2.3 电位函数
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静电场电场力所作的功和电位的计算方法
位的参考点，即 Q 是零电位点。
在电磁场分析中梯度和旋度是两个非常重要的概念，这里对其计算进行简单介绍。在直角坐标系下若记算子“ ”（哈密顿算子）
为
则数量函数 u(x, y, z)的梯度的计算公式为
x
ex
y
ey
z
ez
则矢量函数 A(x, y, z)的旋度的计算公式为
grad
u
u
u x
ex
u y
l E dl 0
（3）
S E dS = 0
式中 S 为有向闭曲线 l 张成的曲面，S 的法向量 n 与 l 之间满足右螺旋关系。由于上式中的面积分在任何情况下都等于零，因此有
E = 0
（4）
式（4）表明静电场是一个无旋场。
在电磁场分析中斯托克斯定理是一个非常重要定理，这里进行补充性介绍。设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线，S 是以 L 为边界
Lizhxnjust@163
7/8
点 P 处的电位 φ(r)计算式为 2.4 等位面
r 1 n qk 1
r'
dV '
1
r'
dS '
1
r'
dl '
40 k1 r r' 40 V ' r r'
40 S ' r r'
40 l' r r'
在静电场中将电位相等的点连接起来形成曲面，称为等位面，其方程为
EM
q0 4 0
er r2
（1）
式（1）中 r 为由源点 O 到场点 M 的距离，即
r = x2 y2 z2
er 为由源点 O 指向场点 M 的单位矢量。设 α、β、γ 依次是 er 与 x 轴、y 轴、z 轴之间的夹角，则矢量 er 可采用方向余弦表示
第2章-3-泊松方程+拉普拉斯方程+边界条件
P
D2n en 2
D1
en
h
电位移矢量的法向边界条件：两介质分界面电位移法向 分量的变化量等于该出自由电荷面密度。
如果： s 0
D1n D2n
• 电位移矢量的法线分量连续。
11
2.8 静电场的边界条件
2.8.1 电位移矢量的法向边界条件
讨论： D1n D2n s
（2-37）
1. 电场： E1 1n 1E2n s
第二章 静电场与恒定电场
2.1 库仑定律和电场强度 2.2 电场强度的通量和散度 2.3 电场强度的环量及旋度 2.4 静电场的电位函数 2.5 电偶极子 2.6 静电场中的导体和介质 2.7 泊松方程与拉普拉斯方程 2.8 静电场的边界条件 2.9 导体系统的电容 2.10 静电场的能量与静电力 2.11 恒定电场
q (1 r 1) 4 a a b
7
2.8 静电场的边界条件
静电场方程 ——描述同一种媒质中电场与源的关系。 静电场的边界条件：
不同介质分界面；导体与介质分界面。
静电场方程 不同介质分界面的边界条件 导体与介质分界面的边界条件 小结
8
2.8 静电场的边界条件
静电场方程
在真空中有：
1
知识回顾：真空中的静电场方程
EdS= q
S
0
E 0
普适
l E dl 0
E 0
真空中的静电场方程的意义：
适于静电场 非普适
“电荷是电场的源头”，即，“ 电场是有源无旋场”。 电场线发于正电荷终于负电荷；
无旋力场：标量势；保守场；对电荷所做的功 与电荷移动的始点与终点有关，与路径无关。
例：如图示，已知V、d1、d2、ε1、ε2，计算两平行板间的电场 及电荷分布。
D2n en 2
D1
en
h
电位移矢量的法向边界条件：两介质分界面电位移法向 分量的变化量等于该出自由电荷面密度。
如果： s 0
D1n D2n
• 电位移矢量的法线分量连续。
11
2.8 静电场的边界条件
2.8.1 电位移矢量的法向边界条件
讨论： D1n D2n s
（2-37）
1. 电场： E1 1n 1E2n s
第二章 静电场与恒定电场
2.1 库仑定律和电场强度 2.2 电场强度的通量和散度 2.3 电场强度的环量及旋度 2.4 静电场的电位函数 2.5 电偶极子 2.6 静电场中的导体和介质 2.7 泊松方程与拉普拉斯方程 2.8 静电场的边界条件 2.9 导体系统的电容 2.10 静电场的能量与静电力 2.11 恒定电场
q (1 r 1) 4 a a b
7
2.8 静电场的边界条件
静电场方程 ——描述同一种媒质中电场与源的关系。 静电场的边界条件：
不同介质分界面；导体与介质分界面。
静电场方程 不同介质分界面的边界条件 导体与介质分界面的边界条件 小结
8
2.8 静电场的边界条件
静电场方程
在真空中有：
1
知识回顾：真空中的静电场方程
EdS= q
S
0
E 0
普适
l E dl 0
E 0
真空中的静电场方程的意义：
适于静电场 非普适
“电荷是电场的源头”，即，“ 电场是有源无旋场”。 电场线发于正电荷终于负电荷；
无旋力场：标量势；保守场；对电荷所做的功 与电荷移动的始点与终点有关，与路径无关。
例：如图示，已知V、d1、d2、ε1、ε2，计算两平行板间的电场 及电荷分布。
电磁场第二章
单位是库/米3(C/m3)
②电荷面密度: 如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可 认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面
积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为
(r ) lim q dq
S 0 S dS
单位是库/米2(C/m2)
第二章 静 电 场
③电荷线密度: 对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其 分布情况。 若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为
d
dS cos
R2
dS (r r') r r'3
②若S是封闭曲面, 则对点电荷所在点o´立体角
S
(r
r') dS r r'3
4 0
r '在S内 r '在S外
第二章 静 电 场
2.电场强度的通量：
电场强度通过任一曲面的通量称为电通, 就是电场强 度在曲面S上的面积分, 以 表示,即
2.不同分布的电荷在场点r处的电位
体分布的电荷在场点r处的电位为
(r) 1
40
V
(r ' )
r
1 r'
d V '
线电荷和面电荷的电位表示式与上式相似, 只需将电荷密度和积 分区域作相应的改变。
第二章 静 电 场
对于位于源点r′处的点电荷q, 其在r处产生的电位为
(r)
q
40 r r'
3.静电场的旋度
解: 采用球坐标
由
2
1 r2
d
r
2
dr
d
dr
0
得
r2
d
dr
C1
即
d
dr
C1 r2
电位的计算
第 2 章 静电场
2.3 电位
2.3.2 电位的计算
例2.1
电荷按体密度
0 (1
r2 a2
)
分布在一个半径为a的球形
区域内，其中0为常数。计算球内外的电场和电位函数。
解： 电荷分布具有球对称性，∴E (r)= ar Er(r)
r a
S
E1
•dS
1
0
d 1
v
0
r 0
0
(1
r2 a2
)4r
Φ1
a r
E1rdr
Φ2
(a)
0 0
(
r4 20a2
r2 6
a4 4
2a3 ) 15b
例2.2 无限长同轴导体圆柱，内半径为a，外半径为b，两圆 柱 间加电压U，求两圆柱间电场强度及单位长度电容。
解：电荷均匀分布具有轴对称性，E( ) a E ( )
设内外导体圆柱单位长度带电量分别为l，-l 高斯面取作半径为 的同轴圆柱面
b aU
E
S
•dS
E
2
l 0
E
l 20
U
U ab
b a
E
d
l ln b 20 a
l
2 0U
ln b
a
E
U
ln b
a
C0
l
U
20
ln b
a
讨论
1、本例中电场强度表达式与无限长直线电荷的电场相同
2、由于电荷分布延伸到无穷远，因此零电位点不能取在
无穷远点，一般取一个足够大的0为参考点，则
)
20 2 3 10a2
讨论：若该带电球体外有一半径为 b 的接地导体球壳，则空间
2.3 电位
2.3.2 电位的计算
例2.1
电荷按体密度
0 (1
r2 a2
)
分布在一个半径为a的球形
区域内，其中0为常数。计算球内外的电场和电位函数。
解： 电荷分布具有球对称性，∴E (r)= ar Er(r)
r a
S
E1
•dS
1
0
d 1
v
0
r 0
0
(1
r2 a2
)4r
Φ1
a r
E1rdr
Φ2
(a)
0 0
(
r4 20a2
r2 6
a4 4
2a3 ) 15b
例2.2 无限长同轴导体圆柱，内半径为a，外半径为b，两圆 柱 间加电压U，求两圆柱间电场强度及单位长度电容。
解：电荷均匀分布具有轴对称性，E( ) a E ( )
设内外导体圆柱单位长度带电量分别为l，-l 高斯面取作半径为 的同轴圆柱面
b aU
E
S
•dS
E
2
l 0
E
l 20
U
U ab
b a
E
d
l ln b 20 a
l
2 0U
ln b
a
E
U
ln b
a
C0
l
U
20
ln b
a
讨论
1、本例中电场强度表达式与无限长直线电荷的电场相同
2、由于电荷分布延伸到无穷远，因此零电位点不能取在
无穷远点，一般取一个足够大的0为参考点，则
)
20 2 3 10a2
讨论：若该带电球体外有一半径为 b 的接地导体球壳，则空间
2.2-2.3 电位及其方程
电磁场与电磁波1323两个方程静态场中求电位比求场强方便得多电位标量场强矢量有了电位其负梯度就是场强求电位对于典型电荷分布可直接写出电位对于一般电荷分布需要建立电位的微分方程建立微分方程的依据静态场的基本方程以下静态场的基本方程2阶微分方程拉普拉斯方程poissonsequationlaplacesequation电磁场与电磁波14方程的来源静电场的基本方程poissonsequationlaplacian
(r ) aU / r
思考并验证：Q‐表面电荷密度 电位‐表面电荷密度
Dn n
电磁场与电磁波
24
A
E
B A
B
(1E ) dl
B点到A点,电位差＝电场力对单位电荷做的功 只与起点和终点位置有关，与路径无关! 类似物体下落！
电磁场与电磁波
3
4. 电位的参考点——测量的参考点！
B A
A
B
E dl
B
B
参考点
E dl
电磁场与电磁波
E ar Er ?
z
回忆：讲电场强度时所举的例2……
利用：E‐Gauss’s Law
0 V
1 E dS
S
0 V
dV
z
Q
0
球外(r>a)： 1 dV ? Q
2 E dS E (4 r )
r r
场点
y
电磁场与电磁波
6
例2. 书P27 例题2.5
半径为a的带电圆盘, 求中心垂直轴线上的场强.
分析：
① 有没有对称性？
——有!
z
② 能否使用E‐Gauss？
(r ) aU / r
思考并验证：Q‐表面电荷密度 电位‐表面电荷密度
Dn n
电磁场与电磁波
24
A
E
B A
B
(1E ) dl
B点到A点,电位差＝电场力对单位电荷做的功 只与起点和终点位置有关，与路径无关! 类似物体下落！
电磁场与电磁波
3
4. 电位的参考点——测量的参考点！
B A
A
B
E dl
B
B
参考点
E dl
电磁场与电磁波
E ar Er ?
z
回忆：讲电场强度时所举的例2……
利用：E‐Gauss’s Law
0 V
1 E dS
S
0 V
dV
z
Q
0
球外(r>a)： 1 dV ? Q
2 E dS E (4 r )
r r
场点
y
电磁场与电磁波
6
例2. 书P27 例题2.5
半径为a的带电圆盘, 求中心垂直轴线上的场强.
分析：
① 有没有对称性？
——有!
z
② 能否使用E‐Gauss？
电磁场与电磁波静电场
q
R0 dl
q
RP dR
A 4 0 R2
4 0 R R2
q
4
0
1 R
1 RP
q
4 0
R
C
若选取无穷远点为参考点，则 C 0 ，于是 (R) q 4 0 R
体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：
(r)
1
4 0
r
(r
'
)
r
'
d
'
C
(r )
1
4 0
s
r
s
(r
'
r
) dS
流密度的值为
Js
lim I l0 l
dI dl
图2.1.5 面电流密度与面电流
穿过线段l 的电流为
I J s (r )dl l
3、线电流：
电荷在一根很细的导线中流过,或电荷通过的横截面 积很小时，可将电流视为在一根无限细的线上流动， 这样的电流称为线电流。用电流强度来描述：
线电流I与线电荷密度 l、电荷流动速度 v的关系为：
I lv
2.2 静电场的基本方程
2.2.1库仑定律、电场强度
电荷间的相互作用规律由库仑定
律描述。真空中 静止的电荷 q1 对 q2 的相互作用力F12 为
图2.2.1电荷与电荷的相互作用
F12
1
4 0
q1q2 R2
R0
1
4 0
q1q2 R3
R
若电在荷电q ，场则强度q受为到E的的静空电间力某为点qE 放置点
1
4 0 V
r
r
'
r
r
'
电位函数与电场强度的关系
电位函数与电场强度的关系
在物理学和工程技术中，电位函数与电场强度的关系更为重要。
它不仅是电路和电势设计理论的基础，而且也是研究受激等离子体及其它现代物理应用的依据。
本文就将研究如何判断电位函数与电场强度之间的关系，以及如何将这一关系应用于工程实际中。
从物理本质上看，电位函数指的是一个点的电势能，而电场强度是指一个点的电力矩。
电位函数与电场强度的关系可通过应用电力矩定理来确定，即：电位函数的梯度乘以双极体上每一库仑绝缘体的电容就等于该双极体上电场强度。
在实际工程当中，由于介质传导效应，介质对电势能存在衰减，并且电场强度也存在衰减，但是电位函数和电场强度之间仍然具有相同的关系，只要有足够的空间，电位函数与电场强度仍能保持一致。
电力矩定理是解释电位函数与电场强度的桥梁。
通过应用电力矩定理，我们可以在电势场的不同位置确定每一点的电场强度，并可以由此确定整个电势场的外场电场强度空间分布，从而实现各种电技术应用。
电位函数与电场强度之间的关系既有科学性又有实用性，可以应用于各种精密控制中，例如安全控制系统、检测系统等，而且它可以为许多物理技术的发展提供基础。
因此，研究电位函数与电场强度的关系，对于我们加深对电磁相互作用的认识，以及为各种技术的发展及精确的控制和应用提供相应的依据至关重要。
第2章 静电场(8) 静电场的能量
2
400 R 5Q
2
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We Q 80 R
400 R
35
均匀带电球体
We 6Q
2
400 R
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We 5Q
2
400 R
36
[结论] 将“带电金属球”改为同样大小的 “均匀带电球面”，结果？
Answer: 改为球面, We不变； 同样大小的“均匀带电球体”？
20
能量体密度：
（定义）
1 we D E 2
we E 2 1
2
（2-103）
对于理想介质： （2-104）
物理意义：
电场是一种物质，它具有能量。
21
注释：
We 1
2
d V
（2-97）
V
★适用范围： 仅适用于静电场
★适用范围：
（反映了：静止电荷所具有的静电位能）
即位移是虚设的，故称为虚位移法。
45
★虚位移法
★原理：能量守恒
外力做的功=静电场能量的变化+电场力做功
d W d We f g d g
d W k dqk
与各带电导体 相连的外电源 提供的能量；
K
第p号导体作dg 位移后电场储 能We的增量；
f 在 g 方向 的分量。
46
★方法：
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
完整版电磁场理论复习总结
完整版电磁场理论复习总结1.1 标量场和⽮量场1.2 三种常⽤的正交坐标系1.3标量场的梯度哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z2.梯度的垄本运算公式1) VC-0 (C^S)2) V(Cu)⼆CVw3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附4) V(/a T) = Z/V V +T V;/5) VF(u) = F r(u)Vu6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)v vFF cF7) ^7(^ v) = —Vw + — Vvdu dv式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质16CJ55 「「⼩V x V/z = 0产⽣场的场源所在的空闾位国点称为源点上记为am或7 场所在的疇间⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指向场点的⽮量为^ = r-F例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:BR 、BR 、BR—MY臥叫帝M还W(R) = ARWR = ^-\R(lii dii fir ?S A dS A. A y A zdivA lim ——V 0 V x y zdivA A x A y A z Ax y zA e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊sy z z x x y1) V Y C=02) Vx(i = A3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.54) V x (u = uV y /< + V u KX B)=2J-V XJ4-J4-V X5l f ***** 4；jd' V x Vy - 0! 7)V (VxJ)-O：W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「du电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?duIt= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度. ex cy czV u =—yir rotAc'R ex R_y-y r漁—R 忑RVR = -RR'⽮童场的雄度1.4⽮量场的通量与散度三. 散度的运算公式])V C-02)V(Arl) = )tV^4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)- (IA5) V J(rt) - V// —du四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度-------------------- V VV v ?c A dl rotA nlim --S 0Sr r re x e y e zir irot A Ax y zA x A y A z4-症度计算相关公式:标葷场的梯度的旌度恒为零1G:2D3*酶点录场点df Rmax三、斯托克斯定理物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議⽮量场有两种不同性质的源：（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。
2.3 电位2.4电偶极子
q
q l cos 4 0 r 2
取如图所示坐标系，场点 P r, , 的电 位等于两个点电荷电位的叠加
q 1 1 q 1 1 4 0 r r 4 0 r r
2 2
引入电偶极矩p
p ql
得电偶极子的电位
1 4π 0
R
V
dV
三、电场强度 E与电位 之间的关系
E dl
P
E
电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间
的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而
场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强 弱。
等三种计算静电场的方法。
中为常数。试计算球内外的电位移矢量和电位函数。 0 D 沿半径方向且大小为r的函数，作一 【解】: 电场具有球对称性， 个与球同心、半径为r的高斯球面，由高斯定理得： 当 r≥a D1 d S q
【例1】 电荷按体密度 r 0 1 r
2
/ a2 分布于半径为a 的球形区域内， 其
2 0 a3 15 0 r
1
四、电偶极子
z
q l
(1 x)
1
2
1 3 1 x x2 .......(1 x 1) 2 8
P r , , r r r
当 r l
1 1 1 2 l cos r r r q 1 1 1 l cos 因此 2 4 0 r r r
4. 泊松方程、拉普拉斯方程（真空）
2
0
2 0
作业：P50 2-11、2-14
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5
介质球在均匀电场中
导体球在均匀电场中
点电荷位于无限大介质上方
点电荷位于无限大导板上方
6
二、电位参考点
显然，电位函数 不是唯一确定的，可以加上任
意一个常数仍表示同一个电场，即
ur
设 C E ( C)
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某 一点作为参考点。
电位参考点选择原则：
)
B点为电位参考点。
若电位参考点在无穷远处，即 rB 得：
(r) q 40r
点电荷在空间中产生的电位
位于不同位置的N个点电荷，q1, q2 , q3 , , qN，所组成的 点电荷系统，其电位为
N
qi
i1 4 0 Ri
Ri | r r'i |
i 1,2, N
9
2、无限长线电荷的电位
v E
v E
Ev
A
Av v
E dl
B
A
v
v
E dlBBFra bibliotek意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A
点过程中电场力所作的功。
两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路
径无关。
3
3、等位面 电位相等的曲面称为等位面，其方程为
(x, y, z) C
当取不同的常数C时，可得到不同的等位面。
2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。
3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，
适用于边值问题的求解。
22
例2：在无限大真空中，已知电位 (r) q er
求对应的电场强度及电荷分布。
4 0 r
解：r=0处是 (r )的奇异点，在该点应有一个点电荷。
40
线电荷： (rv) 1
S l (Rrv')dV c
式中：
R
rv
4
rv'
0
l
R
若参考点在无穷远处，c=0。
引入电位函数的意义：
简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困
难，但v求解电位函数则相对简单，因此可通过先求电位函数，
再由 E 关系得到电场解＿＿＿间接求解法。
11
电场强度 Ev与电位 之间的关系
1 (r2
1 )er
r
q(1
r )er
而球面S内的总体电荷Q’为
Q
V
dV
r 0
q
4
2r
e
r
dr
q(1 r )er q
r 0 处的点电荷q0为
q0 Q Q q
25
r
Q
q
er 4 r2dr
0 4 2r
q
2
r rer dr
0
q
r 0
re
r
d
(
r
)
q
er
1 ( 1 )2
q
4 r2
[1
er
(1
1
r)(
1
)er
]
q
4
2r
e
r
24
② r 0 处，为确定 r 0 处的点电荷，作一个半径为r的 球面S。由高斯定理可得到球面S内的总电荷Q为
ur
ÑS E
d
ur S
Q
0
ur ur
Ñ Q 0 S E d S 0 E 4 r2
Q
4 0 r 2 E
40r 2
q
4 0
2、静电场电位方程的建立
在存在电荷分布的区域（有源区），
v
v
E
/
0
/ 0
E
即：2 / 0
电位的泊松方程18
在无源区域，
2 0
电位的拉普拉斯方程
3、电位方程的应用
可用于求解静电场的边值问题。 例1：半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等位体。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在
球外空间，电场强度为：
EvU4QE0vr2devrvr
Q
( 1)
Q
a
Q 40aU
4v0
E
ra
aU r2
evr
4 0 a
v E
drv
r
r
aU r2
dr
aU r
21
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。
球坐标中，
r er
r
ur
E
q
4 0
d
(
1
e
r
r )er
dr r
q
4 0
[
1 r2
er
1 r
(1
)er
r ]er
q
4 0
1 (r2
1
r
)e
r
r er
23
① r 0 处， ur
E
0
ur
0 E
球坐标中，
ur A
1 r2
r
(r
2
Ar
)
0
1 r2
q [
r 40
(1
1
r)er ]
ur R
+qr l
r r
-q
P(r, , )
r l
1 R
1 r
1 r2
l
cos
q
4 0
1 (r2
l cos
1 r
1) r
q
4 0
(l cos
r2
)
13
q
4 0
(l
cos
r2
)
ur r
ql cos P er
1
4
0
(
P r
e
2
r
)
1
4
0
Pr ()
r3
v
E
ur r
1
4
0
[
(
Pr r5
)
r r
ur P r3 ]
v v
l E dl
vv
d E dl
v
d dl
v
E
12
例1:求电偶极子 pv qlv在空间中产生的电位和电场。
先求解空间电位，再求电场
解：取无限远处为电位参考点。
q ( 1 1) 40 R r
ur r r
R r l, R2 r2 l2 2rl cos
1
1
R r2 l2 2rl cos
14
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比， 电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与
方位角 有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出
了电偶极子的电场线和等位线的分布。
15
四、利用电位求解电场
求解电场的方法有两种： 1)已知电荷分布直接计算电场强度， 2)先求电位再计算梯度求电场。 这两种方法的前提是：必须已知全部空间的电荷分布
(
r
1) |0r
qer (1 r ) q
xeaxdx
eax a2
(ax
1)
26
2.3 电位函数
一、电位函数与电位差
1、电位函数的定义
v
E0
()
0
v E
可由一标量函数表示
引入电位函数 ：
说明：
v
E
1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；
2)负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
1
3) 在直角坐标系中
v E
x
evx
y
evy
z
evz
4) 满足迭加原理
rr r
给定电荷分布 求空间一点 电场分布
而场引起导体上 感 应电荷分布
而感应电荷分布反过来引起
对于实际应用的电场问题： (1)此前提条件难于满足； (2)即使给出了全部空间中的电荷分布，但在计算中还须完 成不规则的积分运算，电位分布的解析解也难于求出。 16
必须寻求解决问题的另一途径：求解电位所满足的微 分方程。 1、拉普拉斯运算
r a 时： U
Ev 0
19
r a 时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
c2
aU
v E
r
(evr
r
ev r
ev
r sin
)(aU )
r
evr
aU r2
20
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
l
P
2l0r 20
evr (ln
rQ
ln
rP
)
P'
Q
P
电位参考点不能位于无穷远点。
取r=1柱面为电位参考面，即 rQ 1得：
P
l 20
ln
rP
无限长线电流的电位
10
3、分布电荷体系在空间中产生的电位
体电荷： (rv) 1
(rv')dV c
40
面电荷： (rv) 1
V sR(rv')dS c
1）电位参考点电位一般为0；
(1)电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电位参考点
0 (B )
r r
A
E dl
A
A点电位为将单位正电荷从A 移到∞电场力所做的功。 7
(2)电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否 则积分将无穷大，应根据实际情况选取参考点。
介质球在均匀电场中
导体球在均匀电场中
点电荷位于无限大介质上方
点电荷位于无限大导板上方
6
二、电位参考点
显然，电位函数 不是唯一确定的，可以加上任
意一个常数仍表示同一个电场，即
ur
设 C E ( C)
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某 一点作为参考点。
电位参考点选择原则：
)
B点为电位参考点。
若电位参考点在无穷远处，即 rB 得：
(r) q 40r
点电荷在空间中产生的电位
位于不同位置的N个点电荷，q1, q2 , q3 , , qN，所组成的 点电荷系统，其电位为
N
qi
i1 4 0 Ri
Ri | r r'i |
i 1,2, N
9
2、无限长线电荷的电位
v E
v E
Ev
A
Av v
E dl
B
A
v
v
E dlBBFra bibliotek意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A
点过程中电场力所作的功。
两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路
径无关。
3
3、等位面 电位相等的曲面称为等位面，其方程为
(x, y, z) C
当取不同的常数C时，可得到不同的等位面。
2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。
3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际应用中，间接求解法应用最为广泛，
适用于边值问题的求解。
22
例2：在无限大真空中，已知电位 (r) q er
求对应的电场强度及电荷分布。
4 0 r
解：r=0处是 (r )的奇异点，在该点应有一个点电荷。
40
线电荷： (rv) 1
S l (Rrv')dV c
式中：
R
rv
4
rv'
0
l
R
若参考点在无穷远处，c=0。
引入电位函数的意义：
简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困
难，但v求解电位函数则相对简单，因此可通过先求电位函数，
再由 E 关系得到电场解＿＿＿间接求解法。
11
电场强度 Ev与电位 之间的关系
1 (r2
1 )er
r
q(1
r )er
而球面S内的总体电荷Q’为
Q
V
dV
r 0
q
4
2r
e
r
dr
q(1 r )er q
r 0 处的点电荷q0为
q0 Q Q q
25
r
Q
q
er 4 r2dr
0 4 2r
q
2
r rer dr
0
q
r 0
re
r
d
(
r
)
q
er
1 ( 1 )2
q
4 r2
[1
er
(1
1
r)(
1
)er
]
q
4
2r
e
r
24
② r 0 处，为确定 r 0 处的点电荷，作一个半径为r的 球面S。由高斯定理可得到球面S内的总电荷Q为
ur
ÑS E
d
ur S
Q
0
ur ur
Ñ Q 0 S E d S 0 E 4 r2
Q
4 0 r 2 E
40r 2
q
4 0
2、静电场电位方程的建立
在存在电荷分布的区域（有源区），
v
v
E
/
0
/ 0
E
即：2 / 0
电位的泊松方程18
在无源区域，
2 0
电位的拉普拉斯方程
3、电位方程的应用
可用于求解静电场的边值问题。 例1：半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等位体。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在
球外空间，电场强度为：
EvU4QE0vr2devrvr
Q
( 1)
Q
a
Q 40aU
4v0
E
ra
aU r2
evr
4 0 a
v E
drv
r
r
aU r2
dr
aU r
21
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。
球坐标中，
r er
r
ur
E
q
4 0
d
(
1
e
r
r )er
dr r
q
4 0
[
1 r2
er
1 r
(1
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r ]er
q
4 0
1 (r2
1
r
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r
r er
23
① r 0 处， ur
E
0
ur
0 E
球坐标中，
ur A
1 r2
r
(r
2
Ar
)
0
1 r2
q [
r 40
(1
1
r)er ]
ur R
+qr l
r r
-q
P(r, , )
r l
1 R
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1 r2
l
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q
4 0
1 (r2
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1 r
1) r
q
4 0
(l cos
r2
)
13
q
4 0
(l
cos
r2
)
ur r
ql cos P er
1
4
0
(
P r
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2
r
)
1
4
0
Pr ()
r3
v
E
ur r
1
4
0
[
(
Pr r5
)
r r
ur P r3 ]
v v
l E dl
vv
d E dl
v
d dl
v
E
12
例1:求电偶极子 pv qlv在空间中产生的电位和电场。
先求解空间电位，再求电场
解：取无限远处为电位参考点。
q ( 1 1) 40 R r
ur r r
R r l, R2 r2 l2 2rl cos
1
1
R r2 l2 2rl cos
14
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比， 电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与
方位角 有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出
了电偶极子的电场线和等位线的分布。
15
四、利用电位求解电场
求解电场的方法有两种： 1)已知电荷分布直接计算电场强度， 2)先求电位再计算梯度求电场。 这两种方法的前提是：必须已知全部空间的电荷分布
(
r
1) |0r
qer (1 r ) q
xeaxdx
eax a2
(ax
1)
26
2.3 电位函数
一、电位函数与电位差
1、电位函数的定义
v
E0
()
0
v E
可由一标量函数表示
引入电位函数 ：
说明：
v
E
1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；
2)负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
1
3) 在直角坐标系中
v E
x
evx
y
evy
z
evz
4) 满足迭加原理
rr r
给定电荷分布 求空间一点 电场分布
而场引起导体上 感 应电荷分布
而感应电荷分布反过来引起
对于实际应用的电场问题： (1)此前提条件难于满足； (2)即使给出了全部空间中的电荷分布，但在计算中还须完 成不规则的积分运算，电位分布的解析解也难于求出。 16
必须寻求解决问题的另一途径：求解电位所满足的微 分方程。 1、拉普拉斯运算
r a 时： U
Ev 0
19
r a 时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
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0
r
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aU
v E
r
(evr
r
ev r
ev
r sin
)(aU )
r
evr
aU r2
20
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
l
P
2l0r 20
evr (ln
rQ
ln
rP
)
P'
Q
P
电位参考点不能位于无穷远点。
取r=1柱面为电位参考面，即 rQ 1得：
P
l 20
ln
rP
无限长线电流的电位
10
3、分布电荷体系在空间中产生的电位
体电荷： (rv) 1
(rv')dV c
40
面电荷： (rv) 1
V sR(rv')dS c
1）电位参考点电位一般为0；
(1)电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电位参考点
0 (B )
r r
A
E dl
A
A点电位为将单位正电荷从A 移到∞电场力所做的功。 7
(2)电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否 则积分将无穷大，应根据实际情况选取参考点。