r语言求矩阵的广义逆程序

矩阵论广义逆矩阵是线性代数中的重要概念，广义逆是矩阵论中的一个关键概念。

在矩阵论中，广义逆用于解决矩阵方程的求解问题。

本文将介绍矩阵论中的广义逆以及其应用。

1. 广义逆的定义在矩阵论中，矩阵的广义逆是指对于任意矩阵A，存在一个矩阵X，满足以下条件：1) AXA=A2) XAX=X3) (AX)^T=AX4) (XA)^T=XA广义逆的存在性和唯一性是矩阵论中的一个重要问题，对于满足以上条件的矩阵X，我们称其为A的广义逆，记作A⁺。

2. 广义逆的性质广义逆具有以下性质：1) AA⁺A=A2) A⁺AA⁺=A⁺3) (A⁺)^T=A⁺4) (AA⁺)^T=AA⁺广义逆的性质使得它在矩阵方程的求解中具有重要作用。

3. 广义逆的应用广义逆在矩阵方程的求解中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：3.1 线性方程组的求解对于线性方程组Ax=b，如果A的广义逆A⁺存在，那么方程的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的存在性保证了线性方程组的解的存在性，并且通过广义逆的计算，可以得到解的一个特解。

3.2 最小二乘问题的求解最小二乘问题是指在给定线性方程组Ax=b无解时，求解使得||Ax-b||^2最小的x。

如果A的广义逆A⁺存在，那么最小二乘问题的解可以表示为x=A⁺b。

广义逆的计算可以通过奇异值分解等方法来实现。

3.3 线性回归分析线性回归分析是统计学中的一种重要方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系。

在线性回归分析中，广义逆可以用于求解回归系数，得到最佳拟合直线，并用于预测和推断。

4. 广义逆的计算方法广义逆的计算方法有多种，常见的包括伪逆法、奇异值分解法等。

伪逆法是通过对矩阵A进行分解或变换，得到A的伪逆矩阵。

奇异值分解法则是通过对矩阵A进行奇异值分解，得到A的伪逆矩阵。

这些计算方法都是基于矩阵的特征和性质进行推导和求解的。

5. 广义逆的应用举例以线性方程组的求解为例，假设有如下线性方程组：2x+y=3x+3y=9将其转化为矩阵形式为：A=[2 1; 1 3]b=[3; 9]求解线性方程组的解可以通过计算广义逆来实现。

总结R语言中矩阵运算的函数1 创建一个向量在R中可以用函数c()来创建一个向量，例如：> x=c(1,2,3,4)> x[1] 1 2 3 42 创建一个矩阵在R中可以用函数matrix()来创建一个矩阵，应用该函数时需要输入必要的参数值。

> args(matrix)function (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL) data项为必要的矩阵元素，nrow为行数，ncol为列数，注意nrow与ncol的乘积应为矩阵元素个数，byrow项控制排列元素时是否按行进行，dimnames给定行和列的名称。

例如：> matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1 4 7 10[2,] 2 5 8 11[3,] 3 6 9 12> matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)[,1] [,2] [,3][1,] 1 5 9[2,] 2 6 10[3,] 3 7 11[4,] 4 8 12> matrix(1:12,nrow=4,ncol=3,byrow=T)[,1] [,2] [,3][1,] 1 2 3[2,] 4 5 6[3,] 7 8 9[4,] 10 11 12> rowname[1] "r1" "r2" "r3"> colname=c("c1","c2","c3","c4")> colname[1] "c1" "c2" "c3" "c4"> matrix(1:12,nrow=3,ncol=4,dimnames=list(rowname,colname))c1 c2 c3 c4r1 1 4 7 10r2 2 5 8 113 矩阵转置A为m×n矩阵，求A'在R中可用函数t()，例如：> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)> A[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1 4 7 10[2,] 2 5 8 11[3,] 3 6 9 12> t(A)[,1] [,2] [,3][1,] 1 2 3[2,] 4 5 6[3,] 7 8 9[4,] 10 11 12若将函数t()作用于一个向量x，则R默认x为列向量，返回结果为一个行向量，例如：> x[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10> t(x)[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10][1,] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10> class(x)[1] "integer"> class(t(x))[1] "matrix"若想得到一个列向量，可用t(t(x))，例如：> x[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10> t(t(x))[,1][1,] 1[2,] 2[3,] 3[4,] 4[5,] 5[6,] 6[7,] 7[8,] 8[9,] 9[10,] 10> y=t(t(x))> t(t(y))[,1][1,] 1[2,] 2[3,] 3[4,] 4[5,] 5[6,] 6[7,] 7[8,] 8[9,] 9[10,] 104 矩阵相加减在R中对同行同列矩阵相加减，可用符号：“＋”、“－”，例如：> A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)> A+B[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 2 8 14 20[2,] 4 10 16 22[3,] 6 12 18 24> A-B[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 0 0 0 0[2,] 0 0 0 0[3,] 0 0 0 05数与矩阵相乘A为m×n矩阵，c>0，在R中求cA可用符号：“*”，例如：> c=2> c*A[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 2 8 14 20[2,] 4 10 16 22[3,] 6 12 18 246 矩阵相乘A为m×n矩阵，B为n×k矩阵，在R中求AB可用符号：“％*％”，例如：> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)> A%*%B[,1] [,2] [,3][1,] 70 158 246[2,] 80 184 288[3,] 90 210 330若A为n×m矩阵，要得到A'B，可用函数crossprod()，该函数计算结果与t(A)%*%B相同，但是效率更高。

第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

R语言中矩阵运算目录：矩阵的生成，矩阵的四则运算，矩阵的矩阵运算，矩阵的分解。

1.矩阵的生成1_1将向量定义成数组向量只有定义了维数向量(dim属性)后才能被看作是数组.比如:> z=1:12;> dim(z)=c(3,4);AA> z;[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1 4 7 10[2,] 2 5 8 11[3,] 3 6 9 12注意：生成矩阵是按列排列的。

1_2用array ( )函数构造多维数组用法为：array(data=NA,dim=length(data),dimnames=NULL)参数描述：data：是一个向量数据。

dim：是数组各维的长度，缺省时为原向量的长度。

dimname：是数组维的名字，缺省时为空。

例子：> x=array(1:20,dim=c(4,5))> x[,1] [,2] [,3] [,4] [,5][1,] 1 5 9 13 17[2,] 2 6 10 14 18[3,] 3 7 11 15 19[4,] 4 8 12 16 201_3用matrix()函数构造矩阵函数matrix)是构造矩阵(二维数组)的函数，其构造形式为matrix(data=NA，nrow=1，ncol=1，byrow=FALSE，dimnames=NULL)其中data是一个向量数据，nrow是矩阵的行数，ncol是矩阵的列数.当byrow=TRUE 时，生成矩阵的数据按行放置，缺省时相当于byrow=t，数据按列放置.dimname。

是数组维的名字，缺省时为空.A如构造一个3x5阶的矩阵> A=matrix(1:15,nrow=3,byrow=TRUE)> A[,1] [,2] [,3] [,4] [,5][1,] 1 2 3 4 5[2,] 6 7 8 9 10[3,] 11 12 13 14 152.矩阵的四则运算可以对数组之间进行四则运算(+、一、*、/)，这时进行的是数组对应元素的四则运算。

第六章广义逆矩阵§6.1 投影矩阵一、投影算子与投影矩阵v设L和M都是C n的子空间，且LÅM=C n．于是任意xÎC n都可唯一分解为x=y+z，yÎL，zÎM，称y是x沿着M到L的投影．v定义将任意xÎC n变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M ，即PL,Mx=y。

v显然，R(P L,M)=L，N(P L,M)=M．v投影算子P L,M是一个线性算子。

v定义投影算子P L,M在C n的基e1,…,e n下的矩阵称为投影矩阵．记为P。

L,Mv幂等矩阵：A2=Av引理设AÎC n×n是幂等矩阵，则N(A)=R(I-A)。

证明：A2=AÞA(I-A)=OÞ对任意xÎR(I-A),存在yÎC n,x=(I-A)y，必有Ax=0。

故R(I-A)ÌN(A)Þdim R(I-A)£dim N(A)=n-dim R(A)即rank(I-A)£n-rank A。

考虑到I=A+(I-A)Þn£rank A+rank(I-A)有rank(I-A)=n-rank A，使得dim R(I-A)=n-dim R(A)=dim N(A)，即得N(A)=R(I-A)。

v定理：P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵为投影矩阵，则对任意xÎC n有证明：设P=PL,MP2L,M x = P L,M (P L,M x) = P L,M y = y = P L,M x故P为幂等矩阵。

反之，设P为幂等矩阵n则对任意xÎC有x=x-Px+Px=(I-P)x+Px，其中(I-P)xÎN(P)，PxÎR(P)，使得C n=N(P)+R(P)。

设zÎN(P)∩R(P)，由于N(P)=R(I-P)故存在u，vÎC n使得z=Pu=P2u=P(I-P)v Þz=Pu=(I-P)v=0故N(P)∩R(P)={0}。

1.测量空间中的矩阵求逆Function Rect_yu(A()As Double,L As Long,C()As Double)As Double '矩阵求逆Dim T0 As DoubleDim T1 As DoubleDim T2 As DoubleDim T3 As DoubleDim B()As DoubleDim Num As DoubleDim Chay As LongDim Chax As LongChay =0Chax =0ReDim B(L -1,L -1)Num =0Dim add As Doubleadd =1 / Rect(A(),L)For T0 =0 To LFor T3 =0 To LFor T1 =0 To L -1If T1 < T0 ThenChax =0ElseChax =1End IfFor T2 =0 To L -1If T2 < T3 ThenChay =0ElseChay =1End IfB(T1,T2)=A(T1 +Chax,T2 +Chay)Next T2Next T1'Rect(B(),L -1)'调用求行列式值C(T3,T0)=Rect(B(),L -1)*add *((-1)^ (T0 +T3))Next T3Next T0End Function******************************************************************************** ******2.复杂的矩阵求逆Option Explicit'先写一个函数用于交换两个数的函数Private Sub swap(byref a As Double,byref b As Double)Dim c As Doublec = aa = bb = cEnd Sub'下面是求矩阵逆阵的函数Public Function Inv(m() As Double) As Double()Dim i As IntegerDim j As IntegerDim k As IntegerDim n As IntegerDim temp As Double'从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素在的行号和列号，'在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上.这一步称为全选主元n = UBound(m, 1)Dim iw() As IntegerDim jw() As IntegerDim fMax As DoubleReDim iw(0To n), jw(0To n) As IntegerFor k = 0To nfMax = 0For i = k To nFor j = k To nIf Abs(m(i, j)) > fMax Then fMax = Abs(m(i, j))iw(k) = ijw(k) = jNext jNext iIf iw(k) <> k ThenFor i = 0To nswap m(k, i), m(iw(k), i)Next iEnd IfIf jw(k) <> k ThenFor i = 0To nswap m(i, k), m(i, jw(k))Next iEnd IfNext k''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''在m右边增加一个单位阵，构成一个m的增广矩阵mmDim mm() As DoubleReDim mm(0To n, 0To2 * n + 1)For i = 0To nFor j = 0To nmm(i, j) = m(i, j)Next jNext iFor i = 0To nFor j = n + 1To2 * n + 1If i = j - n - 1Thenmm(i, j) = 1Elsemm(i, j) = 0End IfNext jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''通过初等行变换(即高斯消去法)使原矩阵变为单位阵，则右边的单位阵即是原矩阵的逆阵For k = 0To n - 1For i = k + 1To ntemp = mm(i, k) / mm(k, k)For j = 0To2 * n + 1mm(i, j) = mm(i, j) - mm(k, j) * tempNext jNext iNext kFor k = n To1Step -1For i = k - 1To0Step -1temp = mm(i, k) / mm(k, k)For j = 2 * n + 1To0Step -1mm(i, j) = mm(i, j) - mm(k, j) * tempNext jNext iNext kFor i = 0To nDim s As Doubles = mm(i, i)For j = 0To2 * n + 1mm(i, j) = mm(i, j) / sNext jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''输出变换后的右边的矩阵For i = 0To nFor j = 0To nm(i, j) = mm(i, j + n + 1)Next jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，'先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。

R语⾔中矩阵的常规操作1、⽣成矩阵，使⽤matrix函数> set.seed(111) ## 设定随机数种⼦> vect <- sample(1:10,16, replace = T)> vect[1] 4395381011048109817> dat <- matrix(vect, nrow = 4, ncol = 4, byrow = T, ## ⽣成4⾏4列矩阵，矩阵⾏列相同，也叫⽅阵，并指定⾏名、列名+ dimnames = list(paste0("r",1:4), paste0("c",1:4)))> datc1 c2 c3 c4r1 4395r2 38101r3 104810r4 9817> class(dat)[1] "matrix""array"2、提取主对⾓线元素> datc1 c2 c3 c4r1 4395r2 38101r3 104810r4 9817> class(dat)[1] "matrix""array"> diag(dat) ## 提取主对⾓线元素[1] 48873、提取副对⾓线元素> datc1 c2 c3 c4r1 4395r2 38101r3 104810r4 9817> diag(dat[,ncol(dat):1]) ## 先列逆向输出，然后取对⾓线[1] 510494、⽣成对⾓线为1的对⾓矩阵（对⾓矩阵条件：1、矩阵⾏、列相等，即⽅阵 2、除对⾓线元素外其余元素全部为0）> test1 <- diag(4) ## ⽣成对⾓线元素为1的4⾏4列对⾓元素> test1[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1000[2,] 0100[3,] 0010[4,] 0001> class(test1)[1] "matrix""array"> dim(test1)[1] 445、提取矩阵的下三⾓矩阵、上三⾓矩阵> datc1 c2 c3 c4r1 4395r2 38101r3 104810r4 9817> dat[lower.tri(dat)] ## 提取下三⾓矩阵[1] 3109481> dat[upper.tri(dat)] ## 提取上三⾓矩阵[1] 391051106、矩阵转置（即⾏列互换）> datc1 c2 c3 c4r1 4395r2 38101r3 104810r4 9817> t(dat) ## 矩阵转置r1 r2 r3 r4c1 43109c2 3848c3 91081c4 511077、以矩阵下三⾓矩阵构建对称矩阵（对称矩阵：指以主对⾓线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。