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工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件

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材料力学06(第六章 弯曲应力)分析

材料力学06(第六章 弯曲应力)分析

F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd

h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b

工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件

工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件

三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ

FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ

FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。

材料力学 弯曲应力与强度条件

材料力学 弯曲应力与强度条件
F
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm

max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A

0:
y
A
N dA E
A

dA
E

A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E


y 2 dA 令： y 2 dA I Z A



C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4

工程力学第九章

工程力学第九章

下一页 返回
9.4

梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。

一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。

一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max

(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小

结

max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
上一页 返回
9.2


梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
上一页 下一页 返回
My Iz
(9.4)

《工程力学》——梁的强度与刚度

《工程力学》——梁的强度与刚度
（１）、 公式： （２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
四、 弯曲切应力的强度计算：
１、 强度条件： τmax≤[τ] [τ]---梁所用材料的许用切应力
（危险截面）。 (２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承 受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力 ［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试 选择梁的截面尺寸。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯
矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线 性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿 点。
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下 对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的 抗拉、压强度又相等。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核 （2）、截面设计 （3）、确定许可荷载
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、 弯曲正应力强度计算的步骤为： (１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩
2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度 计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。 教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。

工程力学5

工程力学5

B
l Fl
| M |max Fl 1.2 F N m
查附录型钢表3，
x
4 3
Wz 185cm 1.85 10 m
3
M
由： 得： 故：
M max Wz
1.2F (1.85 104 ) (170 106 )
[ F ]max
185 170 26.2kN 1.2
* N2 * N1
* * 得 dFS＝FN F 2 N1
其中 dFS＝ bdx
* FN 2 dA Ay
* FN 1
M dM y1dA Ay Iz M dM y1dA Ay Iz
Ay
* FN 2
M dM Sz Iz
M F Sz Iz
* N1
dFS
p
（4）由于y、z轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横 截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如 y轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。 （5）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述
公式时，都带有一定的近似性。
例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴
§5-2
横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 梁的合理截面
q
一.横力弯曲时梁的正应力及其强度条件
q b
M ( x)
z h
l
y
b
Fs ( x)
由于τ的存在，横截面发生翘曲（§5-3）。平面假设不成立， 且还有沿y的挤压正应力。 由弹性力学结果表明，当l/h≥5时，用（5-2）式计算跨中截面的 最大正应力，其误差≤1.07%。所以工程中仍用纯弯曲时的正应 力公式，计算横力弯曲时的正应力。但要注意，横力弯曲时， 弯矩是x的函数，所以

工程力学(基础力学、材料力学)14(30)第九章6节



158.4 106 170
158.4kNm
930 103 ( m m3 )
查表选36c型号 I z 17310 cm 4 ; d 14 mm ; I z
3、切应力校核 max
4、结论：选36c型号
F
s max z
S Fs max 112.5 10 27( MPa) I z d 29.9 1014 Izd S z
q B l/2 17 KN 12 KN 12KN.m
F C l/2 D
检查此梁是否安全。
解：（1）作内力图
Fs图
13KN
max
M max Wz
M图
max
Fs max S zmax I zb
39KN.m
（2）计算几何性质
查表得
W z 309cm 3 0.309 103 m 3 Iz S z , max 18.9cm 0.189m
max [ ]
对于等直梁
F
S ,max
S
b
* z max
I
[ ]
z
b 为中性轴处的宽度。
对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩
又有剪力。 梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远 的各点处 。 而梁上最大的切应力发生在剪力 最大的横截面上中性轴上 的各点处 。
梁除满足正应力强度条件外，还需满足切应力强度条件。
z
b 120(m m) F max 1.5 h 180(m m) bh b=140mm；h=210mm
lx Fs ( x) F x 0; Fs max F l x Fs1 ( x) F x l ; Fs1max F l

梁的切应力及强度条件


2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强度. 解：加强后的梁是阶梯状
10
变截面梁. 所以要校核
2.2m
上的弯曲正应力； （2）F靠近支座时支座截面上的切应力； （3）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力.
F A C 5m FSmax B
FS max FRA F 30kN
查型钢表中，20a号工字钢，有
Iz S
* z max
17.2cm
d=7mm
据此校核梁的切应力强度
F S max S max Izd
* z max
+
24.9MPa [ ]
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
5m 37.5 kN· m
M max 37.5kN m
所以梁的最大正应力为
（a）正应力强度校核 由型钢表查得20a工字钢的 W z 237cm
σ max
M max 158MPa [σ ] Wz
+
3
(Stresses in Beams)
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 力也就最大.
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 σ1dA
A1
y
x
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M 1dA Sz Iz M dM FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
A1
dFS’
A
B1
m’

第五章 弯曲应力(下)


工字形截面上剪力的分布
腹板上主要有平行于剪力FS的切应力
梁横截面上的切应力
翼缘除有平行于剪力FS的切 应力外，主要还有平行于翼 缘的切应力 翼缘上切应力与腹板上的切 应力相比很小，可以忽略不 计
FS
上翼缘
腹板
上翼缘
假设腹板上的切应力分布和矩形截面 的切应力相同。即腹板上的切应力平行与 腹板的侧边，并沿腹板厚度均匀分布
当x0+时，截面剪 力Fs趋于最大，其值为
Fs FAy P
Px(l-x)/l
Example-1
校核强度
P(l-x)/l Θ
Px/l
max
M max 6M max 125 l
max
3Fs 25 MPa [ ] 2A
Example-1
M max ( x) RB (l x)
lx x FAy P, FBy P l l
P(l-x)/l Θ
P x(l x) l
可见，当x=l/2时， 截面x=l/2处的弯矩最大，
M max FBy (l x) Pl 2 / 2
Px/l
剪力图 弯矩图
于正方形截面，这个假设也是相 当精确的，下表给出了材料力学 与弹性理论解的误差
材料力学与弹性理论剪力解的误差
FS
h/b
0.0
2/1 0.04
1/1 0.12
1/2 0.57
1/4
d
1.30
梁横截面上的切应力
从梁中取出长为dx微段，截面1，2上 的内力、弯矩分别为FS(x)、M(x)和FS(x)+d FS(x) 、M(x)+d M(x)
max
Fs S z max F s bH 2 h 2 (b t ) I zt 8I z t Fs S z min F s bH 2 bh 2 I zt 8I z t

《材料力学》讲义4-4梁横截面上正应力梁正应力条件

q 3.5 2 7kN / m
4m
L 1
F 7 6 3 31.5kN
L2
4
2m
25 10m
31.5 31.5 31.5 31.5
WZ

M max

189103 215
879cm3
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o

o
dA
mn
dx
z
y
d

dx
y
F
yd d y
d

E y E

FN
dA
A
E

ydA
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
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由
Fx 0
FN1
dFS FN2
dx
得
FN2 FN1 dFS 0 （a）
其中
FN1
σdA
A1
My1 dA M
I A1
z
Iz
A1
y1dA
MS
* z
Iz
（b） b
式中的A1是横截面上距中性轴为y的横
线以外部分的面积，如图所示。
h
z y
S
* z
A1 y1dA
是A1对中性轴的静矩。
y A1
截面上K点的切应力。
解：先求出m −m截面上的剪力为3kN。
截面对中性轴的惯性矩 A
A*
F F m l/6 mB
K
y y* zh
l/3 l/3 l/3
b
Iz
bh3 12
0.1 0.163 12
0.341104 m4
面积A*对中性轴的静矩
S
* z
A* y*
0.1 0.04 0.06
0.24 103 m3
I zb
τ
FS
S
* z
I zb
式（10−8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应
力计算公式。式中：FS为横截面上的剪力；S z*为面
积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；
b为截面的宽度。
b
对于矩形截面梁，由图可知 h
z y
τmax
S
* z
b(h 2
y) y
1 (h 22
y)
b h2 (
圆形截面
τ max
4 3
FS A
FS为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。
薄壁环形截面
τ max
2
FS A
FS为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积。
五、梁的切应力强度条件
对于等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力
最大的横截面的中性轴上。即
τ max
F S* S,max z,max Izb
为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
FN1
MS
* z
Iz
同样有
FN 2
(M
dM
)S
* z
Iz
（c）
由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应
力可认为是均匀分布的，所以有
dFS τ'bdx （d）
FN1
dFS FN2
dx
将FN1、FN2、dFS代入式（a），得
(M
dM
)S
* z
MS
* z
τ' bdx
0
Iz
Iz
经整理得
τ
FS
S
* z
24

y2)
y A1
(a)
(b)
将其代入上式，可得
τ FS ( h2 y 2 ) 2Iz 4
τ FS ( h2 y 2 ) 2Iz 4
此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高
按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘
（ y h）处，τ=0，而在中性轴上（y=0）的切
2
应力有最大值，如图所示。即
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即
τmax
F S* S,max z,max
Izb
τ
此式即为切应力的强度条件。
在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强 度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计 算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件 设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以一 般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计 截面，然后再按切应力强度条件进行校核。但在少数 情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。 例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载， 因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或 焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度 之比小于一般型钢截面的相应比值时。
b
τmax
FSh2 8I z
3FS 2bh
3FS 2A
τ max
3FS 2A
h
z y
y A1 (a)
τmax (b)
式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面
梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。
例题10−5 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：
l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m −m
§10-3 梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件 一、矩形截面梁的切应力
1.两条假设 （1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行。 （2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。 2.切应力公式的推导
从图所示的梁中取出长为dx的微段。
微段梁上的受力情况如图所示。 微段梁上的应力情况如图所示。
FS
M
切应力沿腹板高度的分布规律如图所示，仍是按
抛物线规律分布，最大切应力τ max仍发生在截面的
中性轴上。
2.翼缘上的切应力
翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y 轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平 行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小 时，竖向切应力很小，一般不予考虑。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁 截开，并保留下部脱离体，由于脱
离体侧面上存在竖向切应力τ ，根
据切应力互等定理可知，在脱离体
的顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
则K点的切应力
τ
FSS z Izb
3103 0.24103 0.341104 0.1
0.21106 Pa
0.21MPa
二、工字形截面梁的切应力
1.腹板上的切应力
τ
FS
S
* z
I zb1
式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到 截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中 性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。