数学分析教学方案

数学分析教学方案

（2005年5月初稿，2007年10月修改）

第一章 实数集与函数

§1 实数

(一) 教学目的：把握实数的大体概念和最多见的不等式，以备以后各章应用．

(二) 教学内容：实数的大体性质和绝对值的不等式．

(1) 大体要求：实数的有序性，浓密性，阿基米德性．

(2) 较高要求：实数的四那么运算．

(三) 教学建议：

(1) 本节要紧温习中学的有关实数的知识．

(2) 讲清用无穷小数统一表示实数的意义和引入不足近似值与多余近似值的作用．

§2 数集.确界原理

(一) 教学目的：把握实数的区间与邻域概念，把握集合的有界性和确界概念．

(二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．

(1) 大体要求：把握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A的上确界为 ．即：

,,xAx 且 ,a0x0,xAa；

或 ,,xAx 且 ,,00Ax 0x．

(2) 较高要求：把握确界原理的证明，并用确界原理熟悉实数的完备性．

(三) 教学建议：

(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．

(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较勤学生可布置证明抽象集合的确界的习题．

§3 函数概念

(一) 教学目的：把握函数概念和不同的表示方式．

(二) 教学内容：函数的概念与表示法；复合函数与反函数；初等函数．

(1) 大体要求：把握函数的概念与表示法；明白得复合函数与反函数；知道初等函数的概念，熟悉狄利克莱函数和黎曼函数．

(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的熟悉． (三) 教学建议：

通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的熟悉从具体上升到抽象．

§4 具有某些特性的函数

(一) 教学目的：把握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．

(二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培育学生了解研究抽象函数性质的方式．

(2) 本节的难点是要求用分析的方式概念函数的无界性．对较勤学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方式．

第二章 数列极限

§1 数列极限概念

(一) 教学目的：把握数列极限概念，学会证明数列极限的大体方式．

(二) 教学内容：数列极限．

(1) 大体要求：明白得数列极限的分析概念，学会证明数列极限的大体方式，知道数列极限的分析概念中 与 N的关系．

(2) 较高要求：学会假设干种用数列极限的分析概念证明极限的特殊技术．

(三)教学建议：

(1) 本节的重点是数列极限的分析概念，要强调这一概念在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明 nlim01kn； nlimna0；( )1||a，然后教会他们用这些无穷小量来操纵有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）．

(2) 本节的难点仍是数列极限的分析概念．对较勤学生可要求他们用数列极限的分析概念证明较复杂的数列极限，还可要求他们深切明白得数列极限的分析概念．

§2 数列极限的性质

(一) 教学目的：把握数列极限的要紧性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．

(二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么和数列的子列及有关子列的定理．

(1) 大体要求：明白得数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．

(2) 较高要求：把握这些性质的较难的证明方式，和证明抽象形式的数列极限的方式．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题．

(2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够把握这些性质的证明方式，而且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： nlimnn1，等．

§3 数列极限存在的条件

(一) 教学目的：把握单调有界定理，明白得柯西收敛准那么．

(二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准那么． (1) 大体要求：把握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括 1lim(1)nnn存在的证明．明白得柯西收敛准那么的直观意义．

(2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准那么判别抽象数列（极限）的敛散性．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．

(2) 本节的难点是柯西收敛准那么．要求较勤学生能够用柯西收敛准那么判别数列的敛散性．

第三章 函数极限

§1 函数极限概念

(一) 教学目的：把握各类函数极限的分析概念，能够用分析概念证明和计算函数的极限．

(二) 教学内容：各类函数极限的分析概念．

大体要求：把握当 0xx； x； x； x； 0xx； 0xx时函数极限的分析概念，而且会用函数极限的分析概念证明和计算较简单的函数极限．

(三) 教学建议：

本节的重点是各类函数极限的分析概念．对多数学生要求要紧把握当 0xx时函数极限的分析

概念，并用函数极限的分析概念求函数的极限．

§2 函数极限的性质

(一) 教学目的：把握函数极限的性质．

(二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么．

(1) 大体要求：把握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么，并会用这些性质计算函数的极限．

(2) 较高要求：明白得函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的熟悉．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是函数极限的各类性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系．

(2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较勤学生，要求知道这些局部的 （的大小）不仅与 有关，而且与点 0x有关，为以后讲解函数的一致持续性作预备．

§3 函数极限存在的条件

(一) 教学目的：把握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，明白得函数极限的柯西准那么．

(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准那么．

(1) 大体要求：把握函数极限的归结，明白得函数极限的柯西准那么． (2) 较高要求：能够写出各类函数极限的归结原理和柯西准那么．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性．

(2) 本节的难点是函数极限的柯西准那么．要求较勤学生能够熟练地写出和运用各类函数极限的归结原理和柯西准那么．

§4两个重要的极限

(一) 教学目的：把握两个重要极限： 0limx1sinxx； xlimxx11e．

(二) 教学内容：两个重要极限： 0limx1sinxx； xlimxx11e．

(1) 大体要求：把握 0limx1sinxx的证明方式，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限．

(2) 较高要求：把握 xlimxx11e证明方式．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方式：

1)()(sinlim0)(xxx； exxx)()()(11lim，其中 )(x、 )(x别离为任一趋于0或趋于∞的函数．

(2) 本节的难点是利用迫敛性证明 xlimxx11e．

§5 无穷小量与无穷大量

(一) 教学目的：把握无穷小量与无穷大量和它们的阶数的概念．

(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大．

(1) 大体要求：把握无穷小量与无穷大量和它们的阶数的概念．

(2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析概念，并用分析概念证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练利用“ o”与“ O”．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量和它们的阶数的概念．

(2) 本节的难点是熟练利用“ o”与“ O”进行运算．

第四章 函数的持续性

§1 持续性概念

(一) 教学目的：把握函数持续性概念．

(二) 教学内容：函数在一点和在区间上持续的概念，中断点的分类． (1) 大体要求：把握函数持续性概念，可去中断点，跳跃中断点，第二类中断点，区间上的持续函数的概念．

(2) 较高要求：讨论黎曼函数的持续性．

(三) 教学建议：

(1) 函数持续性概念是本节的重点．对学生要求知道函数在一点和在区间上持续的概念，中断点的 分类．

(2) 本节的难点是用较高的分析方式、技术证明函数的持续性，可在此节中对较勤学生布置有关习题．

§2 持续函数的性质

(一) 教学目的：把握持续函数的局部性质和闭区间上持续函数的整体性质．

(二) 教学内容：持续函数的局部保号性，局部有界性，四那么运算；闭区间上持续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的持续性，一致持续性．

(1) 大体要求：把握函数局部性质概念，可去中断点，跳跃中断点，第二类中断点；了解闭区间上持续函数的性质．

(2) 较高要求：对一致持续性的深切明白得．

(三)教学建议：

(1) 函数持续性概念是本节的重点．要求学生把握函数在一点和在区间上持续的概念，中断点的分类，了解持续函数的整体性质．对一致持续性作出几何上的说明．

(2) 本节的难点是持续函数的整体性质，尤其是一致持续性和非一致持续性的特点．可在此节中对较勤学生布置判别函数一致持续性的习题．

§3 初等函数的持续性

(一) 教学目的：了解指数函数的概念，把握初等函数的持续性．

(二) 教学内容：指数函数的概念；初等函数的持续性．

(1) 大体要求：把握初等函数的持续性．

(2) 较高要求：把握指数函数的严格概念．

(三)教学建议：

(1) 本节的重点是初等函数的持续性．要求学生会用初等函数的持续性计算极限．

(2) 本节的难点是明白得和把握指数函数的性质．

第五章 导数和微分

§1 导数的概念

(一) 教学目的：把握导数的概念，了解费马定理、达布定理．

(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．

(1) 大体要求：把握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，明白得费马定理．

(2) 较高要求：明白得达布定理．

(三) 教学建议：

(1) 本节的重点是导数的概念和导数的几何意义．会用概念计算函数在一点处的导数．

(2) 本节的难点是达布定理．对较勤学生可布置运用达布定理的习题．

§2 求导法那么

(一) 教学目的：熟练把握求导法那么和熟记大体初等函数的求导公式．