上海同济初级中学数学旋转几何综合单元综合测试（Word 版 含答
案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy
规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.
（1）连接OP ，求线段OP 的长；
（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，
【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（
32
，3）或（6，12）． 【解析】
【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ
=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；
（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对
角线时，此时点D是对角线的交点，求出点D的坐标即可；②取OJ=JN=CJ，构造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交与点D，然后由所学的性质，求出点D的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，
∵AP∥OB，
∴∠PAC=60
θ=︒，
∵PC⊥OA，
∴∠PCA=90°，
∵点P的斜坐标是()
3,6，
∴OA=3，AP=6，
∴
1 cos60
2
AC
AP
︒==，
∴3
AC=，
∴22
6333
PC=-=，336
OC=+=，
在Rt△OCP中，由勾股定理，得
22
6(33)37
OP=+=；
（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：
由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，
∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，
∴∠COP=∠BOQ，
∵OB=OC=6，
∴△COP≌△BOQ（SAS）；
∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，
∴∠EBQ=60°，
∵EQ∥OC，
∴∠BEQ=60°，
∴△BEQ是等边三角形，
∴BE=EQ=BQ=3，
∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，
∵点Q在第四象限，
∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；
（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：
由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，
∴点D为OP的中点，
∵点P的坐标为（3，6），
∴点D的坐标为（3
2
，3）；
②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，
∵∠COJ=60°，
∴△OCJ是等边三角形，
∴∠CJN=120°，
作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：
∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，
∴△CJD≌△NJD（SAS），
∴∠JCD=∠JND=90°，
则由角平分线的性质定理，得CD=ND；过点D作DI∥x轴，连接DJ，
∵∠DJN=∠COJ=60°，
∴OI∥JD，
∴四边形OJDI是平行四边形，
∴ID=OJ=JN=OC=6，
在Rt△JDN中，∠JDN=30°，
∴JD=2JN=12；
∴点D的斜坐标为（6，12）；
综合上述，点D的斜坐标为：（3
2
，3）或（6，12）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．
2．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，
20
3
AD ，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E
关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向
所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长．
【答案】（1）4；3 （2）3或
163 （3
）25125253243-、、103 【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解BE 即可，
（2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案，
（3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA′，从而可得答案．
【详解】
解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，203AD =
，
由勾股定理得：253BD ==． 11,22
ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅． 25
3
2053 4.AB AD AE BD ⨯⋅∴=== 在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝4，
由勾股定理得：BE ＝3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称的性质可知，∠1＝∠2．
由平移性质可知，AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．
