山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中

高二数学试题 2024.11

（选择性必修—检测）

说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ

卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂

到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）

一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）

1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）

A.1B.2C.3D.4

2.“”是“直线与直线平行”的（ ）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.给出下列说法，其中不正确的是（ ）

A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量

B.若，则点是线段的中点

C.若，则，，，四点共面

D.若平面，的法向量分别为，，且，则

3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有

（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.实数，满足

，则

的最小值为（ ）

A.B.7C.D.3

6.若直线与曲线

有两个不同的交点，则实数的取值范围是

（ ）

A.

B.

C.

D.

1,2,0a



0,1,1b



2,3,cm

a

b

c

m

1m

1:2310lmxmy

2:30lxmy

ab



∥

a

b

c

2PMPAPB

MAB

2OAOBOCOD

AB

CD



12,1,1n



21,,1nt





3t

1:43lxy

2:0lxy

3:2lxmym

xy22

22xyxy3xy

232

:20lkxy2

:411Cyx

k

326

3k

326

5

3k



326326

33k

326

1

3k

7.在三棱锥中，为的重心，，，，，

，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）

A.

B.C.1

D.

8.已知椭圆

的左、右焦点分别为

，，点在上且位于第一象限，圆

与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆

与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）

A.

B.

C.

D.

二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）

9.下列说法正确的是（ ）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B.圆与直线必有两个交点

C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为

D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是

10.已知椭圆

的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，

是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A.焦距为

2

B.椭圆的标准方程为PABCGABC△PDPA



PEPB



1

2PFPC





0,1



PGDEFM1

2PMPG





1

22

34

3

22

22:10xy

Cab

ab

1F

2FP

C

1O

1FP

2PFx

12PFF△

2O

1O

2O

1O

2O

C

1

22

23

53

2

22

:4Oxy10mxym

xya

b1xy

ab



2,2A

1,1B:10laxyABa

3

2

2







，，

22

22:10xy

Eab

ab2

3FF



1,1APE

E22

1

95xy



C.

D.的最大值为

11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围

成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数

24

，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八

个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ）

A.平面

B.

，，，四点共面

C.点到平面的距离为

D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为

第Ⅱ卷（非选择题，共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中

14题第一空2分，第二空3分

.）

12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.

13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线

反射后再射到直线

上，最

后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.

14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意

于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先2AF

PAPF62

22

AGBCDG

AF

CD

B

ACD6

3

E

BCDEAF12

,

22





l2

,

43







l



8,0A

0,4B

3,0PAB

OB

OBP画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆

的方程为

，下顶点为

，为坐标原点，为圆

上任意一点，满足，则点的坐标为______；若

为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.

图1 图2 图3

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）已知两直线和的交点为.

（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；

（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.

16.（

15

分）已知椭圆

的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（

2

）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右

顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.

17.（15

分）在梯形中，，，，为的中点，

线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.

图1 图2

（1）求证：平面平面；

（2）线段上是否存在点，使得与平面

所成角的正弦值为

？若存在，求出的

值；若不存在，请说明理由.E22

2210xy

ab

ab

1

0,

2A





OP

C2POPA

CQ

QCQa

1:20lxy

2:3210lxyP

lP310xy

l

C

1,0

1lP

C

22

22:10xy

Cab

ab3

23

1,

2







C

1

2lCM

NMAB

C

AMBNS

ABCDABCD∥

3BAD

224ABADCDPAB

ACDP

OACD△

ACACD

△

DOOP



DAC

ABC

PD

QCQ

BCD6

8PQ

PD18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.

（1）求圆的方程；

（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；

（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点

，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.

19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点

满足（，且），则点的轨

迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点

满足，则点的轨迹

是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.

（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；

（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-

卡西尼卵形线上，求（为原点）的取

值范围；

（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，

，求证：不存在实数，

，使得以

为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:340lxyClCx

l

C

2ykx

CM

N120MCN2ykx



0,1M

CABAxy

Ny

ANBN

ABPPA

PB

0

1

P



,ABQ

0QAQB

Q



,AB

2,0A

,2Baba



,AB22

1240xyxa

b

Q

,ABOQ

O

0b2

a



,AB2