高等土力学

论述极限平衡理论的应用与发展状况—高等土力学读书报告1.前言边坡稳定分析是土力学中很值得研究的一个学术领域，而极限平衡法则在边坡稳定分析方法中应用是最早最广泛的。

该法以Mohr -Colomb强度理论为基础，通过分析土体在破坏那一刻的静力平衡来求得问题的解。

它没有像传统的弹塑性力学那样，引入应力应变关系来求解本质上为静不定的问题，而是引入了一些简化假定，从而使问题变得静定可解。

这种处理使方法的严密性受到了损害，但对稳定性计算结果的精度影响并不大，由此带来的好处是使分析计算工作大为简化。

这也是迄今为止国内外对边坡稳定问题的分析仍广泛采用极限平衡法的原因所在。

2.常用的极限平衡方法极限平衡法[1-2]是以极限平衡理论为基础，通过分析边坡上的滑体或滑块处于临界状态下的力的情况，求出极限破坏荷载和最危险滑动面，是工程实践中应用最早、最普通的一种定量分析方法，也是目前应用最多的一种分析方法。

边坡极限平衡法关键是建立在岩土边坡稳定安全系数Fs的基础上，将坡体的热剪强度参数降低Fs倍后，达到临界破坏状态下的滑动面满足Mohr-Coulomb强度准则。

极限平衡分析法基本假设有两点：一是认为当坡体的强度指标降低Fs倍以后，坡体内存在一达到极限平衡状态的滑面，滑体处于临界失稳状态。

这里，Fs 为坡体的稳定性系数。

第二点是认为对滑体进行剖分后，各条块为刚性块体，只发生整体运动而不变形。

目前己有了多种极限平衡分析方法，如：Fellenius法、Bishop法、Jaubu法、Morgenstern-Prince法[3-4]、Spencer法、不平衡推力法、Sarma法[5]、楔体极限平衡分析法等等。

其中Sarma法既可用于滑面呈圆弧形的滑体，又可用于滑面呈一般折线形滑面的滑体极限平衡分析；楔体极限平衡分析则主要用于岩质边坡中由不连续面切割的各种形状楔形体的极限平衡分析。

与其它方法相比，极限平衡法的缺点是在力学上作了一些简化假设，但该方法抓住了问题的主要方面，且简易直观，并有多年的实用经验，若使用得当，将得到比较满意的结果。

这里极限平衡法通常指的是二维极限平衡法，严格来说边坡稳定性问题是三维问题，越来越多的工程提出了建立三维边坡稳定分析的要求(Seedetal，1990：Morgenstern，1992)。

目前，边坡三维稳定分析方法[6]和程序开发方面的工作还远不能满足要求，大部分限于学术领域，未见实际应用。

自Coulomb提出了极限平衡法以来，相继产生和发展了许多以塑性极限平衡理论为基础的岩体边坡稳定性分析方法，主要包括：○1极限平衡法(LEM)，假定潜在滑动岩体在极限平衡状态下必须满足力学平衡条件、运动学条件(如滑移模式)，并且在物理学上不违背破坏准则，通过分析潜在失稳岩体的力学关系，确定边坡的临界稳定安全系数。

○2极限分析法(LAM)，它是以Drucker和Prager 等提出的塑性极限分析理论的上限定理和下限定理为基础所建立的力学分析方法。

自70年代以来，广泛应用于求解土体的稳定性问题。

其中Chen全面阐述了用上限定理来求解地基承载力、土压力和边坡稳定性的原理和方法。

在上限和下限分析中，其各自的关键所在是运动许可速度场和静力许可应力场的构造技术及其优化分析。

○3滑移线场方法(SLM)，滑移线场方法包括由Sokolovskii等人提出的静力学理论和Hansen等人提出的运动学理论，它是一种分别采用速度和应力滑移线场的几何特性求解极限平衡方程的数学方法，在数学算法上存在一定的困难.○4现代岩土数值方法在极限平衡分析中的应用。

2.1 Fellenius法Feellnius法（费伦纽斯法）亦称瑞典圆弧法，是根据土坡极限平衡稳定进行计算的。

自然界均质土坡失去稳定时，通常粘性土坡的滑动曲面接近圆弧，可按圆弧计算，所以称为圆弧法。

圆弧法是条分法中最古老而又最简单的方法，由于不考虑条间力的作用，严格地说，对每个土条力的平衡条件是不完全满足的，对土条本身的力矩平衡也不满足，仅能满足整个滑动土体的整体力矩平衡条件。

由此产生的误差，一般使求出的稳定系数偏低10%到20%，而且这种误差随着滑动面圆心角和孔隙压力的增大而增大。

此方法假定滑裂面形状为圆弧形。

不考虑条件作用力，由土条竖向力平衡确定条底反力，确立力矩平衡方程，用滑裂面的抗滑力矩与该曲面以上的土体滑动力矩之比即为安全系数，经过多次试算可得出最小系数，但是计算精度较低，结果比真实值低。

2.1.1简化条件该方法的简化条件：1．滑面形状：瑞典法使用圆弧滑裂面。

2．对多余未知力的假定：假定作用在土条侧向垂直面上的E 和X 的合力平行于土条底面。

3．静力平衡：（1）建立在土条底面法线法向静力平衡方程，如图(2-1)所示，△N ′为：)sec (ααμr COS W N -∆='∆ （2-1）（2）通过整体对圆心的力矩平衡确定安全系数：R h R Q R W T Q d N d ==∆+∆+∆-∑1-n ,0)sin (α (2-2)式中：h Q 为水平地震力和圆心的垂直距离。

土条总数为N 。

2.1.2分析步骤首先作以下假定：1.滑动面为圆柱面及滑动土体为不变形的刚体；2.不考虑土条两侧面上的作用力，这样减少了(3n-3)个未知量，还剩下（n+l ）个未知量(土条底面法向力N i ，安全系数为Fs)。

然后利用土条底面法向力的平衡条件求N i ，再用整个土体力矩平衡条件求出凡Fs 。

图2-2所示为一均质土坡，AB 是假定的滑动面，其圆心为O ，半径为R 。

将滑动土体分成若干土条，取其中任意一分条i 分析其受力情况。

若没有其它的外荷载且不考虑土条侧面上的作用力，则第i 土条上作用的力有：（l ）土条自重W i =rh i b i ，力方向垂直向下，作用于土条中心。

式中，r 为土体容重，b i ，h i 分别为土条的宽度和高度。

（2）作用在土条底面上的法向反力为N i ，其作用线通过圆心，与通过圆心的垂线交成α角。

（3）作用于土条底面上的切向力为T i ，当土坡有向下滑动的趋势时，它就是滑动面上的抗滑阻力，其可能发挥的最大值等于土条底面上土的抗剪强度与滑弧长度l i 的乘积。

即：ϕϕστtan )tan (i i i i i i f i N l c l c l T i +=+== （2-3）根据土条底面法向力的平衡条件，很容易得到N i =W i cos αi 。

再将所有土条对圆心O 求力矩平衡，其滑动力矩为：∑∑==i i i i W R W Ms αsin x （2-4）抗滑力矩为：∑∑∑+=+==ϕαϕtan cos )tan l (i i i i i i i R W cl R N c R R T M （2-5）因此，土坡滑动面的抗滑稳定安全系数可表示为：∑∑+==ii i i i S R s W W cl M M F αϕαsin )tan cos ( （2-6） 对于均质土坡若取其各土条宽度均相同，上式也可简化为：∑∑∧+==i i i i S R s h b h b L c M M F αγαϕγsin cos tan （2-7） 式中为滑弧的弧长。

图2-1边坡稳定分析的简化方法示意图 图2-2瑞典法计算模式2.2简化Bishop法简化Bishop法假设条块间作用力的方向为水平，即假定只有水平推力作用，而不考虑条间的竖向剪力，于是可建立整体力矩平衡方程并由静力平衡条件求解安全系数。

简化Bishop法忽略了条间剪力差，使求解安全系数变得更方便，精度相对来说也没有降低。

该法也适用于圆弧滑动面。

与瑞典圆弧法相比，如上所述，它是在不考虑条块间切向力的前提下，满足力的多边形闭合条件。

也就是说，隐含着条块间水平力的作用，虽然在它的计算公式中水平作用力并未出现，但很多工程计算表明，该法与满足全部静力平衡条件的方法，如与Janbu法相比，结果甚为接近。

由于计算过程不很复杂，精度也比较高，所以，该方法是目前工程中很常用的一种方法。

简化Bishop法目前已被纳入各国规范。

简化Bishop 法考虑了土条间水平作用力，建立整体力矩平衡方程。

该方法适用于碎裂散体结构的岩质边坡和土质边坡，使用简单，尽管简化后无法绝对满足平衡条件，但是可以把破裂面近似看作圆弧状，并且误差低于1%，简化Bishop 法容易掌握，在实际工程中实用性强，被广泛采用，被认为是处理圆弧滑动面安全系数最有效的方法。

大量工程实践表明，简化的毕肖普条分法的计算结果与考虑静力平衡条件方法的计算结果十分接近。

由于其计算精度比较高，计算过程也并不复杂，因此，这种计算方法是当前工程实践中经常采用的方法之一。

2.2.1简化条件此法是在瑞典法的基础上提出的一种简化方法，它仍然保留滑裂面的形状为圆弧形和通过力矩平衡条件求解这些特点，毕肖普法与瑞典法实际上是属于同一类型的方法，但毕肖普法在公式推导时考虑了土条两侧的作用力，和土条底部反力N i；用有效法向应力N i′代替，考虑了作用于土条底部孔隙水压力u i的作用，其抗剪强度指标使用有效应力强度指标c′和φ′。

1．滑面形状：毕肖普法使用圆弧滑裂面。

2．对多余未知力的假定：假定x=0或β=0，即土条两侧作用力均为水平。

2.2.2分析步骤如图2- 3中，作以下假定：1．滑动面系以O 为圆心、以R 为半径的圆弧。

2．任意取一土条i ，其土条上的作用力有土条自重W i 、作用于土条底面的抗剪力界T i 、有效法向反力N i ′和孔隙水压力u i ，假定这些力的作用线都通过土条底面中点。

此外，在土条两侧还分别有法向力E i 和E i+1及切向力F i 和F i+1的作用。

取第i 土条，则在竖直方向力的平衡有：0cos sin /i =---∆+i i i i i i i b N T F W μαα （2-8）土条底部滑动面上的抗剪力：si i s i i s ifi i F N F l c F l T ///tan ϕτ+== （2-9） 将式(2-9)代入式(2-8)，解出解N i ′ ∞'--∆+=m F l c b F W N i s i i i i i i )sin (//αμ （2-10） 式中：Si i F m ϕαα'+=∞tan sin cos 然后将整个滑动土体对圆心O 求力矩平衡，此时相邻土条之间侧壁作用力的力矩将相互抵消，而各土条的N i ′及u i l i 的作用线均通过圆心。

其滑动力矩为：∑∑==i i i i W R W Ms αsin x (2-11)抗滑力矩为：∞∑∑∆+-+'==m F b W c R R T M I i i i i i i i R )tan )(b (ϕμ （2-12）式中， △F i 为未知量，为简便起见，取各土条的△F i 均等于零，则引起的误差约为2%-7%，可求出该滑动面的抗滑稳定安全系数为：∑∑∞'-+'=i i i i i i i i s W m b W b c F αϕμsin )tan )(( （2-13）若土条上作用有水平地震力或其他外力，他们所引起的滑动力矩为M i ；则上式改写为：∑∑∑+'-+'=∞）R M W m b W b c F ii i i i i i i i s αϕμsin ()tan )(( （2-14） 上式为简化毕肖普公式，在国内外广泛使用。