根式方程解法

1 分式方程的解法

多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。

方法1：计算法

例 解方程 32223xxx

解：移项，得

是原方程的根时，检验：当计算，得4,022440164022164-032223xxxxxxxxxxxx

原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。

方法2：分式相等法

例 解方程 32223xxx

解：原方程化为

416412344322322232222322222322xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。

方法3：等式性质法

例 解方程 32223xxx

解：方程两边同乘22xx得

4164123443223222322xxxxxxxxxx

经检验，x=4是原方程的解。

原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。方法2结合方法3，降低去分母的难度。

2 方法4：比例式法

例 解方程 415xx

解：两外项的乘积等于两內项的乘积

55554154xxxxxx

经检验，x=-5是原方程的解。

§6.5 不等式的解法（一）

【一线名师精讲】

基础知识串讲

解不等式的基本原则：

1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。

2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：

3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。

基本类型不等式的解法：

(一)、整式不等式的解法

1、一元一次不等式

标准形式：bax或)0(abax.

解法要点：在不等式的两端同时除以a后，若0a则不等号要反向。

2、一元二次不等式

标准形式：02cbxax或02cbxax（其中0a）。

解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：

（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求方程02cbxax的根。

（3）写解：根据方程02cbxax根的情况写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0时，则可由函数cbxaxy2的草图写解。

3、一元高次不等式（可分解因式型）

标准形式：0)())((21nxxxxxxa或0)())((21nxxxxxxa0a。

解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：

（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求出对应方程的根。

（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。

（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21nxxxxxxa的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21nxxxxxxa的解。

（二）、分式不等式的解法

标准形式：0)()(xfxg，或0)()(xfxg。

解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以下原则去分母：

根式的运算

平方根与立方根

一、知识要点

1、平方根：

⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

2、立方根：

⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。

4、公式：⑴(a)2=a（a≥0）；⑵3a=3a（a取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根

（1）64；（2）2)3(； （3）49151； ⑷ 21(3)

例2 求下列各式的值

（1）81； （2）16； （3）259； （4）2)4(.

（5）44.1，（6）36，（7）4925（8）2)25(

例3、求下列各数的立方根：

⑴ 343； ⑵ 10227； ⑶ 0.729

二、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数.

例4、若,622yxx求yx的立方根.

练习：已知,21221xxy求yx的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而.0)()(aa

根式方程解法

根式方程是指方程中含有根号的方程，方程中可能涉及一次、二次及更高次的根式。根式方程经常出现于代数学中，它有许多解法，本文将介绍根式方程的解法。

1. 一次根式方程

一次根式方程是最简单的根式方程，它的形式为√x + a = b，其中a、b为已知实数。解这个方程时，需要将其转换为 x = (b -

a)²，并检验所求得的解是否合法。

2. 二次根式方程

二次根式方程的一般形式为√ax² + bx + c + d = 0，其中a、b、c、d 为已知实数，且a≠0。解这个方程需要经过以下几个步骤：

①将根式移项，得到√ax² + b x + c = -d

②将方程两边平方，得到 ax² + b x + c = d²

③将 d² 移至一边，得到 ax² + b x + c - d² = 0

④代入一般形式的二次方程求解公式，得到解x

⑤检验所求得的解是否合法

3. 多项式根式方程

多项式根式方程即含有多个根式的方程，其解法难度相对较大，需要采用分离变量或消元的方法解决。其中，分离变量法是将根式方程中含根的项移到一边，不含根的项移到另一边，然后多次进行平方，直至得到可解的方程求出解；消元法是将根式方程的根化为一个变量，然后通过消元的方式得到几个方程组成的新方程组，并通过代数运算求出解。

在解决根式方程的过程中，需要注意以下几点：

1. 方程中可能存在解非实数的情况，需要进行检验；

2. 二次根式方程可以通过配方法化简成一般的二次方程，并应用一般二次方程的求解公式求解；

3. 多项式根式方程的求解需要理解并熟练掌握分离变量和消元的方法，并进行合理判断。

以上就是根式方程解法的分步骤阐述。当然，如何选择合适的解法来解决根式方程还需要在实践中不断摸索和总结，才能得到更加完善的解法。