电磁场的矢势和标势

c ∂t
上述方程化为
2 1 ∂2ϕ ρ ∇ ϕ − 2 2 = − c ∂t ε0 2 1∂A 2 ∇ A− c2 ∂t 2 = −µ0 j
这就是所谓达朗贝尔 达朗贝尔（ 方程。 这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势 Solution: Solution: 单色平面电磁波在没有电荷， 单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程： 规范条件下） 规范条件下 变为波动方程：
∂A b) 绝对不要把 E = −∇ϕ − 中的标势 ϕ ∂t
2、规范变换和规范不变性
虽然 E 和 B ，以及 A 和 ϕ是描述电磁场的两 ϕ 种等价的方式， 种等价的方式，但由于 E 、B 和 A 、 之间是微分 方程的关系， 方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应 的，这是因为矢势 A 可以加上一个任意标量函数 的梯度， 的梯度，结果不影响 B ，而这个任意标量函数 的梯度在 E = −∇ϕ −
第五章
电磁波的辐射
Electromagnetic Wave Radiation
本章所研究的问题是电磁波的辐射。 本章所研究的问题是电磁波的辐射。方 法和稳恒场情况一样， 当考虑由电荷、 法和稳恒场情况一样 ， 当考虑由电荷 、 电 流分布激发电磁场的问题时， 流分布激发电磁场的问题时 ， 引入势的概 念来描述电磁场比较方便。 念来描述电磁场比较方便。 本章首先把势的概念推广到一般变化电 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。 磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
的选择还可以有任意性， 分和标势 ϕ 的选择还可以有任意性，即存在多余 的自由度。尽管如此， 的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 因此，本书以后都采用洛仑兹规范。 性。因此，本书以后都采用洛仑兹规范。
2 2 1 ∂ϕ ∇ ϕ − 2 2 = 0 c ∂t 2 ∇2 A− 1 ∂ A = 0 2 2 c ∂t
其解的形式为： 其解的形式为：
ϕ = ϕ0ei(k⋅x−ωt ) A = A0ei(k⋅x−ωt )
由Lorentz规范条件 ∇ ⋅ A + 1 ∂ϕ = 0，即得 规范条件 2 c ∂t
∂A 中对 E 要发生影响，但 要发生影响， ∂t ∂A 中的 ϕ与此融合也作相应的 将 E = −∇ϕ − ∂t
变换， 保持不变。 变换，则仍可使 E 保持不变。
为任意的标量函数， 设ψ为任意的标量函数，即ψ =ψ (x, t) 作下 ， 述变换式： 述变换式：
A → A′ = A+ ∇ψ ∂ψ ϕ →ϕ′ = ϕ − ∂t
∇⋅ D = ρ ∇× E = − ∂B ∂t ∇⋅ B = 0 ∇× H = j + ∂D ∂t
D = ε0E , B = µ0H .
针对磁场 引入
∇⋅ B = 0
B = ∇× A
的物理意义可由下式看出： A的物理意义可由下式看出：
∫ A⋅ dl = ∫∫ B⋅ ds
∇2ϕ = 0 2 1 ∂2 A 1 ∂ ∇ A− 2 2 − 2 ∇ϕ = 0 c ∂t c ∂t
当全空间没有电荷分布时， 当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 则只有 0 ϕ=
1 ∂2 A ∇2 A− 2 2 = 0 c ∂t
，
其解的形式为
A = A0e
由库仑规范条件得到
i(k ⋅x−ωt )
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程 达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations 及
B=µ0H ∂A E = −∇ϕ − ∂t
D = ε0E B =∇× A
出发推导矢势
所满足的方程，得到： 和标势 ϕ 所满足的方程，得到： A
2 1 ∂2 A 1 ∂ϕ ) = −µ0 j ∇ A − 2 2 − ∇(∇⋅ A + 2 c ∂t c ∂t ∇2ϕ + ∂ ∇⋅ A = − ρ ∂t ε0
由此可见， 描述同一电磁场。 由此可见，( A′ . ϕ′) 和 ( A. ϕ) 描述同一电磁场。
a) 库仑规范(Coulomb gauge) 库仑规范(Coulomb 库仑规范条件为 ∇⋅ A = 0，即规定 A 是一个 有旋无源场（横场）。 ）。这个规范的特点是 有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E 的纵 场部分完全由ϕ 描述（即 − ∇ϕ具有无旋性)，横 描述（ 具有无旋性 ， ∂A 描述（ 具有无源性）。 ）。由 场部分由 A描述（即 具有无源性）。由 ∂t ∂A E = −∇ϕ − ∂t
本章主要内容
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量
§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of Electromagnetic
1、用势 A , ϕ描述电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场： 为简单起见，讨论真空中的电磁场：
0（对于单色平面波而言） 对于单色平面波而言）
∂A E = −∇ϕ − = −ikϕ + iωA ∂t 2 c = ik ( k ⋅ A) + iωA = −i = −i c
[k(k ⋅ A) − k A] ω
2 2
ω
c2
ω
k × (k × A)
=−
c
2
ω
k ×B
ˆ = −cn × B
具有横向分量， 如果取 A = A横 ，即只取 A具有横向分量，那么 有
− ∇ϕ 项对应库仑场 E ，− ∂A 对应着感应 可见， 可见， 库
∂t
场E感 。 b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge) 洛仑兹规范(Lorentz
1 ∂ϕ 洛仑兹规范条件为 ∇⋅ A+ 2 = 0 ，即规 C ∂t ∂t
是一个有旋有源场（ 定 A是一个有旋有源场（即 A包含横场和纵场两 部分） 部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为 特别简单的对称形式。 特别简单的对称形式。
L
即在任一时刻， 沿任一闭合回路L的线积 即在任一时刻，矢量 A沿任一闭合回路 的线积 分等于该时刻通过以L为边线的曲面 的磁通量。 为边线的曲面S的磁通量 分等于该时刻通过以 为边线的曲面 的磁通量。
S
不能像静电场那样直接引入电势。 对于电场 E 不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得： 电磁感应定律可得： 电磁感应定律可得
k ⋅ A= k ⋅ A = 0 横
c2 k ⋅ A= 0
从而得到： 从而得到：
ϕ=
因此有： 因此有：
ω
B = ∇ × A = ik × A = ik × A横 ∂A ∂A =− = iωA = iωA横 E = −∇ϕ − ∂t ∂t
其中： 其中： (k ⋅ A = 0) 如果采用库仑规范条件， 如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变 为
∂A = 0时,且 E = −∇ϕ a) 当 A与时间无关，即 与时间无关， 且 ∂t 就直接归结为电势； 这时 ϕ 就直接归结为电势；
注意： 注意：
与电势 ϕ(E = −∇ϕ) 混为一谈。因为在非稳恒情 混为一谈。 况下， 不再是保守力场，不存在势能的概念， 况下， E 不再是保守力场，不存在势能的概念， 这就是说现在的 ϕ ，在数值上不等于把单位正电 荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。 荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为 了区别于静电场的电势， 了区别于静电场的电势，把这里的 ϕ 称为标势 （Scalar potential)。 。 c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的 在时变场中， 整体， 整体，必须把矢势 A 和标势 ϕ 作为一个整体来描 述电磁场。 述电磁场。
a) 采用库仑规范 上述方程化为
(∇⋅ A = 0)
ρ 2 ∇ ϕ = − ε 0 1 ∂2 A 1 ∂ ∇2 A− − 2 (∇ϕ) = −µ0 j 2 2 c ∂t c ∂t
此时，标势所满足的方程与静电场相同。 此时，标势所满足的方程与静电场相同。 1 ∂ϕ b) 采用洛仑兹规范( ∇ ⋅ A + 2 采用洛仑兹规范( = 0)
于是我们得到了一组新的 A′ . 很容易证明： ϕ′ ，很容易证明：
∇× A′ = ∇×( A+ ∇ψ ) = ∇× A+ ∇×(∇ψ ) = ∇× A = B ∂A′ ∂ψ ∂ −∇ϕ′ − = −∇(ϕ − ) − ( A+ ∇ψ ) ∂t ∂t ∂t ∂ ∂A ∂ = −∇ϕ + (∇ψ ) − − (∇ψ ) ∂t ∂t ∂t ∂A = −∇ϕ − =E ∂t
∇⋅ A = ik ⋅ A = 0
即保证了 A 只有横向分量，即 A = A横 ，从而得到 只有横向分量，
B = ∇ × A = ik × A = ik × A横 ∂A ∂A E = −∇ϕ − = − = iωA = iωA横 ∂t ∂t
(∇ ⋅ A = 0)
通过例子可看到： 通过例子可看到： 库仑规范的优点是： 库仑规范的优点是：它的标势 ϕ 描述库仑作 求出， 用，可直接由电荷分布 ρ 求出，它的矢势 A 只有 横向分量， 横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立 偏振。 偏振。 ห้องสมุดไป่ตู้仑兹规范的优点是： 洛仑兹规范的优点是：它的标势 ϕ 和矢势 A 构成的势方程具有对称性。 构成的势方程具有对称性。它的矢势 A的纵向部
∂B ∂ ∂A ∇× E = − = − (∇× A) = −∇× ∂t ∂t ∂t
∂A =0 ∇× E + ∂t
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
是标势不 是静电势
即
∂A E = −∇ϕ − ∂t