随机变量及其分布列典型例题
【知识梳理】
一．离散型随机变量的定义
1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化.
2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示．
3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二．离散型随机变量的分布列
1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表：
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
为离散型随机变量X 的概率分布列， 简称为X 的分布列．用等式可表示为P (X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11
=∑=n
i i
p
．
三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X
X 0 1 P
1-p
p
若随机变量X 的分布列具有上表形式，则称X 服从两点分布，并称p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )=
n
N
k n M
N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. X 0
1
…
m
P
n
N
n M
N M C C C 00--
n
N
n M
N M C C C 11--
…
n
N
m n M
N m M C C C --
如果随机变量X 的分布列具有上表形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 三．二项分布
一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发
生的概率为p ，则P (X =k )=C k n p k (1－p )
n －
k
，k =0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．易得二项分布的分布列如下;
X 0
1
… k
… n
P 00
(1)n n C p p -
1
1(1)n n C p p --
…
(1)k k
n k n C p p --
…
n p
【典型例题】
题型一、随机变量分布列的性质
【例1】设随机变量X 的分布列为,3,2,1,)3
2()(=⋅==i a i X P i ，则a 的值为____. 【例2】 随机变量ξ的分布列如下
ξ
-1 0 1 P
a
b
c
其中a 、b 、c 成等差数列,则P (|ξ|=1)=___，公差d 的取值范围是_____.
题型二、随机变量的分布列
【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．
【例4】安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．
（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．
【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；
（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．
【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生
的人数为随机变量ξ，
求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．
【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价
金额（元）1000 100 200 3000
（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．
【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元
