2021中考数学圆与角平分线复习教案设计

《与圆有关的角》教学设计——《圆》复习课【教学目标】1．进一步认识与圆有关的角及它们之间的相互关系.2．在综合运用圆心角定理、三量关系定理、圆周角定理及推论、圆内接四边形性质定理及推论解决问题的过程中，感悟转化等数学思想方法，归纳总结解题的基本方法，积累活动经验.3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.【教学重点与难点】教学重点：圆中与角有关性质的综合应用.教学难点：借助弧将圆中角灵活进行转化.【评价设计】1．通过“知识梳理”检测学生对目标1的达成.2．通过“综合运用”的变式训练以及“即时检测”，检测目标2的达成.【教学过程】一、开门见山，导入新课：【教师活动】这节课我们来复习与圆有关的角.（板书课题）【学生活动】默读学习目标.二、知识梳理，形成体系1．【教师活动】提问：我们学过哪些与圆有关的角？【学生活动】先独立完成，然后集体交流，学生举手回答.2． 求下面各图中的αα=α= α=【学生活动】1．独立完成，结合练习回顾圆中学过的与角有关的性质.2．集体交流，交流时重点展示思路.【教师活动】1． 倾听学生展示的不同思路.2．引导学生提炼解决问题所运用的知识方法.【设计意图】这组练习设计起点低，指向明，容量大，将所要复习的圆心角定理，圆周角定理及推论、圆内接四边形性质定理及推论等包含其中，既考查了学生对这些定理的记忆、理解和简单的应用，又回顾了圆中常用的辅助线添加方法，使学生获取了更多的解题经验，简洁高效.【问题应对】部分学生不会找圆中角与角之间的关系，其根源是没有掌握联系圆中角与角之间关系的桥梁——“弧”的作用，因此在讲解时教师要不断向学生强化如何顺着“弧”找角，由角找“弧”.三、变式练习，巩固提升例：如图，已知半圆的直径AB =6cm ，CD 是半圆上长为2cm 的弦，分别连接AC 、BD 并延长，交于点P ，当弦CD 在半圆上滑动时，A B A B （2）请尝试解决下列问题 （1）当CD 滑动到P A =PB 时，从图中你能得出 哪些不同的结论，并说明理由（至少写出2条）【学生活动】1．先独立完成.2．集体交流不同结论.3．小组内口头交流说明理由.【教师活动】1．抽学生展示不同的结论.2．将学生得出的结论进行归类. 【设计意图】结论开放性问题的设计，注重了基础性和思维性，能面向全体学生，题目虽然简单，但结论有很多，学生在一题多思中培养了思维的灵活性和口头表达能力以及规范的几何书写习惯. 同时通过知识间的横向整合，深化了对知识的理解，拓宽思路，有效的培养了学生思维的创造性.【问题应对】对学生得出的结论，教师要及时进行总结提升：与圆有关的角相关定理为我们证明线段相等，三角形相似，线段平行，弧等等结论提供了重要的依据.（2）当点C 滑动到什么位置时，DC 平分∠PDA ？ 【学生活动】1．独立完成. 2．集体交流展示分析过程.【教师活动】1． 倾听学生的讲解.2． 总结提升证明圆外角与圆内角相等的思路：将圆外角转化到圆内，再将问题转化为证明两条弧等.A BDC P DC P【设计意图】本例条件开放性问题的设计，有效地激发了学生敢于思考问题，主动参与知识的建构过程，培养了学生思维的灵活性和创造性等良好数学品质，提高了学生逆向思维的能力，同时向学生渗透了“转化”的数学思想方法.【问题应对】问题解决后，教师引导学生概括提炼解决“添加条件”问题的常规解题策略，向学生强调解题格式. （3）当CD 滑动到使点D 是弧BC 的中点时，写出图中相等的线段，并说明理由【学生活动】1．先独立思考完成在导学案上.2．集体交流展示分析过程. 【教师活动】1．倾听学生的讲解.2．总结提升圆中证明线段相等的方法.【设计意图】结论开放性问题的设计，有效的培养了学生的发散思维能力，激发了学生的学习兴趣，增强了学习的内驱力，使学生对数学探索产生浓厚兴趣.【问题应对】教师要适时追问学生：得到的两组相等线段你分别运用了什么数学知识？引导学生归纳出圆中证线段相等常用的方法：全等和三量关系定理，继而对三量关系定理内容进行回顾. 同时向学生强化圆中常用的辅助线——“见直径，想直角”.(4) CD 在滑动的过程中，∠P 是定值吗？若是，试求出∠P 的正弦值；若不是，请说明理由【学生活动】1．先独立思考完成在导学案上.A B D C PA D C P O2．抽生集体交流展示分析过程.【教师活动】1．倾听学生的讲解.2．总结提升解决运动问题中找不变量的方法.【设计意图】通过本例一是让学生在解题过程中体会变化中的不变思想，并掌握解决这类动态问题的基本策略；二是训练学生的空间观念、几何直观能力和转化思想；三是提高学生利用直角三角形，三角形相似，三角函数等知识解决圆的综合性问题能力.【问题应对】教师出示口头变式练习：若PC =x ，PB =y ，求y 与x 之间的函数关系. 将圆与函数的知识问题进行结合，进一步强化圆中“A ”形相似基本构图的应用.四、即时检测，自我评价已知：如图，BE 是ABC ∆的外接圆O 的直径，BD 是ABC ∆的高(1)求证：AB •BC =BE •BD(2)已知AB =8，4sin =5C ，求⊙O 的直径【学生活动】1先独立思考完成在导学案上.2小组内交流展示分析过程. 【教师活动】 深入小组了解学生完成的情况.【设计意图】在学生掌握本节课知识的基础上设计的此道题，使本节课的教学难点得到进一步理解，同时对学生的学情也是一个很好的检测。

初中数学圆的复习教案一、教学目标1. 回顾和掌握圆的基本概念、性质和定理；2. 提高学生解决直线与圆、圆与圆位置关系的几何问题能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

二、教学内容1. 圆的基本概念和性质；2. 直线与圆的位置关系；3. 圆与圆的位置关系；4. 圆的应用问题。

三、教学过程（一）复习导入（5分钟）1. 复习圆的基本概念：圆的定义、圆心、半径等；2. 复习圆的性质：圆的对称性、周长、面积等；3. 引导学生回顾圆的画法和相关工具。

（二）直线与圆的位置关系（15分钟）1. 讲解直线与圆的相交、相切、相离三种情况；2. 引导学生掌握垂径定理及其推论；3. 举例讲解直线与圆的位置关系在实际问题中的应用。

（三）圆与圆的位置关系（15分钟）1. 讲解圆与圆的相交、相切、相离三种情况；2. 引导学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；3. 举例讲解圆与圆的位置关系在实际问题中的应用。

（四）圆的应用问题（15分钟）1. 讲解圆的周长、弧长、扇形面积等概念；2. 引导学生掌握圆的周长、弧长、扇形面积的计算方法；3. 举例讲解圆的应用问题在实际问题中的应用。

（五）课堂练习（10分钟）1. 针对本节课的内容，设计一些填空题、选择题和计算题；2. 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和反馈。

（六）总结与反思（5分钟）1. 引导学生回顾本节课所学内容，总结直线与圆、圆与圆的位置关系及应用；2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑问；3. 强调圆的知识在实际生活中的应用价值。

四、教学评价1. 课堂练习的完成情况；2. 对直线与圆、圆与圆位置关系的理解和应用能力；3. 学生的提问和解答问题的能力。

五、教学资源1. 教学PPT；2. 练习题；3. 几何画板等教学工具。

六、教学建议1. 注重学生的参与，鼓励学生积极提问和解答问题；2. 结合生活中的实例，让学生感受圆的知识在实际中的应用；3. 加强对学生几何画板等工具的指导，提高学生的动手能力。

（名师整理）最新中考数学专题复习《角平分线定理》精品教案中考数学人教版专题复习：角平分线定理考点考纲要求分值考向预测本类问题主要考查填空、选1.理解并掌握角平线定义、角择题，内容以角平分线定理角平分3～5平分线定理及逆定理；为主，难度不大，各省市题定理分2.应用定理解决问题。

量也不多，但要注意在综合性问题中应用这一知识点。

考点精讲1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2.三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【重要提示】①三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

1②三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。

3.角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（利用全等三角形进行证明ASA）4.角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

【方法指导】1.三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。

有时候做三角形面积问题时经常使用。

2.当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。

3.有角平分线考虑向角两边作垂线。

4.三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。

【随堂练习】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD△是ABC的一条角平分线。

若CD=3，则△ABD的面积为。

2答案：解：作DE⊥AB于E。

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3。

∴△ABD的面积为1×3×10=15。

故答案是15。

2思路分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E。

根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。

第8讲圆知识点1 圆的有关性质1. 基本性质①圆心角的度数和它所对弧的度数相等；②同圆或等圆的半径相等；③圆既是轴对称图形（无数条对称轴），又是中心对称图形，具有旋转不变性；④圆内接四边形的对角互补.2. 圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量也分别相等.3. 圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径；推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.注意：等弧指的是能互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧.【典例】1.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，AD̂=CD̂，求：∠BCD 的度数．2.如图，AB是⊙O的直径，C是BD̂的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．【方法总结】方法：解决与圆有关的角度的计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等、同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别的，当有直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质. 【随堂练习】1.下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）面积相等的两个圆是等圆；（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧；（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A. 80°B. 120°C. 100°D. 90°4.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=2cm，则⊙O的周长为（）A. 4πcmB. 6πcmC. 8πcmD. 10πcm5.AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（）A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°6.如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是AB̂上的点，E是AĈ上的点，若∠BAC=50°，则∠D+∠E的度数为（）A. 220°B. 230°C. 240°D. 250°7.如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（）A. 3﹣√5B. 3√2−√10C. 3√10﹣√2D. 3√2﹣√102知识点2 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 【典例】1.如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB=CD=8．（1）求证：AC=BD；（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形．【方法总结】如图：在⊙O中，CD，AB（非直径）为弦.结论：①AB⊥CD；②AE=BE；③AD̂=BD̂；④AĈ=BĈ；⑤CD为直径.由其中任意2个都能推出其他3个.常作辅助线：连接OB.关于垂径定理的题目常与勾股定理、垂直的证明等相结合.【随堂练习】1.如图，坐标平面内，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线l通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为（）A. ﹣2√14B. ﹣2√5C. ﹣8D. ﹣72.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A. 3cmB. √6cmC. 2.5cmD. √5cm3.如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10√7千米的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A 城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（）A. 10小时 B. 10小时 C. 5小时 D. 20小时34.如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为4√2，则a的值是（）A. 4B. 3+√2C. 3√2D. 3+√3知识点3 圆的切线1. 点、直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d1，圆心O到直线l的距离为d2.①点P在⊙O外⇔r＞d1；②点P在⊙O上⇔r＝d1；③点P在⊙O内⇔r＜d1；④直线l和⊙O相交⇔r＜d2；⑤直线l和⊙O相切⇔r＝d2；⑥直线l和⊙O相离⇔r＞d2.2. 切线的性质与判定切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.推论：①经过圆心且垂直于切线的直径必过切点；②经过切点且垂直于切线的切线的直线必过圆心.切线的判定方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线；③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.常做辅助线：连接圆心和切点.3. 切线长即切线长定理切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【典例】1.如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB.（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．【方法总结】证明直线和圆相切，一般有两种情况：①已知直线和圆有公共点，这时连接圆心与公共点，证明该半径与已知直线垂直，简称“连半径，证垂直”；②不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线的垂线段，证明此垂线段的长度等于半径，简称“作垂直，证半径”.【随堂练习】1.如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）A. 3B. 3√3C. 6D. 6√33.如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的（）A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点C. 三个角的角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点4.如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（）B. 若MN与⊙O相切，则AM=√3A. MN=4√33C. l1和l2的距离为2D. 若∠MON=90°，则MN与⊙O相切知识点4 三角形的外心与内心1. 确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆.反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得到原命题题成立，这种判定方法叫做反证法.2. 三角形的外心外心：三角形三边垂直平分线的交点，即外接圆的圆心.如图：性质：外心到三角形三个顶点的距离相等.3. 三角形的内心内心：三角形三个内角的平分线的交点，即内切圆的圆心.如图：性质：内心到三角形三边的距离相等.拓展：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.【典例】1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，I是Rt△ABC的内心，连接CI，AI，求△CIA外接圆的半径.【方法总结】拓展：如果三角形的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形的面积S=1（a+b+c）r.2【随堂练习】1.如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF=70°，那么∠B=（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为（）A. 110°B. 125°C. 130°D. 140°3.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=33°，则∠BEC=（）A. 66°B. 114°C. 123°D. 132°4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙I为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则AI 的长为（ ）A. 1B. 2C. √5D. 5知识点5 与圆有关的计算1. 多边形与圆在正n 变形中，R n 为正n 边形的半径，有下列关系： ①边长：a n =2R n ·sin180°n； ②周长：P n =n ·a n ； ③边心距：r n =R n ·cos 180°n； ④面积：S n =12a n ·R n ·n ；⑤内角度数：(n−2)×180°n ； ⑥外角度数：360°n ；⑦中心角度数：360°n.2. 弧长与扇形的面积若一条弧所对的圆心角是n °，半径是R ，弧长l=nπR 180.若一个扇形的圆心角是n °，半径是R ，弧长为l ，则S 扇形=nπR²360=12lR. 拓展：S 弓形=S 扇形±S △. 3. 圆锥的侧面积与全面积若一个圆锥的底面半径为r ，母线长为a ，则S 全=S 侧+S 底=πra+πr ².【典例】1.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为BB′̂，求图中阴影部分的面积．【方法总结】求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法；④对称转化法.【随堂练习】1.用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（）A. 4B. 6C. 16πD. 82.如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是（）A. 50π﹣50√3B. 50π﹣25√3C. 25π+50√3D. 50π3.如图，在矩形ABCD中AB=√2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D，点A恰好落在矩形ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积为（）A. π8B. 2√2﹣π2C. √2−π3D. π64.如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD 为半径画弧交AB于E点，若AB=4，则图中阴影部分的面积是（）A. 712π+√32B. 512π C. 712π−√32D. 23π综合运用1.如图，⊙A过点O（0，0），C（√3，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是__________.2.如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，则△PED的周长为__________．3.如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_______________．4.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E=∠F时，则∠ADC=_______°；（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．5.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=12cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面所在圆的半径．6.已知：如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是AN̂的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为多少？7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8．（1）求⊙I的半径；（2）求线段OI的长．8.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为点E，过点C 作DA的平行线与AF相交于点F．已知AC =CD.求证：FC是⊙O的切线．。

2021年北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“角的计算”中的一个知识点。

在此之前，学生已经学习了角的概念、分类和度量。

角平分线的引入，既是对角概念的深化，也是对角度量方法的扩展。

它不仅有助于提高学生的空间想象力，还能够培养学生的几何思维能力。

二. 学情分析八年级的学生在数学学习方面已经有了一定的基础，对于角的概念和度量方法有一定的了解。

但学生在空间想象力方面参差不齐，对于抽象的几何概念的理解和运用还有待提高。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等多种方式，理解和掌握角平分线的性质和运用。

三. 教学目标1.知识与技能：理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，能够运用角平分线解决一些简单的几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等活动，培养学生的空间想象力，提高学生的几何思维能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义和性质。

2.难点：角平分线的运用和证明。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、直观演示法等多种教学方法，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的几何思维能力。

六. 教学准备1.教具：直尺、圆规、三角板、多媒体设备。

2.学具：每位学生准备一套几何画图工具，包括直尺、圆规、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例引入角平分线的概念，如：“在修筑公路时，如何确定两条路的交叉口的角度？”引导学生思考，角平分线在实际生活中的应用。

2.呈现（10分钟）呈现角平分线的定义和性质，引导学生通过观察、操作、思考，总结出角平分线的性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，尝试用角平分线解决一些简单的几何问题，如：“已知一个三角形的两个角，如何求第三个角？”4.巩固（10分钟）学生独立完成一些有关角平分线的练习题，巩固所学知识。

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圆专题复习学生姓名: 指导教师：黄浩桓知识点归纳一、圆的基本性质1、圆的有关概念（1）圆 (2）圆心角（3）圆周角 (4）弧（5）弦2、圆的有关性质(1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．(3)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径3．三角形的内心和外心：（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心:三角形外接圆的圆心,简称外心。

与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理（3）三角形的内心：在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．二、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系（1）相离（2）相切（3）相交2.切线的定义和性质：若直线只与圆交与一点,则这条直线被称为圆的切线. 切线与圆的半径所在直线垂直。

从圆外一点引同一个圆的两条切线,切点与圆外一点之间的的距离相等。

中考数学复习圆专题复习授课设计【授课笔录】一、与圆有关的计算问题（重点）1、扇形面积的计算Sn R 21lR 扇形： 扇形面积公式360 2n ：圆心角R ：扇形对应的圆的半径：扇形弧长S ：扇形面积圆锥侧面张开图：（1）S 表S侧S底=Rrr 2V1r 2h（ 2）圆锥的体积：3n R 2、弧长的计算： 弧长公式l180 ；3、角度的计算二、圆的基本性质（重点）1、切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径．2、圆周角定理： 一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；推论：（ 1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（ 2）相等的圆周角所对的弧也相等。

（ 3）半圆（直径）所对的圆周角是直角。

（ 4） 90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。

3、垂径定理定理： 垂直于弦的直径均分这条弦 ,并且均分这条弦所对的两段弧推论： （ 1）均分弦 (不是直径 )的直径垂直与这条弦 ,并且均分这条弦所对的两段弧（ 2）弦的垂直均分线经过圆心 ,并且均分这条弦所对的弧（ 3）均分弦所对的一条弧的直径垂直均分这条弦,并且均分这条弦所对的另一条弧（ 4）在同圆也许等圆中 ,两条平行弦所夹的弧相等三、圆与函数图象的综合一、与圆有关的计算问题【例 1 】（ 2016 ?资阳） 在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=2 ，以点 B 为圆心， BC 的长为半径作弧，交 AB 于点 D ，若点 D 为 AB 的中点，则阴影部分的面积是（）A ． 2 ﹣ πB ． 4 ﹣πC ． 2 ﹣ πD ． Sn R 2 1lR π3602【解答】 解：∵ D 为 AB 的中点，∴BC=BD=S n R 21lR AB ，∴∠ A=30° ，∠ B=60°．∵ AC360 2n R 21=2SlR3602 ，∴ BC=ACSn R 21lR 21lR =2 ，∴ S 阴影 =S △ AB C ﹣ S 扇形 CB D =?tan30 °=2360 2 ? S nR36022Sn R 2 12n R 21S n R360lRnR1lR =2SlR1lR ×22×2﹣S3602 ﹣ π．360 23602应选 A ．【例 2 】（ 2014 ?资阳） 如图，扇形 AOB 中，半径 OA=2 ，∠ AOB=120° ， C 是 的中点，连接 AC 、BC ，则图中阴影部分面积是（）A ． ﹣2B ．Sn R 21lR ﹣2C ．﹣D ．﹣360 2解答： 连接 OC ，∵∠ AOB=120° ， C 为弧 AB 中点，∴∠ AOC= ∠ BOC=60° ，∵ OA=OC=OB=2 ，∴ △AOC 、 △BOC 是等边三角形，∴ AC=BC=OA=2 ，21lR =Sn R 21 l R， △ BOC 边BC∴ △AOC 的边 AC 上的高是Sn R 36023602Sn R 21lR 上的高为360 2 ，2/21n R 21n R 2Sn R 21 lRn R 21∴阴影部分的面积是 SlR ﹣ S3602 lR ﹣ 1lR ×2×+ S360 2 36023602S n R2 S n R 21lR2 Sn R 21lR1lR ×2×3602 = Sn R1lR π﹣23602 ，应选 A ．360 2360 2【例 3】（ 2013?资阳） 钟面上的分针的长为 1，从 9点到 9点 30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）A2B21lR πC21lR πD π．Sn R 1lR π． S n R． S n R．360 2360 2360 2解答 从 9点到 9点 30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，：Sn R 21lR = π．应选： A ．则分针在钟面上扫过的面积是：3602【例 4】（ 2015 成都） 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙ O ，半径为 4，则这个正六边形的边心距OM 和 BC 弧线的长分别为（ ）A ． 2，B ． ，C ． ，D ． ，【课后练习】1、（2015 南充） 如图， PA 和 PB 是⊙ O 的切线，点 A 和 B 的切点， AC 是⊙ O 的直径，已知∠ P=40°，则∠ ACB 的大小是（B ）A ．40°B ． 60°C ． 70°D ．80°2、（2015 达州） 如图，直径 AB 为 12 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 旋转到点 B ′，则图中阴影部分的面积是（B ）A ． 12πB ． 24πC ． 6πD ． 36π3/213、（2015 内江）如图，在⊙ O 的内接四边形ABCD 中， AB 是直径，∠ BCD =120 °，过 D 点的切线PD 与直线 AB 交于点 P，则∠ ADP 的度数为（）A ． 40°B． 35°C． 30° D ． 45°剖析：连接BD ，∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB 是直径，∴∠ ADB =90°，∠ ABD =90°-∠ DAB=40°，∵ PD 是切线，∴∠ ADP =∠ B=40°．应选 A ．4、（ 2015 自贡）如图， AB 是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，∠ CDB＝ 30°， CD＝，则阴影部分的面积为A． 2πB．πC．D．剖析：∠ BOD＝ 60°5、（2015凉山州）如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠ OBC=40 °，则∠A 的度数为（）A ． 80° B． 100° C． 110° D ． 130°6、（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为 4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径（）A ． 1cmB ． 2cm C． 3cm D ． 4cm7、（2015泸州）如图， PA、 PB 分别与⊙ O 相切于 A、B 两点，若∠ C=65°，则∠ P 的度数为（）A．65°B． 130°C．50°D． 100°8、（ 2015 眉山）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠ ACO=450，则∠ B 的度数为（）A． 300B． 350C． 400 D 4509、（2015 巴中） 如图，在⊙ O 中，弦 AC ∥半径 OB ，∠ BOC=50°，则∠ OAB 的度数为（）A ．25°B ． 50°C ． 60°D ．30°10 、（ 2015 攀枝花） 如图，已知⊙ O 的一条直径 AB 与弦 CD 订交于点 E ，且 AC=2， AE= ， CE=1，则图中阴影部分的面积为（） A ．B ．C ．D ．11 、（ 2015 甘孜州） 如图，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为 90°，连接 AB ，则图中阴影部分的面积 是 （）A ． π﹣ 2B ． π﹣ 4C ．4π﹣ 2D ． 4π﹣ 412 、（ 2015 达州） 已知正六边形 ABCDEF 的边心距为 cm ，则正六边形的半径为 cm ．13 、（ 2015 自贡） 如图，已知 AB 是⊙ O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC ， CD 与⊙ O 相切于 D 点．若 CD ＝ ，则劣弧 AD 的长为．14、（ 2015 遂宁） 在半径为 5cm 的⊙ O 中， 45°的圆心角所对的弧长为cm ．15、（ 2015 宜宾） 如图， AB 为⊙ O 的直径，延长 AB 至点 D ，使 BD =OB ， DC 切⊙ O 于点 C ，点 B 是Sn R 2 1 lR3602的中点，弦 CF 交 AB 于点 E ． 若⊙ O 的半径为 2，则 CF = ．16 、（ 2015 泸州） 用一个圆心角为 120°，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．17 、（ 2015 眉山） 已知⊙ O 的内接正六边形周长为 12cm ，则这个圆的半经是_________cm ．18 、（ 2015 广安） 如图， A ． B ．C 三点在⊙ O 上，且∠ AOB =70°，则∠ C=度．19 、24． （ 2015 巴中） 圆心角为 60°，半径为 4cm 的扇形的弧长为cm ．20 、（ 2015 甘孜州） 如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD 垂直均分半径 OA ，则∠ ABC 的大小为 度．二、圆的基本性质【例 1 】（ 2016 ?资阳） 如图，在⊙O 中，点 C 是直径 AB 延长线上一点，过点 C 作⊙ O 的切线，切点为 D ，连接 BD ．（ 1 ）求证：∠ A= ∠ BDC ；（ 2 ）若 CM 均分∠ ACD ，且分别交 AD 、 BD 于点 M 、 N ，当 DM=1 时，求 MN 的长．【解答】解：（1）如图，连接OD ，∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ADB=90°，即∠ A+∠ ABD=90°，又∵ CD 与⊙ O 相切于点 D ，∴∠ CDB+ ∠ ODB=90°，∵OD=OB ，∴∠ ABD= ∠ ODB ，∴∠ A= ∠ BDC ；（ 2 ）∵ CM 均分∠ ACD ，∴∠ DCM= ∠ ACM ，又∵∠ A= ∠ BDC ，∴∠ A+ ∠ ACM= ∠ BDC+ ∠ DCM ，即∠ DMN=∠ DNM，∵∠ ADB=90°，D M=1 ，∴ DN=DM=1，∴ MN==．【例 2】（ 2015 ?资阳）如图 11，在△ABC中， BC是以 AB为直径的⊙ O的切线，且⊙ O与AC订交于点 D ， E 为 BC的中点，连接 DE .（1）求证： DE 是⊙ O的切线；（2）连接 AE，若∠ C=45°，求 sin∠ CAE的值 .解答：解：（ 1）连接 OD， BD ，∴ OD=OB ∴∠ ODB= ∠OBD ．∵AB 是直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ CDB=90° ．∵E为 BC 的中点，∴ DE=BE ，∴∠ EDB= ∠EBD ，∴∠ ODB+ ∠EDB= ∠ OBD+ ∠EBD ，即∠ EDO= ∠ EBO ．∵BC是以 AB 为直径的⊙ O的切线，∴ AB ⊥ BC ，∴∠ EBO=90°，∴∠ODE=90°，∴ DE是⊙ O的切线；（ 2）作 EF⊥ CD 于 F，设 EF=x∵∠ C=45°，∴ △CEF、△ ABC 都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x ，∴ BE=CE= x，∴ AB=BC=2 x，在 RT △ABE 中， AE= = x，∴ sin∠ CAE= =．【例 3 】（ 2014 ?资阳）如图， AB 是⊙ O的直径，过点 A 作⊙ O的切线并在其上取一点C，连接 OC交⊙ O 于点 D ， BD 的延长线交 AC 于 E，连接 AD ．（ 1）求证：△CDE ∽ △CAD ；（ 2）若 AB=2 ， AC=2，求AE的长．解答：（1）证明：∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB=90° ，∴∠ B+∠BAD=90° ，∵AC 为⊙ O的切线，∴ BA ⊥ AC ，∴∠ BAC=90°，即∠ BAD+ ∠DAE=90°，∴∠ B= ∠ CAD ，∵OB=OD ，∴∠ B=∠ ODB ，而∠ ODB= ∠ CDE ，∴∠ B= ∠ CDE ，∴∠ CAD= ∠ CDE，而∠ ECD= ∠ DCA ，∴△ CDE ∽ △CAD ；（ 2）解：∵ AB=2 ，∴ OA=1 ，在 Rt△AOC 中， AC=2S n R21lR n R21360 2 ，∴OC=S360lR=3，∴ CD=OC ﹣ OD=3 ﹣ 1=2 ，2∵ △CDE ∽ △CAD ，∴S n R21lR = S n R21lR ，即 S n R21lR = S n R21lR3602360236023602 n R21S lR，∴ CE=3602．【例 4】（ 2013?资阳）在⊙ O中， AB 为直径，点 C为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交 AB 于点 D，连接 CD ．（1）如图 1，若点 D与圆心 O重合， AC=2 ，求⊙ O的半径 r；（2）如图 2，若点 D与圆心 O不重合，∠ BAC=25°，请直接写出∠ DCA 的度数．解答 （ 1）如图，过点 O 作 OE ⊥ AC 于 E ，则 AE= Sn R 21lR AC= S n R 21lR ×2=1 ，：3602 3602∵翻折后点 D 与圆心 O 重合，∴ OE=n R 2 1SlR r ，3602在 Rt △AOE 中， AO 2=AE 2+OE 2，即 r 2=12+（S n R 21lR r ） 2，解得 r=360 2 S n R 2 1lR ； 3602（ 2）连接 BC ，∵ AB 是直径，∴∠ ACB=90° ，∵∠ BAC=25° ，∴∠ B=90°﹣∠ BAC=90° ﹣25°=65°，Sn R 2 1 lRSn R 2 1 lR依照翻折的性质，360 2 所对的圆周角等于3602所对的圆周角，∴∠ DCA= ∠B ﹣∠ A=65°﹣ 25°=40°．【课后练习】1、（2015 达州） 如图， AB 为半圆 O 的在直径， AD 、 BC 分别切⊙ O 于 A 、 B 两点， CD 切⊙ O 于点 E ，连接 OD 、 OC ，以下结论：①∠ DOC =90°，② AD +BC=CD ，③ Sn R 2 1Sn R 21lR3602lR，④ OD ： OC=DE ：EC ，⑤360 2 ，正确的有（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5个剖析： 如图，连接 OE ，∵AD 与圆 O 相切， DC 与圆 O 相切， BC 与圆 O 相切，∴∠DAO= ∠DEO= ∠OBC=90 °，∴DA=DE ， CE=CB ， AD ∥BC 。

角平分线的复习教案第一章：角平分线的定义与性质1.1 角平分线的定义解释角平分线的概念，即从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角度的线段。

强调角平分线只与一个角有关，不会影响其他角的大小。

1.2 角平分线的性质强调角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。

强调角平分线将角的两边分成两对相等的线段。

解释角平分线与角的对边成等腰三角形的性质。

第二章：角平分线的作图2.1 利用尺规作图法作出一个角的平分线介绍尺规作图法的基本工具：直尺和圆规。

按照步骤演示如何作出一个角的平分线。

2.2 利用角平分线作图解决实际问题给出一些实际问题，如在给定的多边形中作出某些角的平分线，让学生练习应用角平分线的性质。

第三章：角平分线与三角形的性质3.1 角平分线与等腰三角形的性质解释角平分线如何与等腰三角形的性质相联系，如角平分线将等腰三角形的底边平分。

3.2 角平分线与三角形的内心和外心的关系解释三角形内心和外心的概念，并强调角平分线与内心、外心的联系。

第四章：角平分线在几何证明中的应用4.1 利用角平分线证明线段相等给出一些证明题目，如证明角平分线将角的两边分成两对相等的线段。

4.2 利用角平分线证明角度相等给出一些证明题目，如证明角平分线上的点与角的两边成的角相等。

第五章：角平分线在实际问题中的应用5.1 利用角平分线解决面积问题给出一些实际问题，如在给定的三角形中，利用角平分线求解面积。

5.2 利用角平分线解决角度问题给出一些实际问题，如在给定的多边形中，利用角平分线求解角度。

第六章：角平分线与坐标系6.1 角平分线在直角坐标系中的性质解释角平分线在直角坐标系中的几何性质，如角平分线将角的两边在坐标系中分成的线段比例。

6.2 利用角平分线解决坐标系中的问题给出一些实际问题，如在给定的坐标系中，利用角平分线求解点到直线的距离。

第七章：角平分线与圆7.1 圆的角平分线解释圆的角平分线的概念，即从一个圆的圆心的角度出发，将这个角平分成两个相等的角度的线段。

初中数学角的平分线教案一、教学目标1.让学生掌握角的平分线的定义、性质及判定方法。

2.培养学生运用角的平分线知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学重点与难点1.重点：角的平分线的定义、性质及判定方法。

2.难点：运用角的平分线知识解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课（1）复习旧知识：让学生回顾角的定义、分类及性质。

（2）提出问题：如何将一个角平分成两个相等的角？2.角的平分线定义（1）引导学生观察角的平分线模型，让学生直观感受角的平分线。

（2）给出角的平分线定义：从角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

（3）让学生举例说明角的平分线。

3.角的平分线性质（1）引导学生观察角的平分线性质，让学生直观感受角的平分线性质。

（2）给出角的平分线性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）让学生举例说明角的平分线性质。

4.角的平分线判定方法（1）引导学生探究角的平分线判定方法。

（2）给出角的平分线判定方法：如果一条射线将一个角平分成两个相等的角，那么这条射线就是角的平分线。

（3）让学生举例说明角的平分线判定方法。

5.应用举例（1）让学生独立完成课本上的例题，巩固角的平分线知识。

（2）引导学生运用角的平分线知识解决实际问题，如求角度、证明角相等。

6.练习与巩固（1）让学生完成课后练习，巩固角的平分线知识。

（2）教师批改练习，及时反馈，指导学生掌握角的平分线知识。

7.课堂小结（2）教师点评学生表现，鼓励学生积极思考、参与课堂。

8.课后作业（1）完成课后练习。

（2）预习下节课内容，了解角的平分线在生活中的应用。

四、教学反思本节课通过直观的模型、生动的实例，让学生掌握了角的平分线的定义、性质及判定方法。

在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

通过课后作业，巩固所学知识，为下节课的学习打下坚实基础。

附：课后练习1.判断题：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

中考数学复习-圆专题复习-教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握圆的定义、性质、公式等基本知识；（2）学会运用圆的相关知识解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固已学过的圆的相关知识；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（2）培养学生团队协作、积极进取的精神。

二、教学内容1. 圆的定义与性质（1）圆的定义；（2）圆的性质：圆心到圆上任意一点的距离相等，圆上任意一点到圆心的连线与圆的切线垂直。

2. 圆的直径与半径（1）直径与半径的定义；（2）直径与半径的关系。

3. 圆的周长与面积（1）周长的计算公式：C = 2πr；（2）面积的计算公式：S = πr²。

4. 圆的方程（1）圆的标准方程：（x h）²+ (y k)²= r²（2）圆的一般方程：x²+ y²+ Dx + Ey + F = 05. 圆与圆的位置关系（1）外切；（2）内切；（3）相离；（4）相交；（5）内含。

三、教学重点与难点1. 重点：圆的定义、性质、公式、方程及位置关系的理解与应用。

2. 难点：圆的方程求解及圆与圆的位置关系的判断。

四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，引导学生掌握圆的相关知识；2. 通过例题、习题，培养学生的实际应用能力；3. 组织学生进行小组讨论，提高学生的合作能力。

五、教学过程1. 导入：回顾已学过的圆的相关知识，引导学生进入复习状态；2. 讲解：讲解圆的定义、性质、公式、方程及位置关系，重点讲解圆的方程求解及圆与圆的位置关系的判断；3. 示范：通过示例，展示圆的相关知识的应用；4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识；5. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识；7. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。