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几类丢番图方程解的研究几类丢番图方程解的研究引言：丢番图方程（Diophantine equation）是数论中的一个重要问题，在数学史上有着悠久的发展历史。
丢番图方程是求解整数解的方程，通常形式为ax + by = c，其中a、b、c是已知的整数。
在这篇文章中，我们将对几类丢番图方程解的研究进行讨论。
一、一元丢番图方程一元丢番图方程是指只包含一个变量的丢番图方程，通常形式为ax = c，其中a、c均为已知的整数。
这类方程的求解较为简单，只需根据a的因数和c的因数来确定方程是否有解以及解的形式。
例如，当方程为3x = 9时，我们可以通过观察得出解为x = 3。
二、二元丢番图方程二元丢番图方程是指包含两个变量的丢番图方程，通常形式为ax + by = c，其中a、b、c均为已知的整数。
求解二元丢番图方程相对于一元丢番图方程来说更为复杂，需要运用到更多的数学工具和方法。
1. 求解方法：求解二元丢番图方程的一种常见方法是利用欧几里得算法和贝祖等式。
这一方法基于最大公约数的性质，通过辗转相除的过程，找到方程的一个特解，并将其带入贝祖等式，得到方程的一般解。
例如，对于方程3x + 5y = 8，我们可以通过欧几里得算法找到特解(1, -1)，然后利用贝祖等式得到一般解为x = 8 - 5t，y = 4t - 8。
2. 特殊情况的研究：除了一般情况的二元丢番图方程，研究者们还对特殊情况进行了深入研究，如方程系数之间存在某种特殊的数学关系，或者方程的限定条件比较特殊等。
这些特殊情况的研究可以帮助我们更好地理解和应用丢番图方程。
三、三元及更多元丢番图方程除了二元丢番图方程，数学家们还对三元及更多元丢番图方程进行了研究。
这类方程的求解更为复杂，需要运用到更高级的数学工具和方法，如模线性方程组的求解方法、代数数论等。
这些方法在数学研究以及实际问题的求解中发挥着重要的作用。
结论：丢番图方程作为数论中的一个重要问题，经过数学家们的长期研究，已经在很多领域有着广泛的应用。
二元二次不定方程的整数解1. 介绍不定方程是指未知数在整数范围内，且方程中存在至少一个未知数的整数解的方程。
二元二次不定方程是指含有两个未知数的二次方程，其中未知数的系数和常数项都是整数。
二元二次不定方程的整数解问题是一个经典的数论问题，它在数学研究和实际应用中都有重要的意义。
解决这个问题可以帮助我们深入理解数论的基本概念和方法，同时也可以应用于密码学、编码理论、数值计算等领域。
在本文中，我们将介绍二元二次不定方程的整数解的基本概念和求解方法，以及一些实际应用。
2. 基本概念二元二次不定方程可以写成如下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a、b、c、d、e、f是整数，且a、b、c不同时为0。
方程中的x和y是未知数。
我们的目标是寻找方程的整数解，即满足方程的x和y都是整数的解。
3. 求解方法3.1 暴力枚举法一种最简单的求解方法是暴力枚举法。
我们可以从整数范围内的所有可能的x和y值开始，将它们代入方程，判断是否满足方程。
这种方法可以找到所有的整数解，但是由于整数范围很大，计算量非常大，效率较低。
3.2 利用数论知识利用一些数论的知识，我们可以对二元二次不定方程的整数解进行进一步的求解。
例如，当方程的系数满足一定的条件时，我们可以利用模运算、平方剩余等数论方法来求解方程的整数解。
另外，对于一些特殊形式的二元二次不定方程，比如裴蜀定理中的方程，我们可以利用裴蜀定理的性质来求解方程的整数解。
3.3 辗转相除法辗转相除法是一种求解二元二次不定方程的常用方法。
它基于最大公约数的性质，通过不断地进行除法运算，最终可以得到方程的整数解。
具体步骤如下：1.利用辗转相除法求解方程 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 的整数解。
2.将方程化简为形如 u^2 - Dv^2 = N 的形式，其中 u = 2ax + by + d，v =y，D = 4ac - b^2，N = 4af - d^2 - b(e + by)。
求不定方程整数解的常用方法不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。
不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。
我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。
一般常用的求不定方程整数解的方法包括：(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此x+2=1，-1，3，-3，即x=-1，-3，1，-5，相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程25+yx的整数解.37=107解因为25,37107(=,所以原方程有整数解.)1用辗转相除法求特解:从最后一个式子向上逆推得到所以则特解为通解为或改写为(3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为所以所以即所以所以.32==z z 或当2=z 时有所以所以所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有所以所以所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 则令由4<37,用m 来表示y ,得令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为注解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止. 对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.(5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于因为所以所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以代入原方程得同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有再令得此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且取,5,4,3,2,13=v 得相应的所以，只能是.4,533==v u从而结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为 整理得所以相应地所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程因为因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时 若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a 若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法 把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意即所以 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.所以所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对.④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数; 当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=k kx y x y 3的解，解得 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值.解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式.可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数 所以因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数， 即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解.解 已知方程可化为所以即因为a 、b 都是正整数所以这样所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,2 丢番图（Diophantus ）：古代希腊人，代数学的鼻祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。
关于丢番图方程2x-2y3z-43w=39k+1
邓谋杰
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》
【年(卷),期】2008(037)001
【摘要】用初等方法给出了丢番图方程2x-2y·3z-4·3w=3·9k+1,
x>0,y>0,z≥0,w≥0,k>0的全部整数解,利用这一结果,推出与和完全数有关的一类不定方程仅有一组整数解.
【总页数】5页(P45-49)
【作者】邓谋杰
【作者单位】海南大学,信息科学技术学院,海南,海口,570228
【正文语种】中文
【中图分类】O156.7
【相关文献】
1.关于丢番图方程2x-2y·3z-3w=5 [J], 邓谋杰;龙伦海
2.关于丢番图方程2x-2y·3z-2·3u=9k+1 [J], 邓谋杰
3.关于丢番图方程2x-2y·3z-3w=7 [J], 邓谋杰
4.丢番图方程5·2x+7·3y=11+2z·3w的计算机辅助解法 [J], 邓谋杰;周小娥
5.关于丢番图方程p^x-q^y^z=α和丢番图方程p1xp2^y-q1zq2^w=α [J], 曹玉书
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著名的丢番图⽅程，最有趣的“世界难题”，从古研究⾄今2019年9⽉6⽇，由布⾥斯托尔⼤学和⿇省理⼯学院的研究⼈员领导的⼀个团队宣布，他们发现了所谓的“三个⽴⽅数和”的问题的最终解，即求⽅程x³+ y³+ z³= k的整数解，k的值在1到100之间。
⾃1954年提出以来，直到2016年，除了k=33和k=42的两个解之外，所有的解都被找到了。
19年3⽉，数学家安德鲁·R·布克（Andrew R. Booker）发表的⼀篇论⽂中宣布，他在布⾥斯托尔的超级计算机上花费了数周的计算时间，找到了k=33的正确解。
不久后，k=42的解也被发现了（布克和⿇省理⼯学院的安德鲁·萨瑟兰），答案是：对于k在1到1000之间的值，114、165、390、579、627、633、732、906、921和975的解仍然没有被发现。
丢番图⽅程三个⽴⽅和的问题是求丢番图⽅程解的⼀个例⼦，它可以定义为：定义丢番图⽅程是⼀个有⼏个未知数、系数为整数的代数⽅程。
也就是说，丢盘⽅程是有⼏个未知变量（x，y，z， ……）的⽅程，它的解（=0）只有当⽅程的系数是整数时才会出现。
线性丢番图⽅程线性丢番图⽅程是⼀阶⽅程，其解被限制为整数。
线性丢番图⽅程为：其中a、b、c为整数系数，x，y为变量。
例如：有多少个整数解？因为这是⼀个有两个未知数的⽅程，我们不能⼀次解⼀个变量（就像⼀个典型的线性⽅程组⼀样）。
相反，对于线性情况，我们可以使⽤以下定理：线性丢番图⽅程有整数解当且仅当c是a和b的最⼤公约数的倍数。
如果整数（x， y）构成给定a，b，c的线性丢番图⽅程的解，那么其他的解有（x + kv, y - ku）的形式，其中k是任意整数，u和v是a和b的最⼤公约数的商。
两个或两个以上整数的最⼤公约数（它们都不为零）是能整除每个整数的最⼤正整数。
对于上⾯的例⼦，我们可以先提出公约数5，得到：a和b的最⼤公约数是1和5。
数论的一个分支，它有悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。
1969年，L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》，较系统地总结了这方面的研究成果。
近十多年来，这个领域更有重要进展。
虽然如此，从整个地说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。
另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
一次不定方程最简单的一次不定方程是二元一次不定方程(1)式中α1,α2，n是给定的整数，α1α2≠0。
在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α1,α2)能整除n，并当(1)有解时，可用辗转相除法来求(1)的一组解。
设(α1,α2)=1，则(1)的全部整数解可表为(2)式中x0,y0为(1)的一组解,t为任意整数。
称(2)为方程(1)的通解。
（1）式的复解对于不定方程：AX-BY=1.我们知道，只要（A,，B）=1，就必然有整数解。
猜想：当A<B时，有解X，Y。
当A>B时，X与Y互换位置。
即：AX-BY=1，A'Y-BX=1；A<B<A'。
是否也有X，Y的共同解。
例如：A<B时：B=17，A=7时，X=5，Y=2.。
即：7×5-17×2=1。
A>B时即A'>B：B=17，A=43时，X=5，Y=2。
即：43×2-17×5=1。
目前没有发现反例。
例如：1，B=5，A=3，A'=11，X=2，Y=1.即3×2-5×1=1；11×1-5×2=1。
丢番图方程
丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程，是變數僅容許是整數的多項式等式；即形式如 ax+by=c，其中所有的aj、bj和c均是整數，若其中能找到一組整數解x1,x2...,xn和y1,y2,....,yn者則稱之有整數解。
丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如右上角图的方程，其中所有的
和c均是整数，若其中能找到一组整数解
者则称之有整数解。
丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。
对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。
3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。
丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。
第38卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2013年4月V o l.38N o.4J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2013文章编号:10005471(2013)04002503关于丢番图方程A x2+B y2p=z5①张中峰,柏萌肇庆学院数学与信息科学学院,广东肇庆526061摘要:对某些类型的整数A,B以及满足一定条件的素数p,证明了方程A x2+B y2p=z5没有使得x y zʂ0且x,y,z 两两互素的整数解.关键词:丢番图方程;类数;虚二次域中图分类号:O156文献标志码:A文献[1]证明了当nȡ2时,方程x2n+y2n=z5没有使得x y zʂ0且x,y,z两两互素的整数解.利用Q曲线以及相应的模定理,文献[2]证明了当p>17且p为4k+1型的素数时,方程x2+y2p=z5没有使得x y zʂ0且x,y,z两两互素的整数解.在本文中,我们有如下结果:定理1假设pȡ7为素数,A为正的奇整数,且5⫮h K,其中h K为虚二次域K=Q(-A)的类数,则方程A x2+y2p=z5没有使得x y zʂ0,2|y且x,y,z两两互素的整数解(x,y,z).定理2令α,β为正整数,γ为非负整数,pȡ11为素数,B满足以下情形之一:(1ʎ)B=2α,αȡ2;(2ʎ)B=2α㊃5β㊃11γ,αȡ3,p⫮B;(3ʎ)B=2α㊃5β㊃19γ,αȡ2,p⫮B;(4ʎ)B=2α㊃5β㊃23γ,αȡ2,2|αβγ,p⫮B,且当γȡ1时pȡ13.则方程x2+B y2p=z5没有满足x y zʂ0且x,y,z两两互素的整数解(x,y,z).结论在情形(1ʎ)下对p=7也成立.为了证明本文的定理,先给出几个引理.引理1设d为无平方因子的正整数,且5⫮h K,其中h K为虚二次域K=Q(-d)的类数.若有两两互素的非零整数a,b,c使得a2+d b2=c5,则存在互素的非零整数u,v使得a=u(u4-10d u2v2+5d2v4)b=v(5u4-10d u2v2+d2v4)证在虚二次域K=Q(-d)中分解a2+d b2,并注意到5⫮h K,可知引理1成立.引理2设h K为虚二次域K=Q(-d)的类数,则我们有表1中的对应结论:①收稿日期:20120902Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:广东省自然科学基金资助项目(S2012040007653);肇庆学院科研基金资助项目(201105,201116).作者简介:张中峰(1981),男,湖南邵阳人,博士,讲师,主要从事指数丢番图方程㊁广义费马方程的研究.表1 虚二次域的类数d 125101119222328465595110115190h K1122112364481224特别地,对于表1中的d ,有5⫮h K .证 d ɤ115的情形见文献[3],d =190的情形见文献[4].引理3 设p ȡ7为素数,αȡ6为整数,则方程x p +2αy p =5z 2没有满足x y z ʂ0,x y ʂʃ1且x ,y ,z 两两互素的整数解(x ,y ,z ).证 这是文献[5]中定理1.2的一个特殊情形.引理4 设p ȡ11为素数,A ,B 为互素的整数,α,β,γ为非负整数且αȡ6.若A B 满足以下情形之一:(1ʎ)A B =2α㊃5β㊃11γ,αȡ7,p ⫮AB ;(2ʎ)A B =2α㊃5β㊃19γ,p ⫮AB ;(3ʎ)A B =2α㊃5β㊃23γ,βȡ1,p ⫮A B ,且当γȡ1时p ȡ13.则方程A x p +B y p =z 2没有满足x y z ʂ0且x ,y ,z 两两互素的整数解(x ,y ,z ).结论在γ=0时对p =7也成立.证 由文献[5]中定理1.5可得.定理1的证明 不失一般性,我们假设A 无平方因子.由引理1有x =v (5u 4-10A u 2v 2+A 2v 4) yp =u (u 4-10A u 2v 2+5A 2v 4)(1)其中u ,v 为非零且互素的整数,且由2|y 知2|u ,2⫮v .显然g c d (u ,A )=1.我们有gc d (u ,u 4-10A u 2v 2+5A 2v 4)=g c d (u ,5)ɪ{1,5}我们只证5⫮u 的情形,5|u 的情形类似可证.当5⫮u 时,由(1)式有u =y p 1 u 4-10A u 2v 2+5A 2v 4=y p2y =y 1y 2 g c d (y 1,y2)=1从而y p 2=5(A v 2-u 2)2-4u 4,即4y4p 1+y p 2=5(A v 2-u 2)2=5w 2(2)由2|u 知2|y 1,结合引理3以及g c d (y 1,y 2)=1,y 1y 2w ʂ0知方程(2)无整数解(y 1,y2,w ),定理1得证.定理2的证明 令B =m 2d ,d 无平方因子,则由v 2(B )=αȡ2知2|m .在我们的条件下,d 有15种可能,见表1.又由情形(4ʎ)中的2|αβγ知d ʂ230,故由引理2知5⫮h K ,结合引理1有x =u (u 4-10d u 2v 2+5d 2v 4) m y p =v (5u 4-10d u 2v 2+d 2v 4)(3)其中u ,v 为非零且互素的整数,且由2⫮x ,2|m 知2⫮u ,2|v .这样我们就有gc d (v ,5u 4-10d u 2v 2+d 2v 4)=g c d (v ,5)ɪ{1,5}当B =2α时,即定理2中的情形(1ʎ).我们只证5⫮v 的情形,5|v 的情形类似可证.当5⫮v 时,由(3)式有v =m y p1 5u 4-10d u 2v 2+d 2v 4=y p2y =y 1y 2 g c d (m y 1,y2)=1从而y p 2=5(d v 2-u 2)2-4d 2v 4,即5(d v 2-u 2)2=4d 2m 4y 4p 1+y p 2=22α+2y4p 1+y p 2由2α+2ȡ6以及引理3知y 1y 2=ʃ1,两边模8知不可能.当B =2α㊃5β㊃q γ,q =11,19,23时,即定理2中的情形(2ʎ),(3ʎ),(4ʎ).若2⫮β,我们只讨论β=1的情形,βȡ3的情形类似.当β=1时,我们有5|d ,5⫮m .令d =5d 1,则由(3)式以及5⫮x 知5⫮u ,5|v ,从而62西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.v =5p -1m y p 1 5u 4-10d u 2v 2+d 2v 4=5(u 4-10d 1u 2v 2+5d 21v 4)=5m 2yp 2其中m =m 1m 2,2|m 1,g c d (5m 1y 1,m 2y2)=1,故有m 2y p 2=u 4-10d 1u 2v 2+5d 21v 4=(u 2-5d 1v 2)2-20d 21v 4即22ˑ54p -3d 21m 41y 4p 1+m 2y p2=(u 2-d v 2)2(4)在情形(2ʎ)下,我们有v 2(22d 21m 41)ȡ2+2ˑ3=8,而在情形(3ʎ),(4ʎ)下则有v 2(22d 21m 41)ȡ2+2ˑ2=6,故由引理4以及g c d (y 1,y 2)=1,y 1y 2w ʂ0知方程(4)无整数解(y 1,y2,w ).若2|β,我们只讨论β=2的情形,βȡ4的情形类似.当β=2时,我们有5⫮d ,5 m .由5⫮x 知5⫮u ,5|v .由(3)式有v =5p m 1y p 1 5u 4-10d u 2v 2+d 2v 4=5m 2yp2其中m =5m 1m 2,2|m 1,g c d (5m 1y 1,m 2y 2)=1,故有5m 2yp 2=5(u 2-5d v 2)2-4d 2v 4,即22ˑ54p -1d 2m 41y 4p 1+m 2yp 2=(u 2-d v 2)2(5)类似于2⫮β时的讨论,由引理4以及gc d (y 1,y 2)=1,y 1y 2w ʂ0知方程(5)无整数解(y 1,y 2,w ).综上所述,定理2得证.参考文献:[1]B E N N E T T M.T h eE q u a t i o n x 2n +y 2n =z 5[J ].JT hN o m b r e sB o r d e a u x ,2006,18(2):315-321.[2] C H E NI .O n t h eE qu a t i o n a 2+b 2p =c 5[J ].A c t aA r i t h ,2010,143(4):345-375.[3] C OH E N H.AC o u r s e i nC o m p u t a t i o n a l A l g e b r a i cN u m b e rT h e o r y [M ].N e wY o r k :S p r i n g e r -V e r l a g ,1993:514-515.[4] A R N OS .T h e I m a g i n a r y Qu a d r a t i cF i e l d s o fC l a s sN u m b e r 4[J ].A c t aA r i t h ,1992,60(1):321-334.[5] B E N N E T T M ,S K I N N E RC .T e r n a r y D i o p h a n t i n eE q u a t i o n sV i aG a l o i sR e pr e s e n t a t i o n s a n dM o d u l a r F o r m s [J ].C a n a d JM a t h ,2004,56(1):23-54.[6] 李双娥.关于不定方程x 3+27=26y 2[J ].西南师范大学学报:自然科学版,2008,33(1):1-4.[7] 牟全武,吴 强.关于不定方程x 3-1=103y 2[J ].西南大学学报:自然科学版,2008,30(10):38-40.O n t h eD i o p h a n t i n eE qu a t i o n A x 2+B y 2p =z 5Z HA N GZ h o n g -f e ng , B A I M e n g S ch o o l o fM a t h e m a ti c sa n d I n f o r m a t i o nS c i e n c e ,Z h a o q i n g U n i v e r s i t y ,Z h a o q i n g G u a n g d o n g 526061,C h i n a A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,f o r s o m e c h o i c e so f p a r a m e t e r s A ,B ,a n d p r i m e s p w h i c hs a t i s f y i n g s o m e c o n d i -t i o n s ,t h e e q u a t i o n A x 2+B y 2p =z 5w a s p r o v e d t oh a v en os o l u t i o n s i nn o n z e r o p a i r w i s e c o p r i m e i n t e g e r s x ,y ,z .K e y wo r d s :D i o p h a n t i n e e q u a t i o n ;c l a s s n u m b e r ;i m a g i n a r yq u a d r a t i c f i e l d 责任编辑 廖 坤72第4期 张中峰,等:关于丢番图方程A x 2+B y 2p =z 5Copyright ©博看网. 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关于一类二次丢番图方程的解近年来，许多科学家们都致力于研究一类复杂的数学模型，即二次丢番图方程，并寻求出最优的解。
本文将介绍一类二次丢番图方程的背景知识、定义和解法，以及与之相关的一些实际应用。
一、二次丢番图方程的背景知识二次丢番图方程是由十九世纪末斯堪的纳维亚数学家阿尔弗雷德丢番图（Alfred Thunem）于1822年发明的一类常微分方程。
它是一个非线性的方程，可以用来描述加速度、运动学、电磁学等领域的物理现象。
由于其复杂的求解方法，它一直是一个极具挑战性的研究课题，也就受到了众多学者的关注。
二、定义和解法一类二次丢番图方程可以简言之为：$frac{d^2y}{dx^2}=frac{f(x)}{y^2-1}$其中，$y=y(x)$是待求解的函数，$f(x)$是已知函数。
解二次丢番图方程的基本思想是先将其转换为自变量变换形式，再使用幂级数法或其他数学方法求解。
为了更加方便求解，可以预先给定$f(x)$的值，比如，$f(x)=2x+3$，则该方程可以转换为：$frac{d^2y}{dx^2}=frac{2x+3}{y^2-1}$接下来，可以通过改变自变量x的取值，使自变量变换形式变成： $frac{d^2y}{(2x+3)^2dx^2}=frac{1}{y^2-1}$此时，该方程可以被视为一个标准的常微分方程，因此可以便捷地求解。
由于二次丢番图方程具有特殊的形式，因此也可以使用贝尔斯托夫（Bersotov）变换来求解。
三、实际应用二次丢番图方程与日常生活密切相关，可以用来描述多种物理现象。
例如，可以用它来模拟人体的运动学，描述物体在不同质量的加速度下的移动，从而获得物体在一定时间内的位移，从而实现精准的导航导航；也可以用它来描述电路中电流的变化，以实现电路的设计。
此外，二次丢番图方程在气象研究中也有广泛的应用，如流体力学、气象动力学等。
四、总结二次丢番图方程是一类非线性方程，它可以用来描述加速度、运动学、电磁学、气象学等物理现象。
