第1节〓圆的有关性质.ppt

A
A
C
B
B C
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
A ·O1 C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D
B
A
C
实际上这两条弧弯曲程度不同
A
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知 素养考点 1 圆的定义的应用
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理

1． 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB 的度数等于 64°. 2．如图，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长为 8.
3．如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6，那么 BD ＝3 3.
1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中 点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的 ． 2．圆心角、圆周角性质的应用． 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用．
(1)(2010·重庆)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC 的
∴AB＝2OB＝4OP＝4 3 cm. (2)①∵AB 是半圆的直径，点 C 在半圆上， ∴∠ACB＝90°.在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 ②∵PE⊥AB，∴∠APE＝90°. 又∠ACB＝90°， ∴∠APE＝∠ACB.又∵∠PAE＝∠CAB， ∴△AEP∽△ABC，∴BPEC＝AACP ，∴P6E＝10×8 12，∴PE＝145.
A．17 cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm 或 7 cm
(4)(2010·南通)如图，⊙O 的直径 AB＝4，点 C 在⊙O 上，∠ABC＝30°，则 AC 的长是( )
A．1
B. 2
C. 3
D．2
【点拨】本组题主要考查圆的有关基本知识，掌握有关性质或定理是做好此类题的关键．
【解答】(1)∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×70°＝140°，故选 A.
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心 距相等．

圆周角定理及其推论(必考) 4．(2019 安徽，13，5 分)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30 °，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长 为 2．
【解析】本题考查圆周角定理和三角函数等，体现了逻辑推理和 数学运算的核心素养．如图，连接 OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝60°. 又∵OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，∴BC＝OB＝2.又∵∠CDB ＝90°，∠CBD＝45°，CD＝BC·sin45°＝2× 22＝ 2.
弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为 r、弦长为 a、 弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于 四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出 其余两个量．
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见 的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了 解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的延长 线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位： cm)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO1 的长度为 61 cm.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的⑳____内__对__角____， 如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到 弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问 题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常 结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在 一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦_平__分___这条弦，并且平分弦所对 的两条弧．

参考答案：
5m
5m
4m
O
6.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或
等于3cm的点组成的图形.
·
O
2cm
课堂小结
同心圆
定
义
有
概
等圆
等弧
同 圆 半 径 相 等
集 合 定 义
圆
同圆
要素：圆心和半径
旋 转 定 义
关
念
弦（直径）
弧
直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径
劣
弧
半
圆
优
弧
能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧
• 求证：OC=OD．
• 证明：∵OA、OB为⊙O的半径，
• ∴OA=OB.
• ∴∠A=∠B.
• 又∵AC=BD，
• ∴△ACO≌△BDO.
• ∴OC=OD.
综合应用
• 7.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，求证：A、B、C三点在同一个圆上.
• 证明：作AB的中点O，连接OC.
• ∵△ABC是直角三角形.
半 圆 是 特 殊 的 弧
24.1.1 圆
推进新课
知识点1 圆的定义
圆的概念
如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一
个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫
做圆．
A
固定的端点 O 叫做圆心；
线段 OA 叫做半径；
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，
读作“圆O”．
r
·
O
O
同心圆
等圆
集合性定义(静态)：圆心为 O、半径
为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距
离等于定长 r 的点的集合．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )

(2)由圆的定义可知:圆是一条封闭的曲线,不是圆面.确定圆的两
个条件是圆心和半径,其中圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
4
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
例1 下列条件中,能确定圆的是(
)
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心,以5 cm长为半径
D.经过已知点A
解析:根据圆的定义对各选项进行判断:A,点O为圆心,半径不确
知识点二
例2 如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,∠BCD=30°,下列
结论:①AE=BE;②OE=DE;③AB=BC;④BE=
DE.其中正确的是
3
(
)
A.① B.①②③
C.①③
D.①②③④
20
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
解析:根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出
中的弦有AB,BC,CE共三条.
答案:B
8
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
抓住“弦是端点在圆上的线段”是解决本题的关键.
9
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
例3 如图,在☉O中,半径有
有
,弦有
,劣弧有
有
.
,直径
,优弧
解析:根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义分别求解.
答案:OA,OB,OC,OD AB AB,BC , , , ,
知识点二
知识点一圆的轴对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
名师解读:不能错误地说成“圆的任何一条直径都是圆的对称轴”,

You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
教学重点、难点
• 教学重点：圆的有关性质的综合运用。 • 教学难点：典型题型的解题思路与方法。
教学方法：
启发式、讨论式
教学准备：
• 学生复习整理教材第62~102页的知识结 构。
教学过程：
• （一）复习 师生共同整理知识结构，使知识网络 化。
圆的有关性质
圆（等圆、同圆、同心圆）
概念 弦（直径）、弦心距 弧（半圆、劣弧、优弧、等弧、弓形）
C
• B.复习巩固运用“中
C
间化”进行证明题的
思路˛方法.
(3)如图4,若AC垂直BD,此时 有:EH⊥BC⇔AM=MD.若AM=MD,则OM=BC.
• 说明:强调图中两 个重要直角三角形. 复习证明线段倍分 的常用方法.
B
A A
E D
C
D C
(2)如图6,若AB=AD=BD,则有①CB+CD=CA; ②
圆心角、圆周角
过一点的圆 点与圆 过两点的圆
过三点的圆（三角形外心的定义、 位置、性质）
等对等定理 垂径定理及推论 重要性质 圆周角定理及推论 圆内接四边形性质
（二）举例与练习
• 例题：如图1，圆内接四边 形ABCD的对角线相交于 点E。
• （1）找出相等的圆周角 • （2）写出相似的三角形
B
A A
初中平面几何
《圆的有关性质》复习课
教学内容

7.1.4 圆周角定理及推论
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. （2）推论：半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所 对 的弦是直径.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
7.1.5 圆内接四边形
（1）定义：如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个 四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. （2）性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于 它的内对角.
【例1】如图，在⊙O中， A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直 径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 35 度.
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. （3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
【例1】在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，
位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以
为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、
（3）正多边形的有关计算：
①边长：an=2Rn·sin180°/n
②周长：Pn=n·an
③边心距：rn=Rn·cos180°/n
④面积：Sn=
1 2
an·rn·n
⑤内角：n 2180
n
⑥外角：360
n
⑦中心角： 36n0（Rn为正多边形的半径，rn为边心距，an为边长）
7.3.2 圆的周长与弧长公式

汽车设计
圆形在汽车设计中也扮演着重要的角色。汽车的轮胎是圆形的，轮毂也是圆 形的。圆形的设计使得汽车能更好地行驶和转向，同时也增加了汽车的美观 度。
04
圆的数学性质
圆的方程
标准方程
$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$
一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F= 0$
参数方程
$x=r\cos\theta+a$， $y=r\sin\theta+b$
月球
月球的形状也是近似于一个球体，这是由于引力的作用使得月球保持圆形。圆形 使得月球能更均匀地承受太阳辐射，从而保持了月球表面的温度。
圆在建筑中的应用
古代建筑
在古代建筑中，圆形是一种常见的形状，如古罗马的斗兽场 、中国的天坛等。这些建筑利用了圆形的旋转对称性和稳定 性，使得它们能更稳固地承受重力。
圆与直线的关系
相交
当直线与圆相交时，它们有且 仅有一个交点
相切
当直线与圆相切时，它们没有公 共点，但它们之间的距离等于圆 的半径
相离
当直线与圆相离时，它们之间没有 交点，并且它们之间的距离大于圆 的半径
圆与圆的关系
内含
内切
当一个圆完全包含在另一个圆内时，它们之 间没有公共点，并且小圆到大圆的距离小于 大圆的半径
圆的绘制方法
圆规法
用圆规画圆，固定圆规的一个脚，移动另一个脚可以画出不同大小的圆
测量法
通过测量长度来画圆，用线段绕一个点一周回到原点，线段长度即为圆的周 长
圆的用途
圆形物体在生活和工作中随处可见，如车轮、圆形管道、 圆形井盖等
在平面几何中，圆也是基本图形之一，可以由此引申出很 多其他几何图形

与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段（如图AC）
叫做弦，
注意: 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1、弦和直径都是线段。 2、直径是弦,是经过圆心的特殊 弦，是圆中最长的弦但弦不一定 是直径.
B
O·
A
C
弧
圆 为上端任点意 的两 弧点 记间作的A⌒部B 分，叫读做作“圆圆弧弧，A简B称”或弧“．弧以A、B
从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一 个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图 形叫做圆．
AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧叫做劣弧. （如图中的A⌒C） 大于半圆的弧叫做优弧. (用三个字母表示,如图中的A⌒CB)
B
O·
A
C
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？ 说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为 圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖 端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]