命题涉及重要考点清单

考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。

判断推理逻辑推理常考知识点一、逻辑推理基本概念。

1. 命题。

- 定义：可以判断真假的陈述句。

例如“今天是晴天”就是一个命题。

- 简单命题：不能再分解为更简单命题的命题。

像“小明是学生”。

- 复合命题：由简单命题通过逻辑联结词组合而成的命题。

如“小明是学生并且小红是老师”，其中“并且”就是逻辑联结词。

2. 逻辑联结词。

- 且（∧）：表示两个命题同时成立。

例如，命题p：小明是男生，命题q：小明是学生，那么p∧q表示小明是男生并且是学生。

当p和q都为真时，p∧q才为真。

- 或（∨）：表示两个命题至少有一个成立。

比如命题p：今天是周一，命题q：今天是周二，p∨q表示今天是周一或者是周二。

只要p、q中有一个为真，p∨q就为真。

- 非（¬）：对一个命题进行否定。

若命题p：小李是好人，那么¬p：小李不是好人。

p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。

3. 充分条件与必要条件。

- 充分条件：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，但未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。

例如，如果天下雨（A），那么地面湿（B），天下雨是地面湿的充分条件。

- 必要条件：如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，A就是B的必要而不充分的条件，简称必要条件。

只有年满18周岁（A），才能有选举权（B），年满18周岁是有选举权的必要条件。

1. 三段论推理。

- 定义：由两个包含着一个共同项的性质判断作前提，得出一个新的性质判断为结论的演绎推理。

例如：所有的金属都能导电（大前提），铜是金属（小前提），所以铜能导电（结论）。

- 规则：- 在一个三段论中，有且只能有三个不同的项。

- 中项在前提中至少要周延一次。

- 在前提中不周延的项，在结论中也不得周延。

- 如果前提中有一个是否定的，那么结论也是否定的；如果结论是否定的，那么前提中必有一个是否定的。

高中数学命题及其关系知识点1、命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。

)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题是否命题同真同骗人。

2、对映射的概念了解吗?映射f：a→b，是否注意到a中元素的任意性和b中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?(一对一，多对一，容许b中存有元素并无原象。

)3、函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)4、反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x;②交换x、y;③标明定义域)5、反函数的性质有哪些?①互为反函数的图象关于直线y=x等距;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;6、函数f(x)具备奇偶性的必要(非充份)条件就是什么?(f(x)定义域关于原点对称)高中数学复习计划要注意进度的安排，应该前紧后松，而不能前松后紧。

因为随着日期的推移，人的疲劳度越来越深，效率会有所下降，后面多留些时间，有利于随机应变，从容不迫，减少紧张，增强自信心。

在模拟考试之前，所有的系统复习应该全部结束;模拟考试之后所要做的，只是查补细小的漏洞，调整心情和体力，稳定状态，坚定信心。

绝对无法与老师的复习计划二者两张皮，自搞出一套。

负责管理初三教学的老师，通常都存有数年甚至数十年的教学经验，对如何指导同学们展开中考集训非常存有心得体会，这样的老师明确提出的复习计划，就是绝对无法忽略的。

你必须搞的就是，针对自己的特定情况予以调整。

假如某一部分科学知识就是你掌控得极好、平时考试没什么问题的内容，就足矣花掉些时间;若某一部分科学知识就是研习得不好、问题比较多的内容，就要多花掉些时间，在顺利完成了老师布置的内容之后再多看看多想要几遍，另外自己打听一些有关的参照题目搞，非把它学坚实不容。

在时间上，可以比老师的计划略快一步，无法比老师的计划快。

一定要把握好“量”，要给自己留有余地。

要好好考虑自己订的计划的可行性。

把几本书全背上几遍固然好，可是从体力、时间上来说根本不可能。

常用逻辑用语（命题及其关系）知识点一、命题定义：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。

辨析：能够分辨哪一个是命题及其真假①判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假。

语句可分为疑问句、祈使句、感叹句与陈述句。

一般的，只有陈述句能分辨真假，其他类型的句子无所谓真假，我们把每个能分辨真假的陈述句作为一个命题。

②对于一个句子，有时我们可能无法判断其真假，但对这个句子却是有真假的，如：“太阳系外存在外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前确定其真假，但从事物的本质而言，句子本身是可以判断其真假的。

这类语句也称为命题。

语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。

③不判断真假的语句，就不能叫命题。

“ X<2”。

知识点二、四种命题1.原命题与逆命题即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等2.否命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.例如，⑶同位角不相等，两直线不平行；⑷两直线不平行，同位角不相等3.原命题与逆否命题即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.4.四种命题的形式一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用「种命题的形式就是：原命题：若p则q; 逆命题：若q则p ；否命题：若「p则「q；逆否命题：若「q贝归p.【例1】判断下列命题的真假。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华 判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________． 答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9， 故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2， 依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133， 因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。

简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“⌝”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⌝p. 符号⌝称作否定联结词，并规定⌝p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧⌝q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧⌝u) ∨(⌝t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧⌝w)∨(⌝v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“→”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. →称作蕴涵联结词，并规定，p→q为假当且仅当p 为真q 为假.p→q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p→q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“↔”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q. ↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p↔q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p↔q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：⌝, ∧, ∨, →, ↔，组成一个联结词集合{⌝, ∧, ∨, →, ↔}，联结词的优先顺序为：⌝, ∧, ∨, →, ↔; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (⌝A)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=⌝B, B是n层公式；(b) A=B∧C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B∨C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B→C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B↔C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层⌝p 1层⌝p→q 2层⌝(p→q)↔r 3层((⌝p∧q) →r)↔(⌝r∨s) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号，αi=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值α1α2…αn是▪指p1=α1, p2=α2, …, p n=αn▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值α1α2α3…是指▪p=α1,q=α2 , r=α3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q→p) ∧q→p的真值表例 B = ⌝ (⌝p∨q) ∧q的真值表例C= (p∨q) →⌝r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q→p)∧q→p，B =⌝(⌝p∨q)∧q，C= (p∨q)→⌝r1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式说明：定义中，A,B,⇔均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p→q) ⇔ ((⌝p∨q)∨ (⌝r∧r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p→(q→r) ⇔ (p∧q) →rp→(q→r) (p→q) →r⏹基本等值式双重否定律 : ⌝⌝A⇔A等幂律：A∨A⇔A, A∧A⇔A交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C) 德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B吸收律: A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A排中律: A∨⌝A⇔1矛盾律: A∧⌝A⇔0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A⇔B, 则Φ(B)⇔Φ(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式，置换规则）⇔(⌝p∨⌝q)∨r（结合律，置换规则）⇔⌝(p∧q)∨r（德⋅摩根律，置换规则）⇔(p∧q) →r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p→(q→r) (p→q) →r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德⋅摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解 (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解 ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A⇔0A为重言式当且仅当A⇔1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词⌝, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ⌝A(p1,p2,…,p n) ⇔A* (⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n)(2) A(⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n) ⇔⌝A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ⇔ B，则A*⇔ B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, ⌝q, p∨⌝q, p∨q∨r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, ⌝q, p∧⌝q, p∧q∧r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A∨A2∨⋯∨A r, 其中A1,A2,⋯,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A∧A2∧⋯∧A r , 其中A1,A2,⋯,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p∧⌝q∧r, ⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的→, ↔（若存在）(2) 否定联结词⌝的内移或消去(3) 使用分配律∧对∨分配（析取范式）∨对∧分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p→⌝q)∨⌝r解 (p→⌝q)∨⌝r⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p→⌝q)→r解 (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔ (p∧q)∨r（否定号内移——德⋅摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r) （∨对∧分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1≤i≤n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: ⌝m i ⇔M i , ⌝M i ⇔m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m1∨m3是主析取范式(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r) ⇔M1∧M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r , （析取范式）①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7 ,r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) , （合取范式）①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2,②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项⇔A的主合取范式为1.A为矛盾式⇔A的主析取范式为0⇔A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p→q)(2) (s∨u)(3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(5) (u→(p∧q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))④ A ⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A⇔ (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) （交换律) B= (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))1⇔ ((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r)) （分配律）B= (s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))2⇔ ((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u)) （分配律）B∧B2 ⇔ (⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)1∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u) 再令B3 = ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))得A⇔B1∧B2∧B3⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p→r, r→⌝s结论：s→q证明① s附加前提引入②p→r前提引入③r→⌝s前提引入④p→⌝s②③假言三段论⑤⌝p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。

命题与定理知识点总结命题和定理是数学中非常重要的概念，它们是推理和证明的基础，也是数学研究的重要工具。

在数学中，命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。

而定理则是已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

在数学中，命题与定理的概念有很重要的地位，下面我们将对命题与定理的知识点进行总结。

一、命题1. 命题的定义命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

命题是可以判断真假的陈述句，而不能同时为真和假的陈述句不能称为命题。

比如：“1+1=2”、“地球是圆的”等句子都是命题。

2. 命题的类型（1）简单命题简单命题是最基本的命题，它不含有任何连接词或者其他命题，并且可以明确的判断真假。

（2）合取命题合取命题由多个简单命题用“且”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的合取命题，只有所有的简单命题都为真时，该合取命题才为真，否则为假。

（3）析取命题析取命题是由多个简单命题用“或”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的析取命题，只有有一个简单命题为真时，该析取命题就为真，否则为假。

（4）否定命题否定命题是由一个简单命题用“非”连接而成，形式为~p，这种形式的否定命题，当原命题为真时，否定命题为假，当原命题为假时，否定命题为真。

二、定理1. 定理的定义定理是数学中已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题。

在数学上，定理是通过数学推理和证明得出的数学结论。

2. 定理的特点（1）定理是经过证明的命题定理是经过严格的数学证明和验证的，它是数学研究的成果之一。

（2）定理可以用来解决问题定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题，它是数学研究的重要工具。

（3）定理可以推广和应用定理可以根据特定的条件进行推广和应用，可以在实际问题中得到应用。

三、命题与定理的关系1. 命题与定理的联系命题与定理是数学中非常重要的概念，它们有着密切的联系。

命题是数学研究的基础，而定理则是通过命题推理和证明得出的数学结论。

命题的知识点总结命题是逻辑学中的一个重要概念，也是数学、哲学等学科中的重要内容之一。

了解命题的知识点对于理解逻辑思维和解决问题具有重要意义。

下面将总结命题的相关知识点，希望对广大读者有所帮助。

1. 命题的定义命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

可以通过简单句子或复合句子来描述一个命题。

例如，“今天是星期一”、“2加2等于4”都是命题。

而“请把门关上”、“明天下雨”则不是命题，因为它们既不为真也不为假。

2. 命题的种类命题有简单命题和复合命题之分。

简单命题是不能再分解为更小的命题的命题，而复合命题是由两个或多个简单命题通过逻辑联结词构成的命题，例如“如果今天下雨，我就留在家里”就是一个复合命题。

3. 命题的逻辑联结词逻辑联结词是用来连接命题的词语，包括合取（与）、析取（或）、蕴涵（如果……就……）和等价（当且仅当）等。

这些逻辑联结词能够体现命题之间的逻辑关系，是理解命题逻辑结构的关键。

4. 命题的真值表真值表是用来表示命题的真假情况的表格，其中列出了所有可能的真值组合和对应的命题值。

通过真值表可以清晰地了解命题之间逻辑关系。

例如，“p与q”、“p或q”、“如果p，则q”等命题都可以通过真值表来分析。

5. 命题的充分条件和必要条件充分条件指的是当某命题为真时，另一命题也为真；必要条件指的是当另一命题为真时，某命题也一定为真。

这两个概念是理解命题蕴涵关系的基础。

6. 命题的等价关系如果两个命题所表示的意思完全相同，那么它们是等价的。

等价关系是逻辑推理中的重要内容，能够帮助我们简化逻辑问题的推导。

7. 命题的逻辑运算逻辑运算是指对命题进行逻辑操作，包括否定、合取、析取、蕴涵、等价等。

了解命题的逻辑运算规则对于进行逻辑推理和解决问题有着重要的意义。

8. 命题的推理通过对命题的逻辑运算，可以进行推理过程。

推理是通过某些已知的命题推导出新的命题，是解决问题的基本思维方法之一。

以上就是命题的一些基本知识点总结。

命题知识点总结考点一、命题基础知识1.1 命题的概念命题是指陈述句，是能够明确真假的陈述性句子。

即使该命题陈述是一个问题，只要它可以被判断为真或假，我们就可以说它是一个命题。

1.2 命题的分类命题可以分为简单命题和合成命题。

简单命题是一个陈述不能再分解为更小的陈述，而合成命题则由多个简单命题通过逻辑连接词连接而成。

1.3 命题的逻辑连接词命题的逻辑连接词包括合取（∧）、析取（∨）、否定（¬）、蕴含（→）、双条件（↔）等。

1.4 命题的真值表命题的真值表列出了所有可能的命题组合及其真值，帮助理解逻辑连接词的真值。

1.5 命题的等价式等价式是指两个具有相同真值的复合命题间的等价关系，可以通过构造真值表进行证明。

1.6 命题的充分条件与必要条件充分条件和必要条件是复合命题关系的核心概念，充分条件P→Q表示如果P，则Q，必要条件P⇐Q表示只有Q才有P。

二、命题公式2.1 命题公式的概念命题公式是由命题变元及逻辑连接词组成的表达式，用来表示命题之间的逻辑关系。

2.2 命题公式的语法命题公式应遵循良型公式的语法规则，包括括号配对、逻辑连接词使用、命题变元使用等。

2.3 命题公式的语义命题公式的语义是指命题公式的真值，其真值由命题变元的真值及逻辑连接词的真值决定。

2.4 命题公式的等价变换命题公式的等价变换是指通过等价式进行命题公式的变换，得到具有相同真值的另一命题公式。

三、命题逻辑推理3.1 命题逻辑系统命题逻辑是数理逻辑的一个分支，研究命题之间的真值关系及其逻辑推理。

3.2 命题逻辑的演译规则命题逻辑的演译规则包括简化规则、合取式规则、析取式规则、假言式规则、双条件式规则。

3.3 命题逻辑的经典推理法命题逻辑的经典推理法包括假言推理、构造证明法、反证法、归谬法等。

3.4 命题逻辑的证明命题逻辑的证明应遵守演译规则，通过合法的推理步骤来证明一个命题。

3.5 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则包括假言推理、拒取规则、析取三段论等。

2024高考生物遗传学题型总结与知识点清单遗传学是生物学的重要分支，也是高考生物科目中的重要考点之一。

对于2024届的高考生来说，了解遗传学的考题类型和知识点，有助于他们更好地备考并取得理想的成绩。

本文将总结2024高考生物遗传学的题型，并列出重点知识点的清单，以供考生参考。

一、选择题选择题是高考生物遗传学中常见的题型，它要求考生从给定的选项中选择正确的答案。

以下是常见的选择题考点和知识点：1. 与遗传相关的基本概念：包括基因、染色体、等位基因等。

考生需理解这些概念之间的关系以及它们在遗传过程中的作用。

2. 遗传物质的结构与功能：涉及到DNA、RNA等的结构和功能。

考生需要了解DNA双螺旋结构、DNA复制、DNA转录和RNA翻译等基本过程。

3. 遗传规律：包括孟德尔遗传定律、连锁互换和重组等。

考生需要熟悉这些规律并能够运用到具体的遗传问题中。

4. 基因突变和遗传病：考生需要了解突变的概念、突变类型以及常见的遗传病。

例如，红绿色盲、血液型遗传等。

5. 遗传工程和基因工程：考生需要掌握基因重组技术、克隆技术以及它们在生物技术领域中的应用。

二、简答题除了选择题，高考生物遗传学部分还会涉及到一些简答题，要求考生理解和运用遗传学知识来回答问题。

以下是一些常见的简答题考点和知识点：1. 遗传物质的复制过程：包括DNA的复制机制、存在的问题以及相关修复机制。

2. 遗传物质的转录和翻译过程：涉及RNA的合成和功能转化。

3. 基因突变与遗传病的关系：简述基因突变对生物体的影响，以及常见遗传病的发生原因和传播方式。

4. 染色体的结构与功能：解释染色体的组成和作用，以及染色体异常与疾病的关系。

5. 遗传学应用于生物技术中的意义：就基因重组技术、基因治疗等方面进行探讨，以及对社会发展的影响。

三、计算题遗传学中的计算题需要考生运用所学知识，通过计算来解决遗传问题。

以下是一些常见的计算题考点和知识点：1. 多因素遗传交互作用的计算：涉及到基因型比例计算和表型比例计算。

-●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解"假设p，则q〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.*备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考察形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考察命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数*围问题，考察考生的逆向思维.一、知识梳理"名师一号"P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感慨句都不是命题。

2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否认知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念〔1〕充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。

〔2〕必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)〔3〕充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件〔既是充分又是必要条件〕"p 是q 的充要条件〞也说成"p 等价于q 〞、 "q 当且仅当p 〞等 (补充)2、充要关系的类型〔1〕充分但不必要条件定义：假设q p ⇒，但p q ⇒/， 则p 是q 的充分但不必要条件；〔2〕必要但不充分条件定义：假设p q⇒，但q p ⇒/， 则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕充要条件定义：假设q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔， 则p 、q 互为充要条件；〔4〕既不充分也不必要条件 定义：假设q p ⇒/，且p q ⇒/， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法："名师一号"P6 特色专题①定义法；②集合法；③逆否法〔等价转换法〕．逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件假设条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．〔1〕假设⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件〔2〕假设⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕假设B A =，则p 是q 的充要条件〔4〕假设B A ⊂/，且B A ⊃/， 则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----假设A 、B 具有包含关系，则〔1〕小*围是大*围的充分但不必要条件〔2〕大*围是小*围的必要但不充分条件二、例题分析〔一〕四种命题及其相互关系例1.(1) "名师一号"P4 对点自测1命题"假设*，y 都是偶数，则*＋y 也是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设*＋y 是偶数，则*与y 不都是偶数B ．假设*＋y 是偶数，则*与y 都不是偶数-C．假设*＋y不是偶数，则*与y不都是偶数D．假设*＋y不是偶数，则*与y都不是偶数答案 C例1.(2) "名师一号"P5 高频考点例1以下命题中正确的选项是( )①"假设a≠0，则ab≠0〞的否命题；②"正多边形都相似〞的逆命题；③"假设m>0，则*2＋*－m＝0有实根〞的逆否命题；④"假设*－123是有理数，则*是无理数〞的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④解析:①中否命题为"假设a＝0，则ab＝0〞，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意："名师一号"P5 高频考点例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比拟每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的"逆命题〞"否命题〞"逆否命题〞；判定命题为真命题时要进展推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．例1.(3) "名师一号"P4 对点自测2(2014·**卷)原命题为"假设z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．注意："名师一号"P5 问题探究问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；-互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比拟困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注"特例法〞的应用．例2．(1)(补充)〔2011**文5)a ，b ，c ∈R ，命题"假设a b c ++=3，则222a b c ++≥3〞的否命题．．．是〔 〕 (A)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++<3(B)假设a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3(D)假设222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A 来 【解析】命题"假设p ，则q 〞的否命题是："假设p ⌝，则q ⌝〞 例2．(2)(补充)命题："假设0xy =，则0x =或0y =〞的否认．．是：________ 【答案】假设0xy =，则0x ≠且0y ≠【解析】命题的否认只改变命题的结论。

期末复习考点汇总（四）第一章逻辑考点一、四种命题及其相互关系（1）原命题与逆否命题同真假（2）逆命题与否命题同真假（特别提示：当否命题不好判断真假时，可考虑逆命题）（3）命题的否定与否命题的区别例1、下列有关命题的说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B．命题“”的否定是“，，”；C．命题“若，则”的逆否命题是假命题；D．已知，命题“若是奇数，则这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题.【答案】B例2、命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D考点二、充分条件、必要条件做这类题主要由两种方法：（1）把命题P，q分别化为最简，再看谁的范围大，谁的范围小；（2）当方法一困难时，利用前推后，后推前的原则；（3）利用原命题与逆否命题等价的原则做题，如是成立的（）等价的问法为q是p成立的（）；（4）注意语序的变化，例3、“m=4”是“直线(m+2)x+2my-1=0与直线(m+)x+(m+2)y+3=0相互平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】A 例4、命题p：|x|<1，命题q：，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B考点三、或、且、非的正确理解对真值表的理解（1）p或q 有真必真（2）p且q 有假必假（3）p真，非p为假例5、已知命题“或”为真，“非”为假，则必有（）A．真假 B．真假C．真真 D．真，可真可假【答案】D例6、已知命题R，R，给出下列结论：①命题“”是真命题②命题“”是假命题③命题“”是真命题④命题“”是假命题, 其中正确的是( )A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③【答案】B考点四全称量词、存在量词主要靠如下三种题型（1）、命题“对任意的32,10x R x x∈-+≤”的否定是（）.A存在32,10x R x x∈-+>.B存在32,10x R x x∈-+≤.C不存在32,10x R x x∈-+≤.D对任意的32,10x R x x∈-+>错解B：对含有量词的命题的否定，片面的认为只否定结论，不否定量词（2）、若命题“,x R∃∈使2(1)10x a x+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 .错解),3()1,(+∞⋃--∞ 不能认真审题，对题意一知半解解做，对含有量词的命题的本身意义不理解 3、（1）命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是_____________________________________（2）命题“零向量与任意的向量平行”的否定是______________________________________ （3）命题“双曲线的离心率小于1”的否定是_____________________________________复习中的易错题10、若实数b a ,满足0,0,a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记b a b a b a --+=22),(ϕ，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的 条件 ( ).A 必要不充分 .B 充分不必要 .C 充要.D 即不充分也不必要错解A ：逻辑性不强，忽视0≥+b a 这一隐藏条件若命题“,x R ∃∈使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 .错解),3()1,(+∞⋃--∞ 不能认真审题，对题意一知半解解做，对含有量词的命题的本身意义不理解16．(2011年南昌一模)下列命题错误的是________(1)．已知p ：1x ＋1>0，则¬p ：1x ＋1≤0(2)．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件(3)．命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则¬p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0(4)．存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立错解：(1)(4) 对（1）常见的错误是直接否定不等号，对（4）不会利用伸缩变换公式求范围解析：对于A ，¬p 应是x ＋1≤0，因此A 不正确；对于B ，在△ABC 中，a >b ⇔A >B ⇔cos A <cos B ，因此B 正确；对于C ，命题¬p 应是“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≤0”，因此C 不正确；对于D ，注意到sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且π2∉[－2，2]，因此不存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立，D 不正确．综上所述，选B.答案：B17．已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若¬p 是¬q的充分条件，求实数a 的取值范围．错解：（1）对“¬p 是¬q 的充分条件”这一条件不会转化（2）不会分类讨论解：由x －5x －3≥2，得x －1x －3≤0，∴1≤x <3.由x 2－ax ≤x －a ，得(x －a )(x －1)≤0. (1)当a <1时，a ≤x ≤1； (2)当a ＝1时，x ＝1； (3)当a >1时，1≤x ≤a . ∵¬p 是¬q 的充分条件， ∴q 是p 的充分条件．设p 对应集合A ，q 对应集合B ，则A ＝{x |1≤x <3}且B ⊆A .当a <1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，B ⃘A ，不符合题意； 当a ＝1时，B ＝{x |x ＝1}，B ⊆A ，符合题意； 当a >1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若B ⊆A ，需1<a <3. 综上，得1≤a <3.∴实数a 的取值范围是[1,3)．19、设命题：曲线上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题：直线与曲线有两个不同的公共点；若命题和命题中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．【答案】．错解：对命题P，斜率与导数的关系搞不清；对命题q 直线与圆锥曲线流程图不记得。

命题相关知识点总结一、命题概念1. 命题的定义命题是可以明确真假的陈述句，其特征是它有明确的真值，即要么是真，要么是假。

命题可以是简单句，也可以是由简单句组成的复合句。

例如，“1加1等于2”是一个命题，因为它可以被证明为真；“这个问题很难”不是一个命题，因为它无法被证明为真或假。

2. 命题的分类命题可以根据其形式和含义进行分类。

按照形式分类，可以将命题分为简单句和复合句；按照含义分类，可以将命题分为肯定命题和否定命题、复合命题、条件命题等。

3. 命题的逻辑联结词命题中的逻辑联结词包括“非”、“与”、“或”、“蕴含”、“等价”等，它们用来连接不同命题，构成复合命题。

这些逻辑联结词有明确的逻辑含义和真值表。

二、命题的常见形式1. P、Q、R...常用来表示命题在命题逻辑中，常用P、Q、R等字母来表示命题，通过对这些字母的组合，可以得到复合命题，从而进行推理和论证。

2. 命题的否定形式命题的否定形式是指通过使用逻辑联结词“非”来对命题进行否定。

例如，如果P表示“今天下雨”，那么“非P”就表示“今天不下雨”。

3. 命题的合取和析取形式合取形式是指由逻辑联结词“与”连接的两个或多个命题所构成的复合命题，例如“P与Q”。

析取形式是指由逻辑联结词“或”连接的两个或多个命题所构成的复合命题，例如“P或Q”。

4. 命题的条件形式条件形式是指由逻辑联结词“蕴含”连接的两个命题所构成的复合命题，例如“如果P，则Q”。

5. 命题的等价形式等价形式是指由逻辑联结词“等价”连接的两个命题所构成的复合命题，例如“P等价于Q”。

三、命题逻辑的推理1. 命题的逻辑运算在命题逻辑中，命题可以通过逻辑运算进行推理。

逻辑运算包括合取运算、析取运算、条件运算、双条件运算等，通过这些逻辑运算可以得出新的命题，从而进行推理和论证。

2. 命题的真值表真值表是用来表示命题的真值的工具，通过真值表可以清晰地展现命题的真值和各种逻辑运算的结果。

真值表由命题和逻辑联结词构成，根据不同的命题和逻辑联结词，可以列出不同的真值表。

命题与证明知识点总结命题与证明是数学中基础且重要的一部分，它涉及到逻辑推理、推断和论证等一系列思维活动。

在整个数学学科中，命题与证明贯穿始终，无处不在。

本文将系统总结命题与证明的相关知识点，包括命题逻辑、证明方法、常见证明技巧等内容。

一、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的一门学科，其中命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

在命题逻辑中，我们通常使用符号来表示命题，并通过符号之间的逻辑连接来表达命题之间的关系。

常见的逻辑连接包括合取(∧)、析取(∨)、蕴含(→)、双条件(↔)等。

1.合取合取是指命题p和q同时为真时，合取命题p∧q为真，否则为假。

合取命题p∧q的真值表如下：p q p∧qT T TT F FF T FF F F2.析取析取是指命题p和q中至少有一个为真时，析取命题p∨q为真，否则为假。

析取命题p∨q的真值表如下：p q p∨qT T TT F TF T TF F F3.蕴含蕴含是指当p为真而q为假时，蕴含命题p→q为假，否则为真。

蕴含命题p→q的真值表如下：p q p→qT T TT F FF T TF F T4.双条件双条件是指命题p和q同时为真或同时为假时，双条件命题p↔q为真，否则为假。

双条件命题p↔q的真值表如下：p q p↔qT T TT F FF T FF F T二、证明方法在数学中，我们常常需要证明一个命题的真假，为此我们需要采用合适的证明方法来论证。

常见的证明方法包括直接证明法、间接证明法、数学归纳法等。

1.直接证明法直接证明法是指通过一系列逻辑推理来证明一个命题的方法。

通常情况下，我们能够找到一条直接的逻辑推理路径，从已知的事实得出结论。

举例：证明“所有的偶数都是2的倍数”。

我们可以直接证明该命题，因为偶数的定义就是2的倍数。

2.间接证明法间接证明法是指通过反证法来证明一个命题的方法。

我们假设该命题的反命题为真，然后通过一系列逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。

高考数学四种命题及其相互关系学问点汇总数学课本中毁灭的四种命题的内容经常在高考选择题中考察，下面是学习啦我给大家带来的高考数学四种命题及其相互关系学问点汇总，期望对你有关怀。

高考数学四种命题及其相互关系学问点(一)1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否认，四种命题的形式是：(1)原命题：若p则q;(2)逆命题：若q则p;(3)否命题：若则;(4)逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的;3、四种命题的相互关系：留意：1、区分"否命题'与"命题的否认'，若原命题是"若p则q'，则这个命题的否认是"若p则非q'，而它的否命题是"若非p则非q'。

2、互为逆否命题同真假，即"等价'高考数学四种命题及其相互关系学问点(二)【若则命题】命题的常见形式为"若p则q'，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.【逆命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题(originalproposition)，另一个称为原命题的逆命题(inverseproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的逆命题为"若q，则p'.【否命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否认和结论的否认，那么这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题(negativeproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的否命题为"若，则'.【逆否命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，那么这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题(inverseandnegativeproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的逆否命题为"若，则'.。

命题的知识点总结命题是数学、逻辑学等领域中的重要概念，对于我们理解和解决各种问题具有关键作用。

下面就来对命题的相关知识点进行一个较为全面的总结。

首先，我们要明白什么是命题。

简单来说，命题就是一个能够判断真假的陈述句。

比如说，“2 加 3 等于5”，这就是一个真命题；而“月亮是由奶酪组成的”，这显然是一个假命题。

需要注意的是，疑问句、祈使句和感叹句一般都不是命题，因为它们无法明确地判断真假。

命题通常可以分为简单命题和复合命题。

简单命题就是不能再分解为更简单命题的命题，比如“今天是晴天”。

而复合命题则是由简单命题通过逻辑连接词组合而成的，常见的逻辑连接词有“且”“或”“非”等。

例如，“今天是晴天且明天会下雨”就是一个复合命题。

在判断一个命题的真假时，需要依据一定的定义、定理和实际情况。

比如，对于数学中的命题，就要根据数学的规则和定理来判断。

对于一些与现实生活相关的命题，则要结合实际情况和常识来确定其真假。

命题之间还有着各种关系。

等价命题就是指两个命题在任何情况下真假性都相同。

比如，“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角相等”和“如果一个三角形的三个内角相等，那么它是等边三角形”就是等价命题。

还有逆命题和否命题。

对于原命题“若 p 则q”，它的逆命题就是“若q 则p”，否命题则是“若¬p 则¬q”。

这里的“¬”表示否定。

需要注意的是，原命题为真，其逆命题和否命题不一定为真，但原命题和它的逆否命题同真同假。

命题的推理也是一个重要的方面。

推理就是根据已知的命题和逻辑规则得出新的命题。

常见的推理方法有演绎推理和归纳推理。

演绎推理是从一般到特殊的推理，比如根据“所有的三角形内角和为180 度”，推出某个具体三角形的内角和为 180 度。

归纳推理则是从特殊到一般的推理，通过观察多个具体的例子，总结出一般性的结论。

在数学中，命题常常用于证明定理和解决问题。

证明一个命题的过程需要严谨的逻辑和清晰的思路。

高考各科命题知识点归纳高考是每个学生都备受期待和关注的重要考试，它涵盖了多个科目，每科目的考试都有一定的命题规律和知识点重点。

为了帮助考生更好地复习备考，在这里对高考各科的命题知识点进行归纳和总结。

一、语文高考语文试卷主要考查考生的阅读理解能力、写作能力和课本知识掌握程度。

命题知识点主要包括：1. 课文重点：重点掌握各个文学作品的作者、主题和内涵，充分理解课文的结构和语言特点。

2. 阅读理解：强调阅读理解能力，包括主旨理解、细节理解和推理判断等。

3. 写作技巧：注重提高写作能力，包括文学类作文和议论文写作技巧。

二、数学高考数学试卷主要考查考生的数学基本概念、计算能力和解题能力。

命题知识点主要包括：1. 基础知识点：涵盖数学的基本概念和公式，如代数、几何、函数等。

2. 计算能力：强调数学运算的正确性和快速性，包括四则运算、方程式的解法等。

3. 解题方法：注重培养解决复杂数学问题的方法和策略，包括逻辑推理和问题转化等。

三、英语高考英语试卷主要考查考生的英语听力、阅读、写作和翻译能力。

命题知识点主要包括：1. 词汇和语法：重点掌握常用词汇的意思、拼写和用法，以及基本的语法规则。

2. 阅读理解：强调提高阅读理解的能力和速度，包括主旨理解、细节理解和推理判断等。

3. 写作和翻译：注重提高写作和翻译的能力，包括句型搭配、语法运用和词语选择等。

四、物理高考物理试卷主要考查考生对物理基本概念和实验方法的掌握。

命题知识点主要包括：1. 基本概念：重点掌握物理的基本概念和公式，如力学、电磁学、光学等。

2. 实验方法：注重实验设计和数据处理的能力，包括实验步骤、数据分析和错误估计等。

3. 解题思路：培养物理问题的解题思路和方法，包括利用公式计算、图像分析和推理判断等。

五、化学高考化学试卷主要考查考生对化学基本原理和化学实验的掌握。

命题知识点主要包括：1. 基本原理：重点掌握化学的基本原理和反应机制，如有机化学、无机化学等。

2命题及其关系、充分条件与必要条件作者杜老师1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。

2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为_______________，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有确定的关系。

3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

(2)若p⇒q且q p，则p是q的_________________条件。

(3)若p q且q⇒p，则p是q的________________条件。

(4)若p⇔q，则p是q的____________条件。

(5)若p q且q p，则p是q的________________________条件。

[判一判](1)“x2>1”是命题。

( )(2)“cos x＝3”是命题。

( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4。

( )(5)否命题就是命题的否定。

( )(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件。

( )[练一练]1．下列命题是真命题的为()2．(2015·山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤03．(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．命题“若b2－4ac>0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．35．若“m≤a”是“方程x2＋x＋m＝0有实数根”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________________。

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断⇒/.1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q ¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。