数列的特征与规律

第九讲 数列规律在 今天这节课中，我们将来研究数列问题．教师通过示例引导学生正确认识数列，并且帮助学生掌握研究数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力. 知识点 1、掌握一些常见的数列的规律.2、掌握一些特殊数列的规律，并能熟练应用规律解决问题.3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.分析：小王接着无法报了，因为观察小王和小李报出的所有数：172，84，40，118，7，可以发现，报数的规律是按前一数的一半减2后往下报的，但是7再往下报的话就不是整数了，所以小王接着无法再往下报了.日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： （1）自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)（2）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（3）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n 个数就称为第n 项．如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项是45．根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列．教学目标专题精讲想挑 战 吗？小王和小李玩数字游戏，小王说：“我先报数，你得按规律往下报，不许瞎报.”于是小王先报：“172.”小李说：“没看到规律，我报不出，你再报两个.”小王又报：“84，40.”小李说：“行了，我报18，7.” 你知道小王下一个该报几吗？（一）找数列中的规律【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)100，95，90，85，80，（），70(2)1，3，6，10，（），21，28，36，（）(3)1，3，9，27，（），243(4)1，8，27，64，125，（），343(5)2，1，3，4，7，（），18，29，47(6)1，2，6，24，120，（），5040分析：（1）100，95，90，85，80，（），70通过观察不难发现，从第2项开始，每一项都比它前面一项少5，也就是说每相邻两项所得的差都等于5.因此，括号中应填的数是75，即：80-5=75．像（1）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．（2）1，3，6，10，（），21，28，36，（）(方法1)先计算相邻两数的差，有：3-1=2, 6-3=3,10-6=4,……,28-21=7,36-28=8,……由此可以推知这些差一次为2、3、4、5、6……，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差按2、3、4、5、6……增加，括号里应填15，45，即10+5=15，36+9=45(方法2)继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确．(方法3)通过观察，这一列数还有如下的规律：第1项：1=1第2项：3=1＋2第3项：6=1+2+3第4项：10=1+2+3+4第5项：（）第6项：21=1+2+3+4+5+6……可以得到这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第5项为15，即：15=1+2+3+4+5；第9项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9．（3）1，3，9，27，（），243此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填 81，即81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3．像（3）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．通过观察可以发现： 1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3， 64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7 我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，所以，括号里应填6×6×6的积216．（5）2，1，3，4，7，（），18，29，47这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项地和，即：3=1+2，4=1+3，7=3+4，……，47=18+29，所以括号中的数应该是：4+7=11．（6）1，2，6，24，120，（），5040（方法一）这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6．（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1第2项2=1×2第3项6=1×2×3第4项24=1×2×3×4……所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720【例2】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)3，4，8，8，13，（），18，32，（），64(2)18，3，15，3，12，3，（），（）(3)1，1，1，3，5，9，17，（），（）(4)1，2，6，16，44，（），328分析：（1）3，4，8，8，13，（），18，32，（），64通过观察发现，前面的方法都不适用于这个数列，但是如果隔着看这个数列中的一些数是非常有规律的，如：3，8，13，18，而他们恰好是第一项、第三项、第五项、第七项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：奇数项：3，8，13，18，（）偶数项：4，8，（），32，64可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，第9项应为23（18+5＝23），第6项为16（8×2＝16）．如果隔着看，如果第一个数18减3就得到第二个数15，15减3就得到第五个数12，而第二、第四……个数始终是3，根据这一规律，括号中应填9和3像（1）（2）这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列．（3）1，1，1，3，5，9，17，（），（）可以发现， 3=1+1+1，5=1+1+3，9=1+3+5，从第四个数起，每一个数都等于前三个数的和，可知需填补的数字为： 5+9+17=31 ， 9+17+31=57本题考虑的是相邻四个数地直接关系，这一类题都是考虑后面一个数字与前面几个数字地共同关系，由于前面几个数字可以进行的运算方式有很多，所以这种题型的变化方式也很多．（4）1，2，6，16，44，（），328观察发现，6=2×（2+1），16=2×（2+6），44=2×（16+6），328＝2×（120+44），所以，应填120=2×（44+16）．【例3】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……(2)（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）(3)1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）分析：（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14，20，……．对于数列4，5，6，7，……，由观察得知，第2项等于第1项加上1，第3项等于第1项加上2，第4项等于第1项加上3，……，所以第5项等于第1项加上4，即4＋4＝8．同理，数列：2，8，14，20，……，第2项等于第1项加上1×6，第3项等于第1项加上2×6，第4项等于第1项加上3×6，……，所以第5项等于第1项加上4×6，即2＋4×6＝26．所以，括号里应填8+26．（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）观察这个数列中每一组中对应位置上的数字，可以得到如下规律：每组第一个是1、2、3、4、......这是一个自然数列，第二个是2、4、8、16......，这是一个等比数列第三个100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；所以，第5组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）．（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于前一个数列，是由1、2两个数字循环组成的，所以第八项应为2；对于第二个数列，是由3、2、1循环组成的，所以第八项的第二个数字应为2．所以，括号里应填2×2．【例4】建筑工人将一堆木头堆成如下图的形状，你知道如果按这样的方法堆木头，一共堆15层的话，第15层有多少根？分析：通过观察这堆木头可以发现，最上面的一层有1根木头，第二层有2根，第三层有3根，第四层有4根，……我们可以将这道题转化一下,有一组数：1，2，3，4，5，6，……问第十五层有多少根，也就是求这组数中第十五个数是什么，通过我们刚刚学过的我们知道，这是一个等差数列，第十五项为15，也就是第十五层有15根木头．[拓展]阿尔法喜欢收集小木棒，并将它们按右图的形状摆放在书桌上，最底下一层阿尔法摆放了27根小木棍，接着摆放了26根，以此类推，到最后阿尔法发现最上面一层只放了3根小木棒后就没有了，你知道阿尔法一共收集了多少根小木棒吗？分析：通过读题我们知道，阿尔法的这堆小木棒摆放有一定的规律：第一层：3，第二层：4，第三层：5，第四层：6，……，最后一层：27，通过观察可以得出，这一列数构成等差数列，问阿尔法一共有多少小木棒，也就是将每层小木棒的数目加起来的和，即：3+4+5+6+7+8+9+10+11+…+25+26+27＝（27+3）+（26+4）+……+（16+14）+15＝30×12+15＝375，所以，阿尔法一共收集了375根小木棒．【例5】有一列数：1，1989，1988，1，1987，…．从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差．那么第1989个数是多少？分析：为了找到规律，我们把这列数再往下写出一些：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，1，1982，…，这样我们就可以很容易的看出规律了，即每三个一组，第一个为1，后两个是从1989依次减1排下去；1989/3=663，共有663组，去掉每一组中的1，剩下663×2=1326个，从1989顺序递减，到最后一个应该是1989-1326+1=664．所以，第1989个数是664．（二）特殊数列中的规律：【例6】仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．（1）62493758412816（2）282113589914分析：（1）观察数表中的数，发现每一列中：37-16=21，49-28=21，62-41=21，即第二行的数字比第一行对应位的数字都大21 ，所以空缺处应填79（58+21=79）．（2）观察后两行发现，5+9=14，8+13=21，即第一列的数字是同行中后两列的数之和，所以空缺处应填19（28-9=19）．【例7】 下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（1）3637830375956？（2）2020101816825( )( )分析：（1）通过观察前两个图形中的数，可以发现：30=（5+7+3）×2，36=（8+3+7）×2，所以空缺的数字应为：（5+6+9）×2=40．（2）观察前两个圆圈，可以发现如下关系：20-10＝10，10×2＝20；18-10＝8，8×2＝16． 所以第三个圆圈中最下面的括号中应填15（25-10＝15），右边的括号应填30（15×2＝30）．[拓展]图中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数a 和b ．分析：图中5个圆、10个数字，其中5个数字是只属于某一个圆本身的，5个数字是每两个圆相重叠的公共区域的，观察发现：10+20＝15×2，20+40＝30×2，也就是说两圆重叠部分的公共区域的数字2倍，正好等于两圆独有数字之和，所以，a=2×17-10=24，b=（16+40）÷2=28．最后验算一下：20×2-16=24，符合．[趣味数学]先仔细看看右图的方阵，你会发现方阵中每一个方格有4个数字，可是中间的方格少了一个数字，你能找出规律，并在“？”处填上适当的数吗？分析：方格中上2个数是1个三位数，下2个数是1个两位数，以右上方的方格为例，上面是357，下面是51，两数相除的商为7，各格上下两数相除的商都是7，这就是我们要找的规律，根据这一规律，“？”处应填4.【例8】 先观察下面各算式，再按规律填数．（1） 1×9+2=11 （2） 21×9=18912×9+3=111 321×9=2889 123×9+4=1111 4321×9=38889 12345×9+6=_________ 54321×9=（ ） 1234567×9+____=___________ 654321×9=（ ）44 16 319 62 830 8 4 ？35 75 111 21 6分析：（1）在这一组算式中，得数都是由若干个“1”组成的．1的个数恰好是后面的加数．如1×9+2，后面的加数是2，结果中也就有2个1．根据这一规律，12345×9+6的结果是由6个1组成，即111111．最后一个算式应当是1234567×9+8=11111111．（2）通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前面是21、321、4321，乘号后面都是9，相乘的答案的最高位分别是1、2、3，而位数分别是三位数、四位数、五位数．由此可得：54321×9的最高位是4，位数是5+1＝6，个位上都是9，其余各位都是8；654321×9的最高位是5，个位是9，其余各位都是8，位数是6+1＝7．所以，54321×9=488889， 654321×9=5888889．（三） 数阵中数列的规律【例9】 用数字摆成右面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：(1) 这个三角阵的排列有何规律？(2) 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行． (3) 推断第10行的各数之和是多少？ 分析：（1）首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3．（2）根据由（1）得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1．（3）要求第10行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数． 第一行 1＝1第二行 1+1＝21第三行 1+2+1＝22第四行 1+3+3+1＝23第五行 1+4+6+4+1＝24第六行 1+5+10+10+5+1＝25其中，n2表示ｎ个2相乘，即n 2222⨯⨯⨯个 ，ｎ为自然数通过观察可以看出，每一行中n2中的ｎ都等于行数减去1，至此，我们可以推断，第10行各数之和为29=512.[小知识]本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用.杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和. 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页. 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图.[巩固]右图是按一定的规律排列的数学三角形，请问第10行第三个数是多少？分析：仔细观察左起第一个数的变化规律：第一行第一个数：1，第二行第一个数：1+1，第三行第一个数：1+1+2，第四行第一个数：1+1+2+3，……，所以第十行左起第一个数是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝46，这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），所以，第10行第三个数是48．【例10】自然数如右表的规律排列(1)求上起第10行，左起第7个数．(2)87在上起第几行，左起第几列？分析：（1）注意观察这个数表第一列数的排列规律，这些数是：1，4，9，16，25，…，这些数有一个共同特点，它们是每一行序数自己与自己相乘的积，所以，第10行左起第一个数是：10×10＝100，而且从第三行开始，每一行的前几个数字都依次递减，所以第10行左起第7个数是：100-6＝94.（2）注意数阵中几个数的变化规律是按从上到下拐弯向左的方向依次增加1，因为87＝9×9+6，，所以，87在第6行左起第1个数后面9个，也就是第6行左起第10个．[拓展一]按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？分析：（方法1）把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数.有：（1500-9）÷8＝186……3，所以，1500位于第188组的第3个数，即1500位于第④列．（方法2）考虑除以8所得的余数.第①列除以8余1，第②列除以8余2或是8的倍数，第③列除以8余3或7，第④列除以8余4或6，第⑤列除以8余5；而1500÷8=187……4，则1500位于第④列.当数到2007时，它在哪一列呢？（方法1）（2007—9）÷8＝249……6，2007位于第251组的第6个数，2007位于第③列.（方法2）2007÷8=250……7，则2007位于第③列，[拓展二]毕达哥拉斯是个大数学家，有一次他正要出门拜访朋友，发现一个仆人不干活，躲在门外玩，于是，毕达哥拉斯命令这个仆人：“你看对面神庙共有七根柱子，现在你从左到右开始数，然后返回来接着数，我回来的时候你要告诉我第5000根柱子是哪一根！”这个仆人很聪明，他用不到一分钟的时间就得到了答案，你能做到吗？分析：转化为数学模型如下：A B C D E F G12345671312111098141516171819 (20)考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，除去1，每组12个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、F、G、F、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察5000是第几组中的第几个数就可以了，因为5000是除去1后的第4999个数，4999÷13＝384…7，即5000是第385组中的第7个数，所以，第5000根柱子位于F位置，是从左到右的第6根．[小结]学找数阵中的规律，应当像寻找数列中的规律一样，应注意几点1.仔细观察数阵中的所有数．2.注意观察相邻两个数之间的变化规律和同上一行地数的共同点．3.有些数阵不容易一下子找到或找对规律，要仔细观察，再做思考．4.找到规律后，多次举例进行验证．专题展望在本讲学习中，我们学习了数列的规律以及数阵中数列的规律问题，在以后的学习中我们将继续学习此类问题．练习三1.（例1）根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：(1)3，6，9，12，( )，18，21(2)2，3，5，8，13，（），34，……(3)60，63，68，75，( )，95(4)6，1，8，3，10，5，12，7，( )，( )(5)0，1，1，2，3，5，8，( )，21(6)2，6，12，20，（），42，……分析：（1）数列中后一项比前一项大3，为等差数列，括号中填15（2）从第三项开始每一项都等于前面两项的和，8+13=21（3）数列中相邻两项的差依次增加2，所以括号里应填84（75+9＝84）（4）观察可以发现这个数列是双重数列，奇数项为：6、8、10、12、…偶数项为：1、3、5、7…都是等差数列，所以括号中应分别填14（12+2＝14）和9（7+2＝9）（5）从第三项开始，每一项都等于前面两项的和，所以括号里应填13（5+8＝13）（6）观察数列可以得到：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，42=6×7，所以括号中的数为：5×6=302. （例2）下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项： (1) 1，5，11，19，29，________，55； (2) 1，2，6，16，44，________，328．分析：（1）观察发现，后项减前项的差为：4、6、8、10、......所以，应填41（=29+12），41+14=55符合．（2）观察发现，6=2×（2+1），16=2×（2+6），44=2×（16+6），所以，应填120=2×（44+16），2×（120+44）=328符合．3. （例5）1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？分析：观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，即1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；……每一组的第一个数为从1开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数，每组的第一个数都是这个组的组数；因为101÷3=33......2，说明第101个是第33+1=34组中的第二个数，那么应该是34+1=35；从101到110共有110-101+1=10个数，那么这10个数分别是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．4. （例7）下图所示的图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：？6432874215532分析：通过观察前两个图形中的数，可以发现：15=（3×5×2）÷2，28=（2×4×7）÷2，也就是中间的数等于三个角上的数乘积的一半，所以，“？”中应填的数为：（3×4×6）÷2=36．5. （例10）下图所示的图表中的数字都有自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：分析：观察表格中的数，第一行的数字已经全部给出，而剩下的几行都是求最后一个数字，就要考虑每一行中最后一个数字与前面数字的关系，由第一行数字规律可知，15=1+2+3+4+5 ，由此可得第二、三、四、五行最后一个数；同样方法观察竖行．所以横行依次为60，65，70，75，325，竖行依次为40， 65， 90， 115， 325成长故事狼怕圆圈小狐狸和小狼王分兔子时，由于小狐狸耍小聪明占了便宜，因此小狼王一直跟在后面追小狐狸.小狐狸飞快地往东跑，由于天黑看不清楚，只听得“咚”的一声，和一个从对面跑来的动物撞到了一起.“噔噔噔”，小狐狸一连倒退了3步，一屁股坐在了地上.小狐狸刚要发火，定睛一看，啊，是小狼王!小狐狸发现小狼王双眼通红，还发出逼人的凶光，不禁全身哆嗦了一下.它立刻用手一抹脸，现出了满脸的笑容，往前走了一小步问：“狼大哥，吃了几只兔子呀?这里的兔子肉还香吧?”小狼王大吼了一声说：“东边明明没有兔子，你却骗我说有65只兔子!看我不打死你!”小狐狸向后退了一步，双手乱摆说：“没有的事!我算得一点错也没有!”“叫你嘴硬!”小狼王说完就扑了上去，小狐狸扭头就跑.它突然看到路边有9个圆圈.小狼王看见圆圈也立刻停住了脚，它吃惊地说：“啊，9个绳套!”小狼王低头仔细一看，怎么回事，其中7个绳套里还有数字?这时耳边响起了一种浑厚有力的声音：“谁能把空圆圈中的数字填对，你想要干什么就会有什么!”小狼王说：“我来填左边的圈.1、3、7下一个该是几呢?是9.这些都是单数呀!”小狼王在圈里填上一个9，跳进圈里高兴地叫道：“我想吃兔子!”话音刚落，圆圈立刻变成了绳套，一下子套住了小狼王的脚，绳套往上一提，就把小狼王倒挂在树上了.小狐狸笑嘻嘻地说：“傻狼!这几个数的规律是：3=1×2+1，7=3×2+1，15=7×2+1，31=15 ×2+1，63=31×2+1，127=63×2+1.右边这个圈里填上127才没错!”小狐狸填上了127，又跳进圈里说：“我想吃山鸡!”“唿”的一声，一条绳子把小狐狸也倒挂在树上.原来这9个绳套是猴子、小熊、老山羊用来教训它们两个坏蛋的.https:///?userid=1787958560 1。

必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d da a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数） ④前n项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数）2. 等差中项：b A a ,,成等差数列，A 称为b a 与的等差中项（其中b a 与为任意实数， A 存在且唯一），2b a A b a A +=⇔的等差中项与为即3. 等差数列性质：（1） 任两项关系：nm a a mn a a d n m m n --=--=（其中n m ≠）（2） 任两项关系：d m n a a m n )(-+=（其中n m ≠）（3） 是递增数列；数列}a {,0d n >是递减数列；数列}a {,0d n <是常数列数列}a {,0d n =。

（4） 两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112+-+=n n n a a a （其中n>1, n n n a a a +=2） k n k n n a a a +-+=2（其中n-k>0, n n n a a a +=2）特别若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,（5） {}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列)，则：①：k m a +、k m a 2+、k m a 3+、k m a 4+…成等差数列（其中k m ,为常数） ②：{}k a n +、{}n n b q a p ∙+∙为等差数列，(其中q p k ,,为常数)（6） 前n 项和性质：①：成等差数列,,,232k k k k k S S S S S --②：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。

高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

数列的函数特征(教师版)1、数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n ＝f (n )(n ∈N *)．数列的函数图像是一群孤立的点。

2、数列的增减性(1)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作递增数列； (2)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作递减数列； (3)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作常数列； (4)若a n 的符号或大小交替出现，则数列{a n }叫作摆动数列．3、数列的最大项与最小项(1)若a n 是最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.(2)若a n 是最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.4、数列的周期性对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．考向一 数列的单调性例1—1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n2n 2＋1，判断数列{a n }的增减性．解：∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1n ＋1 2＋1＝[ n ＋1 2＋1]－ n 2＋1 n 2＋1 [ n ＋1 2＋1]＝2n ＋1n 2＋1 [ n ＋1 2＋1].由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．例1—2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a ，b 均为正常数，则该数列是单调递__________数列．解：∵a n ＋1－a n ＝a n ＋1 b n ＋1 ＋1－an bn ＋1＝a[b n ＋1 ＋1] bn ＋1>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n ＋1的大小关系，若a n ＞a n ＋1(n ∈N *)恒成立，则{a n }是递减数列；若a n ＜a n ＋1(n ∈N *)恒成立，则{a n }是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )对应函数的单调性来确定数列的单调性．变式1—1 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝kn2n ＋3(k ∈R )．(1)当k ＝1时，判断数列{a n }的单调性；(2)若数列{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝1时，a n ＝n 2n ＋3，所以a n ＋1＝n ＋12n ＋5，于是a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋5－n2n ＋3＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋5)(2n ＋5)(2n ＋3)＝3(2n ＋5)(2n ＋3)＞0，故数列{a n }是递增数列．(2)若数列{a n }是递减数列，则a n ＋1－a n ＜0恒成立，即a n ＋1－a n ＝kn ＋k 2n ＋5－kn 2n ＋3＝3k(2n ＋5)(2n ＋3)＜0，由于(2n ＋5)(2n ＋3)＞0，所以必有3k ＜0，故k ＜0.变式1—2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝11＋n 2－n，n ∈N *，则该数列是单调递__________数列． 解：a n ＝11＋n 2－n＝n ＋1＋n 2，当n 增大时，n ＋1＋n 2增大，所以数列是递增数列．考向二 数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．解：(1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值， 其最小值为－2.例2—2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解：因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤ n ＋2 －109 n ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9， 则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0， 所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108.①根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的载体函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值；②在数列{a n }中：若a n 是最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 是最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.变式2—1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋25n ，则数列{a n }各项中最大项是( )． A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：由于a n ＝－2n 2＋25n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2542＋6258，且n ∈N *，所以当n ＝6时，a n 的值最大，即最大项是第6项．变式2—2 已知数列的通项a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n ，n ∈N *.试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由．解：假设第n 项a n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，于是⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，所以4≤n ≤5，所以当n ＝4或n ＝5时，数列中的项最大，即a 4与a 5都是最大项，且a 4＝a 5＝6574.考向三 数列的周期性例3—1 已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解：a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a ＋1＝a ，a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B例3—2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.解：(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．变式3—1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.17解：C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.]变式3—2 设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2 011的值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．2解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π2 011＝Π1＝2.考向四 数列与函数的综合应用例4 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围． 解：若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立，即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *， ∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7. ∴a 的取值范围为a ≤7.(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法；②作商法；③结合函数图象等方法．变式4 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2 D ．k >－3解：由a n ＋1>a n 知道数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3，故选D.基础达标1、若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .解：可以通过画函数的图像一一判断．②有增有减，④是摆动数列．答案 ①③2、在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )．A ．103 B.8658 C.8258D ．108解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.答案 D3、函数f (x )*＋ )x 1 2 3 4 5 f (x )51342A.1 B ．2 C ．4 D ．5解：∵x 0＝5，x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1，x 3＝f (x 2)＝f (1)＝5，x 4＝f (x 3)＝f (5) ＝2，…，∴x n 的值周期出现，且周期T ＝3，则x 2 011＝x 670×3＋1＝x 1＝2.答案 B能力提升 4、已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 解：因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)， 所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立． 而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．5、已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解：∵a n ＝n －99＋ 99－98 n －99＝99－98n －99＋1∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上．在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1， 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C6、已知数列{a n }是递减数列，且a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )，求实数m 的取值范围．解：∵数列为递减数列，∴a n ＋1<a n ，∴a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0. ∵n ∈N ＋，∴3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0，∴m 2－2m <0，解得0<m <2.故实数m 的取值范围为0<m <2.。