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函数的有理逼近

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长 沙 学 院

CHANGSHA UNIVERSITY

毕业论文资料

论 文 题 目： 有理函数逼近及其应用

系 部： 信息与计算科学

专 业： 数学与应用数学

学 生 姓 名： 徐 芬 芬

班 级： 二班 学号

2008031224

指导教师姓名： 张作政 职称 讲师

最终评定成绩

长沙学院教务处

二○一二年二月制

目 录

第一部分 毕业论文

一、毕业论文

第二部分 过程管理资料

一、 毕业设计（论文）课题任务书

二、 本科毕业设计（论文）开题报告

三、 本科毕业设计（论文）中期报告

四、 毕业设计（论文）指导教师评阅表

五、 毕业设计（论文）评阅教师评阅表

六、 毕业设计（论文）答辩评审表

（2012届）

本科生毕业设计（论文）资料

第一部分 毕业论文

（20 12 届）

本科生毕业论文说明书

有理函数的逼近及其应用

系 部： 信息与计算科学

专 业： 数学与应用数学

学 生 姓 名： 徐 芬 芬

班 级： 二 班 学号

2008031224

指导教师姓名： 张作政 职称 讲师

最终评定成绩

2012 年 4 月

长沙学院本科生毕业论文

有理函数逼近及其应用

系 （部）： 信息与计算科学

专 业： 数学与应用数学

学 号： 2008031224

学生姓名： 徐 芬 芬

指导教师： 张 作 政 讲 师

2012年 4 月

长沙学院毕业设计(论文)

I

摘 要

有理函数逼近理论及其应用是逼近问题研究中的重要组成部分。本文介绍了有理函数逼近定义、构造及其相关知识，同时研究了有理函数插值的存在性与唯一性，介绍了几种常见的有理逼近。最主要的是对有理函数逼近的应用进行了研究。首先是利用倒插商和有理函数的唯一性求解数值优化问题，结果表明这种方法在求解数值优化问题时速度快，精度高。其次是基于Thiele连分式逼近，重新推导了Halley迭代公式。采用倒数可以被差商近似的办法，得到两个多初始点的迭代公式，从而避免了求导运算。

关键词：函数，有理逼近，倒插商，有理插值

长沙学院毕业设计(论文)

II

ABSTRACT

The rational function approximation theory and its application is approximation

to the important component. This paper introduces the definition, a rational function

approximation structure and its related

knowledge, and of a rational function the

existence and the uniqueness of the interpolation, introduces several common rational

approximation. The main is a rational function approximation to the application of

research. First is to use Inverted plug Manufacturers and the uniqueness of a rational

function solving numerical optimization problem, and the result shows that the

method in solving numerical optimization problem speed and precision. Second is

based on Thiele even fraction approaching, and deduced the formula to Halley

iteration. The bottom can be difference quotient approximation method, get more than

two initial point iterative formula so as to avoid the derivation operations.

Keywords: function, rational approximation, Inverted plug Manufacturers，rational interpolation

长沙学院毕业设计(论文)

III

目 录

第一章 绪 论 ........................................... 1

1.1 有理逼近的研究背景..................................................................................... 1

1.2 有理逼近的研究目的及意义......................................................................... 1

第二章 有理逼近相关知识介绍 .............................. 4

2.1 有理逼近的定义............................................................................................. 4

2.2 逼近函数的构造............................................................................................. 5

2.3几种常见的有理逼近...................................................................................... 8

2.3.1 Padé逼近............................................................................................. 8

2.3.2 Müntz有理逼近................................................................................... 8

2.3.3 最佳有理分式逼近.............................................................................. 8

第三章 有理插值函数的存在性及唯一性 ...................... 9

3.1 有理插值问题的存在性............................................................................... 10

3.2 有理插值函数的唯一性............................................................................... 11

第四章 有理函数逼近的应用 ................ 错误!未定义书签。

4.1 基于有理逼近的Halley迭代公式............................... 错误!未定义书签。

4.1.1 预备知识.............................................................. 错误!未定义书签。

4.1.2 Halley迭代公式................................................. 错误!未定义书签。

4.2 Padé逼近的有关应用.................................................... 错误!未定义书签。

4.2.1计算散射问题时Padé逼近的应用..................... 错误!未定义书签。

4.2.2 有理降阶模型在电磁问题中的应用.................. 错误!未定义书签。

4.2.3 Padé逼近在偏微分方程数值解中的应用......... 错误!未定义书签。

4.3 有理逼近在合元极技术中的应用................................. 错误!未定义书签。

4.3.1 预备知识.............................................................. 错误!未定义书签。

4.3.2 有理逼近在合元极技术应用中的数学表述...... 错误!未定义书签。

4.3.3 MBPE技术在合元极技术中的应用..................... 错误!未定义书签。

第五章 结 论 ............................................ 13

参考文献 ................................................ 14

致 谢 ................................................. 15

合集下载

runge逼近定理

runge逼近定理

runge逼近定理

Runge逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了如何逼近解析函数的一种方法。在数学中，解析函数是指在某个域内处处可导的函数。本文将介绍Runge逼近定理的基本概念和定理陈述，并探讨其应用和推广。

首先，我们来描述一下解析函数。假设f(z)是一个定义在某个域上的复数函数，其中z = x + iy是复变量，x和y是实数。如果f(z)在该域上的导数存在，则称f(z)是解析函数。

解析函数有许多重要性质，比如它们可以展开为幂级数或洛朗级数，并且具有唯一性。这些性质使得解析函数在数学和物理中有广泛的应用，比如在复分析、微积分、物理学和工程学中。

Runge逼近定理是由德国数学家Carl David Tolmé Runge于1885年提出的。该定理给出了如何通过有理函数逼近解析函数的一种方法。具体来说，它断言在复平面上的任何有界区域D内，都存在一个有理函数序列{R_n(z)}可以以任意给定的精度逼近D上的任何解析函数f(z)。 定理的形式化陈述如下：设f(z)是D上的解析函数，且R是D的闭包。对于任意给定的ε > 0，存在有理函数序列{R_n(z)}，使得R_n(z)一致收敛于f(z)在R上，即对于R上的每一个点z，有|R_n(z)

- f(z)| < ε对于足够大的n成立。

这个定理的证明非常复杂，涉及到复分析中的许多重要概念和工具，比如复变函数的收敛性、Laurent级数、共形映射等。定理的证明可以追溯到数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet和Bernhard

Riemann的工作，他们为Runge逼近定理提供了一些重要的启示。

Runge逼近定理的一个重要应用是在数值计算中。通过有理函数逼近解析函数，可以将高阶的函数近似转化为低阶的有理函数，从而简化计算过程。这在计算机图形学、信号处理和控制理论等领域非常有用。此外，Runge逼近定理还被广泛应用于复变函数的奇点理论、拟调和函数等相关问题的研究中。

有理函数的积分

有理函数的积分

§6.3 有理函数的积分法（1）

【导语】

【正文】

一、有理函数的积分

设()nPx与()mQx分别是n次和m次多项式，则称()

()m

nQx

Px为有理函数；

当mn

()m

nQx

Px称为真分式；当mn≥时，()

()m

nQx

Px称为假分式．

A

axb+，()kA

axb+，2BxC

pxqxr+++，2()kBxC

pxqxr+

++称为最简分式（部分分式）．

定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．

当mn≥时，设 ()()()()()m

nnQxRxSxPxPx=+，则

()()d()dd()()m

nnQxRxxSxxxPxPx=+∫∫∫．

Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！

（一）分母为一次重因式的真分式的积分法

例1 求积分2

353d(2)xxx+

+∫．

解 令 2

32353

(2)2(2)(2)xABC

xxxx+=++++++． 将右端通分得

22

323353(2)(2)

(2)2(2)(2)(2)xABCAxBxC

xxxxx+++++=++=+++++．

比较两端分子对应项的系数得

5,

40,

423.A

AB

ABC=+=++= 解得 5,

20,

23.A

B

C==−= 所以

2

3235352023

(2)2(2)(2)x

xxxx+=−+++++，

于是 2

353d(2)xxx+

+∫2352023ddd2(2)(2)xxxxxx=−++++∫∫∫

220235ln222(2)xCxx=++−+++．

（二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法 对于d()()cxdxxaxb+

−−∫，可令

()()cxdAB

xaxbxaxb+=+−−−−， 等式右端通分得()()

()()()()cxdABAxbBxa

xaxbxaxbxaxb+−+−=+=−−−−−−．

比较两端分子对应项的系数得待定系数A和B满足的一次方程组，求出,AB的值．

基于有理逼近的Halley迭代公式

基于有理逼近的Halley迭代公式

２００８年３月　第３２卷第２期　安徽大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｉｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｍａｒｃｈ　２００８　Ｖｏｌ＿３２　Ｎｏ．２　

基于有理逼近的Ｈａｌｌｅｙ迭代公式　

李声锋　

（１．合肥工业大学计算机与信息学院，安徽合肥２３０００９；２．蚌埠学院理学系，安徽蚌埠２３３０００）　

摘要：连分式逼近是一种重要的有理逼近．作者基于Ｔｈｉｅｌｅ连分式逼近，重新推导了Ｈａｌｌｅｙ迭代　

公式．采用导数可以被差商近似的办法，得到两个多初始点的迭代公式，从而避免了求导数运算．最后，　

通过实例将得到的几个迭代格式公式进行了数值实验．　

关键词：Ｔｈｉｅｌｅ连分式；迭代公式；差商　

中图分类号：０２４１．７　文献标识码：Ａ　文章编号：ｉ０００—２１６２（２００８）０２—０００５—０３　

对于求解非线性方程时，构造迭代函数¨Ｉ２　是容易想到的方法，也是数值分析　中重要的方法．通　

常情况下，迭代公式的构造有不同的方法，从而构造出的迭代公式形式不完全相同，迭代效果也不一样．　

连分式逼近　是一种重要的有理逼近．近年来，对连分式及其应用吸引了国内外很多人对其进行更深　

入的探索和研究．作者利用Ｔｈｉｅｌｅ连分式逼近的表达式，重新构造出Ｈａｌｌｅｙ迭代公式．为了避免求导数　

运算，利用差商近似代替导数的办法，将Ｈａｌｌｅｙ迭代公式离散化为多初始点迭代公式．最后，将这几个　

迭代格式进行数值实验，结果表明离散后的迭代公式是可行和有效的．　

１预备知识　

定义１将下述形式的连分式　

６ｏ＋　＋　＋－一＋　＋－一　

称为Ｔｈｉｅｌｅ型连分式．　

定义２假设一个迭代格式Ｘｋ＋ｌ＝　（Ｘｋ），ｋ＝０，１，２，…，产生的序列｛Ｘｋ｝收敛，且　，则称　

是方程　（　）一　＝０的一个解．　

定义３设已知互异点‰，　一，　所对应的函数值为厂（‰），厂（　），…，厂（　），称厂［　，　］＝　

，ｉ＃ｊ，为厂（　）在　，　处的一阶差商．一般地，厂（　）在ＸＯ￣ＸＩ，…，　处的ｎ阶差商定义为　

非光滑函数｜x｜的Newman有理插值逼近

非光滑函数｜x｜的Newman有理插值逼近

第２３卷第１０期　２０１３年１０月　长春大学学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　０Ｆ　ＣＨＡＮＧＣＨＵＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．１０　０ｃｔ．２０１３　

非光滑函数Ｉ　ｌ的Ｎｅｗｍａｎ有理插值逼近　

詹倩　，许树声　

（１．安徽理工大学理学院，安徽淮南２３２００１；２．华东理工大学理学院，上海２００２３７）　

摘要：考虑一个新的修正后的Ｎｅｗｍａｎ节点集，并给出在此节点集上用Ｎｅｗｍａｎ型有理插值算子逼近非光滑函数　的渐近公式。不但证实基于该节点集上的Ｎｅｗｍａｎ有理插值改进了逼近效果，而且证明其精确的逼近阶为０　

（ｅ一　ｎ一　１），此逼近误差的阶是对Ｎｅｗｍａｎ（见［２］）ａｎｄ　ＸＩＥ　Ｔｉｎｇ－ｆａｎ的提高。　关键词：函数逼近；非光滑函数；Ｎｅｗｍａｎ有理插值算子；渐近公式　

中图分类号：０１７４．４１　文献标志码：Ａ　文章编号：１００９—３９０７（２０１３）１０—１２６９一ｏ４　

Ｏ　引言　

在逼近论中，函数Ｉ　ｌ起着非常重要的作用。Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ定理的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ证明就是基于函数ｌ　Ｉ可被　多项式逼近。众所周知，早在１９１３年，Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ就证明了在［一１，１］上对ｌ　Ｉ的最佳多项式逼近Ｅ　（１　Ｉ）～　

，且不能改进　］。１９６４年，Ｎｅｗｍａｎ证明了ｌ　Ｉ在［一１，１］上的最佳有理逼近效果更好，』Ｒ　（Ｉ　１）远优于其　

多项式最佳逼近　。事实上，他选择的节点集是Ｘ：｛＿口，一ｔＺ　，…，一。　，０，Ⅱ　，…，口　，口｝，其中。＝ｅｘｐ（一　

ｎ＿１／２），　＝１，２，…，取　

ｐ（　）＝ｎ　＋ａｋ），　

并构造有理插值函数ｒ　（Ｘ；ｘ）如下　

）～老　，　（１）　

Ｎｅｗｍａｎ利用以上有理插值函数得到以下著名定理　

定理对　∈［一１，１］，ｎ　５，有下式成立　

了１　ｅ一　ｍ．．ａｘ　ｌＩ　ｌ—ｒｎ（　；　）Ｉ　３ｅ一　。　（２）　Ｊ　Ｉ蔓１　显然Ｎｅｗｍａｎ在证明中构造的函数　（Ｘ；ｘ）是在节点集　上对ｌ　ｌ的插值函数。