磁场中的双棒问题研究(修定版)

电磁感应现象中的“双棒”问题研究

黄陂一中试题研究中心：姜付锦

“双棒”是电磁感应现象中的一个很重要的模型，因为这个模型所涉及的物理知识有动量、能量、牛顿运动学等高中力学中的主干知识。笔者试着对这个模型进行了如下的分析与归纳，有不当的地方请各位同仁批评指正。

一、分类

1．按棒的长度可分为两类：等宽与不等宽（即一长一短）

2．按启动方式可分为三类：冲量型、恒定外力型、恒定功率型

3．按棒所处轨道的位置可分为三类：水平类、倾斜类、竖直类

4．按棒稳定后的状态可分为三类：静止类、匀速直线运动类、匀加速直线运动类

二、规律(仅讨论水平导轨，且导棒的材料相同)

1．等长“双棒”

两棒质量均为m，长度均为L，电阻均为R，

两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B

（1）导轨光滑

①冲量型：给棒1一个水平向右的速度0v，则最终稳定后两棒均匀速直线运动，且速度均为0122vvv，系统的动量守恒，动能损失204kmvEQV，两棒从相对运动到相对静止，相对滑动的距离为022mvsRBLV。vt图象如下：

010203040506070809000.51V1iV2iti

②恒定外力型：对棒1施加一个恒定外力F，则最终稳定后，两棒均作匀加速直线运动，且两棒的加速度相等2Fam，两棒的速度之差为一定值1222FRvvvBLV，两棒速度之和与时间成正比12Fvvtm。vt图象如下： 2 1 0102030405060708090204060V1iV2iti

③恒定功率型：以恒定功率作用在棒1上，则最终两棒的速度趋于无穷大，而两棒的速度差将趋于零，此时对应的外力为无穷小（零），vt图象如下

0102030405060700102030V1iV2iti

（2）导轨粗糙

①冲量型：给棒1初速度0v，则两棒的运动类型有如下三种情况：

10当2202BLvmgR时，则只有棒1运动，最终速度减小为零，棒2始终不动，vt图象如下：

02468101250100V1iti

20当2202BLvmgR时，两棒一起运动，棒2先不动后加速最后减速，棒1一直减速运动，最后均静止。当2212()2BLvvmgR时，棒2有最大速度，vt图象如下： 00.20.40.60.811.21.41.61123V1iV2iti

②恒定外力型：对棒1施加一恒定外力F，则两棒的运动类型有以下三类：

10当Fmg时，两棒均不动

20当2mgFmg时，棒1先加速后匀速最大速度为22()2mFmgRvBL，棒1始终不动，vt图象如下：

051015200123VT

30当2Fmg时，两棒均运动，棒1先变加速后匀加速，棒2先不动后变加速最后匀加速，最后两棒的加速度相等1222Fmgaam，两棒的速度之差为一定值22FRvBLV，vt图象如下：

0246810121123V1iV2iti

③恒定功率型：以恒定功率p作用在棒1上，则两棒的运动情况分为以下两类： 10当222224mgpRBL时，棒2静止不动，棒1先加速后匀速，棒1的最终速度满足下列关系式：22112BLvpmgvR，vt图象如下：

010203040506070809046810V1iti

20当222224mgpRBL时，棒1先加速后匀速运动，棒2先不动，后加速运动，最后匀速运动，总终两棒的速度差为一定值。棒1的速度为12222,22ppmgvvmgmgBL，vt图象如下：

0123456551015V1iV2iti

2．不等宽双棒

棒1质量为m，长度为L，电阻为R，棒2的质量为2m，

长度均为2L，电阻为2R，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B

（1）导轨光滑

①冲量型：给棒1（或棒2）一个水平初速度0v，分析两棒的运动规律

10短拉长型：最终两棒做匀速直线运动，但两棒的速度之比为一定值，1221vv，

vt图象如下：

010203040506070809000.51V1iV2iti 2

1 20长拉短型：最终两棒做匀速直线运动，但两棒的速度之比为一定值，1212vv， vt图象如下：

010203040506070809000.51V1iV2iti

②恒定外力型：对棒1（棒2）施加一恒定外力F，分析两棒的运动规律

10短拉长型：棒1先做加速度减小的加速运动，最终作匀加速直线运动，棒2先做变加速直线运动，最后做匀加速直线运动，且有121212222,,2FFRaaaavvmBL，vt图象如下：

0102030405060708090020406080V1iV2iti

20长拉短型：棒2先做加速度减小的加速运动，最终作匀加速直线运动，棒1先做变加速直线运动，最后做匀加速直线运动，且有 121212222,,22FFRaaaavvmBL，vt图象如下：

③恒定功率型：棒1（棒2）施加一恒定功率，两棒的速度越来越大，最终两棒的速度关系为：

01020304050607080900102030V2iV1iti

10短拉长型：1220vv

20长拉短型：2120vv

vt图象如下： 0500011041.510421040200400600V1iV2iti

（2）导轨粗糙：

棒1质量均为m，长度为L，电阻为R，棒2的质量为2m，长度均为2L，电阻为2R，摩擦因数均为，两间距足够大，所处磁场的磁感应强度为B

①冲量型：给棒1（棒2）一初初速0v，分析两棒的运动规律

10短拉长型

101当220223BLvmgR时，则棒2始终静止，棒1作变减速运动，最终静止

102当220223BLvmgR时，则棒1先减速运动，最后静止，棒2先加速后减速，当22122(2)23BLvvmgR时，棒2有最大速度，vt图象如下：

00.511.522.531123V1iV2iti

20长拉短型

201当22023BLvmgR时，则棒1静止不动，棒2先变减速运动，最后静止

202当22023BLvmgR时，棒2先变减速运动，最后静止，棒1先加速，后减速

当2221(2)3BLvvmgR时，棒1有最大速度，vt图象如下： 00.511.522.531123V2iV1iti

②恒定外力型

10短拉长型

101当Fmg时，两棒均不动

102当2mgFmg时，棒1先加速运动，最后匀速运动，棒2始终静止不动，

vt图象如下：

012340123VT

103当2Fmg时，两棒最后均匀加速运动，且121222,Fmgaaaam，

1222()2FmgRvvBL，vt图象如下：

02468102468V1iV2iti

20长拉短型

201当2Fmg时，两棒均不动

202当24mgFmg时，棒2先加速运动，最后匀速运动，棒1始终静止不动，

vt图象如下： 012340123VT

203当4Fmg时，两棒最后均匀加速运动，且211242,2Fmgaaaam，

2122()2FmgRvvBL，vt图象如下：

05101520246V1iV2iti

③恒定功率型

10短拉长：

101当22218()mgRpBL时，棒1先做变加速运动，最后匀速运动，最大速度满足下式：

22113BLvpmgvR。

102当22218()mgRpBL时，棒1先做变加速运动，最后匀速运动，棒2先不动，后变速运动，最后匀速运动，且两棒的速度之差为一定值，122232mgRvvBL，vt图象如下：

024681012551015V1iV2iti

20长拉短型

201当2229()4mgRpBL时，棒2先做变加速运动，最后匀速运动，最大速度满足下式： 2222423BLvpmgvR。

202当2229()4mgRpBL时，棒2先做变加速运动，最后匀速运动，棒1先不动，后变速运动，最后匀速运动，且两棒的速度之差为一定值，212232mgRvvBL，vt图象如下：

02468101255101520V2iV1iti

三、总结：最终两棒中的电流不变

211.LL1212等宽双棒:v=v光滑v不等宽双棒:v冲量型一棒减速运动,另一棒不动粗糙一棒先加速,后减速运动,另一棒一直减速到零

1221122112211221,,,,vvLLvLvLvvLLvLvL12121212等宽双棒:a=a为一定值光滑a不等宽双棒:为一定值a两棒都不动等宽双棒:一棒先不动后加速最后匀速运动,另一棒不动2.外力型两棒先变加速最后都匀加速运动,a=a为一定值粗糙两棒都不动不等宽双棒:一棒先加速后匀速运动,另一棒不动a两棒先变加速后都匀加速运动,为一定值a:03.:121122121122等宽两棒速度趋近于无穷大,vv光滑不等宽:两棒速度趋近于无穷大,Lv-Lv一棒静止不动,另一棒先变加速后匀速运动功率型等宽:一棒先不动后加速,另一棒先加速最后都匀速运动,v-v为定值粗糙一棒静止不动,另一棒匀速运动不等宽一棒先不动后加速,另一棒先加速最后都匀速运动,Lv-Lv为定值