高中数学教案课件—函数的定义教学材料

第5章函数概念与性质5.1 函数的概念和图象第2课时函数的概念和图象1. 了解构成函数的要素；2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；3.能求简单函数的定义域和值域．教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．教学难点：求简单函数的定义域．课件．PPT一、新课导入问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？2．函数的三要素是指什么？师生活动：学生先回忆总结，老师补充．预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2.定义域、值域与对应关系．【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？设计意图：承上启下，引入新课．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）【探究新知】问题2：画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题． (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：抛物线f (x )＝－x 2＋2x ＋3的顶点为(1，4)和x 轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y 轴交点为(0，3)得函数图象如图．(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． 问题3：如何求函数23()112x f x x x =+-的定义域． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由23()112x f x x x =++-可得：12010x x ->⎧⎨+≠⎩， 解得：12x <，且1x ≠- ， ∴函数23()112x f x x x =+-的定义域为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为：()1,11,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．追问：（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域；（2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域；预设的答案：（1）∵2(1)y f x =+中的21x +的范围与()y f x =中的x 的取值范围相同．∴2011x +≤≤，∴0x =，即2(1)y f x =+的定义域为{0}．（2）由题意知(21)y f x =-中的[0,1]x ∈，∴1211x --≤≤． 又(21)y f x =-中21x -的取值范围与()y f x =中的x 的取值范围相同， ∴()y f x =的定义域为[1,1]-． 问题4：求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 作出下列函数的图象．(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}．∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．设计意图：明确函数的图象的画法．例2. 求下列函数的定义域：(1)y＝2(1)11xxx+-+；(2)y5x-.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足10,10,xx+≠⎧⎨-⎩≥解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足50,||30.xx-⎧⎨-≠⎩≥解得x≤5且x≠±3，即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．设计意图：明确函数的定义域的求法．例3. 求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝213xx+-．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y＝213xx+-＝2(3)73xx-+-＝2＋73x-，显然73x-≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．设计意图：明确函数的值域的求法．【课堂小结】1．板书设计：5.1.1函数的概念和图象1. 函数的图象的画法例12. 求函数的定义域例23. 求函数的值域例32．总结概括：问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？2. 求函数值域的方法是什么？3.如何求复合函数定义域？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：1.求函数的定义域应关注四点：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．3.（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解；（2）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；（3）已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用类型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 函数()1x f x 的定义域为（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭设计意图：巩固函数的定义域的求法。

初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义【映射】1.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”2.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.3.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→:【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ）【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值.【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.【例题4】函数1)1()(3099-+-=x xx f ，则=-)2(f __________.【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值.【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A. B. C. D.【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5【练习】判断下列说法是否正确：（1）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （2）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （3）函数的定义域、值域均是无限集； （ ）【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53-【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21D.1初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义 【映射】4.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”5.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.6.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.答案：①④【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→: 答案：B【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.答案：），（61-; ），）或（（133,1-- 【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，答案：D【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.答案：2； 1【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ） 答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）× （6）√【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值. 解析：由题意可得：123133)3(-=+-++-=-f 1221131)1())3((+=+-++-=-=-∴f f f 答案：12;1+- 【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.答案：3 【例题4】函数1)1()(3099-+-=x x x f ，则=-)2(f __________.解析：由题意可得：当2-=x 时，()()01299≠--，()[]112099=--∴ ()8121)2(3-=--+=-∴f 答案：8-【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值. 解析：由题意可得：当0>a 时，213213)(+++=+++=a a a a a f 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f 答案：213)(+++=a a a f ; 112)1(+++=-a a a f 【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：C 【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：D 【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A.（1）、（2）B.（1）、（3）C.（2）、（4）D.（3）、（4）答案：A【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定答案：B【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2答案：C【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5答案：C【练习】判断下列说法是否正确：（4）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （5）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （6）函数的定义域、值域均是无限集； （ ） 答案：（1）× （2）× （3）×【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同答案：C【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.答案：C 【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53- 解析：由题意可得：531212)2(22=+-=f ,53121121)21(22-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f∴15353)21()2(-=-=f f . 答案：B【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21 D.1 解析：由题意可得：0|21||121|)21(=--=f ，1|0||10|)0()]21([=--==∴f f f . 答案：D。

高中数学函数定义教案
1. 教学目标：
- 了解函数的定义
- 能够区分函数和非函数
- 掌握函数的符号表示和图像表示
2. 教学内容：
- 函数的定义
- 函数的符号表示
- 函数的图像表示
3. 教学重点：
- 函数的定义
- 函数的符号表示
4. 教学难点：
- 了解函数的概念并能够应用到解题中
5. 教学准备：
- 教材、黑板、彩色粉笔、教学PPT
6. 教学过程：
（1）导入：通过引入一个生活实例，引出函数的概念，让学生了解函数的定义。

（2）教学内容：
- 讲解函数的定义及符号表示，让学生掌握函数的基本概念。

- 讲解函数的图像表示，让学生了解函数在坐标系中的表现形式。

（3）案例分析：通过多个例题，让学生在实践中感受函数的特点，掌握函数的应用方法。

（4）练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

7. 课堂小结：对本节课所学内容进行总结，并强调函数的重要性和应用。

8. 课后作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学内容。

9. 拓展延伸：引入高阶函数的概念，让学生了解函数的更多应用领域。

10. 教学反思：对本节课的教学效果进行评估和总结，以便更好地改进教学方法和内容。

课题：函数的概念(一)教材：普通高中课程标准实验教材教科数学必修(1)人教版【三维目标】1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性.【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的理解.【教学方法】诱思教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.【教学手段】多媒体课件辅助教学【教学过程设计】一、创设情景引入课题北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.在初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.二、观察分析探索新知1.实例分析（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：h =130t -5t 2. （﹡）提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（﹡），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.提出问题：观察分析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .对于数集A 中的任意一个时间t ，按照图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2025 5101530图126 25tSO 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t的变化范围是数集}=Nttt≤A，恩格≤,19912001∈{*尔系数y的变化范围是数集}8.=yyB. 并且，对于数集A中的任意≤53{≤9.37一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.2．问题探讨以上三个实例有什么不同点和共同点？活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.记作.Af→:B3.归纳概括引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：(1)函数的概念:一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称xx=y∈f(A),ABf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合}xxf∈叫做函数的值域.(){A显然，值域是集合B的子集.(2)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.(3)函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；②f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．三、新知演练及时反馈1. 提出问题：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？并用函数的概念来描述这些函数.设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.2. 思考辨析：(1)1y(x∈R)是函数吗？=(2))0x=xy是函数吗？(≥±(3)x3=1-是函数吗？y-+x方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？由学生总结得到：(1)理解函数的定义应注意：①符号“f:A→B”表示从A到B的一个函数；②函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；③集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性.(2)判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A，B，一个对应关系.提出问题：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B到A的函数吗？你能举出函数的实例吗？设计意图：使学生更深刻理解函数的概念，培养学生的数学应用意识.3．练习反馈下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ B ）四、提炼总结 分享收获 1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y =f (x ).2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.五、布置作业1. 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.2．课本P 24 习题1.2 1、3、4六、板书设计教案说明函数是高中数学的重要内容之一.它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础. 因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一，本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题.《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.学生在初中已学习过函数的概念，概念从运动的观点刻画了两变量之间的相互依赖关系，在已有认识的基础上，让学生学会用集合与对应的语言来刻画函数的概念，并体会函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要模型，是本节课的教学重点. 本节课的教学难点是：函数概念及符号y=f(x)的理解. 函数的概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围，因此本节课教学设计的整体指导思想是：让学生通过观察分析，去发现，并归纳概括出函数的概念，从而更好的理解函数的概念，熟练的去应用概念解决问题. 通过本节课的学习，进一步培养学生观察问题，提出问题的探究能力；培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，学会数学表达和交流，发展数学应用意识；同时使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性.本节课对重难点的处理方法是：（1）为了让学生抽象概括出函数的概念，首先以三个实际问题引入，让学生认识到生活中充满着变量间的依赖关系，先建立起函数的背景，为学生理解函数概念打下感性基础. 在三个不同的实例中，通过对关键词的强调和引导，给学生思考、探索的空间，让学生发现、概括出它们的共同特征. 进而引导学生从实际问题中抽象概括出函数的概念，培养了学生的抽象概括能力. 教学中让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析问题，解决问题的能力. 高一的学生是以感性思维为主的年龄阶段，在第一个例子中，通过动画演示炮弹的发射过程，让学生更清晰直观的感知：对于每一个时间t，都有唯一确定的高度h与它对应. 这样设计符合他们的认知规律，化抽象为直观，学生更容易理解. 第二、三个例子，让学生仿照前例，尝试用集合与对应的语言去描述两个变量之间的依赖关系，学会数学表达和交流.由学生抽象概括出函数的概念，其间经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步提高了学生的数学思维能力；教学中注重培养学生积极主动，勇于探索的学习方式. 本节课选自运动、自然界、经济生活中用三种不同方法表示的函数，既可以让学生感受到函数在许多方面的广泛应用，又可以使学生意识到对应关系不仅可以是明确的解析式，也可以是形象直观的曲线和表格，为下一节函数的表示方法描下伏笔.（2）为了使学生正确理解函数的概念，首先让学生用集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素. 其次通过思考辨析，由学生讨论、列举出函数的例子，再次加深对函数概念的理解，同时也培养了学生的数学应用意识. 最后启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此，数学学习的核心是思考，没有思考就没有真正的数学. 在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体, 总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，适时地给予适当的思维点拨，必要时进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见.这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提升能力.教学过程中既注重锻炼学生独立解决问题的能力，又注重对学生交流合作意识和创新意识的培养.通过本节课的教学，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.。

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

《函数的概念》教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目标（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重难点【教学重点】理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；【教学难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国2003年4月份非典疫情统计：3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关。

新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）。

记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。

高中数学教案课件—函数的定义一、教学目标：1. 理解函数的定义及其基本概念；2. 掌握函数的表示方法，包括列表法、图象法和解析式法；3. 能够正确判断两个函数是否为同一函数；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的定义：函数的定义域、值域、对应关系；2. 函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法；3. 同一函数的判断：定义法、对应关系法、值域法；4. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。

三、教学重点与难点：1. 函数的定义及其基本概念；2. 函数的表示方法及转换；3. 判断两个函数是否为同一函数的方法；4. 函数的性质的理解与应用。

四、教学过程：1. 导入：通过实例引入函数的概念，引导学生思考函数的定义；2. 新课讲解：讲解函数的定义及其基本概念，引导学生理解函数的表示方法，并通过例题展示不同表示方法之间的转换；3. 练习与讨论：让学生通过练习题加深对函数定义的理解，引导学生运用定义判断两个函数是否为同一函数；4. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考函数的性质及其应用。

五、课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数定义的理解；3. 预习下一节课的内容，准备课堂讨论。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问了解学生对函数定义的理解程度；2. 练习题：通过课后练习题的完成情况评估学生对函数表示方法的掌握程度；3. 小组讨论：通过小组讨论评估学生对同一函数判断方法的运用能力；4. 课后反馈：收集学生的反馈意见，了解教学效果，为下一步教学提供参考。

七、教学策略：1. 采用直观教学法，通过图象和实例让学生更好地理解函数的概念；2. 运用互动教学法，引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力；3. 采用分层教学法，针对不同学生的学习水平，给予适当的指导和支持；4. 利用多媒体教学手段，制作精美的课件，增强课堂教学的趣味性。