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教师教案( 2008—2009学年第一学期 )课程名称：数学物理方程与特殊函数授课学时：32学时授课班级：微固学院、光电学院2007级任课教师：钟尔杰教师职称：副教授教师所在学院：应用数学学院电子科技大学第一章 绪论授课时数：共2学时 1次课完成本章教学内容 一．教学内容及要求 1. 教学内容1.1常微分方程基础(1学时)； 1.2常用算符与函数(1学时)；2. 教学要求(1)复习二阶常微分方程通解概念；(2)学会求解二阶常微分方程的常数变易法； (3)了解格林公式和高斯公式。
二．教学重点与难点 1. 教学重点二阶常系数常微分方程求解方法。
2. 教学难点二阶常微分方程的常数变易法。
三．教学方式1． 提问方式：常系数齐次二阶常微分方程求解方法；2． 类比方式：一阶常微分方程与二阶常微分方程常数变易法对比3． 绘图方式：绘制多边形图形说明格林公式应用，绘制三维立体说明高斯公式应用。
四、作业 思考题：1.微分方程和代数方程的最大区别是什么?2.常系数齐次二阶常微分方程的系数满足什么条件时,通解中含有正弦函数？3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？4.谐振动中的参数 ω有何意义？5.不定积分dx x ⎰cos 与⎰dx y x ),cos(的结果有何区别？五、本章参考资料蔡日增，俞华英, 数学物理方法学习与解题指导, 长沙：湖南科学技术出版社，1988 六、教学后记本章主要介绍数理方程与特殊函数课的主要内容，回顾与数理方程相关的微积分内容，并介绍数理方程的历史背景和工程背景以及课程中的常用数学思想方法。
重点是常微数方程的求解方法，二阶常微分方程常数变易法，按计划完成了教学内容，效果较好。
第二章定解问题与偏微分方程理论授课时数：共6学时分为3次课完成本章教学内容一．教学内容及要求1. 教学内容2.1波动方程及定解条件(2学时)；2.2热传导方程及定解条件(1学时)；2.3方程的化简与分类(3学时)。
第一章 函数极限连续 §1．1 函数 一．集合M1．集合：具有特定性质的事物的全体。
2．元素：组成集合的事物。
3．元素和集合的关系 属于（∈）（不属于∉） 【如：,a A b A ∈∉】 4．集合的表示方法 （1）列举法【如：{}12,n A a a a =注：列举法一般为有限个元素】 （2）描述法：直接描述所有元素所具有的共同特征 【如：{}(){}1222|0,|4B x x B x y x y =>=+=】5．常见集合（1）自然数集：N （2）整数集：Z （3）有理数集：Q （4）实数集：R （5）复数集：C （6）空集：Φ 6．集合之间的关系（1）包含关系：,N Z Z Q ⊂⊂ （2）相等关系： 【如：{}1,2A =，{}2|320B x x x =-+=则A B =】【注：10N Z ⊂称N 是Z 的真子集；20空集是任何非空集合的真子集。
】 7．集合的运算（1）交运算：A B （2）并运算：A B （3）补运算：A A =【注：10A A =Φ 20A A I = 】（4）摩根律：10A B A B =20A B A B =8．区间（1）开区间：(),a b （2）闭区间：[],a b（3）半开区间：[),a b ，(],a b （4）无限区间：(),-∞+∞9．邻域 （1）定义：以某一点为中心的任何开区间，称为该点的邻域。
（2）表示：(){}{},||U a x x a x a x a δδδδ=-<=-<<+【注：去心邻域(){}0,|0U a x x a δδ=<-<】二．函数1．定义：变量x 和y ，当x D ∈（D 是给定的数集），总有()y f x =，称y 是x 的函数。
【注：10f 是对x 作某种运算的法则2x 称为自变量；y 称为因变量】【如：()22y f x x x ==+()y f x ==2．两个重要的要素（1）定义域：自变量x 取值的集合。
（2）值域：因变量y 取值的集合。
3．函数的表示方法 （1）解析法：用一个表达式反映自变量x 和因变量y 的关系。
（2）图像法：在xOy 平面内，由自变量x 为横坐标，因变量y 为纵坐标所确定的点所构成的图形。
4．函数的特性 （1）有界性函数()f x 的定义域为A 。
10上界：如果存在数集D （D A ⊆）和常数1k ，当x D ∈时，()1f x k ≤恒成立，称 ()f x 在D 上有上界。
20下界：如果存在数集D （D A ⊆）和常数2k ，当x D ∈时，()2f x k ≥恒成立，称()f x 在D 上有下界。
30有界：如果存在数集D （D A ⊆）和正数m ，当x D ∈时，()f x m ≤恒成立，称()f x 在D 上有界。
【如：()sin 1x ≤()()sin f x x ∴=在(),-∞+∞有界】40说明：()f x 在D 上有界的充要条件是它在D 上有上界和下界。
【证明： 充分性：()f x 在D 上有上界∴存在正常数1k ，使x D ∈时，()1f x k ≤成立()f x 在D 上有下界∴存在负常数2k ，使x D ∈时，()1f x k ≥成立取{}12min ,m k k =，有x D ∈时，()()m f x m f x m-≤≤⇒≤∴()f x 在D 上有界。
必要性：()f x 在D 上有界∴存在正数m ，使x D ∈时，()()f x m m f x m≤⇒-≤≤∴()f x 在D 上既有上界又有下界】（2）单调性函数()f x 的定义域为D ，存在区间I D ⊂，对于任意12,x x I ∈，且12x x <10()()12f x f x <⇒()f x 在区间I上单增；20()()12f x f x >⇒()f x 在区间I上单减。
【如：()2f x x =在[)0,+∞上单增()3f x x =在(),-∞+∞上单增】（3）奇偶性10定义：()f x 的定义域D 关于原点对称，①()()f x f x -=-⇒()f x 为奇函数②()()f x f x -=⇒()f x 为偶函数 20说明：①奇函数图像关于原点对称； ②偶函数图像关于y 轴对称。
30性质：①奇函数之和为奇函数； ②两个奇函数之积为偶函数； ③偶函数之和为偶函数； ④偶函数之积为偶函数； ⑤奇、偶函数之积为奇函数⑥定义在对称区间上的任意函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和。
【证明：设函数()f x 的定义域为对称区间D 令()()()12f x f x f x +-=有()()()()112f x f x f x f x -+-==()1f x ∴为偶函数令()()()22f x f x f x --=有()()()()()()2122f x f x f x f x f x f x ---=--=-=-()2f x ∴为奇函数显然()()()()()()()1222f x f x f x f x f x f x f x ++---=+= 因此，结论得证】 40强调：判定函数的奇偶性一定要根据定义去判定：①函数是否定义在以原点为中心的对称区间；②奇函数是否满足关系式()()f x f x -=-偶函数是否满足关系式()()f x f x -=（4）周期性10定义：()f x 的定义域为D ，存在不为零的常数L ，有()()f x L f x +=，称L 为()f x 的周期。
20说明：()f x 的周期一般指最小正周期。
三．反函数 1．定义：()y f x =的定义域为D ，值域为W ，通过反解有()x y ϕ=，其定义域为W ，值域为D ，则()y x ϕ=和()y f x =互为反函数。
2．图像特点：互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称。
3．求反函数步骤：（1）根据()y f x =反解，求出()x y ϕ=； （2）互换x 和y ，得到()y x ϕ=； （3）求出()y x ϕ=的定义域（实质是()y f x =的值域）4．注意：仅有单调函数才有反函数。
四．复合函数 1．定义函数()y f u =的定义域是f D ，函数()u x ϕ=的定义域D ϕ，值域R ϕ若 f D R ϕ≠Φ ，则称()()y f x ϕ=为x 的复合函数。
2．说明： 复合函数()()y f x ϕ=的定义域为D ϕ且f R D ϕ⊆。
五．常见的特殊类型函数 1．常函数(),y Cx =∈-∞+∞2．绝对值函数0000x x y x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩3．符号函数()10sgn 0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩4．取整函数[]y x =【注：10取整函数的值是不超过自变量x的最大整数； 20取整函数定义域(),x ∈-∞+∞ 值域y Z ∈如：[][][]2.3820.000307.088y y y =====-=- 】 5．分段函数【如：()22100x x y f x xx +≥⎧==⎨<⎩】例1．1 填空题 （1）()1f x x x=-的定义域是； （2）()(ln f x x =是 ____函数（填“奇”或“偶”）； （3）()11f x x=-， 则[]()f f x =____； （4）已知21f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则21f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____；（5）()f x 为奇函数，则()()____0000x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪Φ<⎩（6）()110111x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩ 且()xg x e =，则[]()g f x =_______ 解：（1）由题可知： 00x x x x x -≠⇒≠⇒< {}|0D x x ∴=<（2）显然，函数的定义域是以原点为中心的对称区间。
()(((()()22ln ln ln ln ln f x x x x f x f x =+⎛⎫=⎛⎫==--=--⇒-=-()f x ∴是奇函数。
（3）()11f x x=- []11()111x f f x xx-∴==-- （4）设21u x=+ 则2u x u-=因此()2xf x x-=所以2222121121x f x x x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-（5）()f x 是奇函数根据奇函数的图像特征知道 如果()0x x Φ< 则有()0x x -Φ->∴填()x -Φ-（6）当1x >时，()1f x =有[]()()f xg f x e e ==；当1x =时，()0f x = 有[]()0()1f x g f x ee ===；当1x <时，()1f x =-有[]()1()f x g f x ee -==；[]11()111e x gf x x e x -⎧>⎪∴==⎨⎪<⎩例1．2 选择题 （1）()3sin2f x x =的最小正周期是 （ ）A ． 2πB ．3πC ．23πD ．43π（2）()11x x a f x a +=- (1a >) 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶函数 （3）如果()2ln f x x =和()2ln g x x =是相同的函数，则定义域为 （ ）A ．(),-∞+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．(),e +∞（4）()f x 的反函数为()x Φ，则()f a x 的反函数为 （ ）A ．()a x ΦB ．()ax ΦC ．()x a ΦD ．x a ⎛⎫Φ ⎪⎝⎭解： （1）224332T πππω===D ∴答案正确（2）显然，()f x 的定义域是(),-∞+∞()()111111x xx x xx x xa f x a a a a a a a f x --+-=-+=-+=--=- B ∴ 答案正确（3）()2ln 2ln 2ln 02ln 0x x x x x x =>⎧⎪=⎨-<⎪⎩ 当且仅当0x >时()()f x g x =B ∴答案正确（4）令()y f ax =()f x 的反函数为()x Φ则 ()ax y =Φ解出()y x aΦ=互换x 和y ，得()x y aΦ=C ∴答案正确§1．2初等函数 一．基本初等函数 1．幂函数： n y x = 2．指数函数：x y a =()(),,0,x y ∈-∞+∞∈+∞（0,1a a >≠） 【注：特殊指数函数x y e =， 2.71828e = 】3．对数函数：log a y x =()()0,,,x y ∈+∞∈-∞+∞（0,1a a >≠） 【注：特殊对数函数10常用对数函数10log lg y x x ==；20自然对数函数log ln e y x x ==】4．三角函数（1）正弦函数：sin y x =10()[],,1,1x y ∈-∞+∞∈-20奇函数；302T π=（2）余弦函数：cos y x =10()[],,1,1x y ∈-∞+∞∈-20偶函数；302T π=（3）正切函数：tan y x =10()()|,21,,2,x x R x k k Z y π⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭∈-∞+∞20奇函数； 30T π=（4）余切函数：cot y x =10{}()|,,,,x x R x k k Z y π∈≠∈∈-∞+∞20奇函数； 30T π=（5）正割函数：1sec cos y x x ==2T π=（6）余割函数：1csc sin y x x==2T π=5．反三角函数（1）反正弦函数：arcsin y x =10[]1,1,,22x y ππ⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎣⎦20奇函数； 30单调增加（2）反余弦函数：arccos y x =10[][]1,1,0,x y π∈-∈20单调减少（3）反正切函数：arctan y x =10(),,,22x y ππ⎛⎫∈-∞∞∈-⎪⎝⎭ 20奇函数；30单调增加（4）反余切函数：arccot y x =10()(),,0,x y π∈-∞∞∈20单调减少 二．初等函数1．定义：由基本初等函数经过有限次四则运算（加、减、乘、除）和有限次复合而成的可用一个式子表示的函数。
