高等数学(经管类)第5章 定积分与不定积分-文档资料

例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．

【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法

然成立.
一般有下面的定理: ➢ 定理5-1 设∫f(u)du=F(u)+C,u=φ(x),且u=φ(x)有连续导函数,
则:∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C (5.1) ➢ 事实上:
➢ 当我们要求某个不定积分∫g(x)dx而又不能直接用基本积分公 式时,如果被积函数g(x)可以写成f[φ(x)]φ'(x)的形式,而∫f(u)du 又比较容易求出,那么,我们就可以应用公式(5.1)求得∫g(x)dx,即:
CHAPTER
05
第5章 不定 积分
PART
05
5.1
不定积分的概念
5. 1. 1 原函数的概念
在现实生活中,往往会有这样的问题:已知一个函数的导数,而要求这个函数的 本身.例如,社会学家已知人口的增长率而希望利用这一信息来预测今后的人 口水平;物理学家已知一个物体的运动速度而希望计算它的路程函数;经济学 家则希望从已知的通货膨胀率来估计今后的物价水平等等.
➢ 由不定积分的定义可知: ∫cos xdx=sin x+C.
PART
05
5.2
基本积分公式
由导数的基本公式可以得到相应的基本积分公式如下:
PART
05
5.3
不定积分的性质
性质1 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k为不等于零的常数) 性质2 ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 由性质1、2可得推论: • ∫[k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)]dx=k1∫f1(x)dx+k2∫f2(x)dx+
以化难为易.
5. 1. 2 不定积分的定义
➢ 定义5-2 若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则称f(x)的原函 数全体F(x)+C(C为任意常数)为函数f(x)的不定积分,记做∫f(x)dx, 即:∫f(x)dx=F(x)+C

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解：设每天需要鱼粉为 x 千克和碎肉 y 千克，建立数学模型如下：
目标函数： min z 0.65x 0.52 y
0.60 x 0.50 y 1.80 0.5 x 0.11y 0.40 约束条件： 0.18 x 0.05 y 0.30 x, y 0
表 5-6 每千克饲料的蛋白质含量 鱼粉 碎肉 每千克饲料的钙含量 每千克饲料的氨基酸含量
0.60 0.50
0.5 0.11
0.18 0.05
每千克鱼粉的成本为 0.65 美元，而每千克碎肉的成本为 0.52 美元．请确 定最小成本的饲养计划．
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1.必做：《习题集》作业5.2.2 2.选做：习题5.2的3
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将模型输入 Excel 表格如图 5-17 所示．
图5-17
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规划求解结果如图5-18所示：
图5-18
从图 5-18 所示，当 x1 ＝12， x2 ＝0， x3 ＝9， x4 ＝3， x5 ＝0， x6 ＝6， x7 ＝4 时，排 班配备人数最少为 34 人．