2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x时，3sin sin3f x x x 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c = 4(C) k=3,c =4(D ) k=3,c =4【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，sin x x在本题中，3sin sin 3limkxx xcx3sin sin cos 2cos sin 2limk xxx xx xcx2si n 3c o s 22c o sl i mkxxx x cx213c o s 22c o sl i mk xx x cx22132cos 12cos limk xx xcx221144cos 4sin limlimk k xxx x cxcx34l i m 14,3kx c kcx，故选择(C).(2) 已知函数f x 在x=0处可导，且0f =0，则2332limxx f xf xx = ( )(A) 2f (B)f (C) 0f (D) 0.【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：导数的定义0000()()lim()xf x x f x f x x在本题中，2322333020220limlim x x x f xf xx f xx f f xf x x3300lim20200xf x f f xf f f f xx故应选(B)(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A)若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(B) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛(D) 若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质若级数1n n u 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在本题中，由于级数2121()nn n u u 是级数1n n u 经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1n n u 收敛时，2121()nn n u u 也收敛，故（A ）正确.(4) 设40ln sin Ix dx ，40ln cot Jx dx ，40ln cos K xdx ，则,,I J K 的大小关系是( )(A) IJ K(B) I KJ(C) JIK(D) KJ I【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ，则()()b b aaf x dxg x dx ()ab 在本题中，如图所示：因为04x，所以0sin cos 1cot x x x又因ln x 在(0,)是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x xx(0,)4x4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx即I KJ .选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A = ( )(A)12P P (B)112P P (C)21P P (D)121P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.π/4在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,1A B 即111,AP B ABP 故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故10000101B E即2,P BE 故122,BP P 因此，1112121,A P P P P 故选(D)(6) 设A 为43矩阵，123,,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax的通解为()(A) 23121()2k (B)23121()2k (C)23121231()()2k k (D)23121231()()2k k 【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1，2是Ax b 的两个解，则12是0Ax 的解；（2）如n 元线性方程组Axb 有解，设12,,,t是相应齐次方程组0Ax的基础解系，是Ax b 的某个已知解，则11220ttk k k 是Axb 的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,是Ax的3个线性无关的解，那么21，31是0Ax的2个线性无关的解.从而()2n r A ，即3()2()1r A r A 显然()1r A ，因此()1r A 由()312n r A ，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222AAA，故231()2是方程组Ax的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是()(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x (C)1()f x 2()F x (D)1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx 在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx .在四个选项中，只有（D ）选项满足1221()()()()f x F x f x F x dx2112()()()()F x dF x F x dF x 121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x 1故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)的泊松分布，12,,,(2)n X X X n为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111ni i T X n和121111n in i T X X n n，有()(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C)1ET <2ET ,1DT >2DT (D)1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布()X P 数学期望EX ，方差DX（2）()E cX cEX ，()E X Y EXEY ，2()D cX c DX ，()D XY DXDY （X 与Y 相互独立）在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0iiEX DX ，1,2,,i n ，从而111111()()nni i i i E T E X E X n E Xnnn，112111111()()11n n ini n ii E T EX X E X E X n nn n11(1)()()1i n n E X E X n n111E XE X nn故12E T E T 又1121((11))ni i D T D n D X D Xn nX nn，12221111()(1)1(1)n in i D T D X X n n nn n12()1D T n nn，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设0lim 13xtt f x x t，则f x.【答案】313xex【详解】本题涉及到的主要知识点：重要极限公式1l i m (1)xxxe在本题中，3130lim 13lim13x t x tttttf x x tx t 3xx e所以有313xf x ex .(10) 设函数1xyx z y，则1,1dz.【答案】12ln 2dx dy【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x zyy，故11[ln(1)]z x x z xyyxy，21[ln(1)]z x x x z yyyxy令1x ，1y ，得(1,1)2ln 21z x ，(1,1)(2ln 21)z y，从而(1,1)12ln 2dz dx dy(11) 曲线tan 4yxye 在点0,0处的切线方程为.【答案】2yx【详解】方程变形为arctan()4y x ye ，方程两边对x 求导得211y yeyy e，在点(0,0)处(0)2y ，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2yx .(12) 曲线21yx，直线2x及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为.y21y x【答案】43【详解】本题涉及到的主要知识点：设有连续曲线()yf x ()axb ，则曲线()yf x 与直线x a ，x b 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2()b xaV f x dx在本题中，222223111141().33Vy dxxdxx x (13) 设二次型123,,Tf x x x x Ax 的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy 下的标准形为.【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点：任给二次型,1()nij i j ijji i j fa x x a a ，总有正交变换xPy ，使f 化为标准形2221122nnfyyy ，其中12,,,n是f 的矩阵()ij A a 的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a 所以3是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10是A 的2重特征值.因此，正交变换下标准形为：213y.(14) 设二维随机变量,X Y 服从正态分布22,;,;0N，则2E X Y= .【答案】22()【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y 不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY在本题中，由于,X Y 服从正态分布22,;,;0N，说明X ，Y 独立同分布，故X 与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY ，又EX，2222()EYDYEY ，所以222()()E XY 三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限012sin 1limln 1xx x x x【详解】本题涉及到的主要知识点：当0x时，ln(1)x x在本题中，012sin 1limln 1xx x x x212sin 1lim x xx x2cos 1cos 12sin cos 12sin 212sin lim lim lim 22212sin x x x xx xx x x xxx xcos sin cos 112sin lim lim .22212sin x x x x x xx(16) (本题满分10分)已知函数,f u v 具有连续的二阶偏导数，1,12f 是,f u v 的极值，(,,)z f x y f x y .求21,1zx y【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件设(,)zf x y 在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y ，00(,)0y f x y .在本题中，(,(,))z f xy f x y 121(,(,))(,(,))(,)z f xy f x y f xy f x y f x y x2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f xy f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y 1,12f 为,f u v 的极值121,11,1f f211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y (17) (本题满分10分)求不定积分arcsin ln xxdxx【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）()x t ，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ；（2）udvuvvdu ；（3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx . 在本题中，令t x,2xt ,2dxtdt arcsin ln xxdxx2arcsin ln 2tttdt t 22arcsin ln t t dt22222arcsin 22ln 21tt t tdt t tt dttt222(1)2arcsin 2ln 41d t t t t tt t222arcsin 2ln 214t t t ttt C2arcsin 2ln 214x x x x x x C ，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 303xx恰有两个实根.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ），那么在开区间(,)a b 内至少有一点，使()0f （2）函数单调性的判定法设函数()yf x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.①如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()y f x 在[,]a b 上单调增加；②如果在(,)a b 内()0f x ，那么函数()yf x 在[,]a b 上单调减少. 在本题中，令4()4arctan 33f x xx，'24()11f x x当3x 时，'()0f x ，()f x 单调递减；当3x时，'()0f x ，()f x 单调递增.4(3)4a r c t a n (3)(3)303f .当3x 时，()f x 单调递减,,3x,()0f x ；当33x时，()f x 单调递增, 3,3x,()f x 3x是函数()f x 在(,3)上唯一的零点.又因为48(3)4arctan33323033f 且4lim lim 4arctan 3.3xxfxx x由零点定理可知，03,x ，使0f x ,方程44arctan 303xx恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间0,1具有连续导数，(0)1f ，且满足'()()ttD D f xy dxdyf t dxdy , (,)0,0(01)tD x y yt x xt t，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程()()dy P x y Q x dx 的通解()()(())P x dxP x dxyeQ x edx C .在本题中，因为()()t tt xD f xy dxdydxf xy dy ，令x y u ，则()()()()t x t x f x y dyf u duf t f x 0()(()())()()tt t D f xy dxdyf t f x dxtf t f x dx21()()()()2tt D tf t f x dxf t dxdyt f t . 两边对t 求导，得2()()02f t f t t ,解齐次方程得212()(2)dt t C f t Cet 由(0)1f ，得4C . 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x .(20) (本题满分11分)设向量组11,0,1T，20,1,1T，31,3,5T不能由向量组11,1,1T,21,2,3T,33,4,Ta线性表出.(I)求a 的值；(II)将1，2，3用1，2，3线性表出.【详解】本题涉及到的主要知识点：向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b (I)因为123101,,01310115，所以123,,线性无关.那么123,,不能由123,,线性表示123,,线性相关，即123113113,,124011501323aaa，所以5a (II)如果方程组112233(1,2,3)jx x x j 都有解，即123,,可由123,,线性表示.对123123,,,,,（）作初等行变换，有123123,,,,,（）=10111301312411513510111301312401422101113013124011021002150104210001102故112324，2122，31235102(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且11110001111A (I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）(0)A为矩阵A 的特征值，为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.（I ）因()2r A 知0A ，所以0是A 的特征值.又111000111A，110011A ，所以按定义1是A 的特征值，1(1,0,1)T是A 属于1的特征向量；1是A 的特征值，2(1,0,1)T是A 属于1的特征向量.设3123(,,)Tx x x 是A 属于特征值0的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T T x x x x 解出3(0,1,0)T故矩阵A 的特征值为1,1,0；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k ，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ，有1112123110110001(,,0)(,,)000001000111101A . (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为X 01P 1/32/3Y 10 1P1/31/31/3且22()1P XY .(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(II) 求ZXY 的概率分布；(III) 求X 与Y 的相关系数XY.【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差cov ,X Y E XY E X E Y（2）相关系数c o v ,()()XYX Y D X D Y (I)设(,)X Y 的概率分布为YX-110 11p 12p 13p 1/3 121p 22p 23p 2/31/31/31/3根据已知条件221P XY，即0,01,11,11P X Y P X YP XY ，可知12211p pp ，从而11130p pp ，12212313p p p ，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY 的所有可能取值为-1，0，1 .111,13P Z P X Y 111,13P Z P XY101113P ZP Z P ZZ XY 的概率分布为(3) 23EX，0EY ，0EXY ，故(,)0Cov X Y EXY EX EY ，从而0XY.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y 与0y 所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ；(II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy ，()(,)Y f y f x y dx ；（2）在Y y 的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y ；（3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度Z -1 0 1 p1/31/31/3X Y -1 0 1 0 1/3 0 10 1/31/31,(,),(,)0,x y G f x y A 其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G 当01x 时，0()(,)1xX f x f x y dy dy x ；当12x时，20()(,)12x X f x f x y dydyx ；当0x或2x时，()0X f x .所以, 01,()2, 12,0,X x x f x x x其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y 当01y时，2()122y Y yf y dx y ；当0y 或1y时，()0Y f y .所以|1,2,01,22(|)0,X Y yxy yy f x y 其他.。

2011年考研數學（三）真題及答案詳解一．選擇題1.已知當错误！未找到引用源。

0x →時，函數()3sin sin3f x x x =-错误！未找到引用源。

與kcx 是等價無窮小，則（A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==-（C ） 错误！未找到引用源。

（D ）3,4k c ==-2．已知()f x 在0x =處可導，且()00f =，則()()2332limx x f x f x x→-=（A ）()'20f - （B ）()'0f -(C) ()'0f (D)0 3．設{}n u 是數列，則下列命題正確の是 （A ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=+∑收斂（B ）若()2121n n n uu ∞-=+∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂（C ）若1nn u∞=∑收斂，則()2121n n n uu ∞-=-∑收斂（D ）若()2121n n n uu ∞-=-∑收斂，則1n n u ∞=∑收斂4．設4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，則,,I J K の大小關係是（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5．設A 為3階矩陣，將A の第二列加到第一列得矩陣B ，再交換B の第二行與第一行得單位矩陣.記1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,則A =（A ）12PP （B ）112P P -（C ）21P P （D ）121P P -6．設A 為43⨯矩陣，123,,ηηη是非齊次線性方程組Ax β=の3個線性無關の解，12,k k 為任意常數，則Ax β=の通解為 （A ）()231212k ηηηη++- （B ）()232212k ηηηη-+-（C ）()()231312212k k ηηηηηη++-+- （D ）()()232213312k k ηηηηηη-+-+- 7．設()()12,F x F x 為兩個分佈函數，其相應の概率密度()()12,f x f x 是連續函數，則必為概率密度の是（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 8．設總體X 服從參數為λ()0λ>の泊松分佈，()12,,,2n X X X n ≥ 為來自總體の簡單隨機樣本，則對應の統計量111n i i T X n ==∑，121111n in i T X X n n-==+-∑ （A ）1212,ET ET DT DT >> （B ）1212,ET ET DT DT >< （C ）1212,ET ET DT DT <> （D ）1212,ET ET DT DT <<二、填空題9．設0()lim (13)xtt f x x t →=+，則()f x '=10．設函數(1)xy xz y=+，則(1,0)dz =11．曲線tan()4y x y e π++=在點(0,0)處の切線方程為12．曲線y =2x =及x 軸所圍成の平面圖形繞x 軸旋轉所成の旋轉體の體積為13．設二次型123(,,)T f x x x x Ax =の秩為1，A 中行元素之和為3，則f 在正交變換下x Qy =の標準為14．設二維隨機變數(,)X Y 服從22(,;,;0)N μμσσ，則2()E XY =三、解答題15．求極限0x →16.已知函數(,)f u v 具有連續の二階偏導數，(1,1)2f =是(,)f u v の極值，[](),(,)z f x y f x y =+。

2011年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）B （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）D 二、填空题（9）3e (13)x x + （10）(12ln 2)(d d )x y +− （11）2y x =− （12）4π3（13）213y （14）22()μμσ+ 三、解答题 （15）12−. （16）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （17）x C ++. （18）略.（19）24(),01(2)f x x x =−.（20）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .（22）（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）0ρ=XY .（23）（Ⅰ）, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其他.（Ⅱ）|1, 0<2,22(|)0, X Y y x y yf x y ⎧<<−⎪−=⎨⎪⎩其他.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!x x x o x =−+.所以，333339()3sin sin 33(3)()4()22x x f x x x x x o x x o x =−=−−−+=+.当0x →时，3()4f x x ，所以选择C.（2）【答案】B ．【解答】2330()2()lim x x f x f x x →−22330()(0)2()2(0)lim x x f x x f f x f x →−−+= 330()(0)()(0)lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤−−=−⎢⎥⎣⎦(0)2(0)(0)f f f '''=−=−. 故应选B. （3）【答案】A ．【解答】根据收敛级数性质：收敛级数任意添加括号仍收敛，故A 正确. （4）【答案】B ． 【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，由定积分的性质可知应选B ． （5）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E.即12,=AP B P B =E ,所以 1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ．（6）【答案】C ．【解答】由于123,,ηηη是=Ax β的三个线性无关的解，所以3121,ηηηη−−是Ax =0的两个线性无关的解，即Ax =0的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除A ，B 选项. 又因为232ηη−是Ax =0的解，不是=Ax β的解，故排除D 选项，因此选C.（7）【答案】D . 【解答】122112[()()()()]d ()()1f x F x f x F x x F x F x +∞+∞−∞−∞+==⎰，故选答案D .（8）【答案】D ．【解答】因为()()111111((,))λ===⋅⋅===∑∑n ni i i i X E E T E E n n X X n n()112111111()()11−−==⎛⎫=+=+ ⎪−−⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 111(1)()()11i n n E X E X n n n λ⎛⎫=⋅−+=+ ⎪−⎝⎭ 所以()()12E T E T <又因为，()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n()11221121111()()1(1)()−−==+⋅+−−==∑∑n n i n i n i i X X D X D n n D n D X n T222211(1)1()()(1111)λλλ=⋅−⋅+⋅⎛⎫=+=+ ⎪−−⎝−⎭n D X D X n n n n n n由于当2n ≥时，21111n n n<+− ，所以()()12D T D T <，故选D.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】()3e13xx +.【解答】因为()()()31300lim 13lim 13x t xtttt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3e x x =⋅,所以有()()3e 13xf x x '=+.（10）【答案】()()12ln 2d d x y +−. 【解答】当1y =时，ln(1)(1)exx x z x +=+=，则11(1)(ln(1))2ln 211xx x x x z x x x=='=+⋅++=++当1x =时，1ln(1)11(1)ey y yz y+=+=，则21112111()ln(1)1111(1)12ln 2yy y y y y y yz yy==⋅−⋅−+⋅+'=+⋅=−−.则 ()1,1d (12ln 2)d (12ln 2)d z x y =+−+或()()d 12ln 2d d z x y =+−. （11）【答案】2y x =−.【解答】πtan e 4yx y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的两端对x 求导，有()2πsec 1e 4y x y y y ⎛⎫''++⋅+= ⎪⎝⎭,将0,0x y ==代入上式，有()211πcos 4y y ''+=解得 ()0,02y '=−,故切线方程为2y x =−. （12）【答案】4π3. 【解答】()2222114πd π1d π.3V y x x x ==−=⎰⎰（13）【答案】213y .【解答】由()1r =A 知零特征值的重数为2. 又因为A 中各行元素之和为3,所以1113111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3是它的特征值.（14）【答案】22()μμσ+.【解答】因为(,)X Y 服从二维正态分布22(,;,;0)N μμσσ，不相关，所以,X Y 相互独立，故22222()()()E XY EXEY EX E Y DY μμσ==+=+.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．解：()01lim ln 1x x x x →−−+201lim x x x →−=20x →= 2220002(sin )sin 1cos 1111lim lim lim 0222222x x x x x x x x x x x x →→→−−−−==−=−=−=−. （16）（本题满分10分）解：因为[(),(,)]z f x y f x y =+，所以121[(),(,)][(),(,)](,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂， ()()()()211122,,(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x y∂'''''=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂ ()()()(){}112222(,),,(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()212,,f x y f x y f x y '''+++⋅⎡⎤⎣⎦又()1,12=f 为(),f u v 的极值，所以()()121,11,10''==f f .所以，()()()211212112,22,21,1.x y zf f f x y==∂'''''=+⋅∂∂（17）（本题满分10分）解：令t =2x t =,d 2d x t t =x 2arcsin ln 2d t t t t t +=⋅⎰()22arcsin ln d t t t =+⎰2222arcsin 22ln 2d tt t t t t t t t=⋅−+⋅−⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =++−+.证：令4π()4arctan 3f x x x =−+24()11f x x '=−+. 由()0f x '=得x =(0f =，所以x =.当x <时，()0f x >且单调递减；当x <<时，()0f x >且单调递增；所以，在区间(−∞上只有一个实根x =又当x >()f x单调递减，且8π03f =−>， ()4πlim lim 4arctan .3x x f x x x →+∞→+∞⎛=−+=−∞ ⎝所以，由零点定理可知，存在唯一一点)0x ∈+∞，使()00f x =,所以方程4π4arctan 03x x −+=恰有两实根.（19）（本题满分11分） 解：因为()d d d ()d tt t xD f x y x y x f x y y −''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()d ()d ()()t xtx f x y y f u u f t f x −''+==−⎰⎰()d d (()())d ()()d tttD f x y x y f t f x x tf t f x x '+=−=−⎰⎰⎰⎰所以201()()d ()d d ()2ttD tf t f x x f t x y t f t −==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=−f t f t t ,解方程得2d 12()e (2)t t C f t C t −−⎰==− 由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24(),01(2)f x x x =−.（20）（本题满分11分）解:（Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，则对于123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭. 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭. 故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（本题满分11分）解:（Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2A =R ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T230,0.⎧=⎨=⎩αααα即13130,0.x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭022022000022010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.（22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）因为{}221P XY ==，所以有{}{}222210P X Y P X Y ≠=−==,即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==−=======. 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====−===.即(),X Y 的概率分布为（Ⅱ）Z 的所有可能取值为1,0,1−,{}{}111,13P Z P X Y =−==−=−=，{}{}111,13P Z P X Y =====，{}{}{}101113P Z P Z P Z ==−=−=−=.所以，Z XY =的概率分布为（Ⅲ） covXY XY E XY E X E Y ρ−⋅==由（I ）中(),X Y 的联合分布可知()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=，()()()0E XY E X E Y −⋅=，所以cov 0XY XY E XY E X E Y ρ−⋅===.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由条件可知曲线所围成的面积1G S =，所以(,)X Y 的联合概率密度为1,(),(,)0,x,y G f x y ∈⎧=⎨⎩其他.当01x <<时，0()(,)d 1d xX f x f x y y y x +∞−∞===⎰⎰，当12x <时，20()(,)d 1d 2xX f x f x y y y x +∞−−∞===−⎰⎰，X 的边缘概率密度为, 01,()2, 12,0, X x x f x x x <<⎧⎪=−<⎨⎪⎩其它.（Ⅱ）当01y <<时，Y 的边缘概率密度为2()(,)d 1d 22y Y yf y f x y x x y +∞−−∞===−⎰⎰.当01y <<时，|(|)X Y f x y 有意义，|1, 2,(,)22(|)()0, X Y Y y x y f x y y f x y f y ⎧<<−⎪−==⎨⎪⎩其他.。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D)23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，x Q y =下的标准形为 .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限0x →(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim 14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择(C).(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x→+-'=在本题中，()()()()()()232233320220limlimx x x f x f x x f x x f f x f xx→→---+=()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →⎡⎤--'''⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎣⎦故应选(B)(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )(A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数1nn u∞=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰()a b <在本题中，如图所示： 因为04x π<<，所以0sin cos 1cot <<<<x x x又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x << (0,)4x π∈4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ⇒<<⎰⎰⎰即I K J <<.选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即111,AP B A BP -==故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D)(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥⇒≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222A A A ηηηηβ+=+=，故231()2ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： 连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx +∞-∞=⎰在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx +∞-∞=⎰.在四个选项中，只有（D ）选项满足[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）泊松分布()XP λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立） 在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【详解】本题涉及到的主要知识点： 重要极限公式 10lim(1)xx x e →+=在本题中，()()()31300lim 13lim 13x t xtt tt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x z y y=+， 故11[ln(1)]z x x z x y y x y ∂=++∂+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y∂=-++∂+ 令1x =，1y =，得(1,1)2ln 21z x ∂=+∂，(1,1)(2ln 21)zy ∂=-+∂， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4y x y e π++=，方程两边对x 求导得211yye y y e ''+=+，在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线()y f x =与直线x a =，x b =及x绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2(bx aV f π=⎰在本题中，()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⇒=⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 所以3λ=是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10λ⇒=是A 的2重特征值. 因此，正交变换下标准形为：213y .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY = 在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，说明X ，Y 独立同分布，故X与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅，又EX μ=，2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限x →【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +在本题中，0x →201lim x x x →-=000x x x →→→===01.2x x →→==-=-(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=. 在本题中，(,(,))z f x y f x y =+121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''=++++∂∂ ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++⋅()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()121,11,10f f ''∴==211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ∂'''''∴=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ϕ=，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ-'==+=+⎰⎰；（2）udv uv vdu =-⎰⎰； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.在本题中，令t =,2x t =,2dx tdt =∴2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+-22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =+，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ= （2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+-，'24()11f x x=-+当x >'()0f x <，()f x 单调递减；当x <时，'()0f x >，()f x 单调递增.4(4arctan((03f π=-+=.当x <()f x 单调递减,∴(,x ∈-∞,()0f x >；当x <<()f x 单调递增,∴(x ∈,()0f x >x ∴=()f x在(-∞上唯一的零点.又因为48033f ππ==-> 且()4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞ ⎝∴由零点定理可知，)0x ∃∈+∞，使()00f x =,∴方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. 在本题中，因为()()tt t xD f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()()()()t xtx f x y dy f u du f t f x -''+==-⎰⎰()(()())()()tttD f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-⎰⎰⎰⎰201()()()()2ttD tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得212()(2)--⎰==-dt t C f t Ce t由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点： 向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是 121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =(I)因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关.那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示⇒123,,βββ线性相关，即123113113,,1240115013023a aa βββ===-=-，所以5a =(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）作初等行变换，有123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）(0)A αλαα=≠λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.又111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)Tα=是A 属于1λ=的特征向量；1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.设3123(,,)Tx x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解出3(0,1,0)Tα= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有1112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(22)(本题满分11分)且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-⋅ （2）相关系数cov ,XY X Y ρ=(I)设(,)X Y 的概率分布为根据已知条件{}221P XY ==，即{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知1221231p p p ++=，从而110p p p ===，1p p p ===，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .{}{}111,13P Z P X Y =-===-={}{}111,13P Z P X Y ====={}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=Z XY =的概率分布为(3) 23EX =，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，从而0XY ρ=.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰；（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩当01x ≤<时，0()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰； 当12x ≤≤时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰；当0x <或2x >时，()0X f x =.所以 , 01,()2, 12,0, X x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =当01y ≤<时，2()122yY yf y dx y -==-⎰；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.所以|1, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ⎧<<-≤<⎪-=⎨⎪⎩其他.。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．(1) 已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则( )．(A) k=1，c=4 (B) k=1，c=-4(C) k=3，c=4 (D) k=3，c=-4(2) 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( )．(A) -2f'(0) (B) -f'(0)(C) f'(0) (D) 0(3) 设{un}是数列，则下列命题正确的是( )．(4) 设，则I，J，K 的大小关系是( )．(A) I＜J＜K(B)I＜K＜J(C)J＜I＜K(D)K＜J＜I(5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第一列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=( )．(A) P1P2(B) (C) P2P1(D)(6) 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )．(7)设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．(A) f1(x)f2(x) (B) 2f2(x)F1(x)(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)(8) 设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自该总体随机样本，则对于统计量( )．(A) ET1＞ET2，DT1＞DT2(B) ET1＞ET2，DT1＜DT2(C) ET1＜ET2，DT1＞DT2(D) ET1＜ET2，DT1＜DT2二、填空题(9) 设，则f'(x)=______．(10) 设函数，则dz|(1,1)=______．(11) 曲线在点(0，0)处的切线方程为______．(12) 曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______．(13) 设二次型f(x1，x2，x3，)=x T Ax的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下X=Qy的标准形为______．(14) 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．三、解答题：解答应写出证明过程或演算步骤．(15) 求极限．(16) 已知函数f(u，v)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2是f(u，v)的极值，z=f[x+y，f(x，y)]．求．(17) 求不定积分．(18) 证明方程恰有两个实根．(19) 设函数f(x)在[0，1]上有连续的导数，f(0)=1，且，其中Dt={(x，y)|0≤y≤t-x，0≤x≤t}(0＜t≤1)，求f(x)的表达式．(20) 设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表出．①求a的值；②将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表出．(21) 设A为三阶实对称矩阵，r(A)=2，且(Ⅰ) 求A的所有特征值与特征向量；(Ⅱ) 求A．且求：(Ⅰ) 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ) Z=XY的分布；(Ⅲ) X与Y的相关系数ρXY．(23) 设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，G是由x-y=0，x+y=2与y=0围成的三角形区域．①求X的概率密度fX (x)；②求条件概率密度fX|Y(x|y)．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题(1)[考点] 无穷小比较[答案解析] 根据泰勒展式，有f(x)=3sinx-sin3x故 c=4，k=3，故选(C)．(2)[考点] 导数的定义[答案解析] 由题设因为f(x)在x=0处可导，故原式=-f'(0)，故选(B)．(3)[考点] 数项级数的敛散性[答案解析] 由题设(4)[考点] 一元函数定积分[答案解析] sinx＜cosx＜1＜cotx 则lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx即 I＜K＜J，故选(B)．(5)[考点] 矩阵的初等变换[答案解析] 由题意有P2AP1=E，，因为，所以，故选(D)．(6)[考点] 非齐次线性方程组[答案解析] 由于η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，则η3-η1，η2-η1为Ax=0的解，且η1，η2，η3线性无关又为Ax=β的解，故Ax=β通解为故选(C)．(7)[考点] 概率密度函数[答案解析] 由题意知F1'(x)=f1(x) F2'(X)=f2(x)则对于(D)项有，故选(D)．(8)[考点] 统计量的期望，方差[答案解析] X1，X2，…，Xn为简单随机样本，则有EX1=EX2=…=EXn=λ，DX1=DX2=…=EXn，且X1，X2，…，Xn相互独立二、填空题(9) (1+3x)e3x[考点] 求一元函数的导数[答案解析] 先求出f(x)的表达式则f'(x)=e3x+3xe3x=(1+3x)e3x．(10) (2ln2+1)dx+(-2ln2-1)dy[考点] 全微分[答案解析] 两边取对数得，两边取微分得将x=1，y=1代入得dz|=(2ln2+1)dx+(-2ln2-1)dy．(1,1)(11) y=-2x[考点] 利用导数求即线方程[答案解析] 对两边x求导数得把x=0，y=0代入得，于是切线方程为y=-2x．(12)[考点] 一元积分的应用[答案解析](13)[考点] 二次型，正交变换[答案解析] 由于A中行元素之和为3则，所以A有特征值为1，又因为A T=A且r(A)=1，所以λ2=λ3=0故二次型的标准型为．(14) μ(μ2+σ2)[考点] 二维随机变量的期望因为(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，σ2)，EX=μ，EY2=DY+(EY)2=μ2+α2又因为ρ=0，所以X，Y独立，于是E(XY2)=EXEy2=μ(μ2+σ2)．三、解答题(15)[考点] 极限的计算无穷小量替换[答案解析](16)[考点] 二元函数偏导数与全微分f'x (1，1)=0，f'y(1，1)=0，(17)[考点] 不定积分的计算[答案解析](18)[考点] 函数的极值[答案解析] 方程根据的分布令令时，f'(x)＜0：时，f'(x)＞0：时，f'(x)＜0为极小点，为极大点极小值为极大值为而∴f(x)恰有两实根，一个为，另一个在内，故方程恰有两个根．(19)[考点] 二重积分[答案解析]因为所以两边对t求导得，解得因为f(0)=1，所以C=4，于是(20)[考点] 向量的线性相关性[答案解析] ①因为，所以r(α1，α2，α3)=3，又因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以β1，β2，β3线性相关，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5②于是(21)[考点] 矩阵的特征值和特征向量[答案解析] (Ⅰ) 根据特征值特征向量的定义，A的特征值为λ1=-1，λ2=1，对应的线性无关的特征向量为因为r(A)=2＜3，所以|A|=0，故λ3=0．令为矩阵A的相应于λ3=0的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以有即解得．故矩阵A的特征值为1，-1，0；特征向量依次为k1(1，0，1)T，k2(1，0，-1)T，k3(0，1，0)T．其中k1，k2，k3是不为0的任意常数．(Ⅱ) α1，α2，α3单位化得令，则于是(22)[考点] 二维随机变量的独立性[答案解析] 解：(Ⅰ) P(X2=Y2)=1P(X2≠Y2)=0 即P(X=0，Y=1)=P(X=0，Y=-1)=P{X=1，Y=0}=0故P(X=1，y=1)=．故得(X，Y)的概率分布如下表：(Ⅱ) Z取值为-1，0，1P(XY=-1)=P(X=1，Y=-1)=P(XY=0)=P(X=0，Y=0)+P(X=0，Y=1)+P(X=0，Y=-1)+P(X=1，Y=0)= P(XY=1)=P(X=1，Y=1)=(Ⅲ) ，EY=0，EXY=0，则cov(X，Y)=EXY-EX·EY=0故ρ=0．XY(23)[考点] 条件概率密度、联合密度=1[答案解析] 易知SG则(x)=0x＜0或x＞2时fX当0＜x≤1时，当1＜x＜2时，综上(y)=0当y≥1或y＜0时fY当0≤y＜1时则。

2011考研数学真题解析----数学三一 选择题 (1) 答案：(C) 【解答】333333333(3)(3)()3sin sin33[0()][30()]30()40()3!3!3!3!x x x x f x x x x x x x x x x =-=-+--+=-⋅+=+故c=4，k=3 故选C(2) 答案：(B) 【解答】2333300()2()()(0)()(0)lim lim 2x x x f x f x f x f f x f x x x →→⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦f(x)在x=0处可导，故原式 故选B (3) 答案：(A) 【解答】收敛 则 和 都收敛，则 收敛，故选A (4) 答案：(B) 【解答】， 则，即I<K<J 故选B (5) 答案：(D)【解答】显然 ，因为 所以 故选(D) (6) 答案：(C) 【解答】为 的解 线性无关，故 线性无关 为 的解，故 的通解为 故选C(7) 答案：(D)【解答】故选D (8) 答案：(D)【解答】为简单随即样本 ， 且 相互独立'(0)f =-1n n u ∞=∑211n n u ∞-=∑21n n u ∞=∑2121()n n n u u ∞-=+∑(0,)4x π∈sin 1cot x conx x <<<40ln cot 0|J xdx π=>4400lnsin ln cos 0||xdx xdx ππ<<112121,P APE A P P --==122,P P -=121,A P P -=3121,ηηηη--0Ax =123,ηηη 3121,ηηηη--232ηη+Ax β=Ax β=23131221()()2k k ηηηηηη++-+-122212(()()()())()()1|f x F x f x F x dx F x F x +∞-∞+∞+==-∞⎰1,2,...n X X X 12...n EX EX EX λ===12...n DX DX DX ==1,2,...n X X X1122111212222222222111,,1111111,(1)()1(1)(1)1111(1)(1)(1)n n i i ni i ET EX ET EX EX ET ET n n n nDX n n DX nDX DX n DX DX DX DXn n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n λλλ-==== =+=+ =-+-=⋅= =-+=+=---+-+--=>---∑∑故选D二 填空题(9)答案： 【解答】133'33330()lim (13)lim[(13)],()3(13)xx x x x xt t t t f x x t x t xe f x e xe x e →→=+=+= =+=+(10)【解答】设 ，求 两边取对数得 两边求微分得22111[ln(1)][ln(1)],11xx x x x x yy dz dx dy x x z y y y y y y y y -=++⋅+-++ ++将x=1 , y=1代入得 (11)答案：y = -2x 【解答】两边对x 求导数得 把x=0 , y=0代入得 于是切线方程为y = -2x (12)答案：【解答】 (13)答案： 【解答】因为 所以A 有特征值1，又因为TA A =且r(A)=1 ，所以 故二次型的标准型为 '333()3(13)x x xf x e xe x e=+=+(1)xy xz y=+(1,1)|dz (1)xyx z y=+ln ln(1)x x z y y =+(1,1)(2ln21)()|dz dx dy =+-tan()4y x y e π++=2sec ()(1)4y dy dy x y e dx dx π+++=02,|x dydx==- 43π2222114()(1)3V f x dx x dx πππ==-=⎰⎰213y 1113111A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭230λλ==213T f X AX y ==(14)答案： 【解答】因为 ，所以 2222,()EX X DY EY μμσ= E =+=+又因为ρ=0 ，所以X ，Y 独立，于是 三 解答题 15.解：16.解：'''''1212''''''''11122211'''''22212(1,1)0,(1,1)0[,(,)][,(,)](,)[,(,)][,(,)](,)[,(,)](,)[,(,)](,)(,)[,(,x y zf f f x y f x y f x y f x y f x y xz f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y x yf x y f x y f x y f x y f x y f x ∂= = ,=+++⋅∂∂=+++⋅++⋅∂∂++++''122'''''(1,1)11212)](,)(2,2)(2,2)(1,1)|y f x y z f f f x y⋅∂=+∂∂17.解：222arcsin ln arcsin 2ln 22(arcsin 2ln )()22arcsin 4ln 2arcsin 24ln 41(1)2arcsin 224ln 4212arcsin 214ln 4x xx xdx dx x x d x xxttdt tdt t t dt t t t Ctd t t t t t t Ctx x x x x x C++==+=+=-+-+--=+++-+-=+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰18.证明令 则 时， 时， 时， 为极小值点， 为极大值点 极小值为 ， 极大值为 恰有两个实根， 22()μμσ+22(,)(,,,,0)X Y N μμσσ~22(,),(,)X N Y N μσμσ~ ~2220002220012sin 112sin (1)12sin 21)lim lim lim ln(1)[12sin (1)]12sin 2sin 11lim lim 222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→+--+-++---==++++---=-=-4()4arctan 33f x x x π=-+-'24()1031f x x x=-= ⇒=±+(,3)x ∈-∞-'()0(3,3)f x x < ; ∈-'()0;(3,)f x x > ∈+∞'()0f x <3x =-3x =44(3)33033f ππ-=-++-=44863(3)330333f πππ-=-+-=>lim ()()x f x f x →+∞=-∞ ∴ 2222()EXY EXEY μμσ==+一个为，另一个在 内，故方程恰有2个根。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

(1)已知当时，函数与是等价无穷小，则：（）(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(2)设函数在处可导，且，则=（）(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(3)设是数列，则下列命题正确的是：（）(A) 若收敛，则收敛. (B) 若收敛，则收敛.(C) 若收敛，则收敛. (D) 若收敛，则收敛.(4)设，，，则的大小关系是：（）(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(5)设为阶矩阵，将的第列加到第列得矩阵，再交换的第行与第行得单位矩阵，记，，则（）(A) ．(B)．(C) ．(D) ．(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为：（）(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(7)设与为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是：（）(A)．(B) ．(C) ．(D) ．(8)设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量和，有：（）(A) ，．(B) ，．(C) ，．(D) ，．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．(9)设，则_________.(10)设函数，则_________.(11)曲线在点处的切线方程为_________.(12)曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为_________.(13)设二次型的秩为，的各行元素之和为，则在正交变换下的标准形为_________.(14)设二维随机变量服从正态分布，则=_________.三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15) (本题满分10分)求极限．(16) (本题满分10分)已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，，求.(17) (本题满分10分)求.(18) (本题满分10分)证明方程恰有两个实根.(19) (本题满分10分)设函数在区间上具有连续导数，，且满足，，求的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组不能由向量组线性表示．(I) 求的值；(II) 将用线性表示.(21) (本题满分11分)设为阶实对称矩阵，的秩为，且．(I) 求的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵．(22) (本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且．(I) 求二维随机变量的概率分布；(II) 求的概率分布；(III) 求与的相关系数．(23) (本题满分11分)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域．(I) 求边缘概率密度；(II) 求条件概率密度．。