六年级奥数定义新运算及详细答案

前言：
该奥数系列讲座由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、
知识点，精心编辑而成。

（最新精品奥数系列讲座）
定义新运算
一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的
一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新
定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算
符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适
合于各种运算定律的。

二、精讲精练
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之
差。

这里的“*”就代表
算中同样规定了要先算
小括号里的。

因此，在13*
（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

练习1：
1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

1。

通用版六年级奥数专项精品讲义常考题汇编计算问题—定义新运算一．选择题1．“△”表示一种运算符号，其意义是：a △2b a b =-，如果x △(2△3)3=，则(x = )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．我们可以把a a a a ⨯⨯⋯⨯（共n 个a 相乘）记为n a ，例如333⨯⨯⋯⨯（共6个3相乘）729=，现规定如下：如果正整数a ，n ，b 满足n a b =，则记作n a b =⊗，根据上述规定判断下列哪个是错误的？( )A ．333236⨯=B ．2439=⊗⊗C ．33327381+=⊗⊗⊗D ．(39)(33)327⨯=⊗⊗⊗3．如果定义a △22b ab b =-，那么7△9(= )A ．56B ．45C ．77D ．144．定义“A ☆B ”为A 的3倍减去B 的2倍，即A ☆32B A B =-，已知x ☆(4☆1)7=，则(x = )A ．7B ．8C ．9D ．10 5．规定一种运算：a ※()b b a b =+⨯，则(3※2)※4(= )A ．56B ．40C ．9D ．246．定义运算“*”： *a b a b b =⨯+，如2*32339=⨯+=，则(4*5)*2(= )A ．48B ．50C ．51D ．527．规定：a △32b a b =-．已知x △(4△1)7=，那么x △5(= )A ．7B ．17C ．9D ．19 .36E 8．如果规定A ※A B B A B ⨯=+，如1※12212⨯=+，那么10※(10※10)的值等于( )A ．13B ．103C ．53D ．3二．填空题9．若2△32349=++=，5△4567826=+++=，按此规律4△3= ．10．规定M ※54N M N =-，若x ※(5※2)14=，则x = ．11．如果规定2*a b b a =+，例如24*33413=+=，那么7*0.8= ．12．设A 、B 都表示数，规定A △B 表示A 的4倍减去B 的3倍，即：A △43B A B =⨯-⨯．计算5△6的结果为 ．13．规定：A △54B A B =-．如果x △(5△2)14=，那么x = ．14．若a △(5)(3)b a b =+⨯-，计算3△7= ．15．规定一种运算：#21a b ab a =+-，则6#5=16．对于数a 、b 、c 、d ，规定，a <、b 、c 、2d ab c d >=-+．（1）1<、3、5、2>= ；（2）1<、3、5、7x >=，x = ．三．计算题17．*代表一种运算法则，如果*()2A B A B =+÷．那么10*(16*24)得多少？18．定义：()ab a b a b =⨯-+ 试求：6(43)19．已知2△25=，3△418=，4△315=，你能计算7△3，6△4各是多少吗？四．解答题20．规定：*43a b a b =⨯-⨯，求5*4= ．21．规定新运算：2a b a b =-⊕，()()a b a b a b =+-⊗，若m 是大于10的最小的合数，n 是最小的质数，求()m m n ⊕⊗的值．22．如果12※1113234=⨯⨯，17※11278=⨯；那么请你探究：13※3= ，12※143-※4= ．23．如果规定1*52a b a b =⨯-⨯（其中a ，b 是自然数），那么 （1）10*6=（2）6*10=24．求下列方程的解．2 1.65 2.357x -+=规定*34A B A B =+，已知7*45x =，求x ．25．特殊计算（1）如果a △abb a b =+，求10△10△10的值．（2）若“！”是一种数学运算符号，并且1！1=，2！21=⨯，3！3216=⨯⨯=，4！432124=⨯⨯⨯=，且公式(1)(2)(1)!m n n n n n m C m --⋯-+=，求58C 的值． 26．列式计算（1）如果a △abb a b =+，求10△10的值．（2）若“！”是一种数学运算符号，并且1！1=，2！212=⨯=，3！3216=⨯⨯=，4！432124=⨯⨯⨯=，且公式(1)(2)(1)m n n n n n m C m--⋯-+=，求58C 的值． 27．规定a 、b 两数中较大的数减去较小的数得到的结果记为a △b ，例如：1△21=；(1△2)△32=；[(1△2)△3]△42=；⋯则(1△2)△3)△4)△⋯△99)△100=参考答案一．选择题1．解：因为2△32231=⨯-=，所以x △(2△3)3=，x △13=，213x -=，21131x -+=+，24x =，2x =；答案：A ．2．解：A 、333232223336666⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=，正确； B 、224=，239=，242=⊗，392=⊗，2439=⊗⊗，正确； C 、133=，3327=，4381=，331=⊗，3273=⊗，3814=⊗，134+=，33327381+=⊗⊗⊗，正确；D 、133=，239=，3327=，392=⊗，331=⊗，3273=⊗，123⨯≠，(39)(33)327⨯=⊗⊗⊗，不正确．答案：D ．3．解：7△922799=⨯⨯-12681=-45=；答案：B ．4．解：因为，4☆1342112210=⨯-⨯=-=， 所以，x ☆(4☆1)7=，即，x ☆107=，32107x-⨯=，x=，327x=÷，2739x=，答案：C．5．解：3※2(32)210=+⨯= 10※4(104)456=+⨯=所以(3※2)※456=．答案：A．6．解：(4*5)*2，(455)*2=⨯+，=，25*2=⨯+，252252=；答案：D．7．解：4△13421=⨯-⨯，10=，x△(4△1)7=，x△107=，x-⨯=，32107x-=，3207x=+，3207x=，327273x=÷，x=；9x △59=△5，3925=⨯-⨯，2710=-，17=，答案：B ．8．解：10※(10※10)，10=※10101010⨯+， 10=※5，105105⨯=+， 103=． 答案：B ．二．填空题9．解：4△345615=++=，答案：15．10．解：x ※(5※2)14=x ※(5542)14⨯-⨯=x ※1714=541714x -⨯=582x =16.4x =答案：16.4．11．解：7*0.820.87=+7.64=答案：7.64．12．解：5△6=⨯-⨯4536=-20182=答案：2．13．解：x△(5△2)14=⨯-⨯=x△(5542)14=x△1714x-⨯=541714x-=56814x=+51468x=582x=16.4答案：16.4．14．解：3△7=+⨯-(35)(73)=⨯84=32答案：32．15．解：6#5=⨯+⨯-6526130121=+-=41答案：41．16．解：（1）1<、3、5、2> =⨯⨯-+21352=3（2）1<、3、5、x>=⨯⨯-+2135x即⨯⨯-+=x21357+=x17x=6答：6x=．答案：3；6．三．计算题17．解：10*(16*24)10*[(1624)2]=+÷=÷10*[402]=10*20=+÷(1020)2=÷302=15答：10*(16*24)得15．18．解：6(43)⨯-+6[43(43)]=6565(65)=⨯-+=-301119．解：7△3=++789=246△46789=+++=++1389=30答：7△3的结果是24，6△4的结果是30．四．解答题20．解：5*4=⨯-⨯5434=-2012=．8答案：8．21．解：根据题意可得，12m=，2n=；⊕⊗()m m n=⊕⊗12(122)⊕=+-12[(122)(122)]⊕=⨯12[1410]=⊕121402=-12140=-144140=422．解：由分析可得：3111 345 =⨯⨯160 =；1 2※143-※411111111 23453456=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯11120360=-1180=；答案：160；1180．23．解：①10*6151062=⨯-⨯503=-47=②6*10156102=⨯-⨯305=-25=答：10*647=，6*1025=24．解：（1）2 1.65 2.357x-+=20.77x-=20.70.770.7x-+=+227.72x÷=÷3.85x=；（2）依据题意可得：7*45x =37445x ⨯+=214214521x +-=-44244x ÷=÷6x =25．解：（1）因为：a △abb a b =+所以：10△10△1010101010⨯=+△105=△10510510⨯=+103=（2）因为：1！1=，2！21=⨯，3！3216=⨯⨯=，4！432124=⨯⨯⨯= 且公式(1)(2)(1)!m n n n nn m C m --⋯-+=所以：588(81)(82)(83)(851)54321C ⨯-⨯-⨯-⨯-+=⨯⨯⨯⨯87654120⨯⨯⨯⨯=56=26．解：（1）10△10101051010⨯==+（2）588(81)(82)(851)5C ⨯-⨯-⨯⋯⨯-+= 876545⨯⨯⨯⨯=1344=．27．解：因为1△21=，1△32=，2△42=，2△53=，3△63=，3△74=，4△84=，4△95=，由此，依此类推，得出当△后面的数是偶数时，它的值是这个偶数除以2， (1△2)△3)△4)△。

定义新运算1.规定:a ※b=(b+a)×b,则(2※3)※5=。

△b 表示b a ⨯-)2(,例如3△444)23(=⨯-=,则,当a △5=30时, a=。

“△〞如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数及最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.依据上面定义的运算,18△12=。

4.a,b 是随意有理数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2-=⊗ab b a ,则[]=⊗⊕⊕⊗)53()86(4。

5.x 为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.则<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是。

⊙b 表示b a 23-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,则,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x=。

※4=1234,2※3=234,7※2=78,则4※5=。

“※〞: a ※b=)1()1(++⨯⋅⋅⋅⨯+⨯b a a a .假如(x ※3)※4=421200,则x=。

9.对于随意有理数x, y,定义一种运算“※〞，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,※2=3,2※3=4,x ※m=x(m ≠0),则m 的数值是。

10.设a,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22。

(1)计算(4△3)+(8△5)的值；(2)计算(2△3)△4；(3)计算(2△5)△(3△4)。

，b 为自然数，定义a ※b 如下:假如a ≥b ，定义a ※b=a-b ，假如a<b ，则定义a ※b= b-a 。

(1)计算:(3※4)※9；(2)这个运算满意交换律吗满意结合律吗也是就是说，下面两式是否成立①a ※b= b ※a;②(a ※b)※c= a ※(b ※c)。

小学数学六年级奥数《定义新运算（二）》练习题（含答案）一、填空题1.规定:a ※b =(b+a )×b ,那么(2※3)※5= .2.如果a △b 表示b a ⨯-)2(,例如3△444)23(=⨯-=,那么,当a △5=30时, a= .3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .4.已知a ,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2-=⊗ab b a ,那么[]=⊗⊕⊕⊗)53()86(4 .5.x 为正数,<x >表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .6.如果a ⊙b 表示b a 23-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x = .7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= .8.我们规定:符号○表示选择两数中较大数的运算,例如:5○3=3○5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3.请计算:=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛••25.210623799343.03323625.026176.0 .9.规定一种新运算“※”: a ※b =)1()1(++⨯⋅⋅⋅⨯+⨯b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么x = .10.对于任意有理数x , y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x (m ≠0),则m 的数值是 .○ △ △ ○二、解答题11.设a ,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22.(1)计算(4△3)+(8△5)的值;(2)计算(2△3)△4;(3)计算(2△5)△(3△4).12.设a ,b 为自然数,定义a ※b 如下:如果a ≥b ,定义a ※b=a -b ,如果a <b ,则定义a ※b= b - a .(1)计算:(3※4)※9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?①a ※b= b ※a ;②(a ※b )※c= a ※(b ※c ).13.设a ,b 是两个非零的数,定义a ※b ab b a +=. (1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a 是一个自然数,且a ※3=2,试求出a 的值.14.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b . 比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)说明,如果c 整除a 和b ,则c 也整除a ⊙b ;如果c 整除a 和a ⊙b ,则c 也整除b ;(3)已知6⊙x =27,求x 的值.———————————————答 案——————————————————————1. 100.因为2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.2. 8.依题意,得305)2(=⨯-a ,解得8=a .3. 42.18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.4. 98.原式]1313[4)]253()186[(4⊕⊗=-⨯⊕-+⊗=982254254]11313[4=-⨯=⊗=-+⊗=5. 11.<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.6. 6.x ⊙5-5⊙x=(3 x -2×5)-(3×5-2 x )=5 x -25,由5 x -25=5,解得x=6.7. 45678.8. 21. 因为•6.0○322617=○322617=,0.625△853323=△853323=, •3.0△319934=△319934=,106237○10623725.2=○4949=, 所以,原式2149318532=++=.9. 2.令x ※3=y ,则y ※4=421200,又4212002726252413532244⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,所以y=24,即x ※3=24.又24=432323⨯⨯=⨯,故x =2.10. 4.由题设的等式x ※y=cxy by ax -+及x ※m=x (m ≠0),得000=⋅⋅-+⋅m c bm a ,所以bm=0,又m ≠0,故b=0.因此x ※y=ax -cxy.由1※2=3,2※3=4,得⎩⎨⎧=-=-46232c a c a 解得a =5,c =1. 所以x ※y =5x -xy ,令x =1,y=m 得5-m=1,故m =4.11. (1)原式()()62585834342222=⨯-++⨯-+=;(2)原式()323222⨯-+=△4=7△4=37474722=⨯-+;(3)原式()525222⨯-+=△()19434322=⨯-+△132831319131922=⨯-+=.12. (1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;(2)因为表示a ※b 表示较大数与较小数的差,显然a ※b= b ※a 成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.13. (1)按照定义有2※36132332=+=,3※412253443=+=. 于是(2※3)※4613=※4=3127451324241361344613=+=+. 2※(3※4)=2※60012012425252421225122521225=+=+=. (2)由已知得233=+aa ① 若a ≥6,则3a ≥2,从而233>+a a 与①矛盾.因此a ≤5,对a =1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a =3符合要求.14. (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.(2)如果c 整除a 和b ,那么c 是a 和b 的公约数,则c 整除a ,b 的最大公约数,显然c 也整除a ,b 最小公倍数,所以c 整除最小公倍数与最大公约的差,即c 整除a ⊙b .如果c 整除a 和a ⊙b ,由c 整除a 推知c 整除a ,b 的最小公倍数,再由c 整除a ⊙b 推知, c 整除a ,b 的最大公约数,而这个最大公约数整除b ,所以 c 整除b .(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为6与x 的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x 的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到x30.⨯63⨯=所以15x.=。

三、定义新运算（一） 年级 班 姓名 得分一、填空题1.规定a ☉b =ab b a -,则2☉(5☉3)之值为 .2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=,若6※x 322=,则x =.3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, .4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= .5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= .6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>=<x , 那么x = .8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .10.假设式子b a a ⨯#表示经过计算后,a 的值变为原来a 与b 的值的积,而式子b a b -#表示经过计算后,b 的值为原来a 与b 的值的差.设开始时a =2,b =2,依次进行计算b a a ⨯#,b a b -#,b a a ⨯#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和是 .二、解答题11.设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下: (a ,b )※(c ,d )= (a+c ,b +d );又定义运算△如下: (a ,b )△(c ,d )= (ac+bd ,ad+bc ).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.22264⨯⨯=222⨯⨯⨯表示成()664=f ;33333243⨯⨯⨯⨯=表示成()5243=g .试求下列的值:(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(y f x f y x f +=⋅.14.两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .———————————————答 案—————————————————————— 1. 120411. 5☉3=15165335=-,2☉(5☉3)=2☉12041112016121516151621516==-=.2. 8.依题意,6※326x x +=,因此322326=+x ,所以x=8.3. 280.;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=< 原式2801014141014,10,14,10=⨯+⨯>==<.4. 5.因为23218⨯=有6)12()11(=+⨯+个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式52)46(=÷+=.5. 9.因为4※1=101243=⨯-⨯,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.故3x -20=7,解得x =9.6. 0.89226+⨯=,26☆9=8,又428⨯=,故(26☆9)☆4=8☆4=0.7. 6.因为x x x +=+-⨯⨯>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x .8. 86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.10. 14.第1次计算后,422=⨯=a ;第2次计算后,224=-=b ;第3次计算后,824=⨯=a ;第4次计算后,628=-=b .此时1468=+=+b a .11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13. (1)()72)128(7==f f ;(2)()())81(342)16(44g g f f ====;(3)因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以6)27()8(=+g f ; (4)令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(.()())()(222)(y f x f n m f f y x f n m n m +=+==⋅=⋅+.14. (1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13.因此(2)的解为x =3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19.方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14.当y =7时,分两种情况解19☉x =7.1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+⨯=x =45.当y =14时,分两种情况解19☉x =14.1) x <19,这时x 除19余14, x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的.2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33.总之,方程(19☉x )☉19=5有四个解,x =12,26,33,45.。

定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。

由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。

第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2、设a*b=a 2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。

3、设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【答案】1.648 2.112、65 3.193.25【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

练习2：1、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。

2、设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。

求30△（5△3）。

3、设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。

【答案】1.36 2.902 3.412【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=2104203*3=3+33+333，……那么4*4=________。

小学六年级奥数题；定义新运算(A)---习题详解年级 班 姓名 得分一、填空题1，规定a ☉b =a b b a -,则2☉(5☉3)之值为 ，2，规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=,若6※x 322=,则x =，3，设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,，则<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, ，4，[A ]表示自然数A 的约数的个数，例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3，计算:]7[])22[]18([÷+= ，5，规定新运算※:a ※b=3a -2b ，若x ※(4※1)=7,则x= ，6，两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b ，例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0，根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= ，7，对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,，如果7,5,3,1>=<x ,那么x = ，8，规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234，7※5= ，9，规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数，例如:3△5=5,3☉5=3，那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= ，10，假设式子b a a ⨯#表示经过计算后,a 的值变为原来a 与b 的值的积,而式子b a b -#表示经过计算后,b 的值为原来a 与b 的值的差，设开始时a =2,b =2,依次进行计算b a a ⨯#,b a b -#,b a a ⨯#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和是 ，二、解答题11，设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下: (a ,b )※(c ,d )= (a+c ,b +d );又定义运算△如下: (a ,b )△(c ,d )= (ac+bd ,ad+bc )，试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3))，12，羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼，运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼，运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了，对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算，运算的结果是羊,或是狼，求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)，13，22264⨯⨯=222⨯⨯⨯表示成()664=f ;33333243⨯⨯⨯⨯=表示成()5243=g ，试求下列的值:(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(y f x f y x f +=⋅，14，两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2，(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x ，———————————————答 案——————————————————————1， 120411， 5☉3=15165335=-,2☉(5☉3)=2☉12041112016121516151621516==-=，2， 8，依题意,6※326x x +=,因此322326=+x ,所以x=8，3， 280，;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=< 原式2801014141014,10,14,10=⨯+⨯>==<，4， 5，因为23218⨯=有6)12()11(=+⨯+个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2，原式52)46(=÷+=，5， 9，因为4※1=101243=⨯-⨯,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20，故3x -20=7,解得x =9，6， 0，89226+⨯=,26☆9=8,又428⨯=,故(26☆9)☆4=8☆4=0，7， 6，因为x x x +=+-⨯⨯>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x ，8， 86415，7※5=7+77+777+7777+77777=86415，9， 25，原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25，10， 14，第1次计算后,422=⨯=a ;第2次计算后,224=-=b ;第3次计算后,824=⨯=a ;第4次计算后,628=-=b ，此时1468=+=+b a ，11， (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7)， 原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76)，12， 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼，13， (1)()72)128(7==f f ;(2)()())81(342)16(44g g f f ====;(3)因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以6)27()8(=+g f ;(4)令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(，()())()(222)(y f x f n m f f y x f n m n m +=+==⋅=⋅+，14， (1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1，(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论，1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9，又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9，2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13，因此(2)的解为x =3,9,13，(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解，用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19，方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14，当y =7时,分两种情况解19☉x =7，1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12，由于x ≥8,所以x =12，2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+⨯=x =45，当y =14时,分两种情况解19☉x =14，1) x <19,这时x 除19余14, x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的，2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33，总之,方程(19☉x )☉19=5有四个解,x =12,26,33,45，。

小学六年级奥数题：定义新运算(C)---习题详解简介本文详细解析了小学六年级奥数题目中关于定义新运算(C)的题。

通过这些题，学生能够熟悉并理解如何定义和应用新的运算法则。

题解析1. 问题：已知定义了新的运算法则"C"，其中$x C y = x^2 +y^2$，求 $3 C 4$ 的值。

解析：根据定义，$3 C 4 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。

所以 $3 C 4$ 的值为25。

2. 问题：定义了运算法则"C"，其中$x C y = \frac{x}{y}$，求$24 C 3$ 的值。

解析：根据定义，$24 C 3 = \frac{24}{3} = 8$。

所以 $24 C3$ 的值为8。

3. 问题：已知定义了运算法则"C"，其中$x C y = x - y$，求$10 C 5$ 的值。

解析：根据定义，$10 C 5 = 10 - 5 = 5$。

所以 $10 C 5$ 的值为5。

4. 问题：定义了运算法则"C"，其中$x C y = x^3 + 2y$，求 $2C -1$ 的值。

解析：根据定义，$2 C -1 = 2^3 + 2(-1) = 8 - 2 = 6$。

所以 $2 C -1$ 的值为6。

5. 问题：给定定义了运算法则"C"，其中$x C y = \sqrt{x} +\sqrt{y}$，求 $16 C 9$ 的值。

解析：根据定义，$16 C 9 = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$。

所以 $16 C 9$ 的值为7。

总结通过解析以上题，我们可以看到，定义新的运算法则(C)可以使我们对数学运算有更多的理解和应用。

在研究中，我们应该灵活运用各种运算法则，深入理解数学的本质和规律。

以上是关于小学六年级奥数题目中关于定义新运算(C)的题详解。

希望能对同学们的研究有所帮助，提高数学能力。

小学六年级数学经典奥数题训练50(含答案)一、拓展提优试题1．定义新运算“*”：a*b＝例如3.5*2＝3.5，1*1.2＝1.2，7*7＝1，则＝．2．有一口无水的井，用一根绳子测井的深度，将绳对折后垂到井底，绳子的一端高出井口9m；将绳子三折后垂到井底，绳子的一端高出井口2m，则绳长米，井深米．3．张阿姨和李阿姨每月的工资相同，张阿姨每月把工资的30%存入银行，其余的钱用于日常开支，李阿姨每月的日常开支比张阿姨多10%，余下的钱也存入银行，这样过了一年，李阿姨发现，她12个月存入银行的总额比张阿姨少了5880元，则李阿姨的月工资是元．4．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm．5．如图，三个同心圆分别被直径AB，CD，EF，GH八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．6．某工程队修建一条铁路隧道，当完成任务的时，工程队采用新设备，使修建速度提高了20%，同时为了保养新设备，每天工作时间缩短为原来的，结果，前后共用185天完工，由以上条件可推知，如果不采用新设备，完工共需天．7．王老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4，…，然后擦去三个数（其中有两个质数），如果剩下的数的平均数是19，那么王老师在黑板上共写了39个数，擦去的两个质数的和最大是．8．小强和小林共有邮票400多张，如果小强给小林一些邮票，小强的邮票就比小林的少；如果小林给小强同样多的邮票，则小林的邮票就比小强的少，那么，小强原有227张邮票，小林原有张邮票．9．王涛将连续的自然数1，2，3，…逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是．10．如图所示的“鱼”形图案中共有个三角形．11．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．12．如图，六边形ABCDEF的周长是16厘米，六个角都是120°，若AB＝BC ＝CD＝3厘米，则EF＝厘米．13．某日是台风天气，雨一直均匀地下着，在雨地里放一个如图1所示的长方体容器，此容器装满雨水需要1小时．请问：雨水要下满如图2所示的三个不同的容器，各需要多长时间？14．一次智力测试由5道判断对错的题目组成，答对一道得20分，答错或不答得0分．小花在答题时每道题都是随意答“对”或“错”，那么她得60分或60分以上的概率是%．15．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：根据分析可得，，＝，＝2；故答案为：2．2．解：（9×2﹣2×3）÷（3﹣2），＝（18﹣6）÷1，＝12÷1，＝12（米），（12+9）×2，＝21×2，＝42（米）．故答案为：42，12．3．解：（1﹣30%）×（1+10%）＝70%×110%，＝77%；5880÷12÷[30%﹣（1﹣77%）]＝490÷[30%﹣23%]，＝490÷7%，＝7000（元）．即李阿姨的月工资是 7000元．故答案为：7000．4．解：据分析可知，沙子的高度为：5+20÷3＝11（厘米）；答：沙子的高度为11厘米．故答案为：11．5．解：由图可知，阴影部分的面积是图中最大圆面积的，非阴影部分的面积是图中最大圆面积的，所以图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是：：＝1：3；答：图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是1：3．故答案为：1：3．6．解：设计划用x天完成任务，那么原计划每天的工作效率是，提高后每天的工作效率是×（1+20%）＝×＝，前面完成工程的所用时间是天，提高工作效率后所用的实际是（185﹣）×天，所以，+（185﹣）××＝1，+（185﹣）××﹣＝1﹣，（185﹣）××＝，（185﹣）×÷＝÷，185﹣+＝x+，x÷＝185÷，x＝180，答：工程队原计划180天完成任务．故答案为：180．7．解：由剩下的数的平均数是19，即得最大的数约为20×2＝40个，又知分母是9，所以剩下的数的个数必含因数9，则推得剩余36个数．原写下了1到39这39个数；剩余36个数的和：19×36＝716，39个数的总和：（1+39）×39÷2＝780，擦去的三个数总和：780﹣716＝64，根据题意，推得擦去的三个数中最小是1，那么两个质数和63＝61+2能够成立，61＞39不合题意；如果擦去的另一个数是最小的合数4，64﹣4＝6060＝29+31＝23+37，成立；综上，擦去的两个质数的和最大是60．故答案为：39，60．8．解：（1﹣）：1＝13：19，13+19＝32；1：（1﹣）＝17：11，17+11＝28，32与28的最小公倍数是224，小强和小林共有邮票400多张，所以共有224×2＝448张，448÷32×13＝182，448÷28×17＝272．小强：（182+272）÷2＝227张小林：448﹣227＝221．故答案为：227，221．9．解：设这个等差数列和共有n项，则末项也应为n，这个等差数列的和为：（1+n）n÷2＝；经代入数值试算可知：当n＝62时，数列和＝1953，当n＝63时，数列和＝2016，可得：1953＜2012＜2016，所以这个数列共有63项，少加的数为：2016﹣2012＝4．故答案为：4．10．解：由一个三角形组成：14个；由两个三角形组成：8个；由三个三角形组成：8个；由四个三角形组成：4个；由六个三角形组成：1个；总共：14+8+8+4+1＝35个．故共有35个三角形．故答案为：35．11．解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N＝21×51×3a，根据约数和定理，可得：（a+1）×（1+1）×（1+1）＝8，（a+1）×2×2＝8，a＝1；所以，N最小是：2×3×5＝30；答：N最小是30．故答案为：30．12．解：如图延长并反向延长AF，BC，DE，分别相交与点G、H、N，因六边形ABCDEF的每个角是120°所以∠G＝∠H＝∠N＝60°所以△GHN，△GAB，△HCD，△EFN都是等边三角形AB＝BC＝CD＝3厘米，△GHN边长是3+3+3＝9（厘米）AN＝9﹣3＝6（厘米）AN＝AF+EFDE＝六边形ABCDEF的周长﹣AB﹣BC﹣CD﹣（AF+EF）＝16﹣3﹣3﹣3﹣6＝1（厘米）EF＝EN＝9﹣3﹣1＝5（厘米）答：EF＝5厘米．故答案为：5．13．解：图1所示的长方体容器的容积：10×10×30＝3000（立方厘米）接水口的面积为：10×30＝300（平方厘米）接水口每平方厘米每小时可接水：3000÷300÷1＝10（立方厘米）所以，图①需要：10×10×30÷（10×10×10）＝3（小时）图②需要：（10×10×20+10×10×10）÷（10×10×20）＝1.5（小时）图③需要：2÷2＝1（厘米）3.14×1×1×20÷（3.14×1×10）＝2（小时）答：容器①需要3小时，容器②需要1.5小时，容器③需要2小时．14．解：有答对一题，两题，三题，四题，五题，全错六种情况，答对三题是60分，四题是80分，五题是100分，她得60分或60分以上的概率是：＝50%．答：她得60分或60分以上的概率是50%．故答案为：50%．15．解：根据分析得出的规律我们可以得到：图⑩中有3+（4+6+8+10+12+14+16+18+20）＝3+（4+20）×9÷2＝111；故答案为：111．。