2020-2021年高二数学含有绝对值的不等式教案
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2019-2020年高二数学含有绝对值的不等式教案
教学目标
理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。
教学重点难点
重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。
难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。
教学过程
一、复习引入
我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。
当时，则有：()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a
那么与及的大小关系怎样？
这需要讨论 当
当
当
综上可知：
我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？
. 当时，有：a x a x a x >⇔>⇔>2
2或.
二、引入新课
由上可知，积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。
那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗？
1．定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想
.
怎么证明你的结论呢？
用分析法，要证.
只要证
即证22222b b a a a b ab a ++≤++
即证，
而显然成立，
故
那么怎么证？
同样可用分析法
当时，显然成立，
当时，要证 只要证222222b ab a b b a a ++≤+-，
即证
而显然成立。
从而证得.
还有别的证法吗？（学生讨论，教师提示） 由与得()
b a b a b a +≤+≤+-.
当我们把看作一个整体时，上式逆用可得什么结论？。
能用已学过得的证明吗？ 可以表示为()b b a b b a a -++≤-+=.
即（教师有计划地板书学生分析证明的过程）
就是含有绝对值不等式的重要定理，即.
由于定理中对两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢？个实数和的绝对值呢？ 亦成立321321a a a a a a ++≤++ n n a a a a a a +++≤+++ 2121
这就是定理的一个推论，由于定理中对没有特殊要求，如果用代换会有什么结果？（请一名学生到黑板演）
， 用代得()b a b a b a +≤-+≤--，
即。
这就是定理的推论成立的充要条件是什么？
0222222≥⇔=⇔++=++⇔+=+ab ab ab b ab a ab b a b a b a
那么成立的充要条件是什么？
.
例1 已知，求证. （由学生自行完成，请学生板演） 证明：z y x z y x z y x 323232++=-++≤-+
εεεε=++<
++∴9362332z y x
例2 已知()M y a b y M a x ,0,20,2∈<-<<-ε
ε
，求证. 证明：()()b y a a x y ab ya ya xy ab xy -+-=-+-=-
εε
ε
=⋅+⋅<-+-≤a a M M b y a a x y 22
点评：这是为今后学习极限证明做准备，要习惯和“配凑”的方法。
例3 求证.
证法一：（直接利用性质定理）在时，显然成立. 当时，左边111
++=b a
b a b b
a b a b a ++++++=++≤11111
.
证法二：（利用函数的单调性）研究函数在时的单调性。
设，
()()
0111121212211<++-=+-+x x x x x x x x , 在时是递增的. 又，将，分别作为和，则有
b a b
a b a b
a +++≤+++11（下略）
证法三：（分析法）原不等式等价于
()()b a b a b a b a b
a ++++≤+++1121， 只需证()()()()
b a b a b a b a b a 2111++++≤+++， 即证()*++++≤+ab b a b a b a b a 2
又，
显然成立.
原不等式获证。
还可以用分析法证得，然后利用放缩法证得结果。
三、随堂练习
1．①已知，求证.
②已知求证.
2．已知 求证：
①；
②.
3．求证.
答案：1. 2. 略 3．与同号 21211=⋅≥+=+∴x
x x x x x 四、小结
1．定理. 把、、看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理及其推论。
3．对0,0≤⇔+≤-≥⇔+≤+ab b a b a ab b a b a 要特别重视.
五、布置作业
1．若，则不列不等式一定成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设为满足的实数，那么（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．能使不等式成立的正整数的值是__________.
4．求证：
（1）；
（2）.
5．已知，求证.
答案：1． D 2． B 3．1、2、3
4．a b a b a b a b a 2=-++≥-++ b b a b a b a b a 2=+-+≤--+ 5．()()222
2221111b a b a b a b f a f +++-=--+=- =()b a b
a b a b a b a b a b a b a b
a b a -=+-+≤+-+<+++-+2211 注：也可用分析法.。
