5≤a ≤4 B.－1≤a ≤4 C.－4≤a ≤1D.－4≤a ≤52.在平面直角坐标系xOy 中，对于自变量为x 的函数y 1和y 2，若当－1≤x ≤1时，都满足|y 1－y 2|≤1成立，则称函数y 1和y 2互为“关联的”．下列函数中，不与y ＝x 2互为“关联的”函数是()A.y ＝x 2－1B.y ＝2x 2C.y ＝(x －1)2D.y ＝－x 2＋13.(2023人大附中模拟)在数轴上有三个互不重合的点A ，B ，C ，它们代表的实数分别为a ，b ，c ，下列结论中：①若abc >0，则A ，B ，C 三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a ＋b ＋c ＝0，则A ，B ，C 三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a ＋c ＝2b ，则点B 为线段AC 的中点；④O 为坐标原点且A ，B ，C 均不与O 重合，若OB －OC ＝AB －AC ，则bc >0.所有正确结论的序号是()A.①② B.③④ C.①②③D.①②③④4.(2023西城区二模)从1，2，3，4，5中选择四个数字组成四位数abcd ，其中a ，b ，c ，d 分别代表千位、百位、十位、个位数字.若要求这个四位数同时满足以下条件：①abcd 是偶数；②a >b >c ；③a ＋c ＝b ＋d ，请写出一个符合要求的数________．5.(2023燕山区期末)在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a *b ＝a 2－a b.根据这个法则，下列结论中错误的是________．(把所有错误结论的序号都填在横线上)①2*3＝2－6；②若a ＋b ＝0，则a *b ＝b *a ；③(x ＋2)*(x ＋1)＝0是一元二次方程；④方程(x ＋2)*1＝3的根是x 1＝－3－52，x 2＝－3＋52.6.(2023丰台区一模)京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G .点A ，B ，C ，D 分别是图形G 与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，－3)，AB 为半圆的直径，且AB ＝4，半圆圆心M 的坐标为(1，0)．关于图形G 给出下列四个结论，其中正确的是________(填序号)．①图形G 关于直线x ＝1对称；②线段CD 的长为3＋3；③图形G 围成区域内(不含边界)恰有12个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；④当－4≤a ≤2时，直线y ＝a 与图形G 有两个公共点．第6题图7.(2023石景山区二模)在平面直角坐标系xOy 中，A (0，1)，B (1，1)，有以下4种说法：①一次函数y ＝x 的图象与线段AB 无公共点；②当b <0时，一次函数y ＝x ＋b 的图象与线段AB 无公共点；③当k >1时，反比例函数y ＝k x的图象与线段AB 无公共点；④当b >1时，二次函数y ＝x 2－bx ＋1的图象与线段AB 无公共点．上述说法中正确的是________．8.(2023一七一中学模拟)小聪用描点法画出了函数y ＝x (x ≥0)的图象F ，如图所示．结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90°得到图象F 1，再将图象F 1绕原点逆时针旋转90°得到图象F 2，如此继续下去，得到图象F n .在尝试的过程中，他发现点P (4，2)在图象________上(写出一个正确的即可)；若点P (a ，b )在图象F 2021上，则a ＝________(用含b 的代数式表示)．第8题图9.如图，A (0，1)，B (1，5)，曲线BC 是双曲线y ＝k x(k ≠0)的一部分，曲线AB 与BC 组成图形G ，由点C 开始不断重复图形G 形成一线“波浪线”，若点P (2023，m )，Q (x ，n )在该“波浪线”上，则m 的值为________．n 的最大值为________．第9题图类型四几何类问题1.(2023海淀区一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR 边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是()第1题图A.AB和CDB.AB和EFC.CD和GHD.EF和GH2.程老师制作了如图①所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图②是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．第2题图有以下结论：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ；③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ.其中所有正确结论的序号是()A.②③B.③④C.②③④D.①②③④3.(2021东城区二模)数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C.求作：弧BC的中点D.同学们分享了如下四种方案：第3题图①如图①，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D；②如图②，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D；③如图③，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D；④如图④，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D.上述四种方案中，正确的方案的序号是________．4.(20231大兴区一模)如图，在▱ABCD中，AD>AB，E，F分别为边AD，BC上的点(E，F 不与端点重合)．对于任意▱ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE是菱形；③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE是矩形；④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．所有正确结论的序号是________．第4题图5.(2021西城区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，P(4，3)，⊙O经过点P.点A，点B 在y轴上，PA＝PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α.(1)⊙O的半径为________；(2)tanα＝________第5题图参考答案类型一分析统计图(表)1.C【解析】由题图知2019—2023年，普通本专科招生人数逐年增多，故①正确；2023年普通高中招生人数比2019年增加约876－839×100%≈4%，故②正确；从2019—2018839年，中等职业教育招生人数逐年减少，从2019—2023年，中等职业教育招生人数在增加，故③错误；2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的839÷600≈1.4倍，故④正确．2.A【解析】①8÷0.08＝100，故表中a的值为100，是合理推断；②25÷100＝0.25，35÷100＝0.35，1－0.08－0.17－0.35－0.15＝0.25，1－0.08－0.17－0.25－0.15＝0.35，故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断；③∵表中4≤x<6组的频数b满足25≤b≤35，∴8＋17＋25＝50，8＋17＋35＝60，∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4～6之间，也可能在6～8之间，故此推断不是合理推断；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．3.A【解析】由题图知①2004年的水体面积超过60km2，不符合题意；②2015—2023年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势，表明水资源储备增多，符合题意；③在1986—2023年中，2023年的密云水库水体面积最大，约为170km2，符合题意；④水体面积最大的年份是2023年，但年降水量不是最大，不符合题意．4.D【解析】由题图知，甲的面试成绩排名为11，理论知识成绩排名为8，实践操作成绩排名为8；乙的面试成绩排名为7，实践操作成绩排名为15，理论知识成绩排名为5，故①②③都合理，故选D.5.C【解析】由题图可得，A.2000年至2019年，SO2的年平均浓度值都在NO2的年平均浓度值以下，由此可得SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，此选项正确，不合题意；B.2000年至2019年，SO2的年平均浓度值都在NO2的年平均浓度值以下，由此可得SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，此选项正确，不合题意；C.根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，此选项错误，符合题意；D.1998年至2019年，根据图中两折线的起止点可得SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．6.C 【解析】由图象可得，A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在350左右，B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在450左右，故A 选项不符合题意；A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动比B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动小，即A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差比B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差小，故B 选项不符合题意；A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值不一定低于B 组，故C 选项符合题意；这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”按从大到小排序，第10位，第11位均在B 组，故D 选项不符合题意．7.3或12(任写一个即可)【解析】由题图可知，3日、4日、5日最低温度分别是1摄氏度、2摄氏度、0摄氏度，且昼夜温差分别是8－1＝7摄氏度，4－2＝2摄氏度，9－0＝9摄氏度，最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度，可以药剂喷洒，12日、13日、14日最低温度分别是6摄氏度、7摄氏度、8摄氏度，且昼夜温差分别是12－6＝6摄氏度，16－7＝9摄氏度，14－8＝6摄氏度，最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度，可以药剂喷洒．类型二分析与判断函数图象1.D 【解析】∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同，∴v t为定值，∴v 与t 是正比例函数的关系．∴选项D 符合题意．2.B 【解析】当15<x ≤60时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，k ＋b ＝20，k ＋b ＝170，＝103，＝－30，∴y ＝103x －30.当y ＝80时，103x －30＝80，解得x ＝33，33－15＝18(天)，∴开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是18天．3.B 【解析】若按A →O →D 路线，图象应呈现对称性，故A 错误；若按C →A →O →B ，则从C →A 距离逐渐减少，A →O →B 距离先减少，再增大，符合题图中函数图象的大致走势，故B 正确；C 、D 中，起始点处S 值小于终点处S 值，由题图可知在起点和终点时，S 值最大且相等，故C 、D 错误．4.D 【解析】①在t 1≤t ≤t 2这段时间内，甲企业的图象比乙企业的图象倾斜角度大，故①正确；②在t 1时刻，甲企业的污水排放量高，故②错误；③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量在达标量以下，故③正确；④在0≤t ≤t 1，t 1≤t ≤t 2，t 2≤t ≤t 3这三段时间中，甲企业在t 1≤t ≤t 2的图象倾斜角度最大，即治理污水能力最强，故④错误．5.D 【解析】由题意中(x 1－x 2)(y 1－y 2)>0可知，x 1－x 2>0，y 1－y 2>0或x 1－x 2<0，y 1－y 2<0，即当x 1>x 2时，y 1>y 2或当x 1<x 2时，y 1<y 2.故函数中y 随着x 的增大而增大，故②④正确．类型三代数类问题1.A 【解析】如解图，由图象可知，当－5≤a ≤4时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x ＝m 时，函数y ＝n .第1题解图2.C 【解析】A .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(x 2－1)|＝1≤1，故A 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数；B .∵|y 1－y 2|＝|x 2－2x 2|＝x 2，又∵－1≤x ≤1，∴x 2≤1，故B 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数；C .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(x －1)2|＝|2x －1|，又∵－1≤x ≤1，∴|2x －1|≤3，故C 选项不与y ＝x 2互为“关联的”函数；D .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(－x 2＋1)|＝|2x 2－1|，又∵－1≤x ≤1，∴|2x 2－1|≤1，故D 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数．3.D 【解析】若全在原点的左侧，则a <0，b <0,c <0，与abc >0矛盾，∴三点中至少有一个在原点的右侧，故①正确；若全在原点的左侧，则a <0,b <0,c <0，∴a ＋b ＋c <0.又∵a ，b ，c 不全为0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾，∴至少有一个点在原点右侧，故②正确；∵a ＋c ＝2b ，∴b ＝a ＋c 2，∴B 为AC 的中点，故③正确；由绝对值的意义：OB ＝|b |,OC ＝|c |,AB ＝|b －a |,AC ＝|c －a |，|b |－|c |＝|b －a |－|c －a |，∴A 在最左或最右时，上面等式的右边＝b －c 或c －b ，∴|b |－|c |＝b －c ，∴b >0，c >0，∴bc >0，|b |－|c |＝c －b ，∴b <0，c <0，∴bc >0，故④正确．4.4312(答案不唯一)【解析】∵abcd 是偶数，∴d ＝2或4.∵a >b >c ，a ＋c ＝b ＋d ，∴a ＝4，b ＝3，c ＝1，d ＝2，或a ＝5，b ＝4，c ＝1，d ＝2，或a ＝5，b ＝3，c ＝2，d ＝4，或a ＝5，b ＝2，c ＝1，d ＝4，∴abcd ＝4312或5412或5324或5214.5.③④【解析】根据题中的定义得：2*3＝(2)2－2×3＝2－6，①正确，不符合题意；若a ＋b ＝0，则有a ＝－b ,a *b ＝a 2－ab ＝b 2＋b 2＝2b 2,b *a ＝b 2－ab ＝b 2＋b 2＝2b 2，即a *b ＝b *a ,②正确，不符合题意；已知等式变形得：(x ＋2)2－(x ＋2)(x ＋1)＝0，即x 2＋4x ＋4－x 2－3x －2＝0，合并得：x ＋2＝0，是一元一次方程，③错误，符合题意；④方程变形得：(x ＋2)2－(x ＋2)＝3，整理得：x 2＋4x ＋4－x －2－3＝0，即x 2＋3x －1＝0，∵a ＝1,b ＝3,c ＝－1，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－3±132，解得x 1＝－3＋132，x 2＝－3－132，④错误，符合题意．6.①②【解析】由半圆M 可知A (－1，0)，B (3，0)，M (1，0)，且点A ，B 在抛物线上，∴图形G 关于直线x ＝1对称，故①正确；如解图，连接CM ，第6题解图在Rt △MOC 中，∵OM ＝1,CM ＝2，∴OC ＝22－12＝ 3.又∵D (0，－3)，∴OD ＝3，∴CD ＝OC ＋OD ＝3＋3，故②正确；根据题图得，图形G 围成区域内(不含边界)恰有13个整点(即横、纵坐标均为整数的点)，故③错误；由题意得A (－1，0)，B (3，0)，当a ＝－4时，直线y ＝－4与图形G 有一个公共点，当a ＝2时，直线y ＝2与图形G 有一个公共点，故④错误．综上所述，正确的有①②.7.②③【解析】一次函数y ＝x 图象经过点B (1，1)，即一次函数y ＝x 的图象与线段AB 有公共点，故①错误；一次函数y ＝x 图象刚好经过点B (1，1)，向下平移直线y ＝x ，此时b <0，直线y ＝x ＋b 与线段AB 无公共点，故②正确；反比例函数y ＝1x的图象刚好经过点B (1，1)，当k >1时，反比例函数y ＝k x的图象沿着y ＝x 向远离原点的方向平移，与线段AB 无公共点，故③正确；二次函数y ＝x 2－bx ＋1的图象一定经过A (0，1)，即二次函数的图象与线段AB 有公共点，故④错误．8.F 4，－b 【解析】根据旋转的规律得，F 1的解析式为y ＝x 2，其图象位于第二象限；F 2的解析式为y ＝－－x ，其图象位于第三象限；F 3的解析式为y ＝－x 2，其图象位于第四象限；F 4的解析式为y ＝x ，其图象位于第一象限；…则2021÷4＝505……1，即F 2021的图象位于第二象限，该图象的函数解析式是y ＝x 2.∵P (4，2)位于第一象限，∴点P 所在的图象是F 4.∵点P (a ，b )在图象F 2021上，∴b ＝a 2，∴a ＝－b .9.1，5【解析】∵B (1，5)在y ＝k x 的图象上，∴k ＝1×5＝5.当x ＝5时，y ＝55＝1.∴C (5，1)．又∵2023÷5＝404，∴m ＝1.∵Q (x ，n )在该“波浪线”上，∴n 的最大值是5.类型四几何类问题1.D 【解析】如解图，连接OQ ，则∠POQ ＝45°，sin 45°＝cos 45°＝22，当点M 在AB 和CD 上时，α＜45°，则sin α＜cos α，当点M 在EF 和GH 上时，α＞45°，sin α＞cos α.第1题解图2.C 【解析】①当∠PAQ ＝30°，PQ ＝6时，以P 为圆心，6为半径画弧，与射线AM 有两个交点，则△PAQ 的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠PAQ ＝30°，PQ ＝9时，以P 为圆心，9为半径画弧，与射线AM 有两个交点，但左边位置的Q 不符合题意，∴Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故②正确；③当∠PAQ ＝90°，PQ ＝10时，以P 为圆心，10为半径画弧，与射线AM 有两个交点，但此时两个三角形全等，Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故③正确；④当∠PAQ ＝150°，PQ ＝12时，以P 为圆心，12为半径画弧，与射线AM 有两个交点，左边的Q 不符合题意，∴Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故④正确，故选C .3.①②③④【解析】①如题图①，由作图可知，BC 的垂直平分线经过圆心O ，∵OD⊥BC ，∴点D 是BC ︵的中点；②如解图①，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵OD ∥AC ，∴OD ⊥BC ，∴点D 是BC ︵的中点；③如题图③，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴点D 是BC ︵的中点；④如解图②，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵AE ＝AB ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴点D 是BC ︵的中点．图①图②第3题解图4.①②④【解析】只要满足AB ∥EF ，则四边形ABFE 是平行四边形，这样的EF 有无数条，故①正确；∵AD >AB ，∴在AD 上截取AE ＝AB ，再满足AB ∥EF ，就能使得四边形ABFE 是菱形，故②正确；∵∠B 不是直角，∴矩形ABFE 不存在，故③错误；只要当EF 经过▱ABCD 对角线交点时，四边形ABFE 的面积是▱ABCD 面积的一半，这样的EF 有无数条，故④正确．5.(1)5；(2)43【解析】(1)如解图，连接OP ，∵P (4，3)，∴OP ＝32＋42＝5；(2)如解图，设CD 交x 轴于点J ，过点P 作PT ⊥AB 交⊙O 于点T ，交AB 于点E ，连接CT ，DT ，OT ，∵P (4，3)，∴PE ＝4，OE ＝3.在Rt △OPE 中，tan ∠POE ＝PE OE ＝43，∵OE ⊥PT ，OP ＝OT ，∴∠POE ＝∠TOE ，∴∠PDT ＝12∠POT ＝∠POE ，∵PA ＝PB ，PE ⊥AB ，∴∠APT ＝∠DPT ，∴TC ︵＝DT ︵，∴∠TDC ＝∠TCD ，∵PT ∥x 轴，∴∠CJO ＝∠CKP ，∵∠CKP ＝∠TCK＋∠CTK ，∠CTP ＝∠CDP ，∠PDT ＝∠TDC ＋∠CDP ，∴∠TDP ＝∠CJO ，∴∠CJO ＝∠POE ，∴tan α＝tan ∠CJO ＝tan ∠POE ＝43.第5题解图。

2021年北京市中考数学选择题压轴题练习1．如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE＝15°，连接AE，CE．延长CE 到F，连接BF，使得BC＝BF．若AB＝1，则下列结论：①AE＝CE；②F到BC的距离为；③BE+EC＝EF；④；⑤．其中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据正方形的性质推出AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形的性质即可求出FH；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可求出高AM，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，∴①正确；∵过F作FH⊥BC于H，∵BF＝BC＝1，∴∠BFC＝∠FCB＝15°，∴FH＝BF＝，∴②错误；∵Rt△BHF中，FH＝，BF＝1，∴CF＝＝∵BD是正方形ABCD的对角线，∴AE＝CE，在EF上取一点N，使BN＝BE，又∵∠NBE＝∠EBC+∠ECB＝45°+15°＝60°，∴△NBE为等边三角形，∴∠ENB＝60°，又∵∠NFB＝15°，∴∠NBF＝45°，又∵∠EBC＝45°，∴∠NBF＝∠EBC，又∵BF＝BC，∠NFB＝∠ECB＝15°，可证△FBN≌△CBE，∴NF＝EC，故BE+EC＝EN+NF＝EF，∴③正确；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD＝，由面积公式得：AD×AB＝BD×AM，AM＝＝，∵∠ADB＝45°，∠AED＝60°，∴DM＝，EM＝，∴S△AED＝DE×AM＝+，∴④错误；S△EBF＝S△FBC﹣S△EBC＝×1×﹣×1×[1﹣]＝，∴⑤正确．故选：B．。

2021年北京市中考数学选择题压轴题练习1．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．BC﹣AB＝2B．AC＝2AB C．AF＝CD D．CD+DF＝5【分析】如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，根据折叠的性质得到OG＝DG，根据全等三角形的性质得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC ＝BC﹣2．设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，推出⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），根据勾股定理得到BC+AB＝2+4，AC＝＝2（1+），再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1，由勾股定理可得x＝4﹣，于是得到结论．【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG＝DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC＝90°，∵∠MOG+∠MGO＝90°，∴∠MOG＝∠DGC，在△OMG和△GCD中，，∴△OMG≌△GCD，（AAS），∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．∵AB＝CD，∴BC﹣AB＝2．故A正确；设AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r＝（a+b﹣c），∴c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，解得a1＝1﹣（舍去），a2＝1+，∴BC+AB＝2+4，∴AB＝1+，BC＝3+，∴AC＝＝2（1+），∴AC＝2AB；故B；再设DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1，由勾股定理可得（2+﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝4﹣，∴CD﹣DF＝+1﹣（4﹣）＝2﹣3，CD+DF＝+1+4﹣＝5；故D正确；∴AF＝AD﹣DF＝2﹣1，∴AF≠CD，故C错误；故选：C．。