一元二次方程应用题(3面积问题)

1 专题 一元二次方程的应用（三）面积问题
一、彩带问题
1．如图一块草地长为32m ，宽为20m 的矩形，欲在中间修筑宽带相等的小路，要使草坪面积为540㎡，求小路的宽．
2．如图,要设计一幅长60cm ,宽40cm 的图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩 条宽度比为1∶2,若彩条所占面积,是图案面积的2
1,求一条横彩条的宽度．
二、围墙问题
3．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
(3)若墙长为a 米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
4.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图所示）由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米，如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元，（池墙的厚度忽略不计）
（1）当三级污水处理池的总造价诶47200元时，求池长x ；
（2）如果规定总造价越低越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。

2m
A B。

一元二次方程面积问题例1：将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．:解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×13，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系例2：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得x1=44（舍去），x2=2解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6 解得，x1=44（舍去），x2=2 答：略练习1、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少。

一元二次方程应用题专题训练一、面积问题1. 题目- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。

- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。

根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。

展开方程得到x²+2x - 100 = 0。

对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 + 400=404。

则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。

因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。

2. 题目- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。

- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。

那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。

根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。

这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =4+(3√(6))/(2)分米。

A B CD16米草坪 一元二次方程应用一、同步知识梳理列方程解应用题的步骤及注意的问题： （1）设未知数和做答时，单位要写清楚。

（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致。

（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉。

（4）对于求得的方程的解，还要看它是否有实际意义。

因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性。

二、同步题型分析题型一：面积问题判断清楚要设什么是关键例1、如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．100×80－100x －80x ＝7644B ．（100－x ）（80－x ）＋x 2＝7644C ．（100－x ）（80－x ）＝7644D ．100x ＋80x ＝356答案：C例2、兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．x （x －10）＝200B ．2x ＋2（x －10）＝200C ．2x ＋2（x ＋10）＝200D ．x （x ＋10）＝200解析：矩形草坪的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则长为（x ＋10）米，由矩形草坪的面积为200平方米，可列方程为x （x ＋10）＝200。

故选D 。

点评：本题考查列一元二次方程；由实际问题转化成几何图形，再根据长方形的面积公式得到一元二次方程是解决本题的基本思路，难度较小。

例3、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长。

解：设BC 边的长为x 米，根据题意得321202xx-=， 解得：121220x x ==，， ∵20＞16， ∴220x =不合题意，舍去答：该矩形草坪BC 边的长为12米。

九年级上册数学一元二次方程应用题一、面积问题。

1. 用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。

解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长为(80 2x)cm，宽为(602x)cm。

根据长方体底面积公式：长×宽 = 面积，可列方程：(80 2x)(60 2x)=1500展开括号得：4800-160x 120x+4x² = 1500移项化为一元二次方程的一般形式：4x²-280x + 3300=0两边同时除以4得：x² 70x+825 = 0因式分解得：(x 15)(x 55)=0解得x₁=15，x₂ = 55。

因为60 2x>0，即x<30，所以x = 55不符合题意，舍去。

所以截去的小正方形的边长为15cm。

2. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。

解析：设一条直角边为x cm，则另一条直角边为(14 x)cm。

根据直角三角形面积公式：(1)/(2)×一条直角边×另一条直角边 = 面积，可列方程：(1)/(2)x(14 x)=24去括号得：7x-(1)/(2)x²=24移项化为一元二次方程的一般形式：(1)/(2)x²-7x + 24=0两边同时乘以2得：x²-14x + 48 = 0因式分解得：(x 6)(x 8)=0解得x₁ = 6，x₂=8。

当x = 6时，14 x = 8；当x = 8时，14 x=6。

所以两条直角边的长分别为6cm和8cm。

二、增长率问题。

3. 某工厂一种产品2019年的产量是100万件，计划2021年的产量达到121万件。

假设2019年到2021年这种产品产量的年增长率相同。

(1)求2019年到2021年这种产品产量的年增长率；(2)2020年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)设年增长率为x。