数学思维的培养与训练

淮阴区青少年宫暑期三升四数学与思维训练

第一讲移多补少求平均数 姓名：

在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”——也就是求平均数问题。

例题与方法

例1． 小明在一学期的5次数学测验中的得分分别是95，87，92，100，96。求小明平均每次数学测验的得分。

例2． 甲地到乙地的全程是60千米。小红骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，从乙地到甲地每小时行10千米。求小红往返的平均速度。

例3． 商店用30千克酥糖和20千克水果糖混合成什么锦糖。每千克酥糖8元，每千克水果糖3元。每千克什锦糖应卖多少元？

例4． 小英4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了94分。问她5次测验的平均成绩是多少？

例5． 小明4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩进88分。第5次测验的成绩。

例6． 有5个数的平均数是20。如果把其中的一个数改成4，这时候5个数的平均数是18。求改动的数原来是多少？

例7． 有甲、乙、丙3个数，甲、乙的和是90，甲、丙的和是82，乙、丙的和是86。甲、乙、丙3个数的平均数是多少？ 练习与思考

1． 用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是6厘米、5厘米、9厘米、8厘米。这4个杯子里水面的平均高度是多少厘米？

2． 敬老院有18位老奶奶，平均年龄是75岁。有12位老爷爷，平均年龄是70岁。这些老人的平均年龄是多少岁？

3． 某学生语文、数学两科的平均成绩单是93分，后来英语考91分，自然考89分。该学生这4门功课的平均成绩是多少分？

4． 上学期王红的语文、数学、外语3科的平均成绩是94分，其中语文、数学两科的平均成绩是92分。外语得多少分？

5． 某次数学考试，甲、乙的成绩和是184分，乙和丙的成绩单和是187分，丙和丁的成绩和是188分，甲比丁多1分。他们4人分别考了多少分？

教育家赞可夫指出：在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维，培养学生思维的灵活性和创造性。在数学教学过程中，教师要特别重视和发展学生的好奇心，让每一个学生养成想问题、问问题、挖问题和延伸问题的习惯，让所有的学生都知道自己有权力和能力提出新见解、发现新问题。这一点对学生的发展很重要，它有利于学生克服迷信和盲从，树立起科学的思想和方法，有利于学生形成良好的学习品质。

一、善于运用启发法和发现法，启发学生思维的积极性

如教学义务教育十一册教材中圆的认识一课时，教师首先要学生拿出一张圆形纸片，让他们将圆纸片对折打开，再对折再打开，如此多次，让学生观察，说出在圆纸片上看到了什么。学生精力陡然集中，都想看看圆纸片上有什么。一生发现：圆纸片上有折痕。另一生又发现：圆纸片上有无数条折痕。老师表扬两生观察仔细。其它学生倍爱鼓舞，纷纷发言：圆面上所有折痕相交于一点，折痕两旁的图形完全重合。这时老师让学生打开课本，看一看交点叫什么，折痕叫什么。学生很快找到了答案并熟记。要学习在同一圆中直径和半径的关系了，老师让学生拿出尺子量一量自己手中的圆纸片和同学手中的圆纸片的直径和半径，启发学生：又发现了什么?学生很快得出结论。要画圆了，老师还是不讲画法，让学生先去画，满足他们操作圆规的好奇心，让学生自己去发现画圆的方法和步骤。整节课，学生的思维都处于兴奋状态之中，人人有动手操作、用眼观察、动口说理、动脑思维的机会，学生自己观察发现问题，积极探索、得出结论，教学效果好。

二、精心设计教学内容，培养学生的求异思维

对于小学生来说，既要注意培养他们不盲从、喜欢质疑、打破框框、大胆发表自己意见的品质，又要培养他们敢于求异，发展他们的求异思维，进而养成独立思考、独立解决问题的习惯。如：一位教师在教学乘法意义的运用一课时，她出示了这样一道加法题：9+9+9+5+9=?让学生用简便方法计算。于是一个学生提出了94+5的方法，而另一个学生则提出了新方案，建议用95-4的方法解。这个学生的思维很有创见，这个方案是他自己发现的。在他的思维活动中，他看见了一个实际并不存在的9，他假设在5的位置上是一个9，那么就可以把题目先假设为95。接着他的思维又参与了论证：9-4才是原题中实际存在的5。对于这种创造性思维的闪现，教师要加倍珍惜和爱护。

数学思维能力的培养

作者：王彦廷

（定安中学初中部，定安，571200）

摘要：发展数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维能力的培养对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。

关键词：思维能力；数学；思维障碍

1. 引言

思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓数学思维，是指学生在对数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对数学知识本质和规律的认识能力。数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，数学思维的形成是建立在对数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维能力的培养对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。

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高中数学课本习题训练与思维能力培养

作者：王贵萍

来源：《都市家教·上半月》2014年第03期

【摘 要】在高考特殊要求下，高中考试的题目往往要比平常书本上的习题要难很多，无论是从题型上还是深度上，都要难。所以，高中数学课本上的习题的作用就可以想象得出，只是为了培养学生的思维能力，为学生解答题目提供思路而已。对于这样的情况，就需要高中教师在教学中重视这样一个问题，把课本中的习题训练与培养学生思维能力有机结合起来，为学生在解答高考中的数学题目提供正确的思路，从而达到提升教学效果的作用。

【关键词】高中数学；习题训练；思维能力；培养；结合

教育家苏霍姆林斯基主张以智力发展为主，但不忽视掌握知识，并反对发展与掌握知

技能的失调。他指出：“在课堂里要做两件事，第一要学生掌握一定范围的知识，第二要努力使学生变得越来越聪明。如果不把这两件事结合起来，那么学生的学习就会变成一种苦役……我们不要认为，既然学生掌握了知识，他们就会变得聪明，事情永完不是这样简单。”从数学教育教学的角度来看，我以为要使学生变得聪明，就要让学生在掌握基础知识的前提下，运用所学数学思想和方法，灵活地处理问题。其具体表现就是反映在学生思维的灵活性程度方面。在现实的教学与人才的选拔机制中，有这样一个争的事实：学生教材同步训练的要求高于教材，而高考的要求的难度（源于教材，高于教材）又高于同步训练要求的难度。这是由高考的选拔性质决定的，进而客观上使教材习题无论从量上还是从质上都存在一些不足，造成一些学校出现了本需要加强习题教学（而不是削弱）以给学生一些必要的思维锻炼，却因习题训练量不足或严重不足，数学教学质量受到不应有的影响，如何通过习题教学对学生思维的灵活性进行培养，我认为这是值得人们探究的。

一、加强针对学生学习习惯、思维方法的教学研究

学生在数学学习过程中，掌握一定的思想和方法，数学思维得到了培养，这对于学生解决问题起到了较好的作用。但是由于问题的多样性和复杂性，高考对学生的数学思维的灵活性提出了一定的要求。例如以选择的形式出现的地要求学生“眼睛一看、脑筋一转、手一勾”从而在时间上把握主动权的题型。我们是否宜在日常的教学中，注得指导学生对题型进行归纳，并通过实际训练对一些问题摸索出解题模式，此种做法对学生解决同类问题有着积极的指导意义，因为许多数学问题的解决，仍需要归结到基本的题型和解题模式上去。与此同时还要关注这一趋势：从升学选拔人才的角度来看，无论是高考还是中考，对学生的数学思维能力考察也成为大势所趋。我认为这是符合客观实际的，同时这种能力在考察学生的思维灵活性方面得到了具体体现，因此在重视指导学生概括解题模式的同时，对学生思维的灵活性的培养也应据高考的要求以及学生的最近发展区不失时机地予以加强巩固和提高。所谓时机，正如我们所熟知的教学阶段（章节、单元、学期、学年等）结束之时，也往往是题型、解题模式为学生基本掌握并龙源期刊网