4.1虚功原理

虚功原理在高考中的应用

1. 什么是虚功原理

虚功原理是力学中的一个基本原理，它描述了在一个系统中，如果有一组力作用于该系统，并可使其中一个点在一个参考系中平动，那么该力组的合力及合力矩对于该系统不产生功。虚功原理在解决力学问题时非常重要，可以简化问题的分析过程。

2. 虚功原理在静力学中的应用

在静力学中，虚功原理可以用来求解平衡条件及力的大小和方向等问题。在高考物理考试中，有许多问题可以通过虚功原理的应用来解决。

2.1 平衡条件的应用

虚功原理在判断平衡条件时非常有用。通常情况下，达到平衡的物体需要满足合力为零和合力矩为零的条件。通过应用虚功原理，我们可以更加简洁地给出这些条件的推导。

2.2 力的大小和方向的应用

虚功原理还可以用来求解力的大小和方向的问题。通过将受力物体平动的参考点选择得当，可以简化问题的分析过程。利用虚功原理，可以得到一些重要的关系式，如力的分解、矢量乘法等。

3. 虚功原理在动力学中的应用

虚功原理在动力学中同样具有重要的应用。在高考物理考试中，有些力学问题需要通过虚功原理才能解答。

3.1 动力学问题的求解

通过应用虚功原理，可以求解一些动力学问题，如受力物体的加速度、速度和位移等。

3.2 理解机械能守恒定律

虚功原理在理解机械能守恒定律时非常有用。通过虚功原理可以推导出机械能守恒的条件和相关的物理公式。 4. 虚功原理在高考中的考点

虚功原理在高考物理考试中经常作为一个重要的考点出现。考生需要掌握虚功原理的基本概念和应用方法，能够灵活运用虚功原理来解决各种物理问题。

4.1 解决静力学问题

在高考中，经常会出现一些静力学的问题，考生需要应用虚功原理来求解平衡条件、力的大小和方向等问题。

4.2 解决动力学问题

动力学问题也是高考中经常出现的考点，考生需要掌握虚功原理在动力学中的应用方法，能够解答受力物体的加速度、速度和位移等问题。

4.3 理解机械能守恒定律

第三节 弹性变形体的功能原理

假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S 可以分为两部分所组成：一部

分是表面积的位移给定，称为；另外一部分是表面积的面力给定，称为

uSS

σ。

如图所示。

显

然

uSSS

σ=+

假设有一组应力分量

ijσ在弹性体内部满足平衡微分方程

在面力已知的边界S

σ，满足面力边界条件

这一组应力分量称为静力可能的应力。 静力可能的应力未必是真实的应力，因为真实的应力

还必须满足应力表达的变形协调方程，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。

为了区别于真实的应力分量，我们用 表示静力可能的应力分量。

假设有一组位移分量和与其对应的应变分量

iu

ijε，它们在弹性体内部满足几何方程

在位移已知的边界S

u上，满足位移边界条件

这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必

须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的边界S

σ上，必须满足以位移表示的面

力边界条件。但是，真实的位移必然是几何可能的。

为了区别于真实的位移，用 表示几何可能的位移。

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几何可能的位移产生的应变分量记作

对于上述的静力可能的应力

、几何可能的位移

以及其对应的应变分量 ，设和

biF

siF

分

别表示物体单位体积的体力和单位面积的面力 （面力也包括在位移边界的约束反力）。则不难证

明，有以下恒等式 uS

证明：

由于

和

满足几何方程，而且应力 是对称的，所以

将上式代入公式的右边，并且利用高斯积分公式，可得

()

,

,skskks

ijijijiiijj

j

VVVdVudVudVσεσσ

=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫

,ksks

iijjiijj

SVundSudVσσ

=−∫∫∫∫∫∫

由于满足面力边界条件，上式的第一个积分为

由于 满足平衡微分方程，所以第二个积分为

将上述结果回代，可以证明公式为恒等式。

公式揭示了弹性体的功能关系。

功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能位移上所做的功，等于任意一

虚功原理

Δ

C

Δ

Cy

ΔCx

iP

静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移

1、 结构的位移：

结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。2、 产⽣位移的主要原因

产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；

（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移； （3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式

如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的

⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：

该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；

②弹性体系和⾮弹性体系； ③各种因素产⽣的位移计算。

4.3 荷载作⽤下的位移计算

如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ）， ⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：

(a )

M P

M

(b )

注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：

梁、刚架只考虑弯曲变形：

桁架只有轴向变形：

组合结构：

对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。

虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载。虚拟⼴义单位荷载必须与拟求的⼴义位移相对应。最常见的⼏种情形如 下图所⽰。§4.4图乘法

浅谈虚功原理的应用　

李近九江学院理学院３ｊ２ｏＯ５　

本文介绍了分析力学中的一个重要原理：虚　功原理，讨论了虚功原理的约束、虚位移等基　本概念，举侧说明了虚功原理的应用。　

虚位移；理想约束；虚功原理　

１．引言　虚功原理是　理论力学》中分析力　学部分的一个很重要的原理。它利用虚位　移和理想约束的概念来讨论力学系统处于　平衡的条件。　２．基本概念　２．１约束　所谓约束，是指力学系统在运动过程　中受到的限制（包括对位置赫尔速度的限　制）。约束的存在，给力学系统带来两个方　面的影响。　第一，使力学系统的坐标之间发生关　联而不全部独立；第二，给力学系统施加约　束反力（约束总是通过一些外界物体，如轻　杆、滑槽、软绳等作用在所研究的系统中的　质点上。在运动过程中，系统中的质点对这　些外界物体有作用力，同时受到这些物体　的反作用力，称为约束反力，作用在质点上　的其他力称为主动力。由于约束反力的作　用，使质点坐标满足约束方程）。　２．２虚位移　所谓虚位移，是指在任一时刻，约束　所允许的无限小位移，用　表示。需要注　意的是虚位移并不发生在时间的流逝过程　中，也不须满足运动规律，而只须满足约束　条件，即虚位移既不是运动学问题，也不是　动力学问题，而纯粹是个几何问题。显然，　它和实际发生的实位移有区别。　２．３理想约束　作用在质点上的力，（包括约束反力）　在任意虚位移　中所作功的叫虚功。　记为：６Ａ＝Ｆ·６　如果作用在一力学体系（质点系）上　的约束反力在任意虚位移中所作的虚功之　和为零。即：　Ｒ．·６ｉ＝ｏ（或　．．　：０）　则这种约束叫理想约束。光滑曲面，光　滑曲线，光滑铰链，无重量的刚性杆，以及　不可伸长的柔软轻绳等都是理想约束，而　我们引入虚位移就在于利用上式消去约束　反力。　

如：（１）光滑曲面（或曲线）　如图：显然质点在Ｐ点的约力Ｎ和虚　位移　的方向如图示（‘．’虚位移在切平　面内）（或节切线方向），则：　６　ｉ上Ｎ．‘．Ｎ．６　ｆ＝０，故光滑曲面　（线）理想约束。　（２）光滑铰链　如图为一铰链，Ｎ和Ｎ　为一对作用和　反作用力。　Ｎ