2019年人教版必修2高中数学第一章章末检测同步习题

章末检测一、选择题1．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( ) A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．无法确定1题图2题图2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中( ) A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC4题图5题图5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( ) A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形6．如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6 B．9 C．12 D．188．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B．43π C．46π D．63π9．如图所示，则这个几何体的体积等于( )A．4 B．6 C．8 D．1210．将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的( )11．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A．120° B．150° C．180° D．240°12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22二、填空题13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱14．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm 3.15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．16.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．三、解答题17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．18．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图如图．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；(2)求这个几何体的体积．19. 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD的长；(2)容器的容积．答案1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11．C 12．A 13．①②③⑤ 14．1 15.24π 16.14－12π17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)．(2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)．18．解 (1)直观图如图．(2)这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为2，高为3，所以体积V ＝13×22×3＝433.19．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(42＋60)π.V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′ ＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2 ＝1483π. 20．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60·π180×7272－x ＝3R，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝12x ＝36.即AD 应取36 cm.(2)∵2πr ＝π3·OD ＝π3·36，∴r ＝6 cm ，圆台的高h ＝x 2－R －r 2＝362－－2＝635.∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3)．。

1.2.3 空间几何体的直观图一、基础过关1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有()A．①②B．①④C．③④D．①③④2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．90°D．45°或135°3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()5．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是______________．(填序号)6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．二、能力提升9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．12．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．三、探究与拓展13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．答案1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.57．解设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C ′D ′＝22h . 由题意知12C ′D ′(C ′B ′＋O ′A ′)＝S .即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (C ′B ′＋O ′A ′)＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连接V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.9．A 10.2 11.2212．解 画法：步骤：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中， 在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是( ) A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是( ) A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( ) A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( ) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是( )10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D 10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例。

2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．123．下列命题中，正确的命题是（ ） A ．存在两条异面直线同时平行于同一个平面B ．若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C ．底面是矩形的四棱柱是长方体D ．棱台的侧面都是等腰梯形4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）A ．0B ．9C ．快D ．乐5．如图，O A B '''△是水平放置的OAB △的直观图，则AOB △的面积是（ ）A ．6B ．32C ．62D ．126．下列几何图形中，可能不是平面图形的是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．平行四边形D ．四边形7．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点．则图中阴影部分在平面11ADD A 上的正投影为（ ）8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．123B ．363C ．273D ．69．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（ ）A ．AB ∥CDB ．AB ∥平面CDC ．CD ∥GHD ．AB GH ∥10．若圆台两底面周长的比是1:4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（ ） A ．12B ．14 C ．1D ．3912911．如图所示，正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱SA ，SC 作截面SAC ，则截面的面积为（ ）A ．232aB ．2aC ．212aD ．213a12．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知A 、B 、C 、D 四点在同一个球面上，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ， 若AB ＝6，213AC =，AD ＝8，则B 、C 两点间的球面距离是________． 14．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 15．下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的面都是平的； ②棱柱的所有的棱长都相等；③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形； ④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等． 其中正确的有________．(填序号)16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)画出如图所示的四边形OABC 的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)18．(12分)已知四棱锥P ABCD-，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．19．(12分)如图，在正三棱柱111ABC A B C-中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC和NC的长．20．(12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：（1）该几何体的体积V；（2）该几何体的侧面积S．21．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h1，且水面高是锥体高的13，即113h h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h2，求h2的大小．22．(12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：（1）AD应取多长？（2）容器的容积．2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D 2．【答案】A【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S ABCD -，其中SA ⊥面ABCD ，SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形．∠DAB ＝90°，∴()()1111224243232V SA AB CD AD =⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯=，故选A ．3．【答案】A【解析】由空间几何体的概念可知，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，A 正确；由面面平行的判定定理可知，若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以B 不正确；底面是矩形的直四棱柱是长方体，所以C 不正确； 正棱台的侧面都是等腰梯形，所以D 不正确，故选A ． 4．【答案】B 5．【答案】D【解析】OAB △为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12．故选D ． 6．【答案】D【解析】四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．故选D ． 7．【答案】A 8．【答案】B【解析】由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为33，所以正三角形边长为6，所以33643634V =⨯⨯=，故选B ． 9．【答案】C 【解析】原正方体如图，由图可得CD ∥GH ，C 正确．故选C ． 10．【答案】D【解析】设上，下底半径分别为r 1，r 2，过高中点的圆面半径为r 0，由题意得r 2＝4r 1，0152r r =，∴22110022220039129V r r r r V r r r r ++==++上下，故选D ． 11．【答案】C【解析】根据正棱锥的性质，底面ABCD 是正方形，∴2AC a =．在等腰三角形SAC 中，SA ＝SC ＝a ，又2AC a =，∴∠ASC ＝90°，即212SAC S a =△．故选C ．12．【答案】A【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】43π【解析】如图所示，由条件可知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ．由此可知AD 为该球的直径，设AD的中点为O ，则O 为球心，连接OB 、OC ，由AB ＝6，AD ＝8，213AC =，得球的半径OB ＝OC ＝OA ＝OD ＝4，()222221364=-BC AC AB =-=，所以球心角∠BOC ＝60°，所以B 、C 两点间的球面距离为6041803R π=π． 14．【答案】27π【解析】若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d 等于正方体的体对角线的长．∵棱长为3，∴23333332d R =⋅=⇒=．∴S ＝4πR 2＝27π． 15．【答案】①④⑤16．【答案】①与④，②与⑥，③与⑤【解析】将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】见解析． 【解析】直观图如下图所示．（1）画轴：在直观图中画出x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．（2）确定A ′，B ′，C ′三点，在x ′轴上取B ′使O ′B ′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y ′轴的平行线，过(0,2)，()0,1-两点作x ′轴的平行线，得交点A ′，C ′．（3）顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，C ′O ′并擦去辅助线，就得到四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′．18．【答案】163． 【解析】由三视图知底面ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝4． 顶点P 在面ABCD 内的射影为BC 中点E ，即棱锥的高为2， 则体积1116242333P ABCDABCD V S PE -=⨯=⨯⨯⨯=． 19．【答案】（1）97；（2）PC ＝2，45NC =． 【解析】（1）正三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为229497+=． （2）如图所示，将平面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，则P 1C ＝x ．在Rt △MAP 1中， 在勾股定理得()223229x ++=，求得x ＝2．∴PC ＝P 1C ＝2． ∵1125PC NC MA P A==，∴45NC =． 20．【答案】（1）64V =；（2）40242S =+侧． 【解析】（1）由已知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，如图所示． 由已知，AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4，由俯视图知底面ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM 、PN ，则PM ⊥AB ，PN ⊥BC ．∴2222435PM PO OM =++，22224442PN PO ON =+=+()118646433V Sh ==⨯⨯⨯=．（2）22856240242PAB PBC S S S AB PM BC PN =+=⋅+⋅=⨯+⨯=+△△侧．21．【答案】3219 h h=．【解析】当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：222112219333381V r h r h r h⎛⎫=π-π⋅=π⎪⎝⎭．当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，则221'3V r h=π⋅⋅．又2'h rrh=，此时223222222133h r h rV hh hπ=π⋅⋅=，∴3222219813h rr hhπ=π，∴3219h h=，即所求2h的值为319h．22．【答案】（1）36cmAD=；（2）()350435cmV=π【解析】（1）设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则72OD x=-，由题意得60272180723Rx R⋅π⎧π=⨯⎪⎨⎪-=⎩，∴1236Rx=⎧⎨=⎩．即AD应取36cm．（2）∵23633r ODπππ=⋅=⋅，∴6cmr=，圆台的高()22h x R r=--()2236126635=--∴()()()22223 1163512126650435cm 33V h R Rr r=π++=π⋅+⨯+=π．。

章末质量检测(一) 空间几何体一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )A．20条 B．15条C．12条 D．10条解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱共有对角线2×5＝10条．答案：D3．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B4．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( ) A．4S B．4πSC．πS D．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C5．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( ) A．18 3 cm2 B．18 cm2C．12 3 cm2 D．12 cm2解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为34a2 cm2，易求得高为63a cm，则体积为13×34a2×63a＝212a3＝9，解得a＝32，所以其表面积为4×34a2＝183(cm2)．答案：A6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A．16πB．32π C．36πD．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A7．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.答案：A8．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3D ．43π 解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.答案：C9．[2019·湖北省黄冈中学检测]已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积是( )A.233＋π B.233＋2π C ．23＋π D．23＋2π解析：由直观图可知该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，故其体积V ＝12π×12×2＋12×2×3×2＝π＋2 3. 答案：C 10.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V多面体P－BCC1B1＝13S正方形BCC1B1·PB1＝13×42×1＝163.答案：B11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )A．1：2：3 B．1：3：5C．1：2：4 D．1：3：9解析：如图，由题意知O1A1O2A2OA＝1：2：3，以O1A1，O2A2，OA为半径的圆锥的侧面积之比为1：4：9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1：(4－1)：(9－4)＝1：3：5.答案：B12．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122π B．12πC．82π D．10π解析：过直线O1O2的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为r，母线长为l，因为轴截面是面积为8的正方形，所以2r＝l＝22，所以r＝2，所以圆柱的表面积为2πrl＋2πr2＝8π＋4π＝12π.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体14．[2019·甘肃省兰州市校级检测]若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6. 答案：2＋22＋ 6 15.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，高为5，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为________．解析：如图所示，将三棱柱沿AA 1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝13.答案：1316．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆⊙O 1和外切圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，△ABC 的边长为23，于是知圆锥的底面半径为3，高为3.故所求体积为V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位：cm)．按照给出的数据，求该几何体的体积．解：该几何体的体积V ＝V 长方体－V 三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．18．(12分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．19．(12分)如图所示，在多面体FE ­ABCD 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积V .解析：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线AG ，BH ，垂足分别为G ，H .连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12.所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， V ＝V E ­ADG ＋V F ­BHC ＋V AGD ­BHC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×24×2＋24×1＝23. 20．(12分)用一张相邻边长分别为4 cm,8 cm 的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略不计)，求该圆柱的表面积．解析：有两种不同的卷法，分别如下：(1)如图①所示，以矩形8 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA ＝4，则OA ＝r 1＝2π cm ，∴两底面面积之和为8π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋8π cm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋8πcm 2.(2)如图②所示，以矩形4 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB ＝8，则OB ＝r 2＝4π cm ，∴两底面面积之和为32π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2.21．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a26a2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.22．(12分)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球的表面积之比．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3r ＝2R∴13π(2R )2·h ＝43πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝r 2＋h 2＝5h ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2h ×5h ＝25πh 2，S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52.。

人教版高中数学必修二第一章测试题及答案高一数学人教版必修二第一章测试题及答案一、选择题1.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．答案：C．2＋2/22.棱长都是1的三棱锥的表面积为()．答案：B．2√23.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．答案：B．50π4.正方体的棱长和外接球的半径之比为()．答案：B．3∶25.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．答案：A．π/96.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．答案：D．1607.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝3/2，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()．答案：B．58.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．答案：D．水平放置的圆的直观图是椭圆二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是1∶2∶3.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－A1BD1的体积为a^3/6.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是√29，它的体积为√108.12.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为4厘米.三、解答题暂无。

解析：V = Sh = πr²h = πR³，其中R = 364 × 27 = 12.三、解答题13.参考答案：V = (S + SS' + S')h，其中h =14.参考答案：V = 1/3( S + SS' + S')h = 1/3 × × 75 = xxxxxxx/3.S表面积 = S下底面积 + S台侧面积 + S锥侧面积 = π×5² + π×(2+5)×5 + π×2²×2 = (60+42)π.V台= 1/3πr₁²h = 1/3π(5²+5×2+2²)×5 = 148π/3.V锥 = 1/3πr₁²h = 1/3π5²×5 = 25π/3.V = V台 - V锥= 148π/3 - 25π/3 = 123π/3 = 41π.。

人教版必修第二册第一章《平面向量及其应用》章末综合检测及答案解析总分：150分 时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，则AB →等于( ) A.(－2，3) B.(0，1) C.(－1，2)D.(2，－3)解析：选D. OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3) ，故选D. 2．已知|a |＝|b |＝2，a ·b ＝2，则|a －b |＝( )A ．1B ．3C ．2D ．3 或2解析：选C.|a －b |＝|a －b |2＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×2＋22＝4 ＝2.故选C.3．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332 ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．150°解析：选 A.因为(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，所以a·b ＝32 .设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝32.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.4.向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),若3a -b 与c 共线,则x=( ) A.1 B.-3C.-2D.-1解析：向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),则3a-b =(1,-1),又3a-b 与c 共线,则1×1-(-1)·x=0,解得x=-1.5.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于( )(A) (B) (C) (D)2解析:由正弦定理得====2,所以b=2sin B,c=2sin C, 则=2.故选D.6．已知A (1，2)，B (3，4)，C (－2，2)，D (－3，5)，则向量AB → 在向量CD →上的投影向量的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65解析：选B.AB → ＝(2，2)，CD → ＝(－1，3)，|CD → |＝10 ，AB → ·CD →＝－2＋6＝4，则向量AB → 在向量CD → 上的投影向量为AB →·CD →|CD →| ·CD →|CD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 ，故选B. 7．已知△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O .若|OA → |＝|AB → |，且2 OA → ＋AB → ＋AC →＝0，则CA →·CB →＝( )A ． 3B ．2 3C ．32D ．3解析：选D.因为2 OA → ＋AB → ＋AC → ＝0，所以(OA → ＋AB → )＋(OA → ＋AC → )＝0，即OB → ＋OC →＝0，所以O 为边BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，A 为直角．又因为|OA → |＝|AB →|，所以△OAB 为等边三角形，|AB → |＝1，|BC → |＝2，|AC → |＝3 ，CA → 与CB →的夹角为30°，则CA →·CB →＝3 ×2×cos 30°＝3.故选D.8．有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A.1 kmB.2sin 10° kmC.2cos 10° kmD.cos 20° km解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1 km,∠ADC=10°,所以∠ABD=160°.在△ABD 中,由正弦定理=,所以AD=AB ·==2cos 10°(km).故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于任意的平面向量a ,b ,c ,下列说法正确的是 (A.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cB.(a +b )·c =a ·c +b ·cC.若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =cD.a+b+c=a+c+b解析：选BD.a ∥b 且b ∥c ,当b 为零向量时,则a 与c 不一定平行,即A 错误;由向量乘法的分配律可得:(a +b )·c =a ·c +b ·c ,即B 正确; 因为a ·b =a ·c ,则a ·(b -c )=0,又a ≠0, 则b =c 或a ⊥(b -c ),即C 错误;向量加法满足交换律,即:a+b+c=a+c+b,即D 正确. 10．下列说法中正确的有( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C解析：选ACD.设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理得asin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .对于A 选项，a ∶b ∶c ＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确；对于D 选项，由正弦定理得b ＋c sin B ＋sin C ＝2R sin B ＋2R sin C sin B ＋sin C ＝2R ＝asin A ，故D 正确；对于B 选项，由二倍角公式得2sin A cos A ＝2sin B cos B ，则2a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，整理得a 4－b 4－a 2c 2＋b 2c 2＝0，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，则a 2－b 2＝0或a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝b 或C ＝π2 ，故B 错误；对于C选项，在△ABC 中，由正弦定理得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B (大边对大角)，故C 正确．故选ACD.11．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝6，sin A ＝2sin C ，则以下四个结论正确的有( )A ．△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 有可能是等边三角形 C ．当A ＝B 时，△ABC 的周长为15D ．当B ＝π3时，△ABC 的面积为63解析：选CD.因为sin A ＝2sin C ，所以a ＝2c ，又b ＝6，若A 为直角，由36＋c 2＝4c 2，可得c ＝23 ，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故A 错误；由于a ＝2c ，故△ABC 不可能是等边三角形，故B 错误；当A ＝B 时，a ＝b ＝2c ＝6，可得c ＝3，可得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6＋6＋3＝15，故C 正确；当B ＝π3时，b ＝6，a ＝2c ，由余弦定理可得36＝a 2＋c 2－ac ＝4c 2＋c 2－2c 2，解得c ＝23 ，a ＝43 ，可得△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12×23 ×43 ×32＝63 ，故D 正确．故选CD. 12．已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个说法中正确的有(A.满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B.当A=2C 时,△ABC 的周长为15C.当A=2C 时,若O 为△ABC 的内心,则△AOB 的面积为D.△ABC 的面积的最大值为40解析：选BCD.a=6,4sin B=5sin C 即4b=5c,设b=5t,c=4t(t>0),由36+16t 2=25t 2,可得t=2(负值舍去), 满足条件的△ABC 可能是直角三角形,故A 错误; a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得:B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=,由=,sin C≠0,可得:4cos2C-1=,解得:cos C=,sin C=,可得sin A=2sin Ccos C=,可得:c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;S△ABC=bcsin A=.设△ABC的内切圆半径为R,则R==,S△ABO=cR=,故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n)(n≠0), 可得4=5,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+m+9=0,化为+n2=(n≠0),则A 的轨迹为以为圆心,为半径的除去x 轴上两点的圆,可得△ABC 的面积的最大值为×6×=40,故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，且(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．解析：由题意得，(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，3m ＋(5m －3)×1×2×cos 60°－5×4＝0，即8m ＝23， 解得m ＝238 .答案：23814．在锐角三角形ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a= .解析：因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B.所以sin A=,因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A=, 因为bc=6,b+c=5, 所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a 2=b 2+c 2-2bccos A=22+32-2×6×=7,所以a=(负值舍).答案:15．已知OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )，若A ，B ，C 三点共线，则实数m 的值为________，CA → ·CB →的值为________．解析：因为OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )， 所以AB → ＝OB → －OA →＝(1，－2)，BC →＝OC → －OB →＝(1，m ＋1).因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB → ∥BC → ，所以1×(m ＋1)＝(－2)×1， 所以m ＝－3，所以OC →＝(1，－3). 所以CA → ＝OA → －OC →＝(－2，4)，CB →＝OB → －OC →＝(－1，2).所以CA → ·CB →＝(－2)×(－1)＋4×2＝10. 答案：－3 1016．已知a 、b 满足:|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|= . 解析:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=16. 因为|a|=3,|b|=2, 所以a ·b=,所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a ·b =9+4-2×=10,可得|a-b|=.答案:四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 如图所示,梯形ABCD 中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若=a ,=b ,试用a,b 表示,,.解析：如图所示,连接CN,则四边形ANCD 是平行四边形.则===a,=-=-=b-a ,=-=--=--=a-b.18．(本小题满分12分)如图，已知向量a 与b ，其中|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°.(1)求a·b ；(2)求向量b 在a 方向上的投影向量，并画图解释．解析：(1)a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×4×cos 150°＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝－63 .(2)如图，作OA → ＝a ，OB →＝b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos (π－θ)＝4×32＝23 ， 向量b 的单位向量为b |b | ＝b 4 ，所以向量b 在a 方向上的投影向量是－23 ×b 4 ＝－3b2.19．(本小题满分12分) 已知△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc. (1)求cos C 的值; (2)若a=5,求△ABC 的面积.解析:(1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,得a2-(b-c)2=bc,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理,得cos A==,所以sin A=.又因为B=,所以cos C=-cos (A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.(2)由(1)得sin C=.在△ABC中,由正弦定理,得c==8,所以S=acsin B=×5×8×sin =10.20．(本小题满分12分) 如图,A,B 两个小岛相距21海里,B 岛在 A 岛的正南方,现甲船从 A 岛出发,以9海里/时的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间后,两船相距最近?求出两船的最近距离.解析：设行驶th后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.①当9t<21,即t<时,C 在线段AB 上, 此时BC=21-9t.BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理知CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos 120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t ·=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189.所以当t=2时,CD 取得最小值3.②当t=时,C 与B 重合,则CD=6×=14>3.③当t>时,BC=9t-21,则CD 2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t ·cos 60°=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知,当t=2时,CD 取最小值3.答:行驶2 h 后,甲、乙两船相距最近为3海里.21．(本小题满分12分)平面内有向量OA → ＝(1，7)，OB → ＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA → ·QB → 取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．解析：(1)设OQ → ＝(x ，y ).因为点Q 在直线OP 上，所以向量OQ → 与OP → 共线．又OP →＝(2，1)，所以x ＝2y ，所以OQ → ＝(2y ，y ).又QA → ＝OA → －OQ → ＝(1－2y ，7－y )，QB → ＝OB → －OQ → ＝(5－2y ，1－y )，所以QA → ·QB → ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA → ·QB → 有最小值－8，此时OQ → ＝(4，2).(2)由(1)知QA → ＝(－3，5)，QB → ＝(1，－1)，QA → ·QB → ＝－8，|QA → |＝34 ，|QB → |＝2 ，所以cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－41717 . 22．(本小题满分12分) 已知△ABC 中三个内角A,B,C 所对的边为a,b,c,且B=,b=2.(1)若c=,求sin A 的值;(2)当·取得最大值时,求A 的值.解析:(1)在△ABC 中,由正弦定理得=,则sin C==,因为b>c,所以C=,则sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.(2)·=bacos C=2acos C=2×cos C=sin Acos(π-A)=sin A(-cos A+sin A)=2-sin (2A+),当且仅当2A+=,即A=时·取到最大值.。

人教A版高一数学新教材必修二第一章平面向量章末同步测试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1. (2019全国Ⅱ理)已知,,,则( )A. B.C. D.2. （2018全国Ⅲ文）的内角,,的对边分别为,,.若的面积为,则( )A. B.C. D.3. 在△中,,,,则( )A. B.C. D.4. 已知菱形的边长为,,点满足,则( )A. B.C. D.5. 在中，，，，,为的三等分点，则＝（）A. B.C. D.6. 已知平面向量满足,且向量两两所成的角相等,则=( )A. B. 或C. D. 或7. 在中,三内角、、对应的边分别为、、,且,,边上的高为,则的最大值为( )A. B.C. D.8. 在中,,,,,若的面积为,则( )A. B.C. D.二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9. 在平面向量中，下列说法错误的有( )A. 就是所在的直线平行于所在的直线B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度等于D. 共线向量是在同一条直线上的向量10. 中,且,则不可能是( )A. 等腰直角三角形B. 锐角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形11. 在中,点在边上,点,分别在线段,上,且有,,,则,的值正确的是( )A. B.C. D.12. 设,,是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有( )A.B. 与垂直C.D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知向量,,若且方向相反,则__________.14. 的三个顶点分别是为的中点，则向量的坐标为__________．15. 如图，在中，是的中点，是的中点，若，则__________．16. 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 如图，已知向量、、满足：且．求证：是等边三角形．18.已知向量,,且与的夹角为.(1)求; (2)若与垂直,求实数的值.19.已知在平面直角坐标系中,点的坐标分别为.(1)若,求的值; (2)若,求的值.20.设函数.（1）求的最小正周期及值域；（2）已知中，角的对边分别为，若，，求的面积．21.如图,在中,,,,分别在边,上且满足,为中点.(1)若,求实数,的值; (2)若,求边的长.22.已知的内角,,所对的边分别为,,,. (1)求角的大小; (2)若为锐角三角形,求的范围.人教A版高一数学新教材必修二第一章平面向量同步测试题答案和解析第1题：【答案】C【解析】∵, ∴,解得,, ∴.第2题：【答案】C【解析】,又,故,∴.故选C.第3题：【答案】D【解析】在△中,,,,由余弦定理可得,解得,则,所以,,因此,,故选:D.第4题：【答案】C【解析】如图,∵,,, ∴.第5题：【答案】B【解析】由知，以所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，．第6题：【答案】D【解析】由于两两所成的角相等,则它们所成的角为或,当所成角为时,则有;当所成角为时,则有.第7题：【答案】C【解析】,.,当时,取最大值. 故选C第8题：【答案】A【解析】,,则,在线段,上,且,,由得,,所以,解得,所以,由余弦定理知,,解得,由正弦定理得, ,所以,故选A.第9题：【答案】A,B,D【解析】包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；按定义零向量的长度等于，故C正确；共线向量可以是在一条直线上的向量也可以是所在直线互相平行的向量，故D错，第10题：【答案】A,D【解析】设为边上的中点,则, 又,, , 即为等腰三角形,,又,故为等边三角形.第11题：【答案】A,C【解析】如图,∵,∴.∵,∴.∵,∴.∴.第12题：【答案】A,B,D【解析】选项A,由平面向量数量积的运算律,可知A正确; 选项B,, ∴与垂直,即B正确; 选项C,∵与不共线,∴若,则显然成立; 若,由平面向量的减法法则可作出如下图形:由三角形两边之差小于第三边,可得,故C错误; 选项D,,即D正确. 故选A、B、D.第13题：【答案】【解析】∵向量,,且,∴,∴或,又∵向量与方向相反,∴.第14题：【答案】【解析】由，D为BC的中点，，所以.第15题：【答案】【解析】由是的中点，则，则．第16题：【答案】【解析】如图所示，以直线分别为轴建立平面直角坐标系，设，则，，设，则，所以，所以，所以的最小值为....第17题：【答案】略【解析】∵∴，两边平方得．∵，∴，，∴，∴同理∴()，∴．∴是等边三角形．第18题：【答案】见解析【解析】(1)∵,,且与的夹角为. ∴,,,,解得, ∴, ∴. (2)∵,与垂直, ∴, 解得.第19题：【答案】(1); (2).【解析】(1), 由得, ∴,即, 又,∴. (2), ∴, ∴.第20题：【答案】（1）的最小正周期为，值域为；（2）.【解析】（1），∴的最小正周期为,∵,∴, 故的值域为. （2）由，得，又，得，在中，由余弦定理，得,又, 所以，解得，∴的面积.第21题：【答案】见解析.【解析】(1)因为,所以,, 所以,所以,. (2)因为,, 所以, 设,因为, , 所以,又因为, 所以, 化简得, 解得(负值舍去),所以的长为.第22题：【答案】见解析【解析】(1)由题意知,, 由正弦定理得,, 化简得, , 即, 由余弦定理得,, 又,则; (2)由(1)得,又,则, 因为是锐角三角形, 所以,解得, 由正弦定理得,, 由得, ,即, 所以, 即的范围是.第11页，共11页。

1.2.3 空间几何体的直观图一、基础过关1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有()A．①②B．①④C．③④D．①③④2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．90°D．45°或135°3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()5．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是______________．(填序号)6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．二、能力提升9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．12．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．三、探究与拓展13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．答案1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.57．解设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C ′D ′＝22h . 由题意知12C ′D ′(C ′B ′＋O ′A ′)＝S .即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为S ′＝12·2h (C ′B ′＋O ′A ′)＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S2＝22S .所以梯形OABC 的面积为22S .8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图a 所示；(2)再以上底面A 1B 1C 1D 1的对角线交点为原点建立x ′，y ′，z ′轴，如图b 所示，在z ′上取点V ′，使得V ′O ′的长度为棱锥的高，连接V ′A 1，V ′B 1，V ′C 1，V ′D 1，得到四棱锥的直观图，如图b ；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.9．A 10.2 11.2212．解 画法：步骤：(1)如图a 所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°. (2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图b 中， 在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

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1.1 柱、锥、台、球的的结构特征练习一一、选择题1、下列命题中，正确命题的个数是（）（1）桌面是平面；（2）一个平面长2米，宽3米；（3）用平行四边形表示平面,只能画出平面的一部分；(4）空间图形是由空间的点、线、面所构成。

A 、 1 B、 2 C、 3 D、 42、下列说法正确的是（）A、水平放置的平面是大小确定的平行四边形B、平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围来的部分C、 100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚D、平面是光滑的,向四周无限延展的面3、下列说法中表示平面的是（）A、水面B、屏面C、版面D、铅垂面4、下列说法中正确的是( ）A、棱柱的面中,至少有两个面互相平行B、棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C、棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高D、棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形5、长方体的三条棱长分别是AA/=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C/的最短距离是( ）A、 5B、 7C、、6、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A、三棱锥B、四棱锥C、五棱锥D、六棱锥］7、过球面上两点可能作出球的大圆( ）A、 0个或1个B、有且仅有1个C、无数个D、一个或无数个8、一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（）A、 10B、 20C、 40D、 15二、填空题9、用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是-—-—---—---——---条.10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是--—-——--—-—-。