高二数学《解三角形应用举例》教案(2)

高二数学解三角形的应用教案一、教学目标：1. 理解三角形的基本概念和性质；2. 掌握解三角形相关的应用问题的方法和技巧；3. 培养解决实际问题的数学建模能力。

二、教学内容：1. 三角函数的介绍和性质；2. 解三角形的基本方法；3. 利用三角函数解决实际问题的应用；4. 实际问题的数学建模。

三、教学步骤：1. 引入课题三角形在几何学中占据了重要地位，而解三角形相关的应用问题更是在实际生活中具有广泛的应用。

本节课我们将学习解三角形的方法和技巧，并通过应用问题来巩固所学知识。

2. 三角函数的介绍和性质首先，让我们来回顾一下三角函数的基本知识。

正弦函数、余弦函数和正切函数在三角形中有着重要的应用，它们分别表示了三角形的一边与角度的关系。

3. 解三角形的基本方法解三角形的基本方法包括三角函数的运用、三边定比法以及三角形的余角关系。

我们将学习这些方法，并通过例题来加深理解。

4. 利用三角函数解决实际问题的应用在实际生活中，解三角形的知识可以帮助我们解决诸如测量高度、角度、距离等实际问题。

通过一系列的实际问题，我们将学习如何将数学知识应用到实际中，培养数学建模的能力。

5. 实际问题的数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解的过程。

我们将通过一些实际问题，引导学生将问题进行抽象和建模，并运用所学知识进行求解。

四、教学资源准备：1. 教材《数学高二上册》；2. 多媒体投影仪；3. 课堂练习题和实际应用题。

五、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂练习，检验学生对解三角形知识的掌握情况；2. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识；3. 实际应用题评价：通过实际问题的解答情况，评价学生的数学建模能力。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生对解三角形相关的应用问题有了更深入的理解。

通过应用问题的解答，学生的数学建模能力也得到了提升。

在教学中，要注重培养学生的问题解决能力，引导他们主动思考和探索。

同时，通过丰富的实例和练习，提高学生的解题能力和应用能力。

第六课时 解三角形应用举例（二）教学目标： 进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.Ⅱ.例题指导［例1］如图所示，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，∠ADC ＝δ，试求AB 的长.分析：如图所示，对于AB 求解，可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解，若在△ABC 中，由∠ACB ＝α－β，故需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解.而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内由正弦定理求解.解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝α，∠ADC ＝δ，由正弦定理得AC ＝a sin δsin[1800－（α＋δ）] ＝a sin δsin （α＋δ）在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝a sin βsin[1800－（β＋γ）] ＝a sin βsin （β＋γ）在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝α－β，所以用余弦定理.就可以求得AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos （α－β）评述：（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用；（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用.［例2］据气象台预报，距S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km 以内的地区将受到台风的影响.问：S 岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化.S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t 小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos SAB＝3002＋（30t）2－2·300·30t cos60°若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702化简整理得，t2－10t＋19≤0解之得，5－ 6 ≤t≤5＋ 6所以从现在起，经过5－ 6 小时S岛开始受到影响，（5＋ 6 ）小时后影响结束.持续时间：（5＋ 6 ）－（5－ 6 ）＝2 6 小时.答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－ 6 ）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2 6 小时.评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.说明：本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力.练习：1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁.2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.答案：约1.3小时.Ⅲ.课时小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.Ⅳ.课后作业课本P21习题4，5，6.解三角形应用举例［例1］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.［例2］如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（ 3 －1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10 3 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. ［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.［例5］如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长.［例6］据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S 岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.练习：1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.解三角形应用举例1．在△ABC中，下列各式正确的是（）A.ab＝sin Bsin A B.a sin C＝csin BC.a sin(A ＋B )＝c sinAD.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos(A ＋B )2．已知三角形的三边长分别为a 、b 、a 2＋ab ＋b 2 ，则这个三角形的最大角是 （ ）A.135°B.120°C.60°D.90°3．海上有A 、B 两个小岛相距10 nmile ，从A 岛望B 岛和C 岛成60°的视角，从B 岛望A 岛和C 岛成75°角的视角，则B 、C 间的距离是 （ ） A.5 2 nmile B.10 3 nmile C. 1036 nmile D.5 6 nmile 4．如下图，为了测量隧道AB 的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据A.α、a 、bB.α、β、aC.a 、b 、γD.α、β、γ5．某人以时速a km 向东行走，此时正刮着时速a km 的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 .6．在△ABC 中，tan B ＝1，tan C ＝2，b ＝100，则c ＝ .7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 nmile 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .8．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是 .9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进10 3 米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 米.10．在△ABC 中，求证：cos2A a 2 －cos2B b 2 ＝1a 2 －1b2 .11．欲测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，求河宽.（精确到0.01 m ）12．甲舰在A 处，乙舰在A 的南偏东45°方向，距A 有9 nmile ，并以20 nmile/h 的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？解三角形应用举例答案1．C 2．B 3．D 4．C 5．东南 2 a 6．4010 7．10 3 8．20 3 ，2033 9．1510．在△ABC 中，求证：cos2A a 2 －cos2B b 2 ＝1a 2 －1b2 .提示：左边＝1－2sin 2A a 2 －1－2sin 2B b 2 ＝(1a 2 －1b 2 )－2(sin 2A a 2 －sin 2B b 2 )＝右边. 11．欲测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，求河宽.（精确到0.01 m ）解：由题意C ＝180°－A －B ＝180°－45°－75°＝60°在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A∴ BC ＝AB sin A sin C ＝120×sin450sin600 ＝120×2232 ＝40 6S △ABC ＝12 AB ·BC sin B ＝12AB ·h ∴h ＝BC sin B ＝40 6 ×6＋24＝60＋20 3 ≈94.64 ∴河宽94.64米.12．甲舰在A 处，乙舰在A 的南偏东45°方向，距A 有9 nmile ，并以20 nmile/h 的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？解：设th 甲舰可追上乙舰，相遇点记为C则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝120°由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ABC(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×(－12) 整理得128t 2－60t －27＝0解得t ＝34 (t ＝－932舍去) 故BC ＝15（nmi l e ），AC ＝21( nmi l e)由正弦定理BACBC AC sin 120sin ∴sin BAC ＝1521 ×32＝514 3 ∠BAC ＝arcsin 514 3 故甲舰沿南偏东π4 －arcsin 514 3 的方向用0.75 h 可追上乙舰.。

课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。

在本节课的教学中，用自主探究合作交流的方法最终解决问题。

二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题。

2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生发现、分析、解决问题。

②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用。

3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，树立学生的学习信心，并渗透数形结合的思想方法。

②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识。

三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。

通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生提高自主合作探究的能力。

A BC AB sin sin =α)sin(βα+=a2、想一想：如何测定河两岸两点A 、B 间的距离？测量者在河的另一岸，无法过河，给你测量工具有卷尺、测角仪，请你设计方案。

分析：这是一道关于测量两个不可到达的点之间的距离的问题。

整个过程由学生小组探究完成，给学生7-8分钟时间思考，每一组派一个代表展示小组探究成果。

并选出最好的一种方案（如下）第一步:在△ACD 中求出角∠DAC ，由正弦定理 sin ADCsin DAC AC DC=∠∠ 求出AC 的长；第二步:在△BCD 中求出角∠DBC ，由正弦定理sin BDC sin DBC BC DC=∠∠求出BC 的长；第三步:在△ABC 中,由余弦定理2222cos AB CA CB CA CB C =+-求得AB 的长。

解三角形应用举例授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。

另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。

在ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h =bsin C =csin Bh =csin A =asin Ch =asin B =bsina A 师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h =bsin C 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absin C ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=bcsin A, S=acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm ）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;∆a b c a b c 21a 212121∆2︒（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解三角形应用举例一、教学目标1、知识与技能目标初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．2、过程与方法目标（1）通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；（2）进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3、情感、态度与价值观目标（1）通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；（2）发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。

二、教学重点、难点1、重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．2、分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．三、教学方法与手段1、教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．2、学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。

3、教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）四、教学过程：（一）检查预习效果：问题1：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？问题2：怎样测量地面上两个不能到底的地方之间的距离？问题3：物理问题；问题4: 台风问题。

（二）一些术语：仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。

坡比是坡角的正切值。

方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。

方位角的取值范围为0°～360°。

解三角形应用举例●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。

除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。

课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。

●教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系●教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222=︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722≈113.15[来源:Z,xx,]根据正弦定理,CAB BC ∠sin = ABC AC∠sinsin ∠CAB = AC ABCBC ∠sin= 15.113137sin 0.54︒≈0.3255,所以 ∠CAB =19.0︒,75︒- ∠CAB =56.0︒答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。

《解直角三角形的应用》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解直角三角形中边、角之间的关系，并能运用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形。

（2）学生能够将实际问题中的数量关系转化为解直角三角形的数学问题，并能进行求解。

2、过程与方法目标（1）通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模的思想。

（2）经历观察、思考、交流等活动，提高学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生的合作精神和创新意识，提高学生的数学素养。

二、教学重难点1、教学重点（1）解直角三角形的方法和步骤。

（2）将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，并能正确选择合适的锐角三角函数求解。

2、教学难点（1）如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找出直角三角形中的已知量和未知量。

（2）灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题中的方向角、仰角、俯角等问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法、小组合作探究法四、教学过程1、导入新课通过展示一些与直角三角形相关的实际生活图片，如测量旗杆高度、计算山坡坡度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些实际问题，从而引出本节课的主题——解直角三角形的应用。

2、知识回顾（1）复习直角三角形的边角关系：勾股定理 a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）；锐角三角函数：正弦 sinA ＝ a/c，余弦 cosA ＝ b/c，正切 tanA ＝ a/b（其中 A 为锐角）。

（2）复习解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。

3、新课讲授（1）例 1：如图，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，AB ＝ 12，求 AC 和 BC 的长度。

《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。

二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。

首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。

理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。

总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。

【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。

【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。

根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。

三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。

【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。

新课讲解
例1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知
AD m
=，于A处测得水深80
=，于B
BC m
50
AB m
=，120
处测得水深200
=，
CF m
BE m
=，于C处测得水深110
求∠DEF的余弦值。

例2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
例3、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。

问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
例4、公园内有一块边长2a的等边△ABC形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（1）设AD()
x x a
=≥，ED y
=，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明.
课后练习
1、如图：半⊙O的直径为2，A为直径MN延长线上一点，且OA=2，B为半圆周上任一点，以AB为边作等边△ABC (A、B、C按顺时针方向排列)问∠AOB为多少时，四边形OACB的面积最大？这个最大面积是多少？
θC
B
A
120．已知某人从分钟．若此人步行的速度为每分钟。

1.2 解三角形应用举例（距离问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）教学设计授课教师：指导教师:2017年06月目录一、教学内容解析 (1)二、教学目标 (1)知识与技能 (1)过程与方法 (1)情感态度与价值观 (1)三、学情分析 (1)学生学习背景 (1)学生知识储备 (2)四、教学重、难点 (2)教学重点 (2)教学难点 (2)五、教学策略选择与设计 (2)六、教学资源与教学手段 (3)七、教学设计 (3)Ⅰ.课题导入 (3)i.情景导入（1） (3)ii.情景导入（2） (3)Ⅱ.讲授新课 (4)2.1 提出问题，猜想建构 (4)课堂探究（一）：两点间不能到达，又不能相互看到 (4)课堂探究（二）：两点间不能到达，但能相互看到 (5)2.2.模型深化，提升能力 (6)课堂探究（三）：两点都不能到达 (6)2.3.【课堂备用环节】知识实践：挑战自我 (8)2.4 归纳总结，反思提炼 (8)2.5 学以致用，提升自我 (9)八、教学评价 (9)附件1：教学流程图 (10)附件2：板书设计 (11)一、教学内容解析本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第一课时，在学生学习了正弦定理和余弦定理之后，本节来探讨如何解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象出数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法。

本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力.二、教学目标知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。

过程与方法首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

解三角形应用举例教材：普通高中课程标准实验教科书·人教B版·必修5·1.2一、教学目标1 知识与技能目标初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题．2 过程与方法目标（1）．通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；（2）．进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力．3 情感、态度与价值观目标（1）．通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；（2）．发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。

二、教学重点、难点1 重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．2 分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．三、教学方法与手段1 教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．2 学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。

3 教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）四、教学过程【教学环节一：复习回顾】教学内容：完成下列两个小题：① 在△ABC中，已知A=300, B=300, c =，则a =_______，c =_______。

② 如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（），最好不要选用数据（）(A) (B) (C) (D)师生互动：学生独立完成上面两个小题，并作出回答，回答时阐明作答依据。

设计意图：（1）复习：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。

（2）为本节课重点知识的学习做一些知识准备。

解三角形應用舉例第一課時（1）教學目標(a)知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，瞭解常用的測量相關術語(b)過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以後的幾節課做良好鋪墊。

其次結合學生的實際情況，採用“提出問題——引發思考——探索猜想——總結規律——回饋訓練”的教學過程，根據大綱要求以及教學內容之間的內在關係，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，説明學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。

對於例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發現問題並進行適當的指點和矯正(c)情感與價值：激發學生學習數學的興趣,並體會數學的應用價值；同時培養學生運用圖形、數學符號表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力（2）教學重點、難點教學重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然後逐個解決三角形，得到實際問題的解教學難點：根據題意建立數學模型，畫出示意圖（3）學法與教學用具讓學生回憶正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形，讓學生嘗試繪製知識綱目圖。

生活中錯綜複雜的問題本源仍然是我們學過的定理，因此系統掌握前一節內容是學好本節課的基礎。

解有關三角形的應用題有固定的解題思路，引導學生尋求實際問題的本質和規律，從一般規律到生活的具體運用，這方面需要多琢磨和多體會。

直角板、投影儀（多媒體教室）（4）教學設想1、複習舊知複習提問什麼是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、設置情境請學生回答完後再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這麼一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什麼神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對於未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由於在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。