下载文档原格式
三角恒等变形【学习目标】1•进一步掌握三角恒等变换的方法2会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.对三角函数式进行化简、求值和证明.Q知识梳理----------------------------i.两角和与差的正弦、余弦、正切公式COS(a— 3 = _____________________ .COS(a+ 3 = ______________________ .sin( a+ 3= ________________________ .sin( a— 3= ________________________ .tan( a+ 3 = ________________________ .tan( a— 3 = _______________________ .2•二倍角公式sin 2 a= ______________________ .COS 2 a= ________________ = ____________________ = ________________________ . tan 2 a= ___________________ .3 •升幕公式1 + COS2 a= _________________ .1 —COS2 a= _________________ .4 •降幕公式. 2sin XCOS x= _______________ ,COS x= __________ ,.2sin x= ___________________ .5. 和差角正切公式变形tan a+ tan 3= ________________________ ,tan a—tan 3= _______________________ .6. 辅助角公式y= asi n wx+ bcos wx= ________________________ .题型探究类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用4 1例 1 已知a, B为锐角，cos a= -, tan( a— 3 =——，求cos B 的值.5 3反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，女口a= 2 ^2 I,a= ( a+ 3 —3 a= 3—( 3— a),1 1a= 2【(a+ 3 + ( a— , = 2【(a+ 3)—( a— 3］等.跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐F'角a, 3它们的终边分别与单位圆相交于A, B两点，已知A, B的横坐标分别为10 5(1)求tan( a— 3 的值;⑵求a+ 3的值.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f(x)= sin x+ cos x+ sin x c os x, x € R的最值及取到最值时x的值.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个 “元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练2 求函数y = sin x + sin 2x — cosx(x € R )的值域. 类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 例 3 已知函数 f(x) = 2y[3s in(x — 3 n )sirix —扌片 2sin 2卜 + 字—1, x € R . (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 0,扌上的最大值和最小值； ⑵若 f(x o ) = 5, x o € n ，尹求 cos 2x o 的值. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型 (余弦型) 函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和 (差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类 和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和 性质.跟踪训练3 17 n 7 n r 石<x<‘求 sin 2x + 2sin 2x 1 — tan x 的类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4 已知sin x + 2cos y = 2，求2sin x + cos y 的取值范围.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或 三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于B 的方程 3cos 0+ sin 0+ a = 0在区间(0,2 n 上有两个不相等的实数解a, 求 COs( a+ 3 的值.5 .已知函数 f(x)= cos x sin(x + 3)— . 3cos 2x + 丁，x € R .⑴求f(x)的最小正周期;n n⑵求f(x)在闭区间［—4, 4】上的最大值和最小值.当堂训练5 1 .若 a 是第三象限角，且 sin( a+ 3cos 3— sin 3cos( a+ 3)=— 13,则tan 扌等于( 2 .已知 2 .2 A. 32C.33 .已知5 12B .—石 C.石 D . 50是第三象限角，且 sin 40+ cos 4 0= 5」sin 2 0等于( 1 1 ntsin a+ cos 3= 3, sin 3- cos a=夕 贝U sin( a- 3 =4 .设a 为锐角，若cos a+ 6 = 4 5，贝U sin 2 a+ 的值为「-规律与方法-------------------------------- )本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确, 快速化到最简，再进一步研究函数的性质.知识梳理 tan a+ tan 3 tan a — tan 3 sin ocos 3— cos a sin 3 ----------------- -----------------1 — tan O an 3 1 + tan %tan 32 . 23. 2cos a 2sin a 6「J a 2 + b 2s in( 3X+ 0)题型探究4例1 解 T a 是锐角，cos a= 4,5••• tan 3= tan[ a — (a — 3)]tan a — tan a — 3 ] 131 + ta n dtan a — 3 9跟踪训练1解（1）由题可知，cos a= ^y 10, cos 3=纠5. 10 5答案精析由于a, 3为锐角，则 sin a= 1^0, sin 3=中，故 tan 1 1a= 3, tan 3= 2,17.⑵因为tan(a+ 3)= =1,sin a= 10 2 sin 3= 1. cos a cos 3+ sin osin 3cos a cos 3— sin o sin 3 sin 久cos 3+ cos asin 32. 2sin ocos a2.2 2 cos a — Sin a 2COS a — 1 1 — 2si n 2 a 2ta n a 1 — tan a 4. sin 2x 2 1 + cos 2x 1 — cos2x5. tan( a+ 3)(1 — tan atan 3) tan( a — 3)(1 + tan a an 3 3a = 5, tan a= 3. 43是锐角, 二 cos 3= 9 .'1050即 0< a+ 仟2，故 a+ 3= 4. 例 2 解设 sin x + cos x = t ,二 t € [ — ■■,.：1 2, 2], 2 2 (s in x + cos x ) — 1 t — 1 /• sin x cos x = = ---- 2 2 ■/ f(x) = sin x + cos x + sin x cos x , 1f(x)取得最大值 2 + -.跟踪训练2 解 令sin x — cos x = t ,则由 t = 2sin x — n 知，t € [ — 2, 2].2 2又 sin 2x = 1 — (sin x — cos x) = 1 — t , 二 g （t ）=t +亍=抽 1）2-1, t € [ — 2,,2]. 贝U t = sin x + cos x当 t =— 1，即卩 sin x + cos x =— 此时，由sin x + =— 卡，解得 x = 2k n — n 或 x = 2k n — 2, 1当 th, 2,即 卩 sin x + cos x = . 2时，f(x)max =, 2 + 2， 此时，由 72sin y+ n =72即 sin x + = 1,n解得 x = 2k n+ 4, k € Z .nn 综上，当 x = 2k n — n 或 x = 2k n — 3, k € Z 时，f(x)取得最小值一 1 ;当 x = 2k n+ — , k € Z 时,1 时，f(X )min =— 1 , k € Z .2• y = (sin x — cos x) + sin 2x = t + 1 — t当 t = — • 2时，y min = —— 1. 例 3 解 ⑴ 因为 f(x) = 3(2sin xcos x)+ (2cos 3x — 1) = 3sin2x + cos 2x = 2sin 2x + g , 所以f(x)的最小正周期为 n.又因为x € [o , n ,所以 2x + [g, 77], 所以f(x)的最大值为2，最小值为—1.(2)由(1)可知, f(x o )= 2sin 2x o + 才.又因为f(x o ) = 6,所以 sin [2x 0+ n= |. 由X 。
(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修四学案：第三章 2______年______月______日____________________部门学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一两角和的余弦思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？梳理两角和的余弦公式公式cos(α＋β)＝________________简记符号使用条件α，β都是________记忆口决：“余余正正，符号相反”知识点二两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理两角和与差的正弦公式内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(α＋β)S(α－β)公式形式sin(α＋β)＝___________________sin (α－β)＝__________________记忆口诀：“正余余正，符号相同”．类型一给角求值例1 (1)＝________.(2)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．类型二给值求值例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．反思与感悟(1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．类型三可化为两角和与差的正弦形式例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：(1)sin x－cos x；(2)sin(－x)＋cos(－x)．反思与感悟一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．跟踪训练3 sin －cos ＝________.1．计算cos ＋sin 的值是( )A. B．2 C．2 D.222．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A．－ B. C．－ D.123．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________. 4．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(α－)＝________.5．化简：sincos－cos·sin.1．公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C(α－β)C(α＋β)S(α＋β) S(α－β)．(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．答案精析问题导学知识点一思考用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．梳理cos αcos β－sin αsin βC(α＋β)任意角知识点二思考 1 sin(α＋β)＝cos α＋β))＝cos ＝cos cos β＋sin sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.思考 2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β题型探究例1 (1) (2)22跟踪训练1解(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.例2 解∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0. 又∵sin＝， cos ＝， ∴cos＝－， sin ＝－.∴cos(α＋β)＝sin α＋β)) ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝sincos －cos·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝×－×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－.跟踪训练2 解 ∵<β<α<， ∴0<α－β<，π<α＋β<. ∴sin(α－β)＝α－β) ＝ ＝，cos(α＋β)＝－α＋β) ＝－ ＝－.∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－×－×＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.例3 解(1)sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2(cos sin x－sin cos x)＝2sin(x－)．(2)原式＝[sin(－x)＋cos(－x)]＝[sin sin(－x)＋cos cos(－x)]＝cos(－x－)＝cos(－x)＝sin(x＋)．跟踪训练3 －2当堂训练1．B 2.D 3. 4. 5.2－64。
数乘向量教学目标一、知识与技能1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。
2、会运用定义、运算律进行有关计算。
二、过程与方法深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
三、情感态度与价值观由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。
教学重点与难点1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。
2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。
教学准备多媒体课件、电脑画板教学过程一、情景引入活动一：体会实际，感受新知在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方向上光速远远大于声速。
经测量,光速大小约为声速的5107.8⨯倍。
活动二：自我实验，学会新知教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。
组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。
（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。
）由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。
因此，有必要定义实数与向量积的运算。
二、讲述新知，感悟理解例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解），即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同；向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3倍，它的方向与a 的方向相反。
三、新知概括，深入探究1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。
(按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。
宝宝宝宝嘻嘻嘻椭圆的简单性质[A. 基础达标 ]x 2 y 2所截得的线段的中点坐标是 ()1．直线 y ＝ x ＋1 被椭圆＋ ＝ 1422 547 A. 3， 3B. 3，3C. 2 1D. － 13 11－ ，，－ 23 32y ＝ x ＋ 1，分析：选 C. 设截得线段两头点坐标为 ( x 1， 1) ，( x 2， 2) ，中点为 ( x 0， 0) ，由 x 2 y 2yyy4＋ 2＝1，代入消元整理得 32x2x 1＋4xx 1＋ x 22 0＋ 4－ 2＝0， ＝4 ＋4×6>0，2＝－ ，因此0＝＝－ ，xx32y31＝x 0＋ 1＝ 3.x2y22．已知直线 l 过点 (3 ，－ 1) ，椭圆 C 的方程为 25＋36＝ 1，则直线l 与椭圆 C 的公共点的个数为 ( )A ． 1B ．1或2C ． 2D ．0x 2y 2 32 （－1）2分析：选 C. 把点 (3 ，－ 1) 代入 25＋ 36＝1 得 25＋36<1，因此点 (3 ，－ 1) 在椭圆内部，故直线 l 与椭圆有两个公共点．2x23．已知直线l ： x － y ＋ m ＝ 0 与椭圆 C ： ＋ y ＝ 1 交于不一样的两点A ，B ，且线段 AB 的225中点不在圆 x ＋ y ＝ 9内，则 m 的取值范围为 ()A ． ( －∞，－ 1] ∪[1 ，＋∞)B ．[ － 3，－1] ∪[1 ， 3]C ． [ －1， 1]D ．( － 3，－1] ∪[1 ， 3)分析：选 D. 联立 x － y ＋m ＝ 0，得：3x2＋ 4 ＋2 2－2＝0，由 >0 得 ∈(－ 3，3) ，x 2＋ 2y 2＝ 2 mx mm4m1 2，2m2m mx ＋ x ＝－ 32y 1＋ y 2＝ x 1＋ m ＋ x 2＋ m ＝ ，故 AB 中点坐标为 ( － ， ) ，因为 AB 中点2－ 23 3 312m，x x＝32252m 2m 2 52不在圆 x ＋y ＝内，因此 (－) ＋()≥，即m ≥1，9 3 39故 m ∈( － 3 ，－ 1] ∪[1 ， 3) ．x 2 y 24．直线 y ＝－ 3x 与椭圆 C ： a 2 ＋ b 2＝ 1( a >b >0) 交于 A 、 B 两点，以线段 AB 为直径的圆13 A. 2 B. 3－1 C.3－ 1 D ．4－ 2 32分析：选 B. 设 A 在 y 轴左边，其坐标设为A ( x 0，－ 3x 0) ，则B ( － x 0， 3x 0) ，设 F 1，1 12 3x－ 2 F 为椭圆的左、 右焦点， O 为坐标原点， 则 c ＝2| AB ＝2（ x ＋ x ） ＋（－ 3x ） ＝20 02| x | ，因此 F 2( －2x 0， 0) ， F 1(2 x 0，0) ， | AF 2| ＝ 2 3| x 0| ， | AF 1| ＝ 2| x 0| ，因为 | AF 1| ＋ | AF 2| ＝c 2| x 0|2a ，因此 a ＝ (3 ＋1)| x ，因此 e ＝ a ＝（3＋1） | x |＝ 3－1.x 2y 2x ＋2y －5．椭圆 16＋ 4 ＝ 1 上的点到直线 2＝ 0 的最大距离为 ()A ． 3 B.11C. 10D ．2 2分析：选 C. 易判断直线 x ＋ 2y －x 2 y 2x ＋ 2y －2＝ 0 与椭圆 16＋ 4 ＝ 1 订交，令与直线 2＝x 2 y 2220 平行的直线方程为 x ＋ 2y ＋ C ＝0 代入 16＋ 4 ＝ 1，化简整理得 8y ＋ 4Cy ＋ C －16＝ 0，则＝ 16C 2－ 32( C 2－16) ＝ 0，C ＝±4 2.由图 ( 图略 ) 可知 C ＝ 4 2. 切线 x ＋ 2y ＋ 4 2＝ 0 与直线 x ＋ 2y － 2＝ 0 间的距离为4 2＋ 2＝ 10.5x 2 y 21 1M 在 y 轴上，6．椭圆 12＋ 3 ＝ 1 的一个焦点为F ，点 P 在椭圆上．假如线段 PF 的中点 那么点 M 的纵坐标是 ________．32（ 2 0） 2分析：设 M 的纵坐标为 y 0，F 1 为其左焦点， 则 F 1( － 3，0) ，可得 P (3 ，2y 0) ，故 12＋y33＝1，解得 y 0＝± 4 .3答案：± 4x 2 y 2＝ 1( a >b >0) 的离心率为 2y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，7．椭圆 a 2＋ b 2 2 ，若直线 则 k 的值为 ________．x 2 y 2b 2 k 2b 22分析：由题意知，交点坐标为( b ， kb ) ，代入 a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 得a 2 ＋ b 2 ＝ 1，因此kb 2c 2＝1－ a 2＝ a 2，2因此 k ＝± e ＝± 2 .2答案：± 2x 2 y 2＝ 1( a >b >0) 的离心率为 6M 作直线 MA ，MB 分别交椭8．已知椭圆 a 2 ＋ b 2 3，过椭圆上一点 圆于 A ， B 两点，且斜率分别为k ， k ，若点A ，B 对于原点对称，则 k ·k ＝ ________．12122 22 222b x2 2 b x 1分析：设点 M ( x ， y ) ， A ( x 1， y 1) ， B ( － x 1，－ y 1) ，则 y ＝ b － a 2， y 1＝ b － a 2，y － y 1 222211 y ＋ y 1 y － y 1b c2－2－1＝－因此 k 1·k 2＝·＝ 22 ＝－ 2＝1＝ e ，即 k 1· k 2的值为－ .x － x 1 x ＋ x 1 x － x 1a a331答案：－ 39．椭圆 ax 2＋ by 2＝ 1 与直线 x ＋ y －1＝ 0 订交于 A ，B 两点， C 是 AB 的中点，若 | AB |＝2 2 2， OC 的斜率为，求椭圆的方程．2解：法一：设 A ( x 1， y 1) 、 B ( x 2 ，y 2) ，代入椭圆方程并作差得， a ( x 1＋ x 2)( x 1－ x 2) ＋ b ( y 1＋ y 2)( y 1－ y 2) ＝ 0.而 y－ y 2 ＝－ 1， y ＋ y ＝k OC ＝ 2 ，11 2x 1－ x 2x 1＋ x 2.再由 | 21＋ ·|1|＝ 2|1|＝2 2，此中代入上式可得＝ 2a| ＝2 x2－x 2－ x 1 、 2bABkxxx 是方程 ( a ＋b ) x 2－ 2bx ＋b － 1＝ 0 的两根，故 2b2－4· － 1＋ b b ＝ 4，a a ＋ b1 2将 b ＝ 2a 代入得 a ＝ 3，因此 b ＝ 3 ，x 22 y 2因此所求椭圆的方程是 3 ＋3 ＝ 1.ax 2＋ by 2＝ 1，法二：由 得( a ＋ b ) x 2－2bx ＋ b － 1＝ 0.x ＋y ＝ 1，设 A ( x 1，y 1) 、 B ( x 2，y 2) ，则| |＝（ k 2＋ 1）（ x1－ 2） 2ABx＝ 2·4b 2－ 4（ a ＋ b ）（ b － 1）.（ a ＋b ） 2＋ － ab因为 | AB | ＝2 2，因此 a ba ＋b ＝1. ①设 (， ) ，则 ＝ x ＋ x＝b，C xyx 122a ＋ bay ＝ 1－x ＝ a ＋ b ，2a2 1 2x 2因为 OC 的斜率为 2 ，因此 b ＝ 2 . 代入①，得 a ＝3，b ＝ 3 . 因此所求椭圆的方程为3＋2 2 3y＝ 1.2x 2 y 210．已知离心率为2 的椭圆 C ：a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 过点 M (6，1)．(1) 求椭圆的方程；228(2) 已知与圆 x ＋ y ＝3相切的直线 l 与椭圆 C 订交于不一样两点 A ，B ，O 为坐标原点，求 → → OA · OB 的值．解： (1) 因为 ＝ 2，e 2又椭圆 过点 ( 6，1)，3a 2 －b 21a 2 ＝2，a 2＝ 8，因此1 解得6b 2＝ 4.a 2 ＋b 2＝ 1，x 2 y 2因此椭圆方程为 8＋ 4＝1.(2) 设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，2当直线 l 的斜率不存在时， l ： x ＝± 3 6，则 x ＝ x2 6， y ＝－ y ， ＝± 3121 2→ → 22因此 OA · OB ＝ x 1－ y 1＝ 0. 当直线 l 的斜率存在时，设 l ：y ＝ kx ＋ m ，因为 l 与圆相切得：| m |＝ 2 2k 2，2－ 82－ 8＝ 0. ＋ 13因此 3mk将 l 的方程代入椭圆方程得： (1 ＋2 2) 2 ＋ 4 ＋ 2 2－ 8＝ 0，k x kmx m 2因此 x 1 2 4km 1 2 2m － 8＋x ＝－ 1＋ 2 2，x x ＝ 1＋ 2 k 2，k22→ →2＋km ( x ＋ x23m － 8k － 8因此 OA · OB ＝ x x ＋ y y ＝(1 ＋ k ) x x) ＋ m ＝1＋ 2k 2 ＝0，1 2121 212综上， →· → ＝ 0.OA OB[B. 能力提高 ]1．已知点 ( ， )在椭圆 8 2＋ 3 2＝ 24 上，则 2 ＋ 4 的取值范围是 ()mnx ymA ．[4 － 2 3，4＋ 2 3]B ．[4 － 3， 4＋ 3]C ．[4 － 2 2，4＋ 2 2]D ．[4 － 2， 4＋ 2]22分析：选 A. 该椭圆的标准方程为 x ＋ y＝ 1，故 x ∈[ － 3， 3] ，故 ∈[－ 3， 3] ，3 8 m因此 2 ＋4∈[4 － 2 3， 4＋2 3] ．m2．以 F 1( －1，0) 、F 2(1 ，0) 为焦点且与直线 x － y ＋3＝ 0 有公共点的椭圆中，离心率最 大的椭圆方程是 ( )x 2 y 2x 2 y 2 A. 20＋ 19＝ 1B.9＋8＝1x 2 y 2＝1x 2 y 2C. ＋4D. ＋＝ 15x2y232分析：选 C. 设椭圆方程为 a 2＋ a 2－ 1＝ 1( a >1) ，22y2x 2＋＝ 1，由aa － 1x － y ＋ 3＝ 0，2－1) x 2224＝ 0，得 (2 a ＋ 6a x ＋(10 a － a ) 由 Δ≥0，得 a ≥ 5，c 1 5e ＝ a ＝ a ≤ 5 ，此时 a ＝ 5，x 2 y 2故椭圆方程为 5＋ 4＝1.x223．已知椭圆＋y 21， 2 ，点 ( 0，x 0 2，则 |1|＋：＝ 1 的两焦点为0) 知足 0<2＋ 0<1C 2F FP x yyPF| PF | 的取值范围为 ________．22x 02分析：因为 0< ＋y 0<1，因此 P ( x 0， y 0) 在椭圆内部．2因此 | F 1F 2| ≤ | PF 1| ＋ | PF 2|<2 a ，即 2≤|PF | ＋ | PF |<2 2.12答案： [2 ，22)24. 如下图，在平面直角坐标系xOy 中， 1， 2， 1， 2 为椭圆x2AAB Bay 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) 的四个极点， F 为其右焦点， 直线 A 1B 2 与直线 B 1F 订交 于点 T ，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离 心率为 ________．222x分析：设 F ( c ，0) ，则 c ＝ a － b . 由题意，得直线 A 1B 2 的方程为 － ay 的方程为 x y ＝1. 将两个方程联立， 解得 (2ac b （ a ＋c ）ac＋ ＝1，直线 1 ＋ ， a － c )，则 ( ，b BFc － b T a －cMa － c（ ＋ c ） x 2y 2b a2（ a － c ）) ．又点 M 在椭圆 a 2＋b 2＝1( a >b >0) 上，c 22＋ （a ＋ c ） 22－ 322因此2＝ 1，整理，得c＋ 10a＝ 0，即e ＋ 10 － 3＝ 0，解得（a － c ） 4（ a － c ）acee ＝ 2 7 －5 或 e ＝－ 2 7－5( 舍去 ) ．答案： 2 7－55．已知△ ABC 的周长为 12，极点 A ， B 的坐标分别为 ( － 2， 0) ， (2 ， 0) ， C 为动点．(1) 求动点 C 的轨迹 E 的方程；(2) 过原点作两条对于 y 轴对称的直线 ( 不与坐标轴重合 ) ，使它们分别与曲线 E 交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．解：(1) 由题意知 | | ＋ | | ＝12－ 4＝ 8>| | ，因此动点 C 的轨迹是椭圆的一部分． 因CA CB AB为 a ＝ 4， c ＝ 2，因此 b 2＝ 12，x 2 y 2因此曲线 E 的方程为 16＋ 12＝ 1( x ≠± 4) ．(2) 设两直线的方程为 y ＝kx 与 y ＝－ kx ( k >0) ，记 y ＝kx 与曲线 E 在第一象限的交点为 ( x 0， y 0) ，x 2 y 2 248 y ＝ kx 与 16＋ 12＝1 联立得 x 0＝ 3＋ 4k 2 ，2192k 1923，当且仅当 33因此 S ＝ 4kx 0＝ 3＋4 2，因为 k >0，因此 S ＝3≤ 16 ＝ 4k ，即 k ＝2 时，kkk ＋ 4k等号建立．因此 k ＝3时四边形面积的最大值为16 3.2C 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆6．( 选做题 ) 如图，已知椭圆1C 2 的短轴为 MN ，且 C 1，C 2 的离心率都为 e . 直线 l ⊥MN ， l 与 C 1 交于两点，与 C 2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小挨次为，，，.A B C D宝宝宝宝嘻嘻嘻1(1) 设 e ＝ 2，求 | BC | 与 | AD | 的比值；(2) 当 e 变化时，能否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明原因．解： (1) 因为 C 1， C 2 的离心率同样，故依题意可设x 2 y 2b 2y 2 x 2C 1： a 2＋ b 2＝ 1， C 2： a 4 ＋ a 2＝1( a >b >0) ．设直线 l ： x ＝ t (|1 2t |< a ) ，分别与 C，C 的方程联立，求得a22b 22A ( t ，b a － t ) ，B ( t ， a a － t ) ．132| y B | b 2当 e ＝ 2时， b ＝ 2 a ，分别用 y A ，y B 表示 A 、B 的纵坐标，可知 | BC | ∶|AD | ＝ 2| y A | ＝ a 2＝3 .4(2) 当 t ＝0时的 l 不切合题意，当t ≠0时，∥当且仅当的斜率k OB与的斜BOANOBAN率 k AN 相等，即ba 2－2a2－ 2atbatt＝t － a ，ab 2 1－ e 2解得 t ＝－ a 2－ b 2＝－ e 2 · a .1－ e 2 2因为 | t |< a ， 0<e <1，因此e2<1，解得 2 <e <1.2因此当 0<e ≤ 2 时，不存在直线l ，使得 BO ∥ AN ；2当 2 <e <1 时，存在直线l ，使得 BO ∥ AN .。
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版数学必修四教学案：第三章1第1课时求值问题______年______月______日____________________部门20xx最新北师大版数学必修四教学案：第三章1第1课时求值问题[核心必知]同角三角函数基本关系式关系公式表达语言叙述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系sin αcos α＝tan_α同一个角α(α≠kπ＋π2(k∈Z))的正弦、余弦的商等于α的正切[问题思考]1．如何理解同角三角函数关系中“同角”的含义？提示：“同角”有两层含义．一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如sin22α＋cos22α＝1，sin2＋cos2＝1等．2．平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？提示：正确．因为对任意α∈R，sin α，cos α都有意义，所以sin2α＋cos2α＝1对任意角α∈R都成立．而商数关系，＝tan α则不然，需保证cos α≠0，则tan α有意义，所以商数关系，只对α∈R，且α≠kπ＋(k∈Z)成立．1．(1)已知sin α＝，α是第二象限角，求cos α，tan α；(2)若cos α＝－，试求sin α，tan α的值．[尝试解答] (1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝.又∵α是第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－.∴tan α＝＝×(－)＝－.(2)∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限的角．当α是第二象限角时，sin α>0.∴sin α＝＝＝，tan α＝＝×(－)＝－.当α是第三象限角时，sin α<0，则sin α＝－，tan α＝.1．同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”．2．知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方运算，应注意角的取值范围．当角所在的象限不确定时，要注意就角所在的象限分类讨论．1．[多维思考] 若本讲(2)条件改为“cos α＝m(m≠0)”，结果如何？解：当m＝±1时，sin α＝0，tan α＝＝0；当m≠±1时，由于m≠0，所以角α为象限角．若α为第一或第二象限角，则sin α＝＝，∴tan α＝＝ .若α为第三或第四象限角，则sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－ .2．已知tan α＝2.试求：(1)sin α的值；(2)和sin αcos α的值．[尝试解答] (1)∵tan2α＝＝＝－1，∴＝1＋tan2α.∴cos2α＝＝＝.∵tan α＝2>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，cos α>0，∴cos α＝，∴sin α＝cos αtan α＝×2＝.当α是第三象限角时，cos α<0，∴cos α＝－，∴sin α＝cos αtan α＝－.(2)＝＝＝＝.sin αcos α＝＝＝tan αtan2α＋1＝＝.1．已知角α的正切值在求角α的正弦值时，应尽量少用平方关系，一般按以下思路求解：cos2α＝cos αsin α.2．本讲(2)是已知角α的正切值，求关于sin α，cos α的齐次式值的问题．解决该类问题通常是利用商数关系和平方关系，将原式化为关于tan α的表达式，然后整体代入tan α的值求解，体现了“整体化”的思想，可减少运算量并避免讨论．2．已知tan(π－α)＝，求： (1)sin α＋cos α的值； (2)2sin2α－cos2α的值．解：(1)由已知得tan α＝－<0，∴α是第二或第四象限的角， 则cos2α＝＝＝＝.当α是第二象限角时，cos α＝－， ∴sin α＝tan αcos α＝－×(－)＝， sin α＋cos α＝－；当α是第四象限角时，cos α＝，∴sin α＝tan αcos α＝－，sin α＋cos α＝.(2)2sin2α－cos2α＝2sin2α－12cos2αsin2α＋cos2α＝＝＝0.3．(1)已知sin α＝cos α，则sin4α－cos4α＝________．(2)若sin α＋cos α＝，且0<α<π，则tan α＝________. [尝试解答] (1)由sin α＝cos α，得tan α＝. ∴cos2α＝＝＝.∴sin2α＝1－cos2α＝.∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α) ＝sin2α－cos2α＝－＝－.(2)由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝. ∴sin αcos α＝－<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝＝1－2sin αcos α ＝ ＝. ②可得sin α＝，cos α＝－， ∴tan α＝＝－.[答案] (1)－ (2)－431．已知角α的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解．2．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．3．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值； (2)求tan θ＋的值．解：∵sin θ，cos θ是方程x2－ax ＋a ＝0的两个根， ∴sin θ＋cos θ＝a ，且sin θcos θ＝a ， (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ. 即a2＝1＋2a ，解得a ＝1±，而当a ＝1＋时， Δ＝(1＋)2－4(1＋)＝－1－2<0， ∴a ＝1－，则(1)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ) ＝a(1－a)＝(1－)[1－(1－)]＝－2. (2)tan θ＋＝＋cos θsin θ＝＝＝＝＝－1－.若sin A ＝，且A 是三角形的一个内角，求的值． [错解] ∵sin A＝， ∴cos A ＝ ＝， ∴＝＝6.[错因] 由sin A ＝不能确定A 是锐角或钝角，那么cos A 就有正、负两个值，此解法中忽视开方运算的符号而出现错误．[正解] ∵sin A＝，且A 是三角形的一个内角， ∴A 是锐角或钝角． 当A 为锐角时，cos A ＝＝. ∴＝＝6； 当A 为钝角时， cos A ＝－＝－. ∴＝＝－.1．下列各项中可能成立的是( ) A ．sin α＝且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α在第二象限时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 由平方关系知A 不成立；由商数关系知D 不成立．对于B ，当sin α＝0时，cos α＝±1，所以B 可能成立．而对于C ，当tan α＝1时，cos2α＝＝，所以C 不成立．应选B.2．已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan α等于( ) A. B ．－34C. D ．－43解析：选C ∵sin α＝－，且α是第三象限角． ∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝.3．已知tan φ＝－，且φ为三角形的内角，那么cos φ的值为( )A ．－ B.233C ．－D ．－2解析：选C cos2φ＝＝＝. ∵φ为三角形的内角，tan φ<0， ∴φ∈(，π)，∴cos φ＝－.4．已知sin α＝，则sin2α－cos2α的值为________． 解析：sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 答案：－5．已知tan α＝－，则的值是________．解析：原式＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝＝tan α＋1tan α－1＝＝－. 答案： －136．已知sin α＝，cos α＝，α是第四象限角， 试求tan α的值．解：∵sin2α＋cos2α＝1， ∴()2＋()2＝1. 化简，整理得，m(m －8)＝0，∴m1＝0，m2＝8.当m ＝0时，sin α＝，cos α＝－，不符合α是第四象限角，舍去．当m ＝8时，sin α＝－，cos α＝，∴tan α＝－. 一、选择题1．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，则tan α的值为( ) A ．－2 B ．22 C ．－ D.24解析：选A 由已知得cos α＝.∵α∈(－，0)， ∴sin α＝－＝－， ∴tan α＝＝－×3＝－2.2．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( )A. B ．－34C. D ．－43解析：选A 由a∥b 得，＝. ∴＝＝tan α.3．若sin α，cos α是方程3x2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根．则实数m 的值为( )A ．－ B.56C ．－或 D.12解析：选A依题意得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝－2m ，sin αcos α＝2m ＋13，∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，∴(－2m)2＝1＋(2m ＋1)，即12m2－4m －5＝0.解m ＝－或.m ＝时，Δ＝36m2－12(2m ＋1)<0，∴m ＝－.4．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是( )A. B ．－25C ．－2D ．2解析：选A 由条件可得＝5.解得tan α＝2.∴sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝＝＝.二、填空题5．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________．解析：∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ是第三象限角，∴cos θ＝－＝－.答案：－356．已知α∈(π，)，tan α＝2，则cos α＝________． 解析：依题意得由此解得cos2α＝.又α∈(π，)，因此cos α＝－.答案：－55 7．已知A 为三角形内角，且sin Acos A ＝－，则cos A －sin A ＝________．解析：(cos A－sin A)2＝1－2sin Acos A＝1－2×(－)＝.∵0<A<π，sin Acos A<0，∴sin A>0，cos A<0.∴cos A－sin A<0，∴cos A－sin A＝－.答案：－5 28．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin θcos θ＝________．解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2(sin θcos θ)2＝，∴(sin θcos θ)2＝.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0.∴sin θ cos θ＝.答案：2 3三、解答题9．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1，2)．(1)若a∥b，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．解：(1)∵a∥b，∴2sin θ－(cos θ－2sin θ)＝0，即4sin θ＝cos θ，故tan θ＝.(2)∵|a|＝|b|，∴sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5.展开得sin2θ＋cos2θ－4sin θcos θ＋4sin2θ＝5.把sin2θ＝1－cos2θ代入并整理，得cos θ(sin θ＋cos θ)＝0.∴cos θ＝0或tan θ＝－1.又θ∈(0，π)，∴θ＝或θ＝.10．已知3sin α＋cos α＝0，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α.解：法一：由已知得，cos α＝－3sin α.(1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝＝＝－1.(2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α＝sin2α＋2sin α(－3sin α)－3(－3sin α)2 ＝－32sin2α.由得sin2α＝.∴sin2α＋2sin αcos α－3cos2α＝－32×＝－. 法二：由已知，得＝－，∴tan α＝－.(1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝＝＝＝－1.(2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α＝sin2α＋2sin αcos α－3cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tan α－3tan2α＋1＝（－13）2＋2×（－13）－3（－13）2＋1＝－.。
§3 从速度的倍数到数乘向量3．1 数乘向量内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．知识点1 数乘向量的概念与运算律 (1)数乘向量：①定义：λa 是一个向量； ②长度：λ|a |； ③方向：(2)数乘向量的运算律： ①λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R )； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa (λ，μ∈R )； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )． 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.(×)(2)若a 、b 是非零向量，λ，μ∈R .那么λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0.(√) (3)0·AB→＝0.(×)知识点2 向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．(2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . 【预习评价】1．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？提示不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．2．如果向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)吗？提示不一定．当a＝0，b≠0时，λ不存在.题型一向量数乘的定义【例1】已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3α模的23倍；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．解(1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的23倍．(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．规律方法对数乘向量的四点说明(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练1】已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有()①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；③λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；④λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa 与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a 反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．答案 D题型二向量的线性运算【例2】计算下列各式：(1)4(a＋b)－3(a－b)；(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；(3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)．解(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.(3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25－23＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25－43＋2615b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．【训练2】 若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )的结果为( ) A ．－a B ．－4b C ．cD ．a －b解析 3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝(3－2)a ＋(6－6－2)b －2c ＝a －2(b ＋c )＝a －2a ＝－a . 答案 A方向1 证明向量共线【例3－1】 已知两个非零向量a 与b 不共线，如果AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD→＝2a －4b ，求证：A 、B 、D 三点共线． 证明 因为BD→＝BC →＋CD →＝(2a ＋8b )＋(2a －4b )＝4a ＋4b ＝4(a ＋b )＝4AB→，所以根据平行向量基本定理，BD→与AB →共线．又因为BD→与AB →有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线．方向2 利用向量共线求参数值【例3－2】 若a 、b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，则实数t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上？解 由题设易知，存在唯一实数λ，使a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )，化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－t b . ∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ－1＝0，λ3－t ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，三向量的终点共线． 方向3 共线向量在平面几何中的应用【例3－3】 如图所示，已知D ，E 分别是边AB ，AC 的中点． 求证：DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.证明 DE→＝AE →－AD →，BC →＝AC →－AB →.∵D ，E 分别为边AB ，AC 的中点， ∴AE→＝12AC →，AD →＝12AB →， ∴DE→＝12(AC →－AB →)＝12BC →， ∴DE ∥BC ，且|DE |＝12|BC |.规律方法 应用向量共线定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线.课堂达标1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3b C ．|3a |D.1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y ) 解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量． 答案 C2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 答案 C3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 答案 24．若AC→＝2CB →，AB →＝λBC →，则λ＝________. 解析 ∵AB →＝AC →＋CB →＝2CB →＋CB →＝3CB →，∴λ＝－3.答案 －35．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA→，OB →表示OP →.解 OP→＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →. 课堂小结1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.基础过关1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a |解析 显然b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 答案 D2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误． 答案 B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →等于( )A.BC →B.12AD →C.AD→ D.12BC →解析 如图，EB→＋FC →＝EC→＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2AD →＝AD →. 答案 C4．已知向量a ＝e 1＋3e 2，b ＝－12e 1－32e 2，则a 与b 的关系是________． 解析 ∵a ＝－2b ，∴a ∥b . 答案 a ∥b5．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析 据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c . 答案 421a －17b ＋17c6.如图，已知任意两个非零向量a ，b ，作OA→＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解 分别作向量OA→、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC (如图)．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线． 因为AB →＝OB →－OA → ＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC→＝OC →－OA → ＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC→＝2AB →. 因为AC→∥AB →，且有公共点A ， 所以A 、B 、C 三点共线．7．已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF→＝12(AB →＋DC→)．证明 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE→＝12AD →. ∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF→＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF→＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD → ＝12(AB →＋DC →)．能力提升8．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( ) A.r R B ．－r R C ．－R rD.R r解析 ∵b ＝λa ，∴|b |＝|λ||a |.又a 与b 反向，∴λ＝－Rr . 答案 C9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.13a ＋23bC.12a ＋14bD.23a ＋13b解析 ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13， ∴DF ＝13AB ，∴AF→＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC→＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得：AB→＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b . 答案 D10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析 CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →. 答案 2311．设a ，b 不共线，AB→＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p ＝________.解析 ∵BC→＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD→＝BC →＋CD →＝2a －b . 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB→，BD →共线． 设AB→＝λBD →， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.答案 －112.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b . 又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b ＝13a －23b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ， ∴C 、M 、N 三点共线．13．(选做题)过△ABC 的重心G 任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD→＝xAB →，AE →＝yAC →，且xy ≠0，试求1x ＋1y 的值．解 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AG →＝23AM →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a ＋b )＝13(a ＋b )．∴GD →＝AD →－AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ，ED→＝AD →－AE →＝x a －y b . ∵GD→与ED →共线，∴GD →＝λED →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －13b ＝xλa －yλb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －13＝λx ，13＝λy ，消去λ得x －1313＝x y ， 即1x ＋1y ＝3.。
