四川省成都七中2014届高三5月第三次周练数学(理)试题(含详细解答)

成都七中高2014届三轮复习（理科）综合训练（十）命题人：黄忠本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知集合{ln(3)}A x y x ==- ，2{540}B x x x =-+≤，则AB = （ ）A. {13}x x ≤<B. {13}x x <<C. {04}x x <<D. {04}x x ≤≤ 2 . 复数21z i=-+的虚部是 （ ）A. -1B. i -C. 1D. i3. 若某几何体的三视图如右图所示（每个正方形的边长均为1），则该几何体的体积等于 ( )A ．16 B ．13 C ．12 D ．564. 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ为三个不同的平面，则下列命题正确的是 （ )A ．若m n ，m α⊂，则n αB ． 若m n ，m α⊂，n β⊂， 则βαC ．若αγ⊥，βα⊥， 则βγD ．若m n ，m α⊥，n β⊥， 则βα5. 设0ω>，函数sin()3y x πω=+的图象向右平移43π个单位长度后与原图重合，则ω的最小值是 A.23 B. 43 C. 32D. 3 6. 已知向量,a b 满足2a =，32a b ⋅=， 22a b +=，则向量,a b 夹角的余弦值为 （ ）A. 23B. 45C. 12D. 347. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若599590S S +=，则7S = （ ）A . 7B ．14C .21D . 228. 函数sin ()ln(2)xf x x =+的大致图象是 （ ）9. 某工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产每吨甲、乙两种产品所需要的原材料A 、B 、C如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，此处不考虑市场的有限性，则工厂每周要获得最大利润，最科学的安排生产方式是 ( ) A. 每周生产甲产品40吨，不生产乙产品 B. 每周不生产甲产品，生产乙产品40吨 C. 每周生产甲产品503吨，生产乙产品1003吨 D. 每周生产甲产品40吨，生产乙产品10吨10. 已知关于x 的方程ln x mx = (0,)x a ∈，若存在,a m ，使此方程有两个不同的实数解，则称实数对(,)a m为此方程的“D-S-P ”，则在11(,)2e-，，2ln 2(2,)e e ，225(,)2e e中，“D-S-P ”点有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11. 6(1)(1x +⋅的展开式中含3x 项的系数为 。

四川省成都七中2014届高三三诊模拟理科数学试卷（带解析）1．在三角形ABC 中，“6A π∠=”是“1sin 2A =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：若6A π∠=，则必有1sin 2A =，故是充分条件；若1sin 2A =，则有可能56A π∠=，故不是必要条件.选A.考点：充要条件及三角函数.2．()102x -的展开式中第5项的二项式系数是（ ）A.510CB.41016CC.41032C - D.410C【答案】D 【解析】试题分析：由二项展开式的通项公式得，第5项的二项式系数为410C .考点：二项式定理.3．4位外宾参观某校需配备两名安保人员。

六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，外宾甲乙要排在一起，则六人的入门顺序的总数是（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 【答案】B 【解析】试题分析：排2名保安，共2种排法；排4名外宾，有3!2!12⨯=种排法，所以总共有24种排法.考点：计数原理，排列.4．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤≤020220y x y x x ，则其表示的平面区域的面积是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，其面积为14242S =⨯⨯=.） 试题分析：23(23)(1)511122i i i i i --+==--+，所以实部与虚部之和为51222-=.考点：复数的基本运算及概念.6．在平面直角坐标中，ABC ∆的三个顶点A 、B 、C ，下列命题正确的个数是（ ） （1）平面内点G 满足0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的重心；（2）平面内点M 满足MA MB MC ==，点M 是ABC ∆的内心；（3）平面内点P 满足AB AP AC AP ABAC⋅⋅=，则点P 在边BC 的垂线上；A.0B.1C.2D.3 【答案】B 【解析】试题分析：对（2），M 为ABC ∆的外心，故（2）错. 对（3），c o s c o s ,A B A PP A B A C A P P A C P A B P A CA B A C⨯⨯∠⨯⨯∠=∴∠=∠，所以点P 在A ∠的平分线上，故（3）错.易得（1）正确，故选B.考点：三角形与向量. 7．如图，2C π∠=，AC BC =，M 、N 分别是BC 、AB 的中点，沿直线MN 将折起，使二面角B MN B --'的大小为3π，则A B '与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A.52 B.54 C.53D.53【答案】C 【解析】试题分析：设2BC =.过B '作B D BC '⊥，垂足为D ，则1,22MD B D '==，52AD ==，2tan 52B AD '∴∠==.考点：空间的二面角及线面角.8．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ） A .3 B.4 C.5 D.6【答案】B 【解析】试题分析：这是一个循环结构，循环的结果依次为：0112,1;2215,2;54110,3;S n S n S n =++===++===++==108119,4S n =++==.再循环一次，S 的值就大于20，故i 的值最大为4.考点：程序框图.9．已知椭圆221:132x y C +=的左右焦点为21,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()11221,2,(,),(,)A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是（ ）A.()[),610,-∞-⋃+∞B.(][),610,-∞⋃+∞ C.()(),610,-∞-⋃+∞ D.以上都不正确 【答案】A【解析】试题分析：12(1,0),(1,0)F F -.设线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点为M ，则2M P M F =.根据抛物线的定义知点M 的轨迹是以2F 为焦点1l 为准线的抛物线，其方程为24y x =.点B 、C 在抛物线上，所以2211224,4y x y x ==，二者相减得1212124y y x x y y -=-+，即124BC k y y =+.因为A B⊥，所以1A B BCk k =-，即12112112112416161(2)22214y y y y y y y y y -=-⇒=--=-+-++++-.当120y +<时，11116(2)28210(62y y y -+-+≥+==-+时取"")=； 当120y +>时，11116(2)2826(22y y y -+-+≤-+=-=+时取"")=.但点B 与点A 不重合，故12y ≠，所以26y <-.综上知，选A. 考点：圆锥曲线及重要不等式.10．将函数x x f lg )(=的图象向左平移1个单位，再将位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折得到函数()x g 的图象，若实数()n m n m <,满足),21()(++-=n n g m g 2lg 4)21610(=++n m g 则n m -的值是（ ）A.52-B.31C.151- D.1511【答案】C【解析】 试题分析：据题意得()|lg(1)|g x x =+，111()|lg(1)||lg ||lg(2)|222n n g n n n n ++-=-+==++++，()|lg(1)|g m m =+.因为m n <，所以112m n +<<+，由()g m =1()2n g n +-+得lg(1)lg(2),(1)(2)1m n m n -+=+∴++=，所以121n m =-+，1610621106(2)2110(1)11011m n m m m m ++=+-+=++-≥>++.所以6(10621)lg[10(1)11]1g m n m m ++=++-++. 由2lg 4)21610(=++n m g 得6210(1)1116,,015m m m ++-+=∴=-+（0舍去），13n =-，所以115m n -=-.考点：1、图象的变换；2、对数运算；3、方程与不等式.11．设{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则2014a = .【答案】20172【解析】试题分析：由题意得：21(22)2(25),,02d d d +=+=（0舍去），所以2014120172201322a =+⨯=. 考点：等差数列与等比数列. 12．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()*N ω∈的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值是 。

2014年四川省成都七中高考数学三轮复习综合训练（2）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数z=（a-2i）i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=-1”是“点M在第四象限”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为a=-1，所以z=（-1-2i）i=2-i．此时复数对应点在第四象限．又复数z=（a-2i）i=2+ai，对应点在第四象限，只需a＜0即可．所以“a=-1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件．故选A．利用a=-1化简复数为a+bi的形式，然后利用充要条件的判断方法判断即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，充要条件的应用，考查计算能力．2.执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解：第一次运算为b=3，a=2，第二次运算为b=7，a=3，第三次运算为b=15，a=4，第四次运算为b=31，a=5，第五次运算不满足条件，输出b=31，所以a≤4，故选B．框图中给出了两个累加变量，a、b，b累加的次数与a的大小有关，现在题目给出了算法结果，解答时可把每一次运算写出，从而得到输出b=31时a的值．本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．3.设x∈Z，集合M是偶数集，集合N是奇数集．若命题p：任意，，则非p 是（）A.任意，B.任意，C.存在，D.存在，【答案】C【解析】解：由题意x∈Z，集合M是偶数集，集合N是奇数集．又全称命题的否定是特称命题，命题p：任意，，则￢p是“存在，”．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查全称命题特称命题的否定关系，考查基本知识的应用．4.一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为（）A.64，B.32，C.，D.，【答案】B【解析】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为4的等腰直角三角形，高为4的三棱柱．所以几何体的体积为：=32．表面积为：S底+S侧=2××42+2×42+44=．故选B．判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出几何体的体积和表面积．本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查由三视图求面积、体积及计算能力，空间想象能力．5.数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=3n-1，则a12+a22+…+a n2=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：①当，②，①-②得，又，符合，∴{a n}为等比数列，首项a1=2，公比为q=3，∴为等比数列，首项=4，公比为q2=9，故=．由已知条件推导出，由此求出{a n}为等比数列，首项a1=2，公比为q=3，从而能求出a12+a22+…+a n2的值．本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．6.若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x-）+]=tan（ωx+）∴-ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．7.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，则m的取值范围是（）A.（-∞，7]B.（-∞，-20]C.（-∞，0]D.[-12，7]【答案】B【解析】解：设y=x3-3x2-9x+2，则y′=3x2-6x-9，令y′=3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3，∵3∉[-2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论：∵f（-2）=-8-12+18+2=0，f（-1）=-1-3+9+2=7，f（2）=8-12-18+2=-20，∴y=x3-3x2-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，∵关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，∴m≤-20，故选B．设y=x3-3x2-9x+2，则y′=3x2-6x-9，令y′=3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3（舍），由f （-2）=0，f（-1）=7，f（2）=-20，知y=x3-3x2-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，由此能求出关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立的m的取值范围．本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.【答案】A【解析】解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|=|AC|=2|FD|=2p，|AB|=2|AF|=2|AC|=4p，∴∠ABC=30°，||=2p，=4p•2p•cos30°=48，解得p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．故答案为：y2=4x先设抛物线的准线与x轴的交点为D，根据抛物线的性质可知|AF|=|AC|，根据F是AB 的中点可知|AC|=2|FD|，|AB|=2|AF|进而得到|AF|和|AB|关于p的表达式，进而得到|BC|，最后根据=48，求得p．本题主要考查了抛物线的性质．注意对抛物线定义的理解和灵活运用．9.如图所示，P为△AOB所在平面上一点，且P在线段AB的垂直平分线上，若||=3，||=2，则•（-）的值为（）A.5B.3C.D.【答案】C【解析】解：设线段AB的垂直平分线与AB的交点为D，则D为AB的中点，根据向量加法的平行四边形法则，则有，∵DP⊥AB，∴=0，∴==[]•（）=（）•（）+（）=（）+=（-），又∵，，∴=．故选：C．利用DP⊥AB可知，=0，再利用向量加法和减法的三角形法则以及平行四边形法则，将用，和表示，即可求得答案．本题考查了平面向量数量积的运算，解决平面向量数量积的问题，一般有三种方法：向量转化法，坐标化法，特殊值法．运用转化法求解的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．属于中档题．10.定义f（x）＜g（x）＜h（x）对任意x∈D恒成立，称g（x）在区间D上被f（x），h （x）所夹，若y=1nx在（0，+∞）被y=-和y=（1-a）x所夹，则实数a的取值范围（）A.（0，） B.（，） C.（，） D.（，1）【答案】C【解析】解：根据定义f（x）＜g（x）＜h（x）对任意x∈D恒成立，称g（x）在区间D上被f （x），h（x）所夹，又∵y=1nx在（0，+∞）被y=-和y=（1-a）x所夹，∴-＜1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，∴-＜1nx在（0，+∞）上恒成立，①且1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，②，对于①，-＜1nx在（0，+∞）上恒成立可以转化为-a＜xlnx在（0，+∞）上恒成立，即-a＜（xlnx）min，令y=xlnx，则y′=lnx+1=0，解得x=，∵y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴y=xlnx在x=处取得最小值为-，即（xlnx）min=-，∴-a＜-，即a＞；对于②，1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立可以转化为1-a＞在（0，+∞）上恒成立，即1-a＞（）max，令y=，则y′==0，解得x=e，∵y=在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴y=在x=e处取得最大值为，即（）max=，∴1-a＞，即a＜．综上，实数a的取值范围为，．故选C．根据题意，将y=1nx在（0，+∞）被y=-和y=（1-a）x所夹，转化为-＜1nx＜（1-a）x在（0，+∞）上恒成立，利用参变量分离转化成求函数的最值，即可求得实数a的取值范围．本题考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题选用了参变量分离法转化为求函数的最值．求函数的最值应用了导数求最值的方法．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若（1-2x）2011=a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010+a2011x2011（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）= ______ ．（用数字作答）【答案】2009【解析】解：令x=0，则a0=1．令x=1，则a0+a1+a2+…+a2010+a2011=（1-2）2011=-1．∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）=2010a0+（a0+a1+a2+a3+…+a2011）=2010-1=2009．故答案为：2009．通过x=0，求出a0=1．令x=1，求出所有项系数的和，然后求解所求表达式的值．本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，考查计算能力．12.已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是______ ．【答案】m＜-3或m＞6【解析】解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，∴△=4m2-12（m+6）＞0解得m＜-3或m＞6故答案为：m＜-3或m＞6．求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．13.已知O为坐标原点，A（2，1），P（x，y）满足，则||•cos∠AOP 的最大值等于______ ．【答案】【解析】解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），由于||•cos∠AOP=∠=，而=（2，1），=（x，y），所以||•cos∠AOP=，令z=2x+y，则y=-2x+z，即z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M时，z取到最大值，由得M（5，2），这时z=12，所以||•cos∠AOP==，故||•cos∠AOP的最大值等于．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将||•cos∠AOP转化成，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点M时，从而得到||•cos∠AOP的最大值即可．本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．14.设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为______ ．【答案】【解析】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β-1=，∴sin（2α+）=sin（2α+-）=sin（2β-）=sin2βcos-cos2βsin=．故答案为：．先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．15.若函数y=f（x）对定义域D的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f（x1）f（x2）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是______ ．（把你认为正确命题的序号都填上）（1）f（x）=sinx+（x∈[-，]）是自倒函数；（2）自倒函数f（x）的值域可以是R（3）自倒函数f（x）可以是奇函数（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是自倒函数．【答案】（1），（3）【解析】解：在（1）中，∵f（x）=sinx+（x∈[-，]），∴任取x1∈[-，]，有sinx1∈[-1，1]，∴f（x1）=sinx1+，且f（x1）∈[-1，+1]；由f（x1）f（x2）=1，得f（x2）==，即sinx2+=，∴sinx2=-，且sinx2∈[-1，1]，∴x2=arcsin（-），其中x2∈[-，]，∴f（x）是[-，]上的自倒函数；在（2）中，因为f（x）的值域是R，所以当f（x1）=0时，f（x1）•f（x2）=0，命题不成立，∴f（x）不是自倒函数；在（3）中，当f（x）是奇函数时，不妨设f（x）=，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），则任取x1∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（x1）=∈（-∞，0）∪（0，+∞），由f（x1）•f（x2）=•=1，得x2=，其中x2∈（-∞，0）∪（0，+∞），∴f（x）是定义域上的自倒函数；在（4）中，当y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同时，函数y=f（x）g（x）不一定是自倒函数，例如f（x）=g（x）=，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），y=f（x）g（x）=不是自倒函数，因为由•=1，得=，∴x2=±不唯一，∴命题不成立；故答案为：（1），（3）．（1）中，由f（x1）f（x2）=1，知f（x2）=，可以求出x2是满足条件的；（2）中，令f（x1）=0，可以判定f（x1）f（x2）=1不成立；（3）中，当f（x）是奇函数时，不妨设f（x）=，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），验证满足条件；（4）中，令f（x）=g（x）=，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），是定义域上的自倒函数，但f（x）g（x）=不是自倒函数，验证可得；本题考查了新概念下的函数的性质与运算，解决此类问题时，要深刻把握新概念函数的内涵与外延，从而正确解答问题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设f（x）=6cos2x-sin2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f（A）=3，B=，求的值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）===2cos（2x+）+3，当时，f（x）取得最大值为2+3；最小正周期T==π．（Ⅱ）由f（A）=3-2得2cos（2A+）+3=3-2，∴cos（2A+）=-1，又由0＜A＜，得＜2A+＜π+，故2A+=π，解得A=．又B=，∴C==．由余弦定理得=2cos C=0．【解析】（Ⅰ）利用倍角公式和两角和差的正弦、余弦公式、三角函数的单调性和周期性即可得出；（Ⅱ）利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出．熟练掌握倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的单调性、周期性和余弦定理是解题的关键．17.若数列{A n}满足A n+1=A n2，则称数列{A n}为“平方递推数列”．已知数列{a n}中，a1=9，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n为正整数．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a n+1）}为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项积为T n，即T n=（a1+1）（a2+1）…（a n+1），求lg T n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记b n=，求数列{b n}的前n项和S n，并求使S n＞4026的n的最小值．【答案】（Ⅰ）证明：∵点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，∴，∴，∴{a n+1}是“平方递推数列”．…（2分）对两边取对数得lg（a n+1+1）=2lg（a n+1），∴数列{lg（a n+1）}是以{lg（a1+1）}为首项，2为公比的等比数列．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知…（5分）∴lg T n=lg（a1+1）（a2+1）…（a n+1）=lg（a1+1）+lg（a2+1）+…+lg（a n+1）=20+2+22+…+2n-1=．…（8分）（Ⅲ）解：∵…（9分）∴…（10分）又S n＞4026，即＞，＞…（11分）又＜＜，∴n min=2014．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出，从而能证明{a n+1}是“平方递推数列”，对两边取对数能证明数列{lg（a n+1）}是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而得到lg T n=20+2+22+…+2n-1，由此利用等比数列求和公式能求出结果．（Ⅲ）由，求出，由此能求出使S n＞4026的n的最小值．本题考查“平方递推数列”和等比数列的证明，考查数列前n项和的求法，考查最小值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列前n项和公式的合理运用．18.前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；（Ⅱ）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则；（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．则ξ的分布列为：所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），．所以Eξ=．【解析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．19.已知多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥CD（Ⅱ）求直线AC与平面CBE所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取CD的中点，连接AG，GF，则GF∥DE．∵AC=AD，∴AG⊥CD，∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，∴GF⊥CD．∵AG∩GF=G，∴CD⊥平面AGF．∵AF⊂平面AGF，∴CD⊥AF；（Ⅱ）解：分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz．则，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，．设平面CBE的法向量为，，，则设x=1，则，，，∴＜，＞设直线AC与平面CBE所成角为θ，则＜，＞，∴，∴直线AC与平面CBE所成角的余弦值为．【解析】（I）取CD的中点O，连接AG，GF，则GF∥DE，证明CD⊥平面AGF，由线面垂直的性质，我们可以得到AF⊥CD；（II）分别以，，为x，y，z轴建立空间坐标系，求出各个顶点的坐标，进而求出平面CBE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线AC与平面CBE所成角的余弦值．本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及直线与平面所成角的求法，在使用向量法求直线与平面所成角的大小时，建立坐标系，求出平面的法向量是关键．20.如图，椭圆＞＞的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．设F（-c，0），则°．将代入a2=b2+c2，得a=2c．所以椭圆的离心率为．（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x2+4y2=12c2，整理得（4k2+3）x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0．则，，所以，．因为GD⊥AB，所以，．因为△GFD∽△OED，所以=＞．所以的取值范围是（9，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°，设F（-c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a2=b2+c2联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆方程可化为，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GD⊥AB得k GD•k=-1，则D点横坐标也可表示出来，易知△GFD∽△OED，故=，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高．21.已知函数f（x）=（x2-3x+3）e x，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；（Ⅱ）试判断m，n的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞-2，总存在x n∈（-2，t），满足′=，并确定这样的x o的个数．【答案】（Ⅰ）解：∵f（x）=（x2-3x+3）e x，∴f′（x）=（x2-3x+3）e x+（2x-3）e x=x（x-1）e x，由f′（x）＞0，得x＞1，或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减．∵函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，∴-2＜t≤0．故当t的取值范围是（-2，0]时，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数．（Ⅱ）解：m＜n．∵f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，∴f（x）在x=1处取得极小值e．又∵f（-2）=＜e，∴f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2）．故当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n．（Ⅲ）证明：∵′=，∴′=，∴，令g（x）=，则问题转化为证明方程g（x）=x2-x-=0在（-2，t）上有解，并讨论解的个数．∵g（-2）=6-（t-1）2=-，g（t）=t（t-1）-=，∴①当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但由于g（0）=-＜0，∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解；③当t=1时，g（x）=x2-x=0，解得x=0，或x=1，∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；④当t=4时，g（x）=x2-x-6=0，解得x=-2或x=3．∴g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解．综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t）满足′，且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．【解析】（Ⅰ）由f′（x）=（x2-3x+3）e x+（2x-3）e x=x（x-1）e x，利用导数的性质，能确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数．（Ⅱ）m＜n．因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e．由此能得到当t＞-2时，m＜n．（Ⅲ）由′=，知，令g（x）=，则问题转化为证明方程g（x）=x2-x-=0在（-2，t）上有解，并讨论解的个数．本题考查函数的单调性和函数的最小值的应用，考查满足条件的实数值的个数的判断．综合性强，难度大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

四川省成都七中2014届高三三诊模拟数学(理) 试题命题人：肖志良 审题人：郭虹本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{|{|31}M x y N x x ==-≤≤，且M 、N 都是全集I 的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为A.{|1}x x ≤B.{|31}z z -≤≤C.{|3z z -≤<D.{|1x x <≤2．若复数312a ii++(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 A. -2 B. 6 C. 4 D.-63.若l 、m 、n 是互不相同的直线,α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A. 若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ C. 若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ D. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m 4．在等差数列{}n a 中，21250a a +=，413a =，则数列{}n a 的公差等于 A.1B.4C.5D.65. 已知抛物线y 2=2px 被方向向量为(2,4)=k 的直线截得的弦的中点为(4,1)，则该抛物线的方程为 A. y 2=8x B. y 2=6x C. y 2=4xD. y 2=2x6．在△ABC 中，角A ，B ．C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B =ac ，则角B 的值是A ．3π B ．6π C ．3π或23π D ．6π或56π7．已知2020210-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩x y x y x y ，则z =x 2＋y 2的最大值与最小值的差为A .34 B.36 C.328. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为 A ．16 B ．320C ．11120D ．2159. 已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1()22x f x <+的解集为A ．{}11x x -<<B ．{}1x x >C ．{}11x x x <->或D ．{}1x x <-10. 已知椭圆2212516+=x y 的左右焦点分别为F 1、F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为A .53 B.103 C.203D.3二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11. 若316*2727(n n nC C n N ++=∈的展开式中的常数项是 (用数字作答). 12．若a ,b 均为非零向量，且（a －2b ）⊥a ，（b －2a ）⊥b ，则a ，b 的夹角为13．若直线l 1:y =kx －3(k ≠0)关于直线l :y x =＋1对称的直线l 2与圆(x －1)2＋(y －2)2=1相切，则2l 的方程为 .14. 正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM+ME 最小，其最小值为 . 15.在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的正半轴为始边，若终边经过点P （x 0,y 0）且(0)=>OP r r ，定义：si 00cos θ-=y x r，称为“si cos θ”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”y =si cos x ，现有下列命题：（1）该函数的值域为⎡⎣；（2）该函数的图像关于原点对称；（3）该函数为周期函数，且最小正周期2π； （4）该函数的单调递增区间为32,2,44ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . 其中真命题是 .（写出所有真命题的序号）三.解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. (本小题满分12分)已知向量()(1,cos ,sin m x n x ωω==，()0ω>，函数()f x m n =⋅，且()f x 图象上一个最高点的坐标为,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，与之相邻的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (Ⅰ) 求f (x )的解析式； (Ⅱ) 若f (x )=a 在区间[0,]3π上恒有两个不相同的实数解, 求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 若12sin (),21223παα+-=f 求)141tan παα-++的值.17. (本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2＋bx 为偶函数，满足a n ＋1=2f (a n －1)＋1, a 1=3, a n >1, (1)设b n =log 2(a n －1), 求证{ b n ＋1}是等比数列并求数列{ b n }的通相公式； (2)设c n =nb n ,求数列{c n }的前n 项和S n .18. (本小题满分12分)某投资公司在2014年年初准备将a 万元投资到“低碳"项目上,现有两个项目供选择：项目一：据市场调研,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失,也可能不赔不賺,且这三种情况发生的概率分别(Ⅰ) 针对以上各个投资项目,请你以获利为标准为投资公司做一个合理选择，并说明理由；(Ⅱ) 若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据lg2 =0.3010,lg3 = 0.4771)19．(本小题满分12分)如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． (Ⅰ) 求证：DC ⊥平面ABC ； (Ⅱ) 求BF 与平面ABC 所成角的正弦； (Ⅲ) 求二面角B －EF －A 的余弦．A F EA20. (本小题满分13分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (Ⅰ) 当12a b ==时，求)(x f 的最大值； (Ⅱ) 令21()()2a F x f x ax bx x =+++，（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．21．(本小题满分14分)已知动圆G 过点(2, 0)M ，并且与圆22(2)4N x y ++=：相外切，记动圆圆心G 的轨迹为E ． (Ⅰ) 求轨迹E 的方程；(Ⅱ) 直线l 过点M 且与轨迹E 交于P 、Q 两点：①设点(0,4)H -，问：是否存在直线l ，使||||HP HQ =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．②过P 、Q 作直线12x =的垂线P A 、QB ，垂足分别为A 、B ，记||||||PA QB AB +=λ，求λ的取值范围．参考答案1-5CDBBC 6-10 DCDBA 11. -80 12．3π 13．58123y x =+ 14.32a 15.（1）（3）（4）16. (Ⅰ) f (x )的解析式()2sin(2)3f x x π=+(Ⅱ) a的取值范围是2](Ⅲ) 122sin ()sin cos 212233f παααα+-=⇒+=，故)154sin 21tan 9πααα-+==-+ 17. (1) 21nn b =-(2) 1(1)(21),(1)222n n n n n n c n S n ++=-=--+18.19． (Ⅰ) 略；(Ⅱ) BF 与平面ABC 所成角的正弦=4EF BF = (Ⅲ) 求二面角B －EF －A 的余弦1cos 7AEB ∠=-20. (Ⅰ) 当12a b ==时，)(x f 的定义域(0,)+∞，'max (2)(1)3(),()(1)24x x f x f x f x -+-===- (Ⅱ) 2'211()222x a x F x a x a x -=≤⇒≥-⇒≥ (Ⅲ) 当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，令22()2()2ln 2G x mf x x m x mx x =-=+-，则'()2()mG x m x x=+-，0m >，0x →时，'()G x →+∞，x →+∞时，'()G x →-∞，故'()0G x =有正根，又'()2()mG x m x x=+-单调递增，故'()0G x =存在唯一正根t ，因此()G x 在(0,)t 上递增，在(,)t +∞上递减（0m >，0x →时，()G x →-∞，x →+∞时，()G x →-∞），由题意，有()0G t =及'()0G t =，即22l n 20m t m t t +-=，2()0mm t t+-=，故2l n 10t t +-=，由2ln 1t t +-的单调性知1t =，故12m =.21． (Ⅰ)由外切圆性质及圆锥曲线定义得221(1)3y E x x -=≥：(Ⅱ)设2l x ky =+：，联立得22(31)1290k y ky -++=，则k <①123l x y =-：②221212123()3136(1),[||2kkk y y k y y λ-+++∆=+===-。