高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念学案新人教版必修1

学习资料1。

2 函数及其表示1.2。

1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．（重点、难点) 2。

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)1．通过学习函数的概念,提升数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，提升数学运算素养．3．借助f（x)与f（a）的关系，培养逻辑推理素养。

1．函数的概念定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x），x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合｛f(x)｜x∈A｝（2）f（x）与f（a)有何区别与联系？提示：（1)这种看法不对．符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f(x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时,除用符号f(x)外，还常用g(x)，F（x),G(x)等来表示函数．(2)f（x)与f(a）的区别与联系:f(a）表示当x＝a时，函数f（x)的值，是一个常量，而f（x)是自变量x的函数，一般情况下,它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f （x）＝3x＋4,当x＝8时，f(8）＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念（1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x｜a≤x≤b｝闭区间[a，b]｛x｜a〈x<b｝开区间(a，b）｛x|a≤x<b｝半开半闭区间[a，b）{x｜a〈x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示定义R｛x｜x≥a｝{x｜x＞a}{x｜x≤a｝｛x|x＜a｝符号(－∞，＋∞) ［a，＋∞）(a，＋∞)(－∞，a］（－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗?（2)“∞”是数吗?如何正确使用“∞”？提示：(1）不是任何数集都能用区间表示，如集合｛0｝就不能用区间表示．(2）“∞"读作“无穷大”，是一个符号,不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝错误!的定义域是（）A．［－1，＋∞)B．[－1,0）C．（－1,＋∞) D．（－1，0）C［由x＋1>0得x〉－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞）．］2．若f（x）＝11－x2,则f(3)＝________。

高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x 叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.] 3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2， g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010. 9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k ＝12.所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，①∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .②由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎨⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x二、填空题7．已知，则f(7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．对映射认识的拓展映射f：A→B，可理解为以下三点：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计 1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．] 4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12500.∴d ＝12500v 2S .当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C.1f (x )D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a] C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若f(a)＝12，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析 由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。

[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。

[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。

[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。

[2]分段函数的概念。

2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。

3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。

4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。

这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。

【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。

【板演/PPT】PPT演示三个实例。

【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。

相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。

1.2.1 函数概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要根本概念之一．在中学，函数学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单函数，了解了它们图象、性质等．本节学习函数概念与后续将要学习函数根本性质、根本初等函数(Ⅰ)与根本初等函数(Ⅱ)是学习函数第二阶段，这是对函数概念再认识阶段．第三阶段是在选修系列导数及其应用学习，这是函数学习进一步深化与提高．在学生学习用集合与对应语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间依赖关系；同时，虽然函数概念比拟抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应语言定义函数方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题、提出问题探究能力，进一步培养学习数学兴趣与抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考与解决现实世界中蕴涵规律，逐渐形成善于提出问题习惯，学会数学表达与交流，开展数学应用意识．2．掌握构成函数三要素，会求一些简单函数定义域，体会对应关系在刻画函数概念中作用，使学生感受到学习函数必要性与重要性，激发学生学习积极性．重点难点教学重点：理解函数模型化思想，用集合与对应语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)〞含义，不容易认识到函数概念整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课问题：函数y＝请用初中所学函数定义来解释y与x函数关系？先让学生答复后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出以下三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹射高为845 m，且炮弹距地面高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化规律是h＝130t－5t2.时间t变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h变化范围是数集B ＝{h|0≤h≤845}．那么有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层中臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中曲线显示了南极上空臭氧层空洞面积S(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年变化情况．图1根据图1中曲线，可知时间t变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，那么有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量上下，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数y随时间t(年)变化情况说明，“八五〞方案以来，我国城镇居民生活质量发生了显著变化．“八五〞方案以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况根据上表，可知时间t变化范围是数集A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y变化范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.那么有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样对应称为函数，请用集合观点给出函数定义.(3)函数定义域是自变量取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围〞？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应本质共性．解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空数集，如果按照某种确定对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定数f(x)与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x取值范围A叫做函数定义域，函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数值域．在研究函数时常会用到区间概念，设a，b是两个实数，且a＜b，如下表所示：(4)函数有意义是指：自变量取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C ⊆B .应用例如例题 题函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)值．活动：(1)让学生回想函数定义域指是什么？函数定义域是使函数有意义自变量取值范围，故转化为求使x ＋3与1x ＋2有意义自变量取值范围.x ＋3有意义，那么x ＋3≥0，1x ＋2有意义，那么x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0与x ＋2≠0组成不等式组．(2)让学生回想f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x＝－3时对应函数值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23表示自变量x ＝23时对应函数值．分别将－3，23代入函数对应法那么中得f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23值． (3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应函数值．分别将a ，a －1代入函数对应法那么中得f (a )，f (a －1)值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x ＜－2或x ＞－2，即函数定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝23＋3＋123＋2＝33 3＋3 8.(3)∵a＞0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a－1)有意义．那么f(a)＝a＋3＋1a＋2；f(a－1)＝a－1＋3＋1a－1＋2＝a＋2＋1a＋1.点评：此题主要考察函数定义域以及对符号f(x)理解．求使函数有意义自变量取值范围，通常转化为解不等式组．f(x)是表示关于变量x函数，又可以表示自变量x对应函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义．符号f可以看作是对“x〞施加某种法那么或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样运算法那么：先平方，再减去2，再加上5；假设x为某一代数式(或某一个函数记号时)，那么左右两边所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x ＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等等．符号y＝f(x)表示变量y是变量x函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x乘积．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m对应函数值，是一个常量．函数解析式，求函数定义域，就是求使得函数解析式有意义自变量取值范围，即(1)如果f(x)是整式，那么函数定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式，那么函数定义域是使分母不等于零实数集合．(3)如果f(x)是二次根式，那么函数定义域是使根号内式子大于或等于零实数集合．(4)如果f(x)是由几个局部数学式子构成，那么函数定义域是使各局部式子都有意义实数集合(即求各局部定义域交集)．(5)对于由实际问题背景确定函数，其定义域还要受实际问题制约.知能训练1．函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，那么f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)＝________. 解析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )． 令q ＝1，得f (p ＋1)＝f (p )f (1)，∴f (p ＋1)f (p )＝f (1)＝3. ∴原式＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＋2f (10)f (9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30.答案：302．假设f (x )＝1x定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )定义域为B ，那么( )A．A∪B＝B B．AB C．A⊆B D．A∩B＝解析：由题意得A＝{x|x≠0}，B＝{x|x≠0，且x≠－1}．那么A∪B＝A，那么A错；A∩B＝B，那么D错；由于BA，那么C错，B正确．答案：B拓展提升问题：函数f(x)＝x2＋1，x∈R.(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f(x)－f(－x)值．分析(1)中各值规律，归纳猜测出结论，再用解析式证明．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．课堂小结本节课学习了：函数概念、函数定义域求法与对函数符号f(x)理解．作业课本习题组1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数概念时，本节设计运用了大量实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例书写上，会造成课时缺乏即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域求法，而函数值域求法将放在函数表示法中学习．由于函数是高中数学重点内容之一，也是高考重点与热点，因此对函数概念等知识进展了适当拓展，以满足高考需要．第2课时刘玉亭复习1．函数概念．2．函数定义域求法．导入新课思路1．当实数a，b符号一样，绝对值相等时，实数a＝b；当集合A，B中元素完全一样时，集合A＝B；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2．我们学习了函数概念，y＝x与y＝x2x是同一个函数吗？这就是本节课学习内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究提出问题①指出函数y＝x＋1构成要素有几局部？②一个函数构成要素有几局部？③分别写出函数y＝x＋1与函数y＝t＋1定义域与对应关系，并比拟异同.④函数y＝x＋1与函数y＝t＋1值域一样吗？由此可见两个函数定义域与对应关系分别一样，值域一样吗？⑤由此你对函数三要素有什么新认识？讨论结果：①函数y＝x＋1构成要素为：定义域R，对应关系x→x ＋1，值域是R.②一个函数构成要素为：定义域、对应关系与值域，简称为函数三要素．其中定义域是函数灵魂，对应关系是函数核心．当且仅当两个函数三要素都一样时，这两个函数才一样．③定义域与对应关系分别一样．④值域一样．⑤如果两个函数定义域与对应关系分别一样，那么它们值域一定相等．因此只要两个函数定义域与对应关系分别一样，那么这两个函数就相等．应用例如例题题以下函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.活动：让学生思考两个函数相等条件后，引导学生求出各个函数定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们定义域与对应关系分别一样，那么这两个函数就相等．解：函数y ＝x 定义域是R ，对应关系是x →x .(1)∵函数y ＝(x )2定义域是[0，＋∞)，∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 定义域不一样，∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 不相等．(2)∵函数y ＝3x 3定义域是R ， ∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 定义域一样． 又∵y ＝3x 3＝x ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 对应关系也一样． ∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 相等．(3)∵函数y ＝x 2定义域是R ，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 定义域一样．又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 对应关系不一样．∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 定义域不一样，∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等． 点评：此题主要考察函数相等含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先原那么．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，假设定义域不同，那么不是同一个函数；假设定义域一样，再化简函数解析式，假设解析式一样(即对应关系一样)，那么是同一个函数，否那么不是同一个函数.知能训练1．以下给出四个图形中，是函数图象是( )图2A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④答案：B2．函数y ＝f (x )定义域是R ，值域是[1,2]，那么函数y ＝f (2x －1)值域是________．答案：[1,2]3．以下各组函数是同一个函数有________．①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x0； ③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u .答案：②③④拓展提升问题：函数y＝f(x)图象与直线x＝m有几个交点？探究：设函数y＝f(x)定义域是D，当m∈D时，根据函数定义知f(m)唯一，那么函数y＝f(x)图象上横坐标为m点仅有一个(m，f(m))，即此时函数y＝f(x)图象与直线x＝m仅有一个交点；当m D时，根据函数定义知f(m)不存在，那么函数y＝f(x)图象上横坐标为m点不存在，即此时函数y＝f(x)图象与直线x＝m没有交点．综上所得，函数y＝f(x)图象与直线x＝m有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数概念，总结了函数三要素；(2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出以下4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域函数关系是( )图3答案：B2．某公司生产某种产品本钱为1 000元，以1 100元价格批发出去，随生产产品数量增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品那么多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量每一个确定值，因变量都有唯一确定值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加 函数3．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗？答：函数确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示字母无关，因此y ＝x 2与S ＝t 2表示是同一个函数．因此并非字母不同便是不同函数，这是由函数本质决定．设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数相等问题进展了引申，设计时对拓展内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否那么事倍功半．备课资料【备选例题】【例1】函数f (x )＝11＋x，那么函数f [f (x )]定义域是________． 解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋x ＝11＋11＋x . ∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2.∴f [f (x )]定义域为{x |x ≠－2，且x≠－1}．答案：{x|x≠－2，且x≠－1}【例2】函数f(2x＋3)定义域是[－4,5)，求函数f(2x－3)定义域．解：由函数f(2x＋3)定义域得函数f(x)定义域，从而求得函数f(2x －3)定义域．设2x＋3＝t，当x∈[－4,5)时，有t∈[－5,13)，那么函数f(t)定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x－3＜13，得－1≤x ＜8，即函数f(2x－3)定义域是[－1,8)．【知识拓展】函数传统定义与近代定义比拟函数传统定义(初中学过函数定义)与它近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致．两个定义中定义域与值域意义完全一样；两个定义中对应法那么实际上也一样，只不过表达出发点不同．传统定义是从运动变化观点出发，其中对应法那么是将自变量x每一个取值与唯一确定函数值对应起来；近代定义那么是从集合、对应观点出发，其中对应法那么是将原象集合中任一元素与象集合中唯一确定元素对应起来．至于函数传统定义向近代定义过渡原因，从历史上看，函数传统定义来源于物理公式，最初函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量依赖关系，往往先要弄清各个变量物理意义，这就使研究受到了不必要限制．后来，人们认识到了定义域与值域重要性，如果只根据变量观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0，－1， x >0，x ＝0，x <0，用集合与对应观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数近代定义．由于传统定义比拟生动、直观，有时仍然会使用这一定义．。

山东省济宁市微山县高中数学第一章集合与函数概念1.2.2 函数的表示法学案（含解析）新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省济宁市微山县高中数学第一章集合与函数概念1.2.2 函数的表示法学案（含解析）新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

2.2 函数的表示1．常用的函数表示法(1）解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．例如：毛笔每支2元，可用于购买的钱有8元，设购买的支数为x（支)，对应的购买费用为y（元)，用三种方式表示y关于x的函数关系式．解析法：y＝2x(x=0,1，2,3，4)．列表法：x01234y02468图象法：说明:不是所有函数都能有明确的规律,此时常常用表格或图象表示．例如:2011年7月19日9:30~15：00春兰股份的价格走势图如下，能用解析式表示吗？（不能）知识梳2．分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．（3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．3．映射1)映射的概念设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f 作用下的象,记作f（x)，x称作y的原象．2）一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．3）映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集．例题讲题型一函数的三种表示法例1已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋错误!，当x＝2时,t＝100；当x＝14时,t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．(1)写出函数t的解析式；（2）用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象；(4)根据（2）(3）分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况．解析：（1）由题设条件知：当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28得方程组错误!解此方程组得错误!所以t＝x＋错误!，又因为x≤20，x为正整数，所以函数的定义域是{x|0<x≤20，x∈N*}．(2)x＝1,2，3,4，5,6，7,8,9,10，11,12,13,14,15，16,17，18,19,20，共取20个值,列表如下:x12345678910t19710068。

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1.2 错误!1．2.1 函数的概念预习课本P15~18，思考并完成以下问题(1）在集合的观点下函数是如何定义?函数有哪三要素？（2)如何用区间表示数集？（3)相等函数是指什么样的函数？[新知初探]1．函数的概念（1）函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x),x∈A.(2）函数的定义域与值域：函数y＝f（x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．[点睛］对函数概念的3点说明（1）当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性．（3）符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a,b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x｜a≤x≤b｝闭区间［a,b］｛x|a＜x＜b}开区间（a，b）{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b)｛x｜a＜x≤b}半开半闭区间（a，b］3．其它区间的表示定义R｛x｜x≥a}｛x｜x＞a｝{x｜x≤a}｛x|x＜a}符号（－∞，＋∞）［a，＋∞）(a，＋∞）（－∞，a]（－∞,a）[点睛］关于无穷大的2点说明（1）“∞”是一个符号，而不是一个数．（2)以“－∞”或“＋∞”为端点时,区间这一端必须是小括号．错误!1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )（2)数集｛x｜x≥2}可用区间表示为［2，＋∞]．( )（3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )（4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．（）(5）函数的定义域和值域一定是无限集合．( ）答案：（1)×（2）×（3)√（4)×（5）×2．函数y＝错误!的定义域是（)A．［－1，＋∞)B．［－1，0）C．(－1，＋∞) D．（－1,0)答案：C3．已知f(x）＝x2＋1，则f ( f (－1)）＝( )A．2 B．3 C．4 D．5答案：D4．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100｝用区间表示为________．（2）｛x|x>1}用区间表示为________．答案:（1）[10,100］（2）（1，＋∞)［例1] （1）设M＝｛x｜0≤x≤2}，N＝｛y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( ）A．0 B．1C．2 D．3（2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？①f：把x对应到3x＋1; ②g:把x对应到｜x｜＋1;③h:把x对应到错误!；④r：把x对应到错误!。

1.2 函数及其表示预习导航一、函数名师点拨1.“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．2．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．3．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．4．符号f(x)是函数的记法，是一个整体，它不表示f与x相乘．自主思考1如何判断从集合A到集合B的一个对应是函数？提示：首先看集合A，B是否是非空数集，若不是，则不是函数；若是，然后看集合A中的每一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是函数；若有，再看集合B 中是否只有一个元素与之对应，若有多个与之对应，则不是函数；若只有一个与之对应，则是函数．自主思考2若两个函数的对应关系相同，值域也相同，那么这两个函数是相等函数吗？提示：不一定．若它们的定义域相同，则这两个函数为相等函数，否则，不是相等函数．如函数f(x)＝x2(x∈{1,2,3})，与函数g(x)＝x2(x∈{－1，－2，－3})的对应关系与值域相同，但不是相等函数．二、区间1．区间的概念：设a，b是两个实数，且a<b.2．无穷大：“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的实数x的集合可用区间表示，如下表．提示：并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．。

函数的概念》的教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本( A 版)》的第一章 1.2.1 函 数的概念。

函数是中学数学中最重要的基本概念之一， 它贯穿在中学代数的始终， 从初一字 母表示数开始引进了变量， 使数学从静止的数的计算变成量的变化， 而且变量之间也是相互 联系、 相互依存、相互制约的， 变量间的这种依存性就引出了函数。

在初中已初步探讨了函 数概念、 函数关系的表示法以及函数图象的绘制。

到了高一再次学习函数， 是对函数概念的 再认识， 是利用集合与对应的思想来理解函数的定义， 从而加深对函数概念的理解。

函数与 数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、 互相转化。

函数的学习也 是今后继续研究数学的基础。

在中学不仅学习函数的概念、性质、 图象等知识，尤为重要的 是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。

函数是中学数学的主体内容， 起着承上启下的作用。

函数又是初等数学和高等数学衔接 的枢纽， 特别在应用意识日益加深的今天， 函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又 互有制约的关系。

因此对函数概念的再认识， 既有着不可替代的重要位置， 又有着重要的现 实意义。

本节的内容较多，分二课时。

本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单 函数的定义域及值域的求法、区间表示等。

(第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函 数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等)【学情分析】 学生在学习本节内容之前， 已经在初中学习过函数的概念， 并且知道可以用函数描述变 量之间的依赖关系。

然而， 函数概念本身的表述较为抽象， 学生对于动态与静态的认识尚为 薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识， 对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难 度。

初中是用运动变化的观点对函数进行定义， 虽然这种定义较为直观， 但并未完全揭示出 函数概念的本质。

例如，对于函数如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。

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2.2 函数的表示法第1课时函数的表示法1．掌握函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法．(重点）2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．（难点)［基础·初探]教材整理函数的表示方法阅读教材P19~P21例5以上部分，完成下列问题．1．函数的三种表示法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系．列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系．2．函数三种表示法的优缺点表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式列表法不需计算可以直接看出自变量对应的函数值仅能表示自变量取较少的有限的对应关系图象法能形象直观地表示函数的变化情况只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大判断(正确的打“√”,错误的打“×"）（1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )（2）任何一个函数都可以用解析法表示．（)（3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．（)【解析】(1）×.如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示．（2)×。

1.2.2 函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.三维目标1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣.3.会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.4.了解映射的概念及表示方法,会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念.教学难点:分段函数的表示及其图象,映射概念的理解;运用集合两种常用表示——列举法与描述法.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.思路 2.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.应用示例思路11.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素. 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示. 注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.变式训练1.已知函数f(x)在［-1,2］上的图象如图1-2-2-2所示,求f(x)的解析式.图1-2-2-2解：观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出解析式为:当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当0<x<2时,f(x)=2x -,则有f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+.20,21,01,1x x x x 2.2007山东青岛第一次调研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得.答案：3x+32 第一次第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 9887 91 92 88 95 张城 9076 88 75 86 80 赵磊 6865 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 活动：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势. 注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.变式训练1.函数y=x 2-4x+6,x∈［1,5)的值域是_________.分析:画出函数的图象,图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.答案：［2,11)2.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a ). 由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-43.2007山东高考样题,文8向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6分析:要求由水瓶的形状识别容积V 和高度h 的函数关系,突出了对思维能力的考查. 观察图象,根据图象的特点发现:取水深h=2H ,注水量V′>20V , 即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.A 中V′<20V ,C 、D 中V′=20V ,故排除A 、C 、D. 答案：B思路2 1.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211xx +-,则f(x)=________. 活动：学生思考函数的解析式表达的含义.设x x +-11=t,利用换元法,转化为求f(t).利用整体思想把xx +-11看成一个整体,即可得函数的解析式.要注意函数f(t)与f(x)是同一个函数. 分析: 可设x x +-11=t,则有x=tt +-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1tt t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212x x +. 答案：212x x + 变式训练课本P 26练习1.点评：本题主要考查函数的解析式.已知f ［g(x)］=φ(x),求f(x)的解析式时,通常用换元法,其步骤是:①设g(x)=t;②把t 看成常数,解关于x 的方程g(x)=t 得x=h(t);③将x=h(t)代入φ(x),得函数f(t)的解析式;④再用x 替换f(t)的解析式中的t 得函数f(x)的解析式. 其实求函数的解析式方法很多,例如方程法:对于已知等式中出现两个不同变量的函数关系式,依据这两个变量的关系,重新建立关于这两个变量的不同等式,利用整体思想,把f(x)和另一个函数看成未知数,解方程组得函数f(x)的解析式.类似于解二元一次方程组,故称为方程法.待定系数法:已知函数的模型求其解析式时,常用待定系数法.2.已知函数f(x)=273++x x . (1)画出函数f(x)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.活动：学生思考函数图象的画法.利用变换法画函数f(x)的图象,利用图象法写出函数的定义域和值域.形如函数y=d cx b ax ++(c≠0,a 2+b 2≠0)的图象均可由反比例函数y=xk 的图象经过平移得到,因此函数y=dcx b ax ++(c≠0,a 2+b 2≠0)的图象形状是双曲线. 解：(1)y=273++x x =2163+++x x =21+x . 将y=x 1的图象向左平移两个单位得y=21+x 的图象,再向上平移三个单位得y=21+x +3的图象.图象如图1-2-2-7所示.图1-2-2-7(2)观察函数的图象图1-2-2-7,可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞).则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图象.画不熟悉的函数的图象,可以变形成由基本函数,利用变换法画出图象,但要注意变形过程是否等价,注意x,y 的变化范围.因此必须熟记基本初等函数的图象,如:正、反比例函数,一次、二次函数的图象,在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想.求函数值域的方法:①图象法,借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;②观察法,对于解析式比较简单的函数,利用常见的结论如x 2≥0,|x|≥0,x≥0等观察出函数的值域;③换元法,利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等.注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,本例中(1)如果忽视函数的定义域,那么会错误地得函数值域为［-1,+∞).避免此类错误的方法是研究函数时要遵守定义域优先的原则. 变式训练求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.分析:本题主要考查函数的值域及其求法.(1)借助于函数值域的几何意义,利用函数的图象求值域;(2)观察得x4≥0,得函数的值域,也可以利用换元法转化为求二次函数的值域. (1)解：(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图1-2-2-8所示:图1-2-2-8函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是［-1,3］.(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R,则x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).解法二：(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t≥0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t≥0时,二次函数y=t2+1的值域是［1,+∞),即函数y=x4+1的值域是［1,+∞).3.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.活动：让学生审清题意读懂题.求解析式时不要忘记函数的定义域,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.然后再根据解析式列不等式求解.总的保管费=自行车保管费+电动车保管费.解：(1)由题意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且0≤x≤3500.(2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,则3500×(1-40%)≤x≤3 500×(1-25%),即2100≤x≤2 625,画出函数y=-0.2x+1750(2 100≤x≤2 625)的图象,可得函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是［1225,1330］,即收入在1225元至1330元之间.点评：本题主要考查函数的解析式和值域,以及应用函数知识解决实际问题的能力.解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题;②恰当设未知数;③列出函数解析式,并指明定义域;④转化为函数问题,并解决函数问题;⑤将数学问题的答案还原为实际答案.变式训练2007山东实验中学级第一次诊断性测试,文13水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③分析:由图1229甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v 进水=21v 出水;由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述论断仅有①正确. 答案：A知能训练课本P 23练习2、3.【补充练习】1.等腰三角形的周长是20,底边长y 是一腰长x 的函数,则( )A.y=10-x(0<x≤10)B.y=10-x(0<x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)分析:根据等腰三角形的周长列出函数解析式.∵2x+y=20,∴y=20-2x.则20-2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20-2x,得x>5,所以函数的定义域为{x|5<x<10}.所以y=20-2x(5<x<10).答案：D2.2007北京四中第一次统测,文4定义在R 上的函数y=f(x)的值域为[a,b],则y=f(x+1)的值域为( )A.[a,b]B.[a+1,b+1]C.[a-1,b-1]D.无法确定分析:将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得函数y=f(x+1)的图象,由于定义域均是R ,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同,所以y=f(x+1)的值域也是[a,b]. 答案：A3.2006陕西高考,文2函数f(x)=211x +(x∈R )的值域是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 分析:(观察法)定义域是R ,由于x 2≥0,则1+x 2≥1,从而0<211x+≤1.答案：B拓展提升问题:变换法画函数的图象都有哪些?解答:变换法画函数的图象有三类:1.平移变换:(1)将函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y=f(x+a)的图象;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y=f(x-a)的图象;(3)将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)+b的图象;(4)将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y=f(x)-b的图象.简记为“左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)”.2.对称变换:(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0即y轴对称;(2)函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线x=0即x轴对称;(3)函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.3.翻折变换:(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到.(2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y 轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分图象即可得到.函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,可以直观地显示出函数的变化状况及其特性,它是研究函数性质时的重要参考,也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础.另一方面,函数的一些特性又能指导作图,函数与图象是同一事物的两个方面,是函数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片,观察函数的图象可以解决研究其性质,当然,也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题,函数的图象问题是高考的热点之一,应引起重视.课堂小结本节课学习了:函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数.作业课本P24习题1.2A组7、8、9.设计感想本节教学设计容量较大,尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表示方法,提出了表示法的应用,特别是用图象法求函数的值域,并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求.。