河北省唐山市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集2{|1}Uxx，集合2{|430}Axxx，则UCA（ ）

A．(1,3) B．(,1)[3,) C．(,1)[3,) D．(,1)(3,)

【答案】C

考点：一元二次不等式的解法、集合的补集运算.

2.22()1ii（ ）

A．2i B．4i C．2i D．4i

【答案】A

【解析】

试题分析：∵222442()2122iiiiiii，∴选A.

考点：复数的乘法、除法运算.

3.已知抛物线的焦点(,0)(0)Faa，则抛物线的标准方程是（ ）

A．22yax B．24yax C．22yax D．24yax

【答案】B

【解析】

试题分析：以(,0)Fa为焦点的抛物线的标准方程为24yax.

考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程.

4.命题P：32,xNxx；命题q：(0,1)(1,)a，函数()log(1)afxx的图象过

点(2,0)，则（ ）

A．P假q假 B．P真q假 C．P假q真 D．P真q真

【答案】C

考点：命题的真假、全称命题和特称命题、对数函数图象、不等式的解法.

5.执行下边的程序框图，则输出的A是（ ）

A．2912 B．2970 C．7029 D．16970

【答案】C

考点：程序框图.

6.在直角梯形ABCD中，//ABCD，090ABC，22ABBCCD，则cosDAC（ ）

A．1010 B．31010 C．55 D．255

【答案】B

考点：余弦定理.

7.已知2sin21cos2，则tan2（ ）

A．43 B．43 C．43或0 D．43或0

【答案】D

考点：三角函数求值、平方关系.

8.2321(2)xx展开式中的常数项为（ ）

A．-8 B．-12 C．-20 D．20

【答案】C

【解析】

试题分析：∵236211(2)()xxxx，∴6621661()(1)rrrrrrrTCxCxx，

令620r，即3r，∴常数项为336(1)20C.

考点：二项式定理.

9.函数()|sin|2|cos|fxxx的值域为（ ）

A．[1,5] B．[1,2] C．[2,5] D．[5,3]

【答案】A

当[,]2x时，()sin2cos5sin()fxxxx，1cos5，2sin5，

∴max()()52fxf，min()()12fxf，∴()fx的值域为[1,5].

考点：三角函数、绝对值函数的值域.

10.F是双曲线C：22221xyab(0,0)ab的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂直，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2AFFB，则C的离心率是（ ）

A．2 B．233 C．2 D．143

【答案】B

考点：双曲线的标准方程及其性质、向量的运算.

11.直线ya分别与曲线2(1)yx，lnyxx交于A，B，则||AB的最小值为（ ）

A．3 B．2 C．324 D．32

【答案】D

考点：导数的运算、利用导数求函数的最值.

12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．3312 B．123 C．4 D．33122

【答案】A

【解析】

试题分析：根据几何的三视图，画出该几何体的直观图，如下图

考点：三视图、几何体的表面积.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知(1,3)a，(1,)bt，若(2)aba，则||b .

【答案】5

【解析】

考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模

14.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为0.850.25yx. 由以上信息，得到下表中C的值为 .

天数x（天） 3 4 5 6 7

繁殖个数y（千个） 2.5 3 4 4.5 c

【答案】6

【解析】

试题分析：∵3456755x，2.5344.51455ccy，

∴代入到回归直线方程中得：140.8550.255c，∴6c.

考点：线性回归方程.

15.在半径为5的球面上有不同的四点A、B、C、D，若25ABACAD，则平面BCD被球所截面图形的面积为 .

【答案】16

考点：球的截面问题.

16.已知,xyR，满足22246xxyy，则224zxy的取值范围为 .

【答案】[4,12]

考点：均值不等式、配方法.

三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

设数列{}na的前n项和为nS，满足(1)1nnqSqa，且(1)0qq.

（Ⅰ）求{}na的通项公式；

（Ⅱ）若396,,SSS成等差数列，求证：285,,aaa成等差数列.

【答案】（1）an＝qn－1；（2）证明详见解析.

考点：等比数列的通项公式及前n项和公式、等差中项.

18.（本小题满分12分）

小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个.

（Ⅰ）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；

（Ⅱ）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望.

【答案】（1）49；（2）分布列详见解析，203EX.

数学期望.

试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，12124()339PAC． …4分

（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．

2228(0)()3327PX，

考点：二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱111ABCABC中，侧面11ACCA与侧面11CBBC都是菱形，011160ACCCCB，2AC.

（Ⅰ）求证：11ABCC；

（Ⅱ）若16AB，求二面角11CABA的余弦值.

【答案】（1）证明详见解析；（2）105.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝3，又AB1＝6，

所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，

则210cos,5||||52mnmnmn，因为二面角C-AB1-A1为钝角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为105． …12分

考点：线线垂直、线面垂直、二面角.

20.（本小题满分12分）

已知圆22:4Oxy，点(3,0)A，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD中点时，求直线AB的方程.

【答案】（1）2214xy；（2）260xy或260xy.

其中，a＝2，3c，b＝1，则

曲线Γ的方程为2214xy． …5分

260xy或260xy． …12分

考点：椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.

21.（本小题满分12分）

已知函数2(1)()2xxfxe，()2ln(1)xgxxe.

（Ⅰ）(1,)x时，证明：()0fx；

（Ⅱ）0a，若()1gxax，求a的取值范围.

【答案】（1）证明详见解析；（2）1a.

01a进行讨论，证明()hx的最大值小于等于0即可.

试题解析：（Ⅰ）令p(x)＝f(x)＝ex－x－1，p(x)＝ex－1，

（2）当a＞1时，h(0)＜0，

x∈(－1，0)时，h(x)＝21x－e－x－a＜21x－1－a＝0，解得x＝11aa∈(－1，0)．

即x∈(11aa，0)时h(x)＜0，h(x)单调递减，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分

（3）当0＜a＜1时，h(0)＞0，

x∈(0，＋∞)时，h(x)＝21x－e－x－a＞21x－1－a＝0，解得x＝11aa∈(0，＋∞)．

即x∈(0，11aa )时h(x)＞0，h(x)单调递增，

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分

综上，a的取值为1． …12分

考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）

如图，圆周角BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.

（Ⅰ）求证：//BCDE；

（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且弧长AC等于弧长BC，求BAC.

【答案】（1）证明详见解析；（2）27.