平行四边形存在性（习题）
例题示范
例1：如图，在平面直角坐标系中，直线1
=+交
y x
=-+与3
y x
于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，则在直线AB上是否存在点E，使以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路分析】
1.研究背景图形
2.根据不变特征确定分类标准
E(，)？
O．，A．，D，E平行四边形
3.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解
①当OA作为边时，根据平行四边形的判定，需满足OA∥DE，
OA=DE，要找DE，借助平移，由于点D在直线AC上，让线段DE沿直线AC上下平移，确保点D在直线AC上，来找直线AB上的点E，注意需要沿AC的上方、下方分别平移，找出点之后，设计方案，利用平移性质，求出坐标；
②当OA作为对角线时，利用平行四边形的判定，需满足OA，
DE互相平分，设出E点坐标，根据中点坐标公式表达出D点坐标，代入直线AC表达式即可．
4.结果验证
【过程书写】
解：由题意得，B (1，0)，C (-3，0)
∵直线1y x =-+与3y x =+交于点A
∴A (-1，2)
①当OA 作为边时，OA ∥DE ，OA =DE ，如图所示，
设1E (1)
t t -+，根据平移可得，1(13)D t t --+，
∵点1D 在直线AC 上
∴t -1+3=-t +3
解得，1
2
t =∴111()22
E ，同理可得，257()22
E -，②当OA 作为对角线时，DE 与OA 互相平分，设OA 的中点为
F ∵A (-1，2)，O (0，0)
∴F 1(1)2
-，设3E (1)m m -+，，
则3(11)
D m m --+，
∵点3D 在直线AC 上
∴-m -1+3=m +1解得，1
2
m =∴311()22
E ，点3E 与点1E 重合，如图所示，
综上，符合题意的点E 的坐标为1157()()2222
-，，，
巩固练习
1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线323
y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且12
OB BC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．在坐标平面内是否存在点M ，使得以A ，P ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分
别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA边上，点E在OC边上，将矩形OABC沿直线DE折叠，点O恰好落在BC边上的
点F处，且
4
3
CF
CE ．已知OC=8，BC=12，OD=10，请解答
下列问题．
（1）求直线DE的解析式．
（2）若M为直线DF上一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
思考小结
1.存在性问题处理框架是什么？
①研究背景图形；
2分析不变特征，确定分类标准；
3分析形成因素，画图求解；
4结果验证．
2.拿“两定两动”的平行四边形存在性为例，我们一起看看存在
性框架分析怎么用：
第一步，研究背景图形需要研究哪些内容？
答：研究背景图形需要研究边、角、特殊图形；坐标、解析式．
第二步，如何分析不变特征，确定分类标准？
答：分析谁是定点，谁是动点，两个定点连成定线段，定线段可以作为平行四边形的边或对角线来进行分类．
第三步，分析形成因素，画图，求解；根据特征，往往需要利用______（填“判定”或“性质”）分析？定线段为边和为对角线分类作图时，依据的原理是什么？求解坐标的操作手段是什么？
答：判定；
定线段为边时依据的原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
定线段为对角线时依据的原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
定线段为边时求解坐标：通过平移找点，“设→传→代”进行求解；
定线段为对角线时求解坐标：通过旋转找点，利用中点坐标公式“设→传→代”进行求解．
【参考答案】
1．存在，点M 的坐标为(33-，3)，(33，9)或(3-，3-)．
2．（1）152
y x =-+．（2）存在，点N 的坐标为(345，85)或(665，85
-)．
