2023-2024学年山东省聊城市高一(上)期末数学试卷【答案版】

第1页（共16页） 2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＜2}，则M∩（∁RN）＝（ ）

A．（﹣∞，2） B．（2，3） C．{2，3} D．{1，2，3}

2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）

A．y＝tanx B．y＝|tanx|

C．y＝sin|x| D．𝑦=𝑐𝑜𝑠(𝑥2+𝜋6)

3．已知tanα＝﹣2，且0＜α＜π，则cosα﹣sinα的值为（ ）

A．−3√55 B．−2√55 C．−√55 D．√55

4．已知a＝log30.5，b＝log0.50.3，𝑐=𝑠𝑖𝑛17𝜋4，则（ ）

A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a

5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设

筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水

面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系可以表示为（ ）

A．𝑑=4𝑠𝑖𝑛(𝜋20𝑡−𝜋6)+2 B．𝑑=4𝑠𝑖𝑛(𝜋20𝑡+𝜋6)+2

C．𝑑=4𝑠𝑖𝑛(𝜋10𝑡−𝜋6)+2 D．𝑑=4𝑠𝑖𝑛(𝜋10𝑡+𝜋6)+2

6．函数𝑓(𝑥)=1−4𝑥

1+4𝑥𝑙𝑛|𝑥|的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

7．若φ是三角形的一个内角，且函数y＝2sin（3x+φ）在区间(−2𝜋9，𝜋12)上单调，则φ的取值范围为

（ ）

第2页（共16页） A．[0，𝜋6] B．[𝜋6，𝜋4] C．[𝜋4，𝜋2] D．[2𝜋3，5𝜋6]

8．已知函数𝑓(𝑥)={|𝑥2−3|，𝑥＜0

3𝑥，𝑥＞0，若函数g（x）＝f（x）﹣m（m∈R）有三个零点a，b，c，且a＜b＜

c，则𝑐𝑎𝑏的最小值为（ ）

A．49 B．23 C．32 D．94

二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．以下说法正确的是（ ）

A．“∀x∈R，3x2﹣2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2﹣2＜0”

B．“x＞3”是“log3（2x+1）＞2”的充分不必要条件

C．若一扇形弧长为3𝜋2，圆心角为𝜋2，则该扇形的面积为9𝜋4

D．“∀x∈R，2𝑎𝑥2+𝑎𝑥−38≤0”是真命题，则﹣3≤a≤0

10．若实数a、b满足2a＜2b＜1，则下列不等式恒成立的是（ ）

A．ac2＜bc2 B．𝑐2+1𝑎＞𝑐2+1𝑏

C．𝑙𝑜𝑔0.2(𝑎2+1)＜𝑙𝑜𝑔0.2(𝑏2+1) D．𝑎+𝑏2≥√𝑎𝑏

11．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）

A．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥+𝜋3)

B．f（x）在[𝜋6，2𝜋3]上单调递增

C．若x1、𝑥2∈(𝜋12，7𝜋12)，x1≠x2且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝1

D．把f（x）的图象向右平移5𝜋12个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵

坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sinx

12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f（a）f（b）＝f（a+b），当x＞0时，0＜f（x

）第3页（共16页） ＜1，且f（0）≠0，则（ ）

A．∀x∈R，都有𝑓(−𝑥)=−1𝑓(𝑥)

B．当x＜0时，f（x）＞1

C．f（x）是减函数

D．若𝑓(3)=12，则不等式𝑓(2𝑡2−5𝑡)＞116的解集为(−32，4)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知幂函数y＝f（x）的图象通过点(3，√33)，则f（4）＝ ．

14．若a，b＞0，且2ab﹣8＝a+2b，则a+2b的最小值为 ．

15．在△ABC中，𝐴=𝜋3，AB边上的高等于√33𝐴𝐵，则tan∠ACB＝ ．

16．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）为偶函数，且f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，若𝑥∈[12，3]，

不等式f（ax）＜f（x﹣2）恒成立，则实数a的取值范围为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）函数𝑦=𝑙𝑜𝑔12𝑥(𝑥∈[116，2])的值域为A，𝑦=√1𝑥+𝑎−

1(𝑎∈𝑅)的定义域为B．

（1）求A；

（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

18．（12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P

（6，﹣8）．

（1）求𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)+3𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)

𝑐𝑜𝑠(3𝜋2−𝛼)+2𝑠𝑖𝑛(𝜋2+𝛼)的值；

（2）已知β为锐角，𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽)=−√210，求β．

19．（12分）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播

带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来

越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：

建立平台年数工x 1 2 3

会员人数y（千人） 14 20 29

为了描述建立平台年数x（x∈N*）与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：

①𝑦=𝑎

𝑥+𝑏(𝑎＞0)；②y＝dlogcx+e（d＞0，c＞1）；③y＝kax+m（k＞0，a＞1）．

（1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；

（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求t的最小值． 第4页（共16页） 参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609．

20．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=1

3𝑥−1−1+32．

（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明你的判断；

（2）函数y＝h（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝h（x+a）﹣b为奇函数．依

据上述结论，证明：f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形．

21．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=4√3𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥2+4𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥2+1(𝜔＞0)，A、B是f（x）的图象与直线y＝﹣

1的两个相邻交点，且|AB|＝π．

（1）求ω的值及函数f（x）在[0，𝜋2]上的最小值；

（2）若关于x的不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，求实数m的取值范围．

22．（12分）若存在实数a、b使得φ（x）＝af（x）+bg（x），则称函数φ（x）为函数f（x），g（x）的“T

（a，b）函数”．

（1）若函数φ（x）＝ex为函数f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶

函数，求函数f（x）、g（x）的解析式；

（2）设函数f（x）＝ln（ex+1），g（x）＝x，是否存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）

的“T（a，b）函数”，且同时满足：①φ（x）是偶函数；②φ（x）的值域为[2ln2，+∞）．若存在，求

出a、b的值；若不存在，请说明理由．

注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．

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参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＜2}，则M∩（∁RN）＝（ ）

A．（﹣∞，2） B．（2，3） C．{2，3} D．{1，2，3}

解：因为N＝{x|x＜2}，所以∁RN＝{x|x≥2}，

又因为集合M＝{0，1，2，3}，故M∩（∁RN）＝{0，1，2，3}∩{x|x≥2}＝{2，3}．

故选：C．

2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）

A．y＝tanx B．y＝|tanx|

C．y＝sin|x| D．𝑦=𝑐𝑜𝑠(𝑥2+𝜋6)

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝tanx，是正切函数，是奇函数，不满足题意，故A错误；

对于B，若y＝f（x）＝|tanx|，其定义域为{𝑥|𝑥≠𝜋2+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍}，关于原点对称，

且f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|tanx|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tanx|是偶函数，

又f（x+π）＝|tan（x+π）|＝|tanx|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tanx|是周期函数，故B正确；

对于C，函数y＝sin|x|的图象如图：

由此可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C错误；

对于D，若𝑦=𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠(𝑥2+𝜋6)，则𝑓(2𝜋3)=𝑐𝑜𝑠(𝜋3+𝜋6)=0≠𝑓(−2𝜋3)=𝑐𝑜𝑠(−𝜋3+𝜋6)=−√32，所以

该函数不是偶函数，故D错误．

故选：B．

3．已知tanα＝﹣2，且0＜α＜π，则cosα﹣sinα的值为（ ）

A．−3√55 B．−2√55 C．−√55 D．√55

解：因为tanα＝﹣2，且0＜α＜π，所以𝛼∈(𝜋2，𝜋)，

则{𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=−2

𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=1，解得𝑠𝑖𝑛𝛼=2√55，𝑐𝑜𝑠𝛼=−√55．