三角函数的图像及其性质

第三节 三角函数的图像与性质

复习要求：

1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质

2，理解周期函数、最小正周期的概念

3，学会用五点法画图

知识点：

1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质

3．函数BxAy)sin(），（其中00A

最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。

4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：

sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0) kkZ；

cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；

对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

第1页共6页高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质

第一部分：xxfsin)(

的图像与性质

描点法：如下表所示：x0

2

232

)(xf01010

0cossincossin)sin(0sin

。

1

43

41

23

23

21

21

6cos

3sin

3cos

6sin)

36sin(

2sin

。

00sin)0sin(sin



（诱导公式，下面有黑点的当做

2

的倍数）。

1

2sin)

2sin(

23

sin





（诱导公式，下面有黑点的当做2

的倍数）。

0sin)sin(2sin



（诱导公式，下面有黑点的当做

2

的倍数）。

图像：如下图所示：

性质一：最小正周期。2T

周期函数：周期函数的图像是由一段图像重复出现组成。

周期函数的周期：这一段重复图像在x

轴上的长度。

周期函数的最小正周期：最小的重复图像在x

轴上的长度。

性质二：定义域，值域。

定义域：Rx

；

值域：]1,1[)(xf

；

取得最值时对应自变量x

的值：

友情提醒：有多个值怎么去写？找到前两个值，计算前两个值的间距，多个值合在一起的写法：

第一个值加间距的整数倍。第2页共6页①第一个取得最大值1的自变量为

2

，第二个取得最大值1的自变量为

25



第一个自变量和第二个自变量的间距为：

2

225



。

当kx

2

2

，其中Zk

时：函数xxfsin)(

取得最大值1

。

②第一个取得最小值1的自变量为

2



，第二个取得最小值1的自变量为

23



第一个自变量和第二个自变量的间距为

2)

2(

23



。

当kx

2

2

，其中Zk

时：函数xxfsin)(

取得最小值1

。

性质三：对称性。

对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向x轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。第一个对称轴：

2

x，第二个对称轴：

23

x

第一个对称轴和第二个对称轴之间的间距为

1

4-1.4.1正弦、余弦函数的图象

（1）函数y=sinx的图象 （2）余弦函数y=cosx的图象

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是

(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1)

讲解范例：例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， (2) y=|sinx|， （3）y=sin|x|

例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3yxx的简图.

例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

1(1)sin;2x 15(2)cos,(0).22xx

课后作业：作业：

补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象

2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象

3．用五点法作出y=cosx,x[0,2]的图象

“五点（画图）法”-----描点、连线，画出简图。

例1． 画出下列函数的简图：

（1） y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕

（2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕

一、 合作学习

●探究1

如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

●探究2

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？

函数y=Asin(ωx+)的图象和性质

·【知识要点归纳讲解】

1、正、余弦函数的图像和性质

________________________ _________________________

(k∈Z)

（1）定义域:________________； （1）定义域:________________；

（2）值 域:________________； （2）值 域:________________；

（3）奇偶性:________________； （3）奇偶性:________________；

（4）单调性: （4）单调性:

①递增区间:________________； ①递增区间:________________；

②递减区间:________________； ②递减区间:________________；

（5）周期性:________________； （5）周期性:________________；

（6）对称性: （6）对称性:

①对称中心：_______________； ①对称中心：_______________；