高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法导学案新人教A版必修4

第二章《平面向量》导学案（复习课）【学习目标】1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）.4.了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）.6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）.8.数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.【导入新课】向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直.新授课阶段例1 已知(3,0),(,5)a b k ==r r ，若a 与b 的夹角为43π，则k 的值为_______.解析：例2 对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+ ｜b ｜. 证明：例3 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c ，i ，j . 解：例4 下面5个命题：①|a ·b |=|a |·|b |②(a ·b )2=a 2·b2③a ⊥(b －c )，则a ·c =b ·c ④a ·b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ·b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ）A ．①②⑤ B.③④ C.①③ D.②④⑤ 解析：例 5 已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r，（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值． 解：例6 已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值. 解：课堂小结本章主要内容就是向量的概念、向量的线性运算、向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤.作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=；②||||=；③||||+=-； ④222||||4||,AC BD AB +=u u u ru u u ru u u r其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ） A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．已知||22p =u r ，||3q =r ，,p q u r r 的夹角为4π，如图，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，D 为BC 的中点，则||AD uuu r为（ ）．A ．215B ．215C ．7D ．18二、填空题12．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 13．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .14．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= . 15．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 .三、解答题16．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥.17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.参考答案 例1解析：如图1，设a OA =，43π=∠AOC ，直线l 的方程为5=y ，设l 与OC 的交点为B ，则OB 即为b ， 显然()5,5-=b ，5-=∴k . 例2证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且 ｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜a ｜+｜b ｜；(2)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a .b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞|b |，则|a +b |=|a |-|b |.同理可证另一种情况也成立.例3解：建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是=－3, =， =-3.所以-3=33+，即=3－33.例4解析：根据向量的运算可得到，只有①③对，故选择答案 C 例 5解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，∵(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r， ∴(3,1)AB =u u u r ，(1,)BC m m =---u u u r，而AB u u u r 与BC uuur 不平行，xy ABOCab图1即31m m -≠--，得12m ≠， ∴实数12m ≠时满足条件． （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r，而(3,1)AB =u u u r ，(2,1)AC m m =--u u u r，∴3(2)(1)0m m -+-=，解得74m =． 例6解：(1,)(2,3)(1,3),BC AC AB k k =-=-=--u u u ru u u ru u u rQ0(1,)(1,3)0C RT AC BC AC BC k k ∠∠⇒⊥⇒⋅=⇒⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u rQ 为2313130.k k k ±⇒-+-=⇒=拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 ABCBCDACABA11．提示：A 11()(6)22AD AC AB p q =+=-u u u r u u u r u u u r ur r ，∴222211||||(6)361222AD AD p q p p q q ==-=-+u u u r u u u r u r r u r u r r r g2211536(22)12223cos 3242π=⨯-⨯⨯⨯+=． 二、填空题：12． 120° 13． 矩形 14、 1± 15． 2- 三、解答题： 16．证：()()22b a b a b a b a -=+⇒+=+⇒-=+Θ2222220.a ab b a ab b ab ⇒++=-+⇒=r r r r r r r r r r,a b r rQ 又为非零向量,.a b ∴⊥r r17．()121212234,BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u rQ若A ，B ，D 三点共线，则与共线，,AB BD λ∴=u u u r u u u r设即121224.e ke e e λλ+=-u r u u r u r u u r 由于12e e u r u u r 与不共线,可得： 11222,4.e e ke e λλ==-u r u ru u r u u r故2,8.k λ==-。

高一数学《必修4》导学案 2.5 平面向量数量积的几何、物理背景及应用【课前导学】1．向量在平面几何中的应用：平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a b ⊥⇔ ⇔ .(3)求夹角问题，利用夹角公式：cos ____________________________a b θθ==（是与的夹角）____________．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即__________W F s F s θ=⋅=（是与的夹角）．【课内探究】变式：如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．求证：AF ⊥DE (利用向量证明)．变式2：已知作用于同一物体的两个力1F 、2F ，大小分别是5 N 、3 N ，1F 、2F 所成的角为60°，则合力F 的大小为________；合力F 与1F 的夹角的余弦值为________．【总结提升】 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．【课后作业】1．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b <0，则△ABC 的形状为( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形2．已知作用于原点的两个力F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，现增加一个力F ，使这三个力F 1，F 2，F 的合力为0，则F ＝________.3．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB的两端点分别为O (0，0)，B (1，1)，则AB →·AC →＝________.4．已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P (,)x y 的坐标中,x y 的关系式．宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

教育学习+K12
教育学习+K12 2.5.1 平面几何中的向量方法
1.知识与技能
(1)通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
(2)明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.
2.过程与方法
(1)经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.
(2)体会向量是一种处理几何问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力.
(3)掌握用向量方法解决实际问题的基本方法.
3.情感、态度与价值观
通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学的应用价值、科学价值.
重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.
难点:实际问题转化为向量问题.
向量在几何中的应用
利用向量的知识去研究几何中的直线问题,常可取得意想不到的效果,其证明的基本思想是:将问题中有关的线段表示为向量,然后根据图形的性质和特点,应用向量的运算、运算律和有关的法则,推出所求证的结论.
向量的方法可运用于证明有关直线平行、垂直、线段的相等及点共线等问题,其基本方法有:
(1)要证明两线段AB=CD.可转化为证明,或;
(2)要证明两线段AB∥CD,只要证明:存在一实数λ≠0,使=
λ成立;
(3)要证明两线段AB⊥CD,只要证明它们的数量积=0;
(4)要证A,B,C三点共线,只要证明,存在一实数λ≠0,使=
λ;或若=a ,=b ,=c,只
要证明存在一个实数t,使c=t a+(1-t)b.。

2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法整体设计教学分析1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.前三种方法都是中学数学中出现的内容.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.推进新课新知探究提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.图2证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD 2=2(AB2+BC2).图3方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系DB=AB-AD,AC=AB+AD,教师可点拨学生设AB=a,AD=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算|AC|2与|DB|2.因此有了方法三.方法三:设AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b,|AB|2=|a|2,|AD|2=|b|2.∴|AC|2=AC·AC=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2. ①同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2. ②观察①②两式的特点,我们发现,①+②得|AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+|AD|2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法.③略.应用示例图4例1 如图4, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图4, 设AB =a ,AD =b ,AR =r ,AT =t ,则AC =a +b . 由于与共线,所以我们设r =n(a +b ),n∈R . 又因为EB =AB -AE =a -21b , 与共线, 所以我们设=m =m(a -21b ). 因为ER AE AR +=, 所以r =21b +m(a -21b ). 因此n(a +b )=21b +m(a -b ), 即(n-m)a +(n+21-m )b =0. 由于向量a 、b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得n=m=31. 所以=31, 同理TC =31AC . 于是RT =31. 所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.变式训练图5如图5,AD 、BE 、CF 是△A BC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点.证明:设BE 、CF 相交于H,并设AB =b ,AC =c ,AH =h ,则BH =h -b ,CH =h -c ,BC =c -b .因为BH ⊥AC ,CH ⊥AB ,所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0,即(h -b )·c =(h -c )·b .化简得h ·(c -b )=0.所以AH ⊥BC . 所以AH 与AD 共线, 即AD 、BE 、CF 相交于一点H.图6例2 如图6,已知在等腰△A BC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值.活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),OA =(0,a),=(c,a),OC =(c,0),BC =(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以BB =21(+)=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ), 同理'CC =(2,23a c ). 因为BB′⊥CC′,所以22449a c +-=0,a 2=9c 2. 所以cosA=54299||||2222222=+-=+-=•c c c c c a c a AC AB ACAB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.变式训练图7(2004湖北高考) 如图7,在Rt△A BC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:BC PQ 与的夹角θ取何值时,CQ BP •的值最大?并求出这个最大值.解:方法一,如图7.∵AB ⊥AC ,∴AB ·AC =0.∵AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,,,∴)()(AC AQ AB AP CQ BP -•-=•=AC AB AQ AB AC AP AQ AP •+•-•-•=-a 2-AP AC +AB ·AP =-a 2+AP ·(AB -AC )=-a 2+21PQ ·BC =-a 2+a 2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0,PQ 与BC 的方向相同时,CQ BP •最大,其最大值为0.图8方法二:如图8.以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).∴BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y).∴CQBP•=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵cosθ=2||||a bycxBCPQ -=∴cx-by=a2cosθ.∴CQBP•=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,PQ与BC的方向相同时, CQBP•最大,其最大值为0.知能训练图91.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠A BC是圆周角.求证:∠A BC=90°.证明:如图9.设=a,=b,则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因为·BC=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以AB⊥BC.由此,得∠A BC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D、E、F分别是△A BC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C 出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△D EF的重心不变.图10证明:如图10.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△D EF 的重心坐标为(3,3m m a +).当t=0或t=1时,△A BC 的重心也为(3,3m m a +),故对任一t 1∈[0,1],△D EF 的重心不变.点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△A BC 的重心和时刻t 1的△D EF 的重心相同即可.课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.作业课本习题2.5 A 组2,B 组3.设计感想1.本节是对研究平面几何方法的探究与归纳,设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇,提高学生综合解决问题的能力.3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.。

1高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法导学案新人教A 版必修4 学习目标1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系. 学习过程一、课前准备（预习教材P109—P111）复习：（1）若O 为ABC 重心,则OA +OB +OC =（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC = 12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为 .类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?（3）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？二、新课导学 ※ 探索新知问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，AC AB AD=-，你能发现平行四边形对角线=+，DB AB AD的长度与两条邻边长度之间的关系吗？结论：23结论：问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？⑴⑵⑶※ 典型例题1、在ABC ∆中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，判断ABC ∆的形状.42、设ABCD 是四边形，若AC BD ⊥，证明：2222AB CD BC DA +=+三、小结反思1、在梯形ABCD 中，CD // AB,E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝12（AB ＋CD ）.求证：EF// AB// CD.2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

课后作业1. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两5点，且|AB|＝23，则OA→·OB→＝________.2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)，B(2,3)，C(－2,－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．6。

实现向量与物理之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题.（预习教材P111—P112）二、新课导学※探索新知问题1：向量与力有什么相同点和不同点？结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量到同一作用点上.问题2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.问题3：向量的数量积与功、动量有什么联系？结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即cos ,W F S F S =⋅，功是一个实数，它可正，也可负.⑵在解决问题时要注意数形结合.※ 典型例题例1、用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量10N ，则每根绳子的拉力大小是多少？例2、一条河宽为400m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20/km h .水速为12/km h ，则船到达B 处所需时间为多少分钟？例3、已知两恒力()13,4F 、()26,5F -作用于同一质点，使之由点()20,15A 移动到点()7,0B ，试求：⑴12,F F 分别对质点所做的功；⑵12,F F 的合力F 对质点所做的功三、小结反思1、理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决物理问题.2、选择适当的方法，将物理问题转化为向量问题加以解决.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、点P 在平面上作匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)2、作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)F F ，为使它们平衡，需要加力3F =_______3、已知一物体在共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．21. 一物体受到相互垂直的两个力F 1、F 2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为( ) A ．103N B ．0NC ．56N D.562N2. 一条宽为3km 的河，水流速度为2km/h ，在河两岸有两个码头A 、B ，已知AB ＝3km ，船在水中最大航速为4km/h ，问该船从A 码头到B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B 码头？用时多少？。

2.5.平面几何中的向量方法-人教A版必修四教案一、课程目标•掌握平面向量的概念和基本性质。

•掌握平面向量的加、减、数乘、内积及其运算性质。

•能够解决平面向量的坐标表示、模长、夹角、共线、垂直问题。

•能够应用向量的基本运算解决平面解析几何问题。

•提高学生的空间想象能力，提高分析和解决问题的能力。

二、教学内容1.平面向量的概念和基本性质2.平面向量的加、减、数乘及其运算性质3.平面向量的内积及其运算性质4.平面向量的坐标表示5.平面向量的模长、夹角、共线、垂直问题6.向量在平面解析几何中的应用三、教学重点1.平面向量的加、减、数乘及其运算性质2.平面向量的模长、夹角、共线、垂直问题四、教学难点1.向量在平面解析几何中的应用2.平面向量的坐标表示五、教学方法1.演示法2.课堂练习 + 错题讲解3.讨论式教学4.课外练习六、教学过程第一步课前预热（5分钟）通过简单的问题，复习平面坐标系的基本知识，引出平面向量的概念。

第二步导入新课（10分钟）介绍平面向量的概念，讲解向量的定义、模长、方向等基本概念。

第三步课堂练习（25分钟）针对向量的加减法，数乘等基本运算，出示题目进行讲解。

第四步知识扩展（10分钟）引出向量的内积、共线、垂直等概念，对一些难题进行分析，讲解解决方法。

第五步讨论式教学（20分钟）分组讨论解决一些和生活实际问题相关的向量问题，提高学生的分析和解决问题的能力。

第六步课堂总结（10分钟）对本节课学习的重难点知识进行总结和回顾，为后续课程打好基础。

七、教学评价本课程利用多种教学方法，如演示法、课堂练习、讨论式教学等，有利于提高学生的学习效果和兴趣。

在教学过程中，着重讲解了向量的加减法、数乘及其运算性质，以及向量坐标、模长、夹角、共线、垂直等基本概念。

通过分组讨论等互动形式，提高了学生的空间想象能力和分析解决问题的能力。

后续需要加强对向量在平面解析几何中的应用知识的讲解，提高学生的应用水平。

§2.5.1 平面几何中的向量方法学习目标：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题．⒉培养和发展运算能力和解决实际问题的能力．⒊体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力．教学重点：平面几何中的向量方法．教学难点：平面几何中的向量方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：222222+=+++．AC BD AB BC CD DA分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到AC AB AD=-，我=+，DB AB AD们计算2||||BD．AC和2证明：不妨设AB=a，AD=b，则AD=|b|2．||AC=a+b，DB=a-b，2AB=|a|2，2||∴2AC AC AC=⋅=( a+b)·( a+b)||= a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理2DB=|a|2-2a·b+|b|2．②||①+②得2||AB+2AD)．||AC+2||||DB=2(|a|2+|b|2)=2(2所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略．师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．解：设AB =a，AD =b，则AC =a+b．∵AR与AC共线∴存在实数m，使得AR=m(a+b)．又∵BR与BE共线∴存在实数n，使得BR=n BE= n(12b- a)．由AR AB BR=+=AB +n BE，得m(a+b)= a+ n(12b- a)．整理得(1)m n+-a＋1()2m n-b＝0．由于向量a、b不共线，所以有1012m nm n+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1323mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以13A R A C=．同理13T C A C=．于是13R T A C=．所以AR＝RT＝TC．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法．例3已知△ABC三条高线AD、BE、CF，求证：AD、BE、CF交于一点．分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题．解：如图，以BC所在直线为x轴，过点A垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A、B、C三点的坐标分别为(0,)A a，(,0)B b，(,0)C c，且BE、CF交于点(,)H x y，则(,)BH x b y=-，(,)CH x c y=-，(,)AC c a=-，(,)AB b a=-．∵BH AC⊥，CH AB⊥，∴()0()0c x b ayb xc ay--=⎧⎨--=⎩，解得0x=．所以，点H在y轴上，即点H在AD上，AD、BE、CF交于一点．（Ⅲ）课后练习：课本125P练习习题2.5 B组⒊（Ⅳ）课时小结:几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来替代“数和数的运算”.这就是把点、线等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线的相应结果．如果把代数方法简单地表述为［形到数］——［数的运算］——［数到形］，则向量方法可以简单的表述为［形到向量］——［向量的运算］——［向量和数到形］．（Ⅴ）课后作业：⒈课本125P 练习 习题2.5 A 组 ⒈⒉⒉预习课本124P ～125P ，思考下列问题：⑴怎样把物理问题转化为数学问题？⑵如何用数学模型来解释相应的物理现象？教学后记:§2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标：⒈学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算．⒉培养探究意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力．⒊体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性．教学重点：向量在物理中的应用．教学难点：向量在物理中的应用．教学方法：讨论式．教具准备：用《几何画板》演示例3、例4．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量在物理中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos 2G θ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．（用《几何画板》演示）师：请同学们结合刚才课件的演示，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？生：当0θ=时，|F 1|最小，最小值是12|G |，当120θ=时，|F 1|=|G |． 例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：||v 96=，所以， 60 3.1||96d t v ==⨯≈(min)． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．（Ⅲ）课后练习：课本126P 练习 习题2.5 B 组 ⒈⒉（Ⅳ）课时小结:⑴用向量知识解决物理问题的一般思路是：物理问题−−−→转化数学问题−−−→利用向量运算−−−→得到物理问题的结论．⑵力、速度、位移的分解与合成中，涉及到向量长度的有关问题，通常用平方的技巧，然后转化到向量的数量积上来．（Ⅴ）课后作业：课本125P 练习 习题2.5 A 组 ⒊⒋板书设计：教学后记:。

2.5.1平面几何中的向量方法教学目的：1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程：一、复习引入：1. 两个向量的数量积：2. 平面两向量数量积的坐标表示:3. 向量平行与垂直的判定:4. 平面内两点间的距离公式：5. 求模：练习教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.二、讲解新课：例1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.证明：设例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：AD，BE，CF相交于一点.例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？思考2：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.例4．如图，□ ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？课堂小结用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.课后作业1.阅读教材P.109到P.111;2. 《习案》作业二十五.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。