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机械优化设计第6章约束优化方法

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机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学内容

机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学内容

第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。

并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。

[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。

步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。

到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2．已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。

为最好点，0203x x2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。

机械优化设计约束优化方法

机械优化设计约束优化方法
根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接 解法、间接解法。
（1）直接法
直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、 随机方向法、可变容差法和可行方向法。
（2）间接法
间接法包括：罚函数法（内点罚函数法、外点罚 函数法、混合罚函数法）、广义乘子法、广义简约梯 度法和约束变尺度法等。
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是
如前所述，在求解无约束问题的单纯形法中，不 需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点并 比较各顶点处目标函数值的大小，来寻找下一步的探 索方向的。在用于求解约束问题的复合形法中，复合 形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下 降，还应当满足所有的约束条件。
基本思想：在可行域中选取K个设计点 （ n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。比较各顶点目标 函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点) ，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的 映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
取次好点和好点连线的中点为X(0)。
令：X(4)= X(0)+α(X(0)-X(H))
称X(4)为映射点，记为X(R)，α为映射系数，通常取 α=1.3，可根据实际情况进行缩减。
一般情况下，映射点的函数值比坏点的函数值要 小，即F(X(R))< F(X(H))。若满足可行域，则用X(R)代替 X(H)构成新的复合形。如此反复迭代直到找到最优解。
（3）计算坏点外的其余各顶点的中心点X(0)。
X0
1 K K1j1
X(j),
j
H
（4）计算映射点X(R)
X (R )X (0 )(X (0 )X (H ))
检查X(R)是否在可行域内。若X(R)为非可行点，将映 射系数减半后再按上式改变映射点，直到X(R)进入可行 域内为止。

《机械优化设计》第6章约束优化方法

《机械优化设计》第6章约束优化方法

X(R)
● X(S)
X(H)
映射迭代公式： x(R)=x(S)+α(x(S)-x(H)) 搜 索 方 向：沿x(H)→x(S)的方向'。 步长因子（映射系数）α： α>1，建议先取1.3'。 若求得的x(R)在可行域内，且f(x(R))<f(x(H))，则以x(R)代替x(H)组 成新复合形，再进行下轮迭代'。
x j x0 a0e j
机械优化设计
§第二节 随机方向法
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算 余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标 函数最小的点xL '。
4) 比较xL 和x0两点的目标函数值:
①若f(xL) <f(x0)，则 取xL 和x0连线方向为可行搜索方向；
②若f(xL) ≥f(x0)，则缩小步长α0 ，转步骤1）重新计算， 直至f(xL) <f(x0)为止'。
则可行搜索方向为： d x L x0
四、搜索步长的确定
步长由加速步长法确定：
τ为步长加速系数，一般取1.3
机械优化设计
五. 计算步骤 1) 选择一个可行的初始点x0; 2) 产生k个n维随机单位向量e j ( j = 1, 2, …, k);
3) 取试验步长0，计算出k个随机点x j ;
4) 在k个随机点中，找出可行的的随机点xL, 产生可行搜索 方向d= xLx0.
5) 从初始点x0出发，沿可行搜索方向d以步长进行迭代计
算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标函数值
不再下降的新点x'。
6) 若收敛条件满足，停止迭代'。否则， 令x0 x转步骤2
机械优化设计
例6-1 求下列约束m优in化f问x题 的x2最优x 解

约束问题的最优化方法

约束问题的最优化方法
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m

以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI


Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r

(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x

约束最优化方法

约束最优化方法

约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。

以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。

2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。

3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。

4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。

5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。

6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。

7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。

8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。

这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。

机械优化设计第六章

机械优化设计第六章

第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法：
基本思路： 原目标函数 加权 新的目标函数
（无约束优化问题）
述
约束函数
（约束优化问题）
第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法：
迭代过程：
min f ( x) f ( x1 , x2 , s.t. g j ( x) g j ( x1 , x2 , hk ( x) hk ( x1 , x2 , , xn ) , xn ) 0 ( j 1, 2, , xn ) 0 ( k 1, 2, , m) , l)
第六章 约束优化方法
第二节 随机方向法
随机方向法基本思路：
迭代公式： xk 1 xk d k (k 0,1, )
探索 ：x k 1 x k d k 满足：f ( x k 1 ) f ( x k ) g j ( x k 1 ) 0( j 1, 2, , m)
述
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
j 1 k 1
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法：
述
第六章 约束优化方法
第一节 概
间接解法的特点：
①计算效率和数值计算的稳定性有较大提高。 ②可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。
(4)当同一次迭代的初始点与末点的函数值满足式 | f ( x) f ( x 0 ) | 1和步长已达到 || x x 0 || 2 时，则结束迭代计算，并取x* x, f ( x* ) f ( x)。（式中1， 2为给定的收敛精度）
随机方向法的步骤：

约束优化方法的讲解

根据它们在惩罚函数中的作用，分别称障碍项和惩罚 项。 障碍项的作用是当迭代点在可行域内时，在迭代过程 中将阻止迭代点越出可形域。 惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约 束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或 等式约束曲面。 按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行，分为： 内点法、外点法及混合法。
2）按经验公式
r0 f x0 1 0 g x j 1 j
m
计算r0 值。这样选取的r0 ，可以是惩罚函数中的障 碍项和原目标函数的值大致相等，不会因障碍项的值 太大则其支配作用，也不会因障碍项的值太小而被忽 略掉。 3.惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递 减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为：
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
当迭代点离约束边界越远时，惩罚项愈大，这可看 成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。
例6-6 用外点法求问题
hk x 0

机械优化设计方法第六章 约束最优化方法


定在(-1，+1)区间的随机数取得。 有些计算机具有直接调用的功能，但有些计算机则无此 功能，需要另编程序。如可获得(0，1)区间内服从均匀 分布的随机数数列ri(i=1,2,…,n)，则可通过下式 yi= ai+ ri(bi- ai) (i=1,2,…,n) 转化成在(ai，bi)区间内服从均匀分布的随机数数列。 以ai＝-1，bi＝1代入上式，可得(-1，+1)区间内服从 均匀分布的随机数数列 yi= 2 ri-1 由于yi在区间(-1，+1)内产生，因此所构成的随机方向单 位向量端点一定位于n维的超球面上。
现以图6-5所示二维不等式约束优化问题来作
进—步说明。
其数学模型为 min f X
X D R 2
D：g1(X)≥0 g2(X)≥0 a1≤x1≤b1 a2≤x2≤b2 其中， g1(X)≥0，g2(X)≥0可称 为隐式约束条件，而边 界约束a1≤x1≤b1， a2≤x2≤b2可称为显式约 束条件。
需要指出，这样产生的初始点X(0)=[x1(0), x2(0),…, xn(0)]T
虽能满足设计变量的边界条件，但不一定能满足所有 约束条件(如点)。 因此这样产生的初始点还须经过可行性条件的检验， 如能满足，才可作为一个可行的初始点。否则，应重 新随机选初始点，直到满足所有的约束条件。
三、随机搜索方向的产生
6-2 约束随机方向搜索法
一、基本原理
基本原理可用
图6-1所示二维 最优化问题进 行说明。
在约束可行区域D内，任意选择一个初始点X(0)，以给




定的初始步长α=α0沿着随机方向S(1)取得探索点 X=X(0)+αS(1) 若该点同时符合下降性(即f(X) < f(X(0))和可行性(即 X∈D)要求，则表示X点探索成功。 并以它作为新的起始点，即X→X(0)，继续按上面的迭 代公式在S(1)方向上获取新的探索成功点。 重复上述步骤，迭代点可沿S(1)方向前进，直至到达某 搜索点不能同时符合下降性和可行性要求时停止。 此时废弃该搜索点并退回到前一个搜索成功点作为S(1) 方向搜索中的最终成功点，记作X(1)。 此后，将X(1)点置为新的始点X(1)→X(0)，再产生另一随 机方向S(2)，以步长α重复以上过程，得到沿S(2)方向的 最终成功点X(2)。 经若干循环，点列{ X(k)( k=1,2,…) }必最后逼近约束最 优点X*。

机械优化设计方法


f x0
f
x (0) 1

x1,
x20

x2
f
x10 , x20
lim
d
0

lim x1 0 x2 0
f
x (0) 1

x1,
x20

x2
f
x10 , x20 x2
x1
x1

f
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T 2 D2

TDh
8 B2 h2
人字架的总质量
1
mD, h 2 AL 2TD B2 h2 2
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D H T 使结构质量
mx min
但应满足强度约束条件 x y 稳定约束条件 x e
1
钢管所受的压力
F1

FL h

F(B2 h
h2 ) 2
f x0 T
f x0
,
,...


x1
x2
xn

cos1
沿d方向的方向向量
d

cos

2

...
cos

n

即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d

第6章多维约束优化方法

3构成新的复合形 计算映射点目标函数，并与坏点函数值相 比较，若优于坏点，则替换，否则缩半映射系数。M次缩短 后仍不优，则改用次坏点映射方向。
4判断终止条件：
四、特点
（1）复合形法是求解约束非线性优化问题的 一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点 处函数值的大小，就可寻找下一步的探索方向 。但复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足 目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约 束条件。
srand(seed1); seed1+=57; seed1=seed1%10001; dum=random(101)50;
相关技巧为：以累加素数的方法保证每个随机数对应的seed均不同 ，为保证seed不超出unsigned数据类型的范围将其限制在一定范围 之内，以减去中间值的方法保证随机数为正和为负的机率相同。
• 复合形的收缩：因映射系数不断减半，各顶点的距离逐渐缩短
二、初始复合形的构成
随机产生，逐一调入可行域
三、复合形法的迭代步骤
1初始复合形。计算各顶点函数值，确定坏点、次坏点、好点 ；
2计算中心点X0，计算映射点，并检查是否在可行域内。若为 非可行点，将映射系数缩半后改变映射点，直到映射点进入 可行域内；
（１）由randomize(void)、rand(void)产生[0,32767]区间的随机整 数。该方法产生的随机数与时钟有关，适合于两个随机数相差时间 较长的情况，如集中给出随机数，则在当前计算机的运算速度下会 产生相同的随机数。因此随机方向法不能采用这种方法产生随机数 。
（２）由srand(unsigned seed)、random(int num)产生[0,num-1]区 间的随机整数（该随机数与seed的数值有关），可用于随机方向法 。方向列阵的元素不能都是大于零的，因此可由以下程序段产生[50，50]区间内的随机数：
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方法：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的
目标函数 Φ( x, r1 ,r2 )，成为无约束优化问题 。通 过不断调整加权因子，产生一系列Φ函数的极小点 序列 x(k)* (r1(k),r2(k)) k= 0,1,2… ，逐渐收敛到原目标 函数的约束最优解。
G[ gu ( x)] r2 H [hv ( x)] 其中：新目标函数： ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 u 1 v 1
三.可行搜索方向的产生
§第二节
随机方向法
r ，得随机单位向量
i j
从k个随机方向中， 选取一个较好的方向。 1）在(-1,1)区间内产生伪随机数
ej
r1j j r2 1 j e 1 ... n 2 j j r rn i i 1
法
间接解法：内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数
二.
直接解法的基本思想：
合理选择初始点，确定搜索方向，在可行域中寻优，经过若干次迭 代，收敛至最优点。
xk+1= xk+αkdk
dk:: 可行搜索方向。即设计点沿该方向作微量移动时,目标函数值将下
降,且不会超出可行域
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题
4
7 10 13
-0.033
-0.114 -0.077 -0.002
1.024
0.717 -2.998 -3.0
1.025
0.730 -2.997 -3.0
一.
单纯形法：
§第三节
复合形法
X(5)
定义：在 n 维空间中，由 n+1 个点组 成的图形称单纯形。 基本思想：以一个目标函数值较小的 新点，代替原单纯形中目标函数值最 大的顶点，组成新的单纯形，不断地 迭代，逐渐逼近最优点。 二维空间中映射法 比 较 单 纯 形 x(1)x(2)x(3) 的 顶 点 ， f(x(1))>f(x(2))>f(x(3)), x(1)为最坏点， 称为 x(H) ，通过映射得到新点 x(R) ， x(R) ＝ x(S) ＋ a(x(S)-x(H)) 以 x(R) 来代替 x(H) ， 组 成 新的 单 纯形 x(R)x(2)x(3) 。 其中 f(x(R))<f(x(H)); a>1 ；称为映射 因子；
2) 取一试验步长a0，按下式计算k个随机点
x j x0 a0e j
§第二节
随机方向法
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算 余下的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标 函数最小的点xL 。 4) 比较xL 和x0两点的目标函数值: ①若f(xL) <f(x0)，则 取xL 和x0连线方向为可行搜索方向； ②若f(xL) ≥f(x0)，则缩小步长α0 ，转步骤1）重新计算， 直至f(xL) <f(x0)为止。
随机方向法的初始点x0必须是一个可行点，既满足全部 不等式约束条件。 初始点可以通过随机选择的方法产生。
1）输入设计变量的下限值和上限值，即 ai
2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数 q i 3）计算随机点x的各分量
xi bi
xi ai qi (bi ai )
4）判别随机点x是否可行，若随机点可行，用x0←x 为初始点；若非可行点，转到步骤2）重新产生随 机点，直到可行为止。
机械优化设计
×
第六章 约束优化方法
6.1 概 述
6.2 随机方向法 6.3 复合形方法 6.4 可行方向法 6.5 惩罚函数法 6.6 增广乘子法
6.7 非线性规划问题 的线性化解法—线性 逼近法 6.8广义简约梯度法 6.9 二次规划法 6.10结构优化法简述 6.11遗传算 法简述
§第一节 概述
③α0 缩小到很小仍然找不到一个xL，使 f(xL) <f(x0),则 说明x0是一个局部极小点，更换初始点转步骤1）。

§第二节随ຫໍສະໝຸດ 方向法产生可行搜索方向的条件为：
gj xL 0
f x L min f x j j 1, 2, ..., k f x L f x0
特点：①
由于求解过程在可行域内进行；无论迭代计算何时终止, 都可以获得一个比初始点好的设计点; 若可行域是凸集，目标函数是定义在凸集上的凸函数， 则收敛到全局最优点；否则，结果与初始点有关。
§第一节 概述
②
§第一节 概述
三. 间接解法的基本思想： 原理：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。
则可行搜索方向为： d 四、搜索步长的确定


x x
L
0
步长由加速步长法确定： τ为步长加速系数，一般取1.3
五. 计算步骤 1) 选择一个可行的初始点x0; 2) 产生k个n维随机单位向量e j ( j = 1, 2, …, k);
3) 取试验步长0，计算出k个随机点x j ;
2 1 2 2 2 1 1 2
s.t. g x x x 9 0 g x x x 1 0
2 1 2
解：用随机方向法程序，在计算机上运行， 迭代13次，
求得约束最优解：x* = [ 0.0027 3.0]T, f(x*) = 3
迭代次数 0 1 设计变量x1 -2.0 -0.0168 设计变量x1 2.0 1.117 目标函数值 6.0 1.196
m p
惩罚因子：
r1 ,
r2
§第二节
随机方向法
一. 基本思想： 随机产生初始点，随机产生若干个搜索方向dk，并从中 选择一个能使目标函数值下降最快的方向作为可行搜索 方向进行搜索。 确保： ① 新迭代点在可行域中 ② 目标函数值的下降性。
x*
x(1) x(0) x(L)
§第二节
二.初始点的选择
随机方向法
4) 在k个随机点中，找出可行的的随机点xL, 产生可行搜索 方向d= xLx0.
5) 从初始点x0出发，沿可行搜索方向d以步长进行迭代计
算，直到搜索到一个满足全部约束条件，且目标函数值 不再下降的新点x。 6) 若收敛条件满足，停止迭代。否则， 令x0 x转步骤2
例6-1 求下列约束优化问题的最优解 min f x x x
机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设 计问题，其数学模型为
min f ( x ), x R s.t. g j ( x ) 0 j 1,2, , m h ( x ) 0 k 1,2, , l k
n
§第一节 概述
一. 有约束问题解法分类： 直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法