2004考研数一真题答案及详细解析
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一、填空题(1)【答案】 y =x −1【详解】方法 1：因为直线 x +y =1的斜率k 1 − =1，所以与其垂直的直线的斜率k 2 满足121k k =-，所以21k -=-，即21k =，曲线l n y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程的斜率为1，即11)(ln =='='xx y ，得1x =，把1x =代入l n y x =，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y 方法2：本题也可先设切点为)l n ,(00x x ，曲线l n y x =过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，所以切点为()00(,ln )1,0x x =，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y .(2)【答案】2)(ln 21x 【详解】先求出)(x f '的表达式，再积分即可.方法1：令t e x=，则t x l n =，1xet -=，于是有t t t f ln )(='，即.ln )(xx x f ='两边积分得2ln 1()ln ln (ln )2xf x dx xd x x C x ===+⎰⎰.利用初始条件(1)0f =,代入上式：21(1)(ln1)02f C C =+==，即0C =，故所求函数为()f x =2)(ln 21x .方法2：由l n xx e =，所以xx x ee f -=')(l n ln xx xx e e ee-=⋅=，所以.ln )(x x x f ='下同.(3)【答案】23【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，用参数式可表示为.20:,s in 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x 于是2Lx dy ydx -=⎰202cos 2sin 22sin 2cos d d πθθθθ⎡⎤-⎣⎦⎰20[2cos 2cos 22sin 2sin ]d πθθθθθ=⋅+⋅⎰()22222220[2cos 4sin ][2cos sin 2sin ]d d ππθθθθθθθ=+=++⎰⎰222220[22sin ]22sin d d d πππθθθθθ=+=+⎰⎰⎰()220021cos 2d ππθθθ=+-⎰222000131cos 22sin 2222d πππππθθθθ=+-=-⎰()3133sin sin 002222ππππ=--=-=(4)【答案】221x c x c y +=【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可.令te x =，有1ln ,dt t x dx x ==，则1dy dy dt dy dx dt dx x dt=⋅=，221d y d dy dx dx x dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭()211dy d dy d uv vdu udv x dt x dx dt ⎛⎫=+ -+ ⎪⎝⎭211dy d dy dt x dt x dt dt dx ⎛⎫=-+⋅⎪⎝⎭2222222111dy d y d y dy x dt x dt x dt dt ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭代入原方程：222211420d y dy dyx x y x dt dt x dt⎛⎫⋅-+⋅+= ⎪⎝⎭，整理得02322=++y dt dy dt y d ，此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为2320r r ++=，所以特征根为：121,2r r =- =- ，12r r ≠ ，所以02322=++y dt dydty d 的通解为1221212r t r t t ty c e c e c e c e --=+=+又因为te x =，所以2211,tt ee x x --= =，代入上式得212122.t t c cy c e c e x x--=+=+(5)【答案】91【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2A B A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有A B A B +=63，移项、合并有A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦630600030360060300003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19=方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得**2ABA BA -=*(2)A E BA E-=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有**(2)21A E BA A EB A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则1n A A-*=.所以，312A A A -*===9；又0102100001A E -=1210(1)01+=-=1.故1192B A E A*==-.(6)【答案】e1【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为,0()00x e x f x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若，其方差21λ=DX .于是，由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有}{D X X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=11xe eλλ+∞--=二、选择题(7)【答案】(B)【详解】方法1：202200tan tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x tdt x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又23230001sin sin 2lim lim lim 2tan tan xx x x x x t dtx x xtdtγβ+++→→→⋅= ⎰⎰洛必达201lim4x x x +→=∞等价无穷小替换，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B).方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x xxkxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有220lim cos cos lim lim 1lim x x x x t txxxα++++→→→→===，所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim xk k k k k x x x x x tdtx x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =,有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===，所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.31313222211100000sin sin lim lim lim lim lim ,222xk kk k k x x x x x t dtx x x x xx x kx kx kx γ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =,有221001lim lim 224x x xx x γ++-→→==⋅，所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)【答案】(C)【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x 根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(9)【答案】(B)【详解】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.方法1：排除法.取()()11ln 1n a n n =++，则n n na ∞→lim =0，又()()1111ln 11pn p n n p ∞= >⎧⎨++ ≤⎩∑收敛，当发散，当，所以()()1111ln 1n n n a n n ∞∞===++∑∑发散，排除A ，D ；又取n n a n 1=，因为p 级数1111p n p n p ∞= >⎧⎨ ≤⎩∑收敛，当发散，当，则级数111n n n a n n ∞∞===∑∑收敛，但221lim lim lim n n n n n a n n n n→∞→∞→∞=⋅==∞，排除(C),故应选(B).方法2：证明(B)正确.l im 0n n na λ→∞=≠,即l im 1nn a nλ→∞=.因为11n n∞=∑发散，由比较判别法的极限形式知，1nn a∞=∑也发散，故应选(B)..(10)【答案】(B)【详解】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x :⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.方法1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t ，其他地方不出现t由⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(知：1y x ty t <<⎧⎨<<⎩，交换积分次序11x t y x <<⎧⎨<<⎩，得⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdxx x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有)2()2(f F ='，故应选(B).方法2：设()()x f x 'Φ=，于是1()()t t yF t dy f x dx =⎰⎰11()()t t t tyydy x dx dy d x '=Φ=Φ⎰⎰⎰⎰1[()()]t t y dy =Φ-Φ⎰1()(1)()tt t y dy=Φ--Φ⎰所以()()(1)()()()(1),F t t t t t f t t ''=Φ-+Φ-Φ=-所以(2)(2)F f '=，选(B).(11)【答案】(D)【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(12)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0A B =，则()()r A r B n+≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0A B =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0A B =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ==== 因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=.即齐次线性方程组0A x =有非零解.由齐次线性方程组0A x =有非零解的充要条件()r A n <,知()r A n <.所以A 的列向量组线性相关.又()0T T T AB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T T TT T m i B A B B i m αααα==== 因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0TT i Bα=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解.由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法3：设(),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=,将A 按列分块，记()12n A A A A =由0A B =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b bb A A A b b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠,所以至少有一个0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤),又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++= ,所以12,,,m A A A 线性相关.即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,nm R ααα∈ ，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα 线性相关.)又将B 按行分块，记12n B BB B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,同样，0A B =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭ 0=由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤),使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++= ,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关,即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).(13)【答案】C【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0x >有{}{}{}12P X x P X x P X x >=<-=>.或直接利用图形求解.方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有21}{α-=≥x X P ，可见根据分位点的定义有21α-=u x ，故应选(C).方法2：Oxy()f x {}P X u αα>=图1图2如图1所示题设条件.图2显示中间阴影部分面积α，{}P X x α<=.两端各余面积12α-，所以12{}P X u αα-<=，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，所以必有：2, (,)0, i j i jCov X X i jσ⎧==⎨≠⎩又222111()n n ni i i i i i i i D a X a D X a σ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑Oxy{}P X x α<=12α-()f x下面求1(,)Cov X Y 和1()D X Y +.而11,ni i Y X n ==∑故本题的关键是将Y 中的1X 分离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：1111112111(,)(,)(,)(,)n n i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑11DX n=21n σ=所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算.可以看本题(C),(D)选项.因为X 与Y 独立时，有()()()D X Y D X D Y ±=+.所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：22211222111(1)1()()n n n n D X Y D X X X n n n n nσσ++-+=+++=+ =222233σσn n n n n +=+，222222111)1()111()(σσnn n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- =.222222σσn n n n n -=-所以本题选(A)三、解答题(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2l n f x x =在()2[,],a b e e ⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4eξξ>.设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(ttt -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-=，即,0)(<'t ϕ所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln e e e =>ξξ，得22ln 4eξξ>故)(4ln ln 222a b ea b ->-.方法2：利用单调性，设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可.24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e eϕ'=-=-=，)2ln 12)(x x x -=''ϕ,当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-，故)(4ln ln 222a b ea b ->-.方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---,则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=,⇒x e >时,1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少,从而当2e x e <<时,22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加.从而当2e a x b e <<≤<时,()()0x a ϕϕ>=.⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(16)【详解】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h k m v /7000=.从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m -=.又dx dv v dt dx dx dv dt dv =⋅=.由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-=由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.mx v C k=-+=故得0v k m C =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.方法2：根据牛顿第二定律，得kv dtdvm-=,分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+，通解：t mk C ev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞.于是由d x vdt =，有00() 1.05().k k t t mmmv mv x v t dt v edt e km kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰或由()0kt mdx v t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dt dv m -=，dx v dt =，化为x 对t 的求导，得dt dxk dtx d m -=22,变形为022=+dtdxm k dt x d ，0(0)(0),(0)0v x v x '===其特征方程为02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m-=======-=，得,021km v C C =-=于是).1()(0t m k e kmv t x --=当+∞→t 时，).(05.1)(0km k mv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用.方法1：加、减曲面片高斯公式.取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdyzdzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233133212223(1)x dydz y dzdx z dxdy I I ∑-++-=-⎰⎰由高斯公式：设空间闭区域Ω是由分段光滑的闭曲面∑所围成，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有P Q R Pdydz Qdzdx Rdxd y dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 这里3322,2,3(1)P x Q y R z = == -，2226,6,6P QR x y z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以2216()I x y z dvΩ=++⎰⎰⎰利用柱面坐标：c os sin ,01,02,x r y r r dv rdrd dz z z θθθπθ=⎧⎪= ≤≤ ≤≤ =⎨⎪=⎩，有：2216()I x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰=r dzr z dr d r )(620101022⎰⎰⎰-+πθ()()221221123200011212122r r z r r z dr rr r drππ--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰()13246011124346r r r π⎛⎫- ⎪=-⋅+- ⎪⎝⎭11226ππ=⋅=记D 为1∑在x oy 平面上的投影域(){}22,1D x y xy =+≤，则0z =，0d z =，又1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，从而：()13322223(1)301DI x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑=++-=--⎰⎰⎰⎰33Ddxdy π==⎰⎰(其中Ddxdy ⎰⎰为半径为1圆的面积，所以11Ddxdy ππ=⋅=⎰⎰)故1223.I I I πππ=-=-=-方法2：用转换投影法：若(),z z x y =，z 对,x y 具有一阶连续偏导数，则,z zdzdx dxdy dydz dxdy x y∂∂=-=-∂∂.曲面22221:1,(1),2,2z zz x y x y x y x y∂∂=--+≤=-=-∂∂∑，由转换投影公式332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy∑=++-⎰⎰332[2()2()3(1)]z zx y z dxdy x y∑∂∂=-+-+-∂∂⎰⎰44222[443(1)3]Dx y x y dxdy=++---⎰⎰利用极坐标变换：c os ,01,02,sin x r r dxdy rdrd y r θθπθθ=⎧ ≤≤ ≤≤ =⎨=⎩，所以214444220[4cos 4sin 3(1)3]I d r r r rdrπθθθ=++--⎰⎰215454530[4cos 4sin 3(2)]d r r r r drπθθθ=++-⎰⎰24404413(cos sin )6622d πθθθ=++-⎰()2222222004cos sin 2cos sin 6d d ππθθθθθθ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰2220412cos sin 26d πθθθπ⎡⎤=--⎣⎦⎰22220041cos sin 2263d d ππθθθθπ=--⎰⎰()20411cos 4236d ππθθπ=---⎰22004112cos 4sin 433624d πππππθθπθ=---=--⎰0ππ=--=-或244044(cos sin )66d πθθθ+⎰直接利用公式44220031cos sin 422d d πππθθθθ==⋅⋅⎰⎰及224444220cos 4cos 4sin sin d d d d ππππθθθθθθθθ===⎰⎰⎰⎰则244044431(cos sin )24666422d ππθθθπ+=⋅⋅⋅⋅⋅=⎰所以，原式2πππ=-=-(18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.零点定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=；单调性：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在(),a b 内可导，如果在(),a b 内()0f x '>，那么函数()f x 在[],a b 上单调增加；比较审敛法：设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且n n u v ≤，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛.【证明】记()1nn f x x nx =+-，则()n f x 是连续函数，由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，对照连续函数的零点定理知，方程01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x 当0x >时，0)(1>+='-n nxx f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加,故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x 由01=-+nx x n与0>n x 知nn x x nn n 110<-=<，故当1>α时，函数y x α=单调增，所以αα)1(0n x n <<.而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.(19)【分析】根据极值点存在的充分条件：设函数(,)z f x y =在点()00,x y 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0000(,)0,(,)0x y f x y f x y = =，令000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C = = =，则(,)z f x y =在()00,x y 处是否取得极值的条件如下：(1)20A C B ->时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值；(2)20A C B -<时没有极值；(3)20A C B -=时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.【详解】因为0182106222=+--+-z y z y xy x ，所以两边对x 求导：02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ，①两边对y 求导：0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x .②根据极值点存在的充分条件，令00zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩，故⎩⎨⎧==.,3y z y x 将上式代入0182106222=+--+-z y z y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再①分别对,x y 求偏导数，②分别对,x y 求偏导数①式对x 求导：02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，②式对x 求导：,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--y x zz x z y z y x z y x z ①式对y 求导：,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx zz x z y z y x z y x z ②式对y 求导：02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，将⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z xz代入，于是61)3,3,9(22=∂∂=x z A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=yx z B ，35)3,3,9(22=∂∂=yz C ，故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，极小值为(9,3)3z =.类似地，将⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z x z 代入，于是22(9,3,3)16z A x ---∂==-∂，2(9,3,3)12zB x y---∂==∂∂，22(9,3,3)53z C y ---∂==-∂，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9,-3)是(,)z x y 的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.(20)【详解】方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A n n n n a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+= 行行111120000a a a B na a +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0A x =有非零解的充要条件是()r A n <.故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1) 分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (1)12,3i i n ⨯-+= 行()(1)00022100001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理,知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A n n n n a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦00011110002222000a a a n n n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法a E =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +，下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q n n n n λλλλ---------=---- 11112001(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=- 行行(1)1112()1000(2,3,,)000n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若A x x λ=，则()(),m m kA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++,由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A .可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A n n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1)(2,)i i i n ⨯-+= 行（行1111000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，.故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x 此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1) 分别代入()*式，由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (1)1(2,3)i i n ⨯-+= 行(1)00022100001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即00002100001n ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(21)【详解】A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行1101(2)14315a λλλ------提出行公因数1101(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1)若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-.由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6,由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数.由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,从而A 可相似对角化.(2)若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得.32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+ 行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=,不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,知A 不可相似对角化.(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.先确定(,)X Y 的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(,)X Y 的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I)由于1()()(|)12P AB P A P B A ==，所以,61)()()(==B A P AB P B P利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有121)(}1,1{====AB P Y X P ，61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ，,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-====21()()()3P A P B P AB =--+=(或32121611211}0,0{=---===Y X P )，故(,)X Y 的概率分布为Y X1032121161121(II),X Y 的概率分布分别为213{0}{0,1}{0,0},3124P X P X Y P X Y ====+===+=111{1}{1,1}{1,0},6124P X P X Y P X Y ====+===+=111{1}{0,1}{1,1},12126P Y P X Y P X Y ====+===+=215{0}{0,0}{1,0}.366P Y P X Y P X Y ====+===+=所以,X Y 的概率分布为X 01Y 01P4341P6561由01-分布的数学期望和方差公式，则61,41==EY EX ，1334416DX =⨯=，1566DY =⨯536=,{}{}{}()00111,1E XY P XY P XY P X Y =⋅=+⋅====112=,故241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY (23)【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.似然函数的定义：121()(,,,;)(;)nn ii L f x x x f x θθθ===∏ 【详解】X 的概率密度为11,,(;) 1.0,x f x xx βββ+⎧>⎪=⎨≤⎪⎩(I)矩估计.由数学期望的定义：1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx xx dx x x f EX ，用样本均值估计期望有E X X =，令X =-1ββ，解得1-=X Xβ，所以参数β的矩估计量为.1ˆ-=X X β其中11nii X X n ==∑(II)最大似然估计.设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值，则似然函数为：⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L in nni i ββββ当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，()L β与l n ()L β在相同的β点取得最大值；所以等式两边取自然对数，得1ln ()ln (1)ln ni i L n x βββ==-+∑，两边对β求导，得∑=-=n i i x nd L d 1ln )(ln βββ，令0)(l n =ββd L d ，可得∑==ni ixn1ln β，解得β的最大似然估计值为： 1ln nii nxβ==∑。
