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§5对数函数第一课时对数函数的概念、图像和性质预习课本P89～94，思考并完成以下问题1．对数函数的定义是什么？2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？3．反函数的定义是什么？4．对数函数的图像是什么形状？有哪些性质？[新知初探]1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．2．特殊的对数函数常用对数函数以10为底的对数函数y＝lg_x自然对数函数以无理数e为底的对数函数y＝ln_x[点睛]对数函数是一个形式定义，只有形如y＝logx(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数．a3．反函数原函数反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1) 对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1) 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1) 指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的值域和定义域；反过来，对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是指数函数y＝a x(a>0，a ≠1)的值域和定义域，这样的两个函数叫作互为反函数.xa它们定义域与值域互反．4．对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图像与性质1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y ＝log 2x ＋1是对数函数．( )(2)对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数．( ) (3)函数y ＝log a x 的图像与y ＝a x 的图像关于直线y ＝x对称．( ) (4)函数y ＝log a x 的图像过定点(1,0)．( )(5)函数y ＝log a x 的定义域和值域均为(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x )(a ＞0，a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a ＞0，a ≠1) C ．y ＝log 1a x (a ＞0，a ≠1) D ．y ＝2lg x 答案：C3．已知对数函数f (x )的图像过点(8,3)，则f 132＝_________________________________.答案：－54．函数y ＝2log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图像过定点______________________． 答案：(2,0)[典例] (1)y ＝log 5(1－x )；(2)y ＝log (1－x )5； (3)y ＝log 0.5(4x －3).[解] (1)要使函数式有意义，需1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1－x ≠1，解得x ＜1，且x ≠0，所以函数y ＝log (1－x )5的定义域是{x |x ＜1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1，所以函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是x 34＜x ≤1.定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[活学活用]求下列函数的定义域． (1)f (x )＝11－log 3(x －1)；(2)f (x )＝log 12x －1. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，log 3(x －1)≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠4.∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 12x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤12.∴0＜x ≤12，∴定义域为0，12.求函数的反函数[典例] (1)y ＝5x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫45x； (3)y ＝log 14x; (4)y ＝log 7x .[解] (1)指数函数y ＝5x ，它的底数是5，它的反函数是对数函数y ＝log 5x . (2)指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫45x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45x . (3)对数函数y ＝log 14x ，它的底数是14，它的反函数是指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x .(4)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法(1)由y ＝a x (或y ＝log a x )解得x ＝log a y (或x ＝a y )；(2)将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )；(3)由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域． [活学活用]若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图像过点(3,1)，则a ＝________. 解析：函数f (x )的反函数为y ＝log a x ， 由题意得，log a 3＝1，∴a ＝3. 答案：3对数函数的图像问题1．如图是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 取值3，43，35，110，则图像C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35解析：选A 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1＞a 2＞a 3＞a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次由大到小．题点二：图像的识别2．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a )x 的图像只能是( )解析：选B ∵a ＞1，∴函数y ＝log a x 为增函数，且图像过定点(1,0)，故C 、D 均不正确． 又∵1－a ＜0，∴函数y ＝(1－a )x 的图像应过坐标原点且经过第二、四象限． 题点三：对数函数图像的应用3．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,2]D ．0，12解析：选C 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立．当a ＞1时，如图所示，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1＜a ≤2.(1)对数函数的图像随对数函数的底数变化的规律：由于对数函数y ＝log a x 的图像与直线y ＝1交于点(a,1)，所以在x 轴上方，对数函数y ＝log a x 的图像，从左到右对应的底数由小到大依次递增．由于函数y ＝log a x 的图像与直线y ＝－1交于点1a ，－1，所以在x 轴下方，函数y ＝log a x 的图像从左到右对应的底数由大到小依次递减．(2)图像的识别问题，主要依据底数确定图像是上升还是下降、图像的位置、图像所过定点、图像与坐标轴的交点等求解．(3)利用数形结合法解决与对数函数有关的大小比较、方程、不等式、取值范围以及过定点等问题．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x ＞0，解得x ＞－1且x ≠1.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .3．函数f (x )＝log 2x 2的图像的大致形状是( )解析：选D 由于f (x )＝log 2x 2＝2log 2|x |，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x ＞0时，f (x )＝2log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，又因为函数是偶函数，所以函数图像关于y 轴对称．4．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)＜0，则函数g (x ＋1)的图像是图中的( )解析：选A 由y ＝a x 得x ＝log a y ，∴g (x )＝log a x . 又∵g (2)＜0，∴0＜a ＜1.故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的． 5．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图像是( )解析：选D ∵a >1，不妨取a ＝2， 找出函数y ＝2－x与y ＝log 2x 的图像即可．6．函数f (x )＝2－log 2x 的定义域是________． 解析：由2－log 2x ≥0 ⇒ log 2x ≤2， ∴0<x ≤4. 答案：(0,4]7．已知函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)的图像必经过定点P ，则P 点坐标________． 解析：∵当2x ＋3＝1即x ＝－1时，log a (2x ＋3)＝0，y ＝3，P (－1,3)． 答案：(－1,3)8．方程x 2＝log 12x 解的个数是________．解析：函数y ＝x 2和y ＝log 12x 在同一坐标系内的图像大致为：所以函数y ＝x 2和y ＝log 12x 的图像只有一个交点，故方程x 2＝log 12x 解的个数是1.答案：19.已知函数y ＝log a (x ＋b )的图像如图所示，求实数a 与b 的值． 解：由图像可知，函数的图像过点(－3,0)和(0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a (b －3)＝0，log ab ＝2， 解得b ＝4，a ＝2.10．作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像． 解：第一步：作y ＝log 2x 的图像，如图(1)；第二步：将y ＝log 2x 的图像沿x 轴向左平移1个单位长度， 得y ＝log 2(x ＋1)的图像，如图(2)；第三步：将y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图像作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图(3)．层级二 应试能力达标1.如图是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D y ＝log a x 的图像在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a >1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图像在(0，＋∞)上都是下降的． 因此b ，c ∈(0,1)，又易知c >b ，故a >c >b .2．设f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则当x ＜0时，f (x )等于( ) A ．－log 2x B ．log 2(－x ) C ．log x 2D ．－log 2(－x )解析：选D ∵x ＜0，∴－x ＞0.∴f (－x )＝log 2(－x )． 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝－log 2(－x )．3．若实数a ，b ，c 满足log a 2＜log b 2＜log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：选A 由题中条件绘出函数图像如图所示．由图可知选A.4．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：选D 若⎪⎪⎪⎪b a ＞1，则函数y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x 的图像为选项A 、B 中所示过点(1,0)的曲线，且⎪⎪⎪⎪b 2a ＞12，故函数y ＝ax 2＋bx 的图像的对称轴x ＝－b 2a 应在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－12或12，＋∞内，A 、B 都不正确；若0＜⎪⎪⎪⎪b a ＜1，则函数y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x 的图像为选项C 、D 中所示过点(1,0)的曲线，且0＜b 2a ＜12，故函数y ＝ax 2＋bx 的图像的对称轴x ＝－b 2a 应在区间－12，0或0，12内，C 不正确，D 正确． 5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2， 又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图像过点(0,2)， 将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1336．函数f (x )＝||log 3x 在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________． 解析：数形结合||log 3x ＝0，则x ＝1，||log 3x ＝1， 则x ＝3或13.故(b －a )min ＝1－13＝23.答案：237．已知f (x )＝|lg x |，且1c ＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小． 解：先作出函数y ＝lg x 的图像，再将图像位于x 轴下方的部分折到x 轴上方，于是得f (x )＝|lg x |图像，(如图)由图像可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f 1c ＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lgc |＝|lg c |＝f (c )．∴f (c )＞f (a )＞f (b )．8．已知a >0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )<0，求m 的取值范围． 解：(1)令t ＝log a x (t ∈R)， 则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t ，所以f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(x ∈R)．(2)因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 且x ∈R ，所以f (x )为奇函数． 当a >1时，a x －a－x为增函数，并且注意到aa 2－1>0，所以这时f (x )为增函数．当0<a <1时，类似可证f (x )为增函数． 所以f (x )在R 上为增函数． (3)因为f (1－m )＋f (1－2m )<0，且f (x )为奇函数，所以f (1－m )<f (2m －1)． 因为f (x )在(－1,1)上为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<2m －1<1，1－m <2m －1.解得23<m <1.即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1.第二课时 对数函数的图像和性质的应用(习题课)[典例] 比较大小． (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7； (3)log 67，log 76； (4)log 3π，log 20.8； (5)log 712，log 812.[解] (1)考查对数函数y ＝log 2x ， ∵2>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数． ∴log 23.4<log 28.5.(2)考查对数函数y ＝log 0.3x ，∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.31.8>log 0.32.7.(3)∵log 67>log 66＝1，log 76<log 77＝1， ∴log 67>log 76.(4)∵log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，∴log 3π>log 20.8.(5)在同一坐标系中作出函数y ＝log7x 与y ＝log 8x 的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log 712>log 812.比较对数大小的思路：(1)底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；(2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”．[活学活用]比较下列各组中两个值的大小：(1)3log 45与2log 23；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log 0.20.1与0.20.1.解：(1)∵3log 45＝log 4125,2log 23＝log 29＝log 481， 且函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，125＞81，∴3log 45＞2log 23.(2)∵0＞log 0.23＞log 0.24，∴1log 0.23＜1log 0.24， 即log 30.2＜log 40.2.(3)∵函数y ＝log 3x 是增函数，且π＞3，∴log 3π＞log 33＝1.同理，1＝log ππ＞log π3，∴log 3π＞log π3.(4)∵0＜0.2＜1，∴函数y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 0.20.1＞log 0.20.2＝1.∵0＜0.2＜1，∴函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，∴0.20.1＜0.20＝1.∴log 0.20.1＞0.20.1.解对数不等式[典例] 解下列不等式：(1)log 17x ＞log 17(4－x )； (2)log x 12＞1； (3)log a (2x －5)＞log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，4－x ＞0，x ＜4－x ，解得0＜x ＜2.所以原不等式的解集为(0,2)．(2)当x ＞1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＜12， 此时不等式无解．当0＜x ＜1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＞12， 所以12＜x ＜1.综上，原不等式的解集为12，1. (3)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＞x －1，解得x ＞4.当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＜x －1，解得52＜x ＜4. 综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＞4}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 52＜x ＜4.(1)解含有对数符号的不等式，要先看底数是大于1还是大于0且小于1，然后利用相应的对数函数的单调性将其转化为一般的代数不等式，要注意转化过程的等价性，即进行同解变形．(2)底数中若含有参数时，一定注意底数大于0且不等于1；同时要注意与1的大小的讨论．[活学活用]若－1＜log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围． 解：∵－1＜log a 34＜1，∴log a 1a ＜log a 34＜log a a . 当a ＞1时，1a ＜34＜a ，则a ＞43； 当0＜a ＜1时，1a ＞34＞a ，则0＜a ＜34. 故实数a 的取值范围是0，34∪43，＋∞.有关对数型函数的值域与最值问题[典例](1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)． [解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R.因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数， 所以log 12u ≥log 124＝－2， 所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．[活学活用]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值．解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[1,9]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9， ∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13.∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.对数型函数的单调性1．求函数y ＝log 12(x 2－3x ＋5)的单调区间． 解：由于x 2－3x ＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11＜0，∴x 2－3x ＋5＞0，令u (x )＝x 2－3x ＋5，当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32时， u (x )为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，u (x )为增函数．∴y ＝log 12(x 2－3x ＋5)在⎝⎛⎭⎫－∞，32上为增函数，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为减函数． 综上函数y ＝log 12(x 2－3x ＋5)的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，32，减区间为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 题点二：已知函数的单调性求参数2．已知函数f (x )＝lg(x 2－2ax －a )在区间(－∞，－3)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：设u (x )＝x 2－2ax －a .∵f (x )在(－∞，－3)上是减函数，∴u (x )在(－∞，－3)上是减函数，且u (x )＞0在(－∞，－3)上恒成立．又u (x )＝(x －a )2－a －a 2在(－∞，a )上是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧u (－3)≥0，a ≥－3，∴a ≥－95. ∴满足条件的实数a 的取值范围是－95，＋∞.解决对数型复合函数单调性问题的思路解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是要注意其定义域．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y ＝log a f (x )型；另一类是内函数为对数函数，即y ＝f (log a x )型．对于y ＝log a f (x )型的函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性在a ＞1时相同，在0＜a ＜1时相反．研究y ＝f (log a x )型复合函数的单调性，一般用复合法判定即可，即令t ＝log a x ，则只需研究t ＝log a x 及y ＝f (t )的单调性即可．层级一 学业水平达标1．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B a ＝log 23.6＞1，b ＝log 43.2＜1，c ＝log 43.6＜1，又y ＝log 4x 为增函数，3.2＜3.6， ∴log 43.2＜log 43.6，即b ＜c ，∴b ＜c ＜a .2．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( ) A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：选D 由log 12x ＜log 12y 得x ＞y .由log 12y ＜0得y ＞1.故x ＞y ＞1. 3．若log m 8.1＜log n 8.1＜0，那么m ，n 满足的条件是( )A ．m ＞n ＞1B ．n ＞m ＞1C ．0＜n ＜m ＜1D ．0＜m ＜n ＜1解析：选C 由题意知m ，n 一定都是大于0且小于1的，根据函数图像知，当x ＞1时，底数越大，函数值越小．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(－x )，x <0，log 12x ，x >0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 函数f (x )的图像大致如图：∴当f (m )<f (－m )时，f (x )<0.∴m ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤22，2 B ．[－1,1]C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，22∪[)2，＋∞ 解析：选A －1≤2log 12x ≤1，－12≤log 12x ≤12， log 12⎝⎛⎭⎫12－12≤log 12x ≤log 12⎝⎛⎭⎫1212， ∵y ＝log 12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫1212≤x ≤⎝⎛⎭⎫12－12. 即22≤x ≤ 2. 6．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________． 解析：∵－1＜x ＜0，∴0＜x ＋1＜1.又log 2a (x ＋1)＞0，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 7．函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为________．解析：令u ＝x 2＋2x ＋4，则u ＝(x ＋1)2＋3≥3，∴log 3(x 2＋2x ＋4)≥log 33＝1，即函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)8．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________．解析：由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数，∴函数f (x )＝m (2－x )的单调减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)9．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a 的值．解：①当a ＞1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.②当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12. 由①②知a ＝2或a ＝12. 10．已知函数y ＝(log 2x －2)log 4x －12,2≤x ≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围；(2)求该函数的值域．解：(1)y ＝(log 2x －2)log 4x －12＝(log 2x －2)12log 2x －12， 令t ＝log 2x ，得y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1， 又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3.(2)由(1)得y ＝12t －322－18，1≤t ≤3， 当t ＝32时，y min ＝－18； 当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1， 即该函数的值域为－18，1. 层级二 应试能力达标1．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c解析：选D a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么f (x )在(1，＋∞)上( )A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值解析：选A 由|x －1|＞0，得函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，－x ＋1，x ＜1， 则有g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，∴a ＞1.∴f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值．3．已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C 因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，所以b ＝1a (a ＝b 舍去)，则a ＋2b ＝a ＋2a. 又0＜a ＜b ，所以0＜a ＜1＜b .令g (a )＝a ＋2a ，由对勾函数的性质知函数g (a )在(0,1)上为减函数，所以g (a )＞g (1)＝1＋21＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．4．若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)解析：选B 令u ＝2－ax ，因为a ＞0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax ＞0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min ＞0，即2－a ＞0，a ＜2.在[0,1]上，随着x 的增大，u ＝2－ax 减小，要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必须为增函数，故a ＞1.综上可知，1＜a ＜2.故选B.5．设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (2a x －2)，则使得f (x )＜0的x 的取值范围为________．解析：由于y ＝log a x (0＜a ＜1)在(0，＋∞)上为减函数，则2a x －2＞1，即a x ＞32.由于0＜a ＜1，可得x ＜log a 32. 答案：－∞，log a 326．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)的区间[－2，－1]上总有|f (x )|＜2，则实数a 的取值范围为________________．解析：∵x ∈[－2，－1]，∴1≤x ＋3≤2.当a ＞1时，log a 1≤log a (x ＋3)≤log a 2，即0≤f (x )≤log a 2.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，log a 2＜2，解得a ＞ 2.当0＜a ＜1时，log a 2≤log a (x ＋3)≤log a 1，即log a 2≤f (x )≤0.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 2＞－2，解得0＜a ＜22. 综上可得，实数a 的取值范围是0，22∪(2，＋∞)． 答案：0，22∪(2，＋∞) 7．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)．当a ＜0时，显然不可能；当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a ＞0时，若要u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)，则Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，解得a 的取值范围是(1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝lg a －x 1＋x. (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )在(m ，n )上的值域为(－1，＋∞)，求(m ，n )． 解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，∴lg a －x 1＋x ＋lg a ＋x 1－x ＝0，∴(a －x )(a ＋x )1－x 2＝1， 解得a ＝1(a ＝－1舍去)．(2)由(1)知f (x )＝lg 1－x 1＋x，其定义域为(－1,1)． ∵x ∈(－1,1)时，t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x为减函数， 而y ＝lg t 在定义域内为增函数，∴f (x )＝lg 1－x 1＋x在其定义域内是减函数，则m ＝－1， 由题意知f (n )＝lg 1－n 1＋n＝－1，解得n ＝911. 故所求(m ，n )为－1，911.。
