2021年北京市101中中考数学一模试题

2021年北京市101中学中考数学模拟试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米B．4×1012千米C．9.5×1013千米D．9.5×1012千米2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）A．b+c＞0 B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|3．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1 B．C．D．4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y 尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．5．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BACC．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°6．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）A．B．C．D．7．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）8．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．已知△ABC的三边长a、b、c满足，则△ABC一定是三角形．10．如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝°．11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD＝20°，连接DE，则∠CED的大小＝（度）．13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．15．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若AD：CD＝4：3，则tanB＝．16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．18．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．20．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝BD，BE平分∠CBD交CD于O，交AD延长线于E，连接CE．（1）求证：四边形BCED是菱形；（2）若OD＝2，tan∠AEB＝，求△ABE的面积．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．根据以上材料回答下列问题：（1）图2中，n的值为；（2）2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是；（3）据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．23．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．24．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K 是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．25．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D 在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t 的取值范围．2021年北京市101中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米B．4×1012千米C．9.5×1013千米D．9.5×1012千米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．故选：A．2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）A．b+c＞0 B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．【解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；B、＜0，故B不符合题意；C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；D、|a|＞|b|＝|d|，故D正确；故选：D．3．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1 B．C．D．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，由a2+3a﹣2＝0，得到a2+3a＝2，则原式＝，故选：B．4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y 尺，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的等量关系是：木长+4.5＝绳长；×绳长+1＝木长，据此可列方程组即可．【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意可得，，故选：A．5．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB＝90°B．∠BDC＝∠BACC．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°【分析】先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上，如图，然后根据圆周角定理对各选项进行判断．【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴点A、B、C、D在⊙O上，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，所以A选项的结论正确；∵∠BDC和∠BAC都对，∴∠BDC＝∠BAC，所以B选项的结论正确；只有当CD＝CB时，∠BAC＝∠DAC，所以C选项的结论不正确；∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D选项的结论正确．故选：C．6．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．∵圆的直径正好是大正方形边长，∴根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，∴大正方形的边长为，则大正方形的面积为×＝2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．故选：C．7．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到OD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，∴OA＝OB，∵AD＝CD，∴OD∥BC，OD＝BC，∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x轴，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AD＝OA＝2，∴D的坐标为（2，2），故选：C．8．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x＝1时，y＜3，得k＝xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；B、根据正方形边长相等得：y＝2x，得点A是直线y＝2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；C、先表示矩形面积S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y﹣x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，可作判断．【解答】解：设点A（x，y），A、设反比例函数解析式为：y＝（k≠0），由图形可知：当x＝1时，y＜3，∴k＝xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x，y＝2x，则点A是直线y＝2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为y﹣x，S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域①时，∵点A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一边为：y﹣x＞2，矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确；故选：D．二．填空题（共8小题）9．已知△ABC的三边长a、b、c满足，则△ABC一定是等腰直角三角形．【分析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形的三边关系进行判断即可．【解答】解：∵△ABC的三边长a、b、c满足，∴a﹣1＝0，b﹣1＝0，c﹣＝0，∴a＝1，b＝1，c＝．∵a2+b2＝c2，∴△ABC一定是等腰直角三角形．10．如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝110°．【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝110°．故答案为：110．11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3＝60°，∠4＝45°，∴∠1＝∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°．故答案为：75．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD＝20°，连接DE，则∠CED的大小＝10（度）．【分析】根据题意和图象，通过作辅助线，可以求得∠CED的度数，本题得以解决．【解答】解：延长CB到F，∵在△ABC中，∠ABC＝100°，∠CBD＝20°，∴∠ABF＝80°，∠ABD＝80°，∴AB平分∠FBD，又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，∴点E在∠ADB的平分线上，即DE平分∠ADB，∵∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB，∠DBC＝20°，∴，∴10°＝，∵∠DEC＝∠ADE﹣∠ACE＝，∴∠DEC＝10°，故答案为：10．13．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为2或4﹣2．【分析】当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明△DFM是等腰直角三角形即可利用DF＝DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，得到DF1＝DE，由此即可解决问题．【解答】解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝4，AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，∴△ADE、△ECB是等腰直角三角形，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∴∠DEC＝90°，∵l∥EC，∴ED⊥l，∴EM＝2＝AE，∴点A、点M关于直线EF对称，∵∠MDF＝∠MFD＝45°，∴DM＝MF＝DE﹣EM＝2﹣2，∴DF＝DM＝4﹣2．当直线l在直线EC下方时，∵∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，∴DF1＝DE＝2，综上所述DF的长为2或4﹣2．故答案为2或4﹣2．14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程x2﹣35x+66＝0．【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，（30﹣2x）（20﹣x）＝78×6，化简，得x2﹣35x+66＝0，故答案为：x2﹣35x+66＝0．15．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若AD：CD＝4：3，则tanB＝．【分析】根据同角的余角相等，可得tanB＝tan∠CAD，再根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，∴∠B＝∠CAD，∵AD：CD＝4：3，∴tanB＝tan∠CAD＝．故答案为：．16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝．【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，再证明∠ABH＝∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE ＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE＝AH，AE＝AH，则CH＝AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH＝2，从而得到BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，BH＝1，接下来在Rt△BFH中计算出HF＝，BF＝，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到＝2，从而利用比例性质可得到DH的长．【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，∴∠ABH＝∠CAH，在△ABE和△CAH中，∴△ABE≌△CAH，∴BE＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，∴sin∠AHE＝，HE＝AH，∴AE＝AH•sin60°＝AH，∴CH＝AH，在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，∵BF∥CH，∴△CHD∽△BFD，∴＝＝＝2，∴DH＝HF＝×＝．故答案为．三．解答题17．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|的值是多少即可．【解答】解：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|＝1+4×﹣2﹣1＝1﹣2+﹣1＝18．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，即x（x+3）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE．∴∠AEB＝∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴．∵BE＝BD＝1，CD＝2，∴．20．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝BD，BE平分∠CBD交CD于O，交AD延长线于E，连接CE．（1）求证：四边形BCED是菱形；（2）若OD＝2，tan∠AEB＝，求△ABE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC∥AE，根据平行线的性质得出∠CBE＝∠DEB，求出∠DEB＝∠DBE，推出BD＝DE，再根据菱形的判定推出即可；（2）根据菱形的性质得出BO＝EO，∠DOE＝90°，求出OD是△ABE的中位线，求出AB和BE，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AE，∴∠CBE＝∠DEB，∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，∴∠DEB＝∠DBE，∴BD＝DE，又∵BC＝BD，∴BC＝DE且BC∥DE，∴四边形BCED是平行四边形，又∵BC＝BD，∴四边形BCDE是菱形；（2）解：∵四边形BCDE是菱形，∴BO＝EO，∠DOE＝90°，又∵AD＝BC＝DE，∴OD是△ABE的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD＝4，∠ABE＝∠DOE＝90°，∵，∴BE＝8，∴S△ABE＝＝4×8＝16．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．【分析】（1）根据要求画出图形，结论AB与⊙D相切．过点D作DE⊥AB于E．证明DE＝DC即可．（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．利用勾股定理构建方程组求解即可．【解答】解：（1）图形如图所示，结论AB与⊙D相切．理由：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴⊙D与AB相切．（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．∵AB，AC是⊙D的切线，∴AC＝AE＝2CD＝2r，∵∠ACB＝∠BED＝90°，则有，解得，∴⊙D的半径为3．22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．根据以上材料回答下列问题：（1）图2中，n的值为18；（2）2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是 2.1亿吨；（3）据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据中位数的定义即可得到结论；（3）根据样本估计总体列式计算即可．【解答】解：（1）n＝100﹣20﹣55﹣7＝18，故答案为：18；（2）∵在1.8，1.9，2.0，2.2，2.3，2.5中，2.0和2.2处在中间位置，∴2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是＝2.1（亿吨）故答案为：2.1亿吨；（3）2.5×20%×（40÷0.02）＝1000（亿元），答：估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是1000亿元，23．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．（1）该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．∴对称轴为直线x＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴顶点坐标为（﹣1，0），解得a＝﹣1或a＝，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．24．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K 是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，∴AP＝AQ，∴∠APQ＝∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，∴∠Q＝∠BFC，∵∠MFN＝∠BFC，∴∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，∴∠MFN＝∠FMN，∴NM＝NF；（3）连接CE，∵AC⊥PQ，PC＝CQ，∴AP＝AQ，∴∠PAC＝∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q＝90°，∵∠Q+∠CAQ＝90°，∴∠CAQ＝∠QBD，∴∠PAC＝∠FBC，∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP＝CF，∵AM＝CP，∴AM＝CF，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE，∵AC＝BC，∴直线CE垂直平分AB，∴∠ECB＝∠ECA＝45°，∴∠GAM＝∠ECF＝45°，∵∠AMG＝∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM＝EF，∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，∴BN＝AE+GN．25．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB关于⊙O的内直角的是∠AP2B，∠AP3B；②若在直线y＝2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D 在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t 的取值范围．【分析】（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB的解析式，当直线y＝2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b＝5，则答案可求出；（3）可知线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．【解答】解：（1）如图1，∵P1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），∴AB＝＝4，P1A＝＝，P1B＝＝3，∴P1不在以AB为直径的圆弧上，故∠AP1B不是AB关于⊙O的内直角，∵P2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），∴P2A＝8，AB＝4，P2B＝4，∴P2A2+P2B2＝AB2，∴∠AP2B＝90°，∴∠AP2B是AB关于⊙O的内直角，同理可得，P3B2+P3A2＝AB2，∴∠AP3B是AB关于⊙O的内直角，故答案为：∠AP2B，∠AP3B；（2）∵∠APB是AB关于⊙O的内直角，∴∠APB＝90°，且点P在⊙O的内部，∴满足条件的点P形成的图形为如图2中的半圆H（点A，B均不能取到），过点B作BD⊥y轴于点D，∵A（0，﹣5），B（4，3），∴BD＝4，AD＝8，并可求出直线AB的解析式为y＝2x﹣5，∴当直线y＝2x+b过直径AB时，b＝﹣5，连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF∥AB，交y轴于点F，∵OA＝OB，AH＝BH，∴EH⊥AB，∴EH⊥EF，∴EF是半圆H的切线．∵∠OAH＝∠OAH，∠OHB＝∠BDA＝90°，∴△OAH∽△BAD，∴，∴OH＝AH＝EH，∴OH＝EO，∵∠EOF＝∠AOH，∠FEO＝∠AHO＝90°，∴△EOF≌△HOA（ASA），∴OF＝OA＝5，∵EF∥AB，直线AB的解析式为y＝2x﹣5，∴直线EF的解析式为y＝2x+5，此时b＝5，∴b的取值范围是﹣5＜b≤5．（3）∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，∴点T一定在∠DHE的边上，∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，即n的最大值为2．分两种情况：①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT＝90°，∴点H在以DT为直径的圆上，如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，∵OM＝1，ON＝2，∴MN＝＝，∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，∴△GHM≌△NOM（ASA），∴MN＝GM＝，∴OG＝﹣1，∴OT＝+1，当T与M重合时，t＝1，∴此时t的取值范围是﹣﹣1≤t＜1，②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，∴此时t的取值范围是1≤t＜5，综合以上可得，t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5．。

北京101中学2021届上学期初中九年级第一次摸底考试数学试卷〔分数：100分 时间：90分钟〕一、选择题〔此题共24分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 以下四个图案中，不是轴对称图案的是A B C D2. 将直线x y 2=向上平移1个单位，得到的直线的解析式为 A. 12+=x y B. 12-=x y C. )1(2+=x yD. )1(2-=x y3. 假设2+x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示正确的选项是 A.B.C. D.4. 用配方法解方程0322=--x x 时，配方后得到的方程为 A. 4)1(2=-x B. 4)1(2-=-x C. 4)1(2=+xD. 4)1(2-=+x 5. 假设正多边形的一个外角是45°，那么该正多边形的内角和为A. 360°B. 720°C. 900°D. 1080°6. 二次函数m x x y +-=42〔m 为常数〕的图象与x 轴的一个交点为〔1，0〕，那么关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个实数根是 A. 11=x ，12-=x B. 11-=x ，22=xC. 11-=x ，02=xD. 11=x ，32=x7. 在发生某公共卫惹事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人〞。

根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体平均值为3，中位数为4B. 乙地：总体平均值为2，总体方差为3C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体平均值为l ，总体方差大于08. 如图，AB=8，P 为线段AB 上一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP=60°，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，当点P 在线段AB 上挪动时，点M ，N 之间的间隔 最短为A. 32B.6C. 4D. 3二、填空题〔此题共24分，每题3分〕9. 用一组a ，b 的值说明命题“假设a <b ，那么ba 11>〞是错误的，这组值可以是a =________，b=________。

2020-2021北京第一零一中学初二数学上期中一模试题含答案一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．下列各式中，分式的个数是（）2 x ，22a b+，a bπ+，1aa+，(1)(2)2x xx-++，ba+．A．2 B．3 C．4 D．53．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（）A．45°B．30 °C．15°D．60°4．如图2，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③5．如图，在△ABC和△CDE中，若∠AC B＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是( )A．△ABC≌△CDE B．CE＝AC C．AB⊥CD D．E为BC的中点6．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A．11 B．12 C．13 D．147．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（）A ．2B ．3C ．1D ．1.5 8．若二次三项式2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的可能值是（ ）A ．6±B ．12C ．6D ．12± 9．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9） 10．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ）A ．480x ＋480+20x ＝4B ．480x －480+4x ＝20C ．480x －480+20x ＝4D ．4804x -－480x＝20 11．已知x m ＝6，x n ＝3，则x 2m ―n 的值为（ ）A ．9B ．34C ．12D ．4312．如图，已知在△ABC，AB ＝AC ．若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE二、填空题13．若(42)(3)x m x -+的乘积中不含x 的一次项，则常数m =_________．14．已知x 2+mx-6=(x-3)(x+n)，则m n =______．15．如图，在ABC ∆中，B Ð与C ∠的平分线交于点P .若130BPC ∠=︒，则A ∠=______．16．若x 2＋2mx ＋9是一个完全平方式，则m 的值是_______17．若关于x 的分式方程111x x m +--＝2有增根，则m ＝_____． 18．若关于x 的方程x 1m x 5102x-=--无解，则m= ． 19．已知22139273m ⨯⨯=，求m =__________．20．因式分解：x 2y ﹣y 3＝_____．三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，连接CD ，交BE 于点F.求证：BE 垂直平分CD ．22．已知a 、b 、c 是三角形三边长，试化简：|b +c ﹣a |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a ﹣b |﹣|a ﹣b +c |．23．解方程21212339x x x -=+-- 24．如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OC=OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．25．如图，点O 是线段AB 和线段CD 的中点．（1）求证：△AOD ≌△BOC ；（2）求证：AD ∥BC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B 选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C 选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D 选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B ．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．B解析：B【解析】【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【详解】22a b +, a b π+的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式;a b+的分子不是整式,因此不是分式. 2x ,1 a a +,()()12 2x x x -++的分母中含有字母,因此是分式. 故选B.【点睛】本题考查了分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B 叫做分式,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.注意π不是字母,是常数,所以a b π+不是分式,是整式. 3．C解析：C【解析】【分析】先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．【详解】解：∵ABCD 是长方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°，∵长方形ABCD沿AE折叠，∴△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF=15°．故选C．【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．4．D解析：D【解析】【分析】从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等，边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．【详解】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F∴∠AEB=∠AFC=90°，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF（①正确）∴AE=AF，∴BF=CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE（②正确）∴DF=DE，连接AD∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上（③正确）．故答案选D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质．解析：D【解析】【分析】首先证明△ABC ≌△CDE ，推出CE=AC ，∠D=∠B ，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD ⊥AB ，即可一一判断．【详解】在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，AB CD BC DE =⎧⎨=⎩， ∴△ABC ≌△CDE ，∴CE =AC ，∠D =∠B ，90D DCE ∠+∠=o Q ，90B DCE ∴∠+∠=o ，∴CD ⊥AB ，D ：E 为BC 的中点无法证明故A 、B 、C.正确，故选. D【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．6．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a ，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a ＜4+3，即1＜a ＜7，∵a 为整数，∴a 的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．7．A【解析】【分析】在Rt △AEC 中，由于CE AC =12，可以得到∠1=∠2=30°，又AD =BD =4，得到∠B =∠2=30°，从而求出∠ACD =90°，然后由直角三角形的性质求出CD ．【详解】 解：在Rt △AEC 中，∵CE AC =12，∴∠1=∠2=30°， ∵AD =BD =4，∴∠B =∠2=30°，∴∠ACD =180°﹣30°×3=90°，∴CD =12AD =2． 故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角的性质．解题的关键是得出∠1=30°．8．D解析：D【解析】【分析】根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】∵2222=(2)223(3)49x xy x m x y y y ±⨯⨯+++，∴12mxy xy =±，解得m=±12． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 9．C解析：C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．10．C解析：C【解析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得480x －480+20x ＝4 故答案为：C ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．11．C解析：C【解析】试题解析：试题解析：∵x m =6，x n =3，∴x 2m -n =2()m n x x ÷=36÷3=12. 故选C.12．C解析：C【解析】解：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，∴BE =BC ，∴∠ACB =∠BEC ，∴∠BEC =∠ABC =∠ACB ，∴∠BAC =∠EBC ．故选C ． 点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．二、填空题13．6【解析】【分析】直接利用多项式乘法去括号进而得出一次项系数为0求解即可【详解】∵的乘积中不含的一次项∴=中∴故答案为：6【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式解答本题的关键在于正确去括号并计算解析：6【解析】【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．【详解】∵(42)(3)x m x -+的乘积中不含x 的一次项，∴(42)(3)x m x -+=24(122)6x m x m +--中1220m -=∴6m =故答案为：6．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算．14．1【解析】【分析】将已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算根据多项式相等的条件求出m与n的值即可得出mn的值【详解】∵x2+mx-6=（x-3）（x+n）=x2+nx-3x-3n=x2+（n-3）解析：1【解析】【分析】将已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出m与n的值，即可得出m n的值．【详解】∵x2+mx-6=（x-3）（x+n）=x2+nx-3x-3n=x2+（n-3）x-3n，∴m=n-3，-3n=-6，解得：m=-1，n=2，∴m n=1．故答案为：1【点睛】本题考查了多项式乘以多项式以及多项式相等的条件，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．15．80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB的度数再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB最后利用三角形内角和定理解答即可【详解】解：在△PBC中∠BPC=130°∴∠PBC+解析：80°【解析】【分析】根据三角形内角和可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求出∠ABC+∠ACB，最后利用三角形内角和定理解答即可.【详解】解：在△PBC中，∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=180°-130°=50°.∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×50°=100°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.故答案为80°.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.16．±3【解析】【分析】完全平方公式的灵活应用这里首末两项是x和3的平方那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍【详解】∵是完全平方式∴解得故答案是：【点睛】本题主要考查完全平方公式属于基础题关键是根据解析：±3【解析】【分析】完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x 和3的平方，那么中间项为加上或减去x 和3的乘积的2倍．【详解】∵229x mx ++是完全平方式，∴223?mx x =±⨯，解得3m =±．故答案是：3±【点睛】本题主要考查完全平方公式，属于基础题，关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．17．1【解析】【分析】有增根是化为整式方程后产生的使原分式方程分母为0的根在本题中可确定增根是1然后代入化成整式方程的方程中求得m 的值【详解】解：去分母得：m ﹣1＝2x ﹣2由分式方程有增根得到x ﹣1＝0解析：1【解析】【分析】有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，可确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m 的值．【详解】解：去分母得：m ﹣1＝2x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣1＝0，即x ＝1，把x ＝1代入得：m ﹣1＝0，解得：m ＝1，故答案为：1【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行求解：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．﹣8【解析】【分析】试题分析：∵关于x 的方程无解∴x=5将分式方程去分母得：将x=5代入得：m=﹣8【详解】请在此输入详解！解析：﹣8【解析】【分析】试题分析：∵关于x 的方程x 1m x 5102x -=--无解，∴x=5 将分式方程x 1m x 5102x-=--去分母得：()2x 1m -=-， 将x=5代入得：m=﹣8【详解】请在此输入详解！19．8【解析】【分析】根据幂的乘方可得再根据同底数幂的乘法法则解答即可【详解】∵即∴解得故答案为：8【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键解析：8【解析】【分析】根据幂的乘方可得293m m =，3273=，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【详解】∵22139273m ⨯⨯=，即22321333m 创=，∴22321m ++=，解得8m =，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．20．y(x ＋y)(x －y)【解析】【分析】（1）原式提取y 再利用平方差公式分解即可【详解】原式=y （x2-y2）=y （x+y ）（x-y ）故答案为y （x+y ）（x-y ）【点睛】此题考查了提公因式法与公式法解析：y(x ＋y)(x －y)【解析】【分析】（1）原式提取y ，再利用平方差公式分解即可.【详解】原式=y （x 2-y 2）=y （x+y ）（x-y ）,故答案为y （x+y ）（x-y ）.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三、解答题21．证明见解析.【解析】试题分析：首先根据互余的等量代换，得出∠EBC=∠EBD，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明．试题解析：∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC.∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠EDB -∠BDC=∠ACB -∠BCD，即∠ECD=∠EDC，即DE=CE ，∴点E 在CD 的垂直平分线上.又∵BD=BC，∴点B 在CD 的垂直平分线上，∴BE 垂直平分CD ．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键．22．2b【解析】【分析】首先根据三角形三边之间的关系得出绝对值里面的数的正负性，然后再进行去绝对值计算，得出答案.【详解】∵b+c-a>0, b-c-a<0. c-a-b<0, a-b+c>0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|=(b+c-a)-(b-c-a)-(c-a-b)-(a-b+c)=(b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b23．无解【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的计算得出到x 的值,经检验即可得到分式方程的解. 本题解析：对方程进行变形可以得到21212339x x x +=+--去分母可得到整式方程 ()32312x x -++=解得x =3，将检验当x =3时最简公分母290x -=，所以x =3是分式方程的增根，方程无解点睛：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根，去分母时不要漏乘不含未知数的项﹣1．24．见解析【解析】试题分析：（1）根据角平分线性质可证ED =EC ，从而可知△CDE 为等腰三角形，可证∠ECD =∠EDC ；（2）由OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，OE =OE ，可证△OED ≌△OEC ，可得OC =OD ；（3）根据ED =EC ，OC =OD ，可证OE 是线段CD 的垂直平分线．试题解析：证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC=OD；（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．点睛：本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相关知识．关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．25．详见解析.【解析】试题分析：（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．试题解析：证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOD和△BOC中，∵AO=BO，∠AOD=∠BOC，CO=DO，∴△AOD≌△BOC （SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．。

2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD 中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB 为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG ＝140°，即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）AB＝DF，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵C关于点E的对称点为F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如图2，连接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，∵FG＝FB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∴两圆的交点为G，∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可证△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，综上所述：∠CDG＝40°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．（3）结论：CD＝AE，证明△ABE≌△CAT（AAS），即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示．（2）证明：∵CD∥BE，∴∠CDE＝∠AEB，∵∠ADC＝∠BAC，∴∠ABC+∠ACB＝∠DAC+∠ACD＝∠CDE＝∠AEB，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∠BAE+∠DAC+2∠ABC＝180°，∴∠BAE+∠ABE+2∠ABC＝180°，∴∠CAD＝∠ABE．（3）解：结论：CD＝AE．理由：在AE的延长线上取一点T，使得CD＝CT，∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT，∵CD∥BE，∴∠AEB＝∠T，∵AB＝AC，∠ABE＝∠CAT，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，∴CD＝AE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①证明PQ＝P A＝PB，可得结论．②图形如图所示：结论：PC＝P A．证明∠APC＝90°，可得结论．（2）①如图2中，连接BC，CQ．证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠P AQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得结论．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）①∵P，Q关于AN对称，∴AP＝AQ，∠P AN＝∠QAN＝30°，∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝P A，∵点P为线段AB的中点，∴PB＝P A，∴PQ＝P A＝PB，∴∠AQB＝90°．②图形如图所示：结论：PC＝P A．理由：∵∠AQB＝90°，A，C关于BQ对称，∴AQ＝QC，∴PQ＝QC＝AQ，∴∠CP A＝60°，∴＝tan60°，∴PC＝P A．（2）①如图2中，连接BC，CQ．∵A，C关于BQ对称，∴BC＝BA，CQ＝AQ，∵BQ＝BQ，∴△BQC≌BQA（SSS），∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，∵∠APQ＝60°，∴∠BPQ＝120°，∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，∴B，P，Q，C四点共圆，∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，∵∠APC+∠CPB＝180°，∴∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴∠PDQ＝120°，∴∠DQP+∠DPQ＝60°，∴∠CPQ＝60°﹣α．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．∵∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴A，P，D，Q四点共圆，∴∠PDT＝∠PQA＝60°，∵DT＝DP，∴△PDT是等边三角形，∴PD＝PT，∠DPT＝∠QP A＝60°，∴∠DPQ＝∠TP A，∵PD＝PT，PQ＝P A，∴△DPQ≌△TP A（SAS），∴DQ＝TA，∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，∵A，C关于BQ对称，∴DC＝AD，∴CD＝DP+DQ．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．（3）结论：EF＝AF+BF．如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．证明△FCA≌△TCE（SAS），推出AF＝ET，可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵AB＝AC＝AE，∴点A是△BCE的外心，∵∠CAE＝60°，∠CBE＝∠CAE，∴∠CBE＝30°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝90°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣30°＝60°．（3）结论：EF＝AF+BF．理由：如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．∵AD垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD＝∠AFE＝60°，∴∠CFE＝60°，∵FT＝FC，∴△CFT是等边三角形，∴CF＝CT，∠FCT＝60°，∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴CA＝CE，∠ACE＝∠FCT＝60°，∴∠FCA＝∠TCE，∴△FCA≌△TCE（SAS），∴AF＝ET，∴EF＝FT+ET＝BF+AF．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE＝DE．延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）结论：AD+BE＝DE．理由：延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．∵AD⊥CP，DF＝DE，∴CE＝CF，∴∠DCF＝∠DCE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝45°，∵∠DCA+∠ACF＝∠DCF＝45°，∴∠FCA＝∠ECB，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∴AD+BE＝DE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）按要求作图即可；（2）△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、M、D、E共圆，证明△AMD≌△EDM得AD＝ME，从而可得MC＝AE+BD．【解答】解：（1）补全图1如下：（2）当M在线段BD延长线上时，如上图1，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠ADM＝∠AEM，当M在线段BD上时，如上图2，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠AEC+∠AEM＝180°，∴∠ADM+∠AEM＝180°，故答案为：∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）MC＝AE+BD，理由如下：连接AM，△AMD和△AME公共边为AM，且∠ADM＝∠AEM，∴A、M、D、E共圆，如图：∵A、M、D、E共圆，∴∠MAD＝∠MED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴AD＝AE，BD＝EC，∴∠ADE＝∠AED，∴∠EDB＝∠AED，∴BM∥AE，∴∠DME＝∠AEM，∵∠ADM＝∠AEM，∴∠DME＝∠ADM，在△AMD和△EDM中，，∴△AMD≌△EDM（AAS），∴AD＝ME，∴AE＝ME，∵MC＝ME+EC，∴MC＝AE+BD．【点评】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是利用A、M、D、E共圆，证明△AMD ≌△EDM．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD＝120°，则∠BPM+∠PBD＝180°，所以PM∥BD．（2）延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，则有CM⊥BM，CM＝MB．【解答】解：（1）有题意可得，∠CAP＝60°，且AP＝AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC＝60°，∴∠BPM＝60°，又∵∠PBD＝120°，∴∠BPM+∠PBD＝180°，∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MB，CM＝MB，理由如下：如图2，延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM＝MD，GM＝BM，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG＝BD，AG∥BD，∴∠BAG＝180°﹣∠ABD＝60°，∴∠CAG＝120°，∵△APC是等边三角形，∴AC＝CP，∠CPB＝120°，∵PB＝DB＝AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG＝CB，∠ACG＝∠PCB，∴∠GCB＝60°，∴△CBG是等边三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BM，CM＝MB．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE．【解答】解：（1）①∵∠CDB＝90°，CD＝DB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠DBE＝∠DBC﹣∠ABC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠CDB，∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠ABD＝90°，∴∠CDE＝∠DBE＝25°；②AE＝BE，理由如下：如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点C，点B，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE；（2）不变，理由如下：如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点B，点C，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，垂径定理等知识，证明点A，点B，点C，点H四点共圆是本题的关键．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC，理由如下：过D作DH⊥CB于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH+BH＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：EF＝FC+AC，理由如下：过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH+BC＝FC+AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）①根据题意即可补全的图形；②过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，结合（1）证明△AGC≌△CHE 可得CG＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，进而可得结论．【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α，∴∠ACB＝∠B＝＝90°﹣，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣﹣90°+α＝；（2）①如图即为补全的图形；②＝，证明：∵∠ACE＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣﹣＝90°﹣α，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠CEA＝＝45°+，∵∠AEC＝∠F+∠ECF，∴45°+＝∠F+，∴∠F＝45°，过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，∴∠BAG＝∠CAG＝，在△AGC和△CHE中，，∴△AGC≌△CHE（AAS），∴CG＝EH，∵∠F＝45°，∴FH＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，∴BC＝2CG＝2x，∴＝＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可【解答】解（1）图形如图所示．过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，∴HB＝EC＝2，∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．（2）结论：BF+BD＝BE．理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，∵HE+BH＝BE，∴BF+BD＝BE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD ﹣∠ACB即可得到结论；（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠P AD＝α，由等腰三角形的性质可求解；②在AE上截取AF＝CD，根据全等三角形判定的SAS定理证得△BAF≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BD，进而得到AE＝CD+BD．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠ACD＝90﹣∠P AC＝90°﹣10°＝80°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；（2）①证明：如图，连接AD，根据题意得，AO⊥CD∵∠P AC＝α，∴∠ACD＝90°﹣α，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠P AD＝∠P AC＝α，∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，∴∠BCD＝∠BAE；②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BCD＝∠BAE，∴△BAF≌△BCD（SAS），∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，∴AE＝AF+EF＝CD+BD．【点评】本题考查了几何变换综合题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC ＝2∠AEB；（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．【解答】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，∴AD＝AE，∵正方形ABCD，∴AB＝AD＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵BG∥AF，∴∠AEB＝∠GBE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，∴∠ABG＝2∠AEB，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BGC＝∠ABG，∴∠BGC＝2∠AEB；（2）补全图2如下：线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，又DN＝AH，∴△ADN≌△BAH（SAS），∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，∵∠DNA+∠DAN＝90°，∴∠DAN+∠AHB＝90°，∴∠APH＝90°，∴∠BPM＝∠BP A＝90°，由（1）知∠ABE＝∠GBE，且BP＝BP，∴△ABP≌△MBP（ASA），∴AB＝MB，而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，∴△ABH≌△MBH（SAS），∴∠HAB＝∠HMB＝90°，∴A、H、M、B共圆，∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，∴∠DNA＝∠GMN，∴GN＝GM，∵CF∥AB，BG∥AF，∴四边形ABGF是平行四边形，∴BG＝AF，∵AE＝AD＝AB＝MB，∴EF＝GM，∴EF＝GN，∵GN＝DG+DN，∴EF＝DG+AH．【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将AH+DG转化为GN．。