人教版数学高二选修4-1导学案四弦切角的性质

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例】如图、切⊙于、,∠°,则∠等于()图°°°°思路分析：连结,∠与∠分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结.∵是弦、切圆于、,∴∠∠,∠∠.∴∠∠.在△中,∠(°∠)°,∴∠∠°.答案二、弦切角定理综合运用【例】如图切⊙于是⊙的割线,在上截取,求证:∠∠.图证明：∵,∴∠∠.∵∠∠∠,∠∠∠,∴∠∠∠∠.又∵切⊙于为弦,∴∠∠.∴∠∠.三、本节数学思想选讲【例】如图,已知为⊙直径为延长线上一动点,过点作⊙的切线,设切点为.()请你连结,作∠的平分线,交于点,测量∠的度数.()当在延长线上运动时,∠的度数作何变化?请你猜想,并证明.图解析:()作图,并测量,∠°.()∠不随在延长线上的位置变化而变化,即∠°是一个定值.证明:连结交于,∵∠是△的外角,∴∠∠∠.同理,∠∠∠.但∠∠.又∵是弦与⊙切于,∴∠∠.∴∠∠.∴.∵是直径,∴∠°.∴△是等腰直角三角形.∴∠°.各个击破类题演练如图,△为⊙的内接三角形为直径为延长线上一点切⊙于点,∠°,则∠等于()图°°°°解析:∵是直径,∴∠°.∴∠∠°,∠∠°.∵是切线为弦,∴∠∠.∴∠∠°.答案类题演练如图⊥直径为⊙切线为切点,求证:∠∠.图证明:连结,∵是直径,∴∠°.∴∠∠°.∵⊥,∴∠°.∴∠∠°.∴∠∠.又∵切⊙于是弦,∴∠∠.∴∠∠.类题演练在△中,∠的平分线与△的外接圆相交于,过作圆的切线.求证∥.。

人教版高中选修4-1四弦切角的性质教学设计一、教学目标1.让学生了解四弦切角的定义及其相关概念2.能够运用相应方法计算四弦切角的大小3.能够理解和应用四弦切角的性质，解决相关问题4.培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力二、教学内容及步骤安排1. 课前铺垫（10分钟）•提问：在之前的学习中，是否接触过关于三角形的知识？•引入：介绍四弦切角的背景及相关实际应用，激发学生学习的兴趣。

2. 理论介绍（25分钟）•定义四弦切角的概念，讲解相应的图形和术语•介绍四弦切角的计算公式和步骤•通过例题演示如何计算四弦切角的大小3. 练习与巩固（30分钟）•由学生完成一些相应难度的独立或小组习题，老师在课堂上及时辅导授课；•收集学生答案并进行讲解，发现学生在学习中的问题并进行指导。

4. 总结归纳（10分钟）•回顾本节课的重点概念和计算公式；•强调四弦切角的应用以及相关的优秀数学问题。

三、教学方法1.探究式教学法：通过引导学生阐述自己对“四弦切角”的理解，来培养学生推理和判断能力；2.演示法：通过定理的演示、例题的引导等方式来让学生更加形象地理解“四弦切角”的计算方法；3.合作探究法：通过小组讨论和合作解题等方式，促进学生之间的合作和交流，增强学生的团队意识。

四、教学评估1.考试：通过课堂联系、同步的习题以及阶段性测试等方式来考察学生的理论知识及计算方法的掌握情况；2.互动答题：在课堂中提供一些互动答题的机会，让学生了解自己的学习情况并能及时纠正错误；3.作品评比：鼓励学生制作特色作品，如数学拓展题、创意游戏等，提升学生的创造性和运用性。

四弦切角的性质[对应学生用书P28]弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．[对应学生用书P29][例1] (2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[思路点拨] 利用弦切角定理．[证明] (1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB.故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.解析：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.又∵EF与⊙O相切于点C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°.答案：34°2.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.证明：(1)∵CD切⊙O于M点，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.∴∠A＝∠B，故AM＝MB.(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.(1)求证：AD⊥CD；(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长．解：(1)证明：如图，连接BC.∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA＝∠B.∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB . ∴∠ADC ＝∠ACB .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥CD . (2)∵∠DCA ＝∠B ，∠DAC ＝∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB . ∴AD AC ＝AC AB， ∴AC 2＝AD ·AB .∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.[例2] 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点C 在AB 上，CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，CF ⊥PB ，垂足分别为D ，E ，F .求证：CD 2＝CE ·CF . [思路点拨]连接CA 、CB ，∠CAP ＝∠CBA 、∠CBP ＝∠CAB→Rt △CAE ∽Rt △CBD Rt △CBF ∽Rt △CAD →CE CD ＝CDCF →结论[证明] 连接CA 、CB . ∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠CAP ＝∠CBA ， ∠CBP ＝∠CAB .又CD ⊥AB ，CE ⊥PA ，CF ⊥PB ， ∴Rt △CAE ∽Rt △CBD ， Rt △CBF ∽Rt △CAD ， ∴CA CB ＝CE CD ，CB CA ＝CFCD ，∴CE CD ＝CD CF，即CD 2＝CE ·CF .证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．4．如图，已知MN 是⊙O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦CD ，弦AB交CD 于E .求证：AC 2＝AE ·AB .证明：连接BC .⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥CD ⇒∠MAC ＝∠ACD MN 切⊙O 于A ⇒∠MAC ＝∠B⎭⎪⎬⎪⎫⇒∠ACD ＝∠B ∠CAE ＝∠CAB ⇒△ACE ∽△ABC ⇒AC AB ＝AE AC⇒AC 2＝AB ·AE .5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，经过点A 、D 的⊙O 和BC切于D ，且AB 、AC 与⊙O 相交于点E 、F ，连接DF ，EF .(1)求证：EF ∥BC ； (2)求证：DF 2＝AF ·BE . 证明：(1)∵⊙O 切BC 于D ， ∴∠CAD ＝∠CDF .∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD . 又∵∠BAD ＝∠EFD ， ∴∠EFD ＝∠CDF . ∴EF ∥BC .(2)连接DE ， ∵⊙O 切BC 于D ， ∴∠BAD ＝∠BDE . 由(1)可得∠BDE ＝∠FAD ， 又∵⊙O 内接四边形AEDF ， ∴∠BED ＝∠DFA . ∴△BED ∽△DFA . ∴DE AF ＝BE DF.又∵∠BAD ＝∠CAD ， ∴DE ＝DF .∴DF 2＝AF ·BE .[对应学生用书P30]一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A 、B ，则( ) A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠P C ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA解析：由弦切角定理知∠PCA ＝∠B . 答案：C2．如图，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于( )A ．14°B ．38°C ．52°D ．76°解析：∵EC 为⊙O 的切线， ∴∠BCE ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝38°.答案：B3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：连接BC ，则∠ACB ＝90°， 又AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°， 即∠ADC ＝∠ACB ， 又∵∠ACD ＝∠ABC ， ∴△ABC ∽△ACD ，∴AC 2＝AD ·AB ＝12， 即AC ＝2 3. 答案：C4．如图，AB 是⊙O 直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：连接BC . ∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P . ∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P . ∴BC ＝BP ＝1.由△BCP ∽△CAP 得PC 2＝PB ·PA ，即AC 2＝PB ·PA . 而AC 2＝AB 2－BC 2， 设⊙O 半径为r ，则4r 2－12＝1·(1＋2r )，解得r ＝1. 答案：A 二、填空题5.如图，已知AB 与⊙O 相切于点M ，且MC ＝MD ，且MC ，MD为14圆周长，则∠AMC ＝________，∠BMC ＝________，∠MDC ＝________，∠MOC ＝________.解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．答案：45° 135° 45° 90°6．如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE＝40°，则∠P ＝________.解析：连接BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°.∴∠P ＝80°. 答案：80°7.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：连接OC ， ∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC .∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2. ∴PC ＝2 3. ∵OC ·PC ＝OP ·CD ， ∴CD ＝2×234＝ 3.答案： 3 三、解答题8.如图所示，⊙O1与⊙O 2交于A 、B 两点，过⊙O 1上一点P 作直线PA 、PB 分别交⊙O 2于点C 和点D ，EF 切⊙O 1于点P .求证：EF ∥CD . 证明：如图，连接AB ， ∵EF 是⊙O 切线，∴∠FPA ＝∠PBA .又在⊙O 2中，ABCD 为⊙O 内接四边形， ∴∠C ＝∠ABP .∴∠FPA ＝∠C . ∴EF ∥CD .9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于E .(1)求证：△ABE ≌△ACD ； (2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ， 求AE 的长．解：(1)证明：因为XY 是⊙O 的切线， 所以∠1＝∠2.因为BD ∥XY ，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3. 因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4. 因为∠ABD ＝∠ACD ，又因为AB ＝AC ， 所以△ABE ≌△ACD .(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ，所以△BCE ∽△ACB ，BC AC ＝CE CB，AC ·CE ＝BC 2.因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ， 所以6·(6－AE )＝16. 所以AE ＝103cm.10.如图，△ABC 内接于圆O ，AD 平分∠BAC 交圆O 于点D ，过点B作圆O 的切线交直线AD 于点E .(1)求证：∠EBD ＝∠CBD ； (2)求证：AB ·BE ＝AE ·DC . 证明：(1)∵BE 为圆O 的切线， ∴∠EBD ＝∠BAD ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴∠EBD ＝∠CAD ， 又∵∠CBD ＝∠CAD ， ∴∠EBD ＝∠CBD . (2)在△EBD 和△EAB 中， ∠E ＝∠E ，∠EBD ＝∠EAB ， ∴△EBD ∽△EAB ， ∴BE AE ＝BD AB，∴AB ·BE ＝AE ·BD ，又∵AD 平分∠BAC, ∴BD ＝DC ， 故AB ·BE ＝AE ·DC .。

四弦切角的性质
．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)
．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理弦切角定理
阅读教材～，完成下列问题．
．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．．弦切角定理
()文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
()图形语言叙述：
如图--，与⊙切于点，则∠＝∠.
图--
．在⊙外，切⊙于，交⊙于，，则( )
．∠＝∠．∠＝∠
．∠＝∠．∠＝∠
【解析】由弦切角定理知∠＝∠.
【答案】
．如图--所示，与⊙相切于点，和是⊙上两点，∠＝°，则∠等于( )
图--
．°．°
．°．°
【解析】根据弦切角定理：∠＝∠＝°.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
如图--，是半圆的直径，是圆周上一点(异于，)，过作圆的切线，过作直线的垂线，垂足为，交半圆于点，求证：＝.。