电磁场与电磁波习题答案

2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q i 及q 2的电量分别 为q 及4q ，当点电荷q 位于q i 及q ?的连线上时，系统处 于平衡状态，试求q 的大小及位置。

解 要使系统处于平衡状态，点电荷q 受到点电荷q i 及可见点电荷q 可以任意，但应位于点电荷q i 和q 2的连线 上，且与点电荷q i 相距Id32-2 已知真空中有三个点 电荷，其电量及位置分别 为：q iiC, P (0,0,i)q 2 iC, P 2(i,0,i) q 3 4C, P 3(0,i,0)试求位于P(0, i,0)点的电场 强度解 令r i ,r 2,r 3分别为三个电电荷的位置P,P 2,P 3到P 点的 距离，则 r i、2，r 2 .3，r 3 2利用点电荷的场强公式E，其中e r 为点电4 °r第q ?的力应该大小相等， 方向相反，即F q i qF q 2q 。

那么，q i q 4q ?q 4r i2r i ，同时考虑到r i r 2 d ，求得3d习题图2-2荷q指向场点P的单位矢量。

那么，q i在P点的场强大小为E iq2在P点的场强大小为E2ie r 2 _e x e y e z 。

\ 3q3在P点的场强大小为则P点的合成电场强度为E E i E2 E3i i io i2、3e x X24 o r i28q2i4 0D212 0q3i4 0「3240ii e yi8.2，方向为，方向为E3q i iii2.3 e zii2.3，方向为2-3 直接利用式（2-2-14 ）计算电偶极子的电场强度。

解令点电荷q位于坐标原点，r为点电荷q至场点P的距离。

再令点电荷q位于+ z坐标轴上，匚为点电荷q 至场点P的距离。

两个点电荷相距为I，场点P的坐标为(r,根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为考虑至U r >> I ，e「i =e r，2 2r i r2~2~ e rr r i q r r L3r i r I cos(r i，那么上式变为r)(r i r) e2 2 e rr r i式中1r ii2 2r l 2rl cos 22—cosr以-为变量，并将1身2 - cos r r r开。

由于I r ,略去高阶项后，得1 I cos r r2-4已知真空中两个点电荷的电量均为2 10 6 C,相距为 2cm ,如习题图2-4所示。

试求：①P 点的电位；②将电量为2 10 6C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，解根据叠加原理，P 点的合成电位为因此，将电量为2 106C 的点电荷由无限远处缓慢地移到 P 点，外力必须做的功为W q 5 J2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。

11I「11 cosr r利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为 I cosr ql cos 2 o r 3e rql sin 34 o re 02在零点作泰勒展q 4 o r62.5 10 V习题图2-4解建立圆柱坐标系。

令先电荷沿z轴放置，由于结构以z 轴对称，场强与无关。

为了简单起见，令场点位于yz平面。

设线电荷的长度为L，密度为i，线电荷的中点位于坐标原点，场点P的坐标为r, , z 。

2利用电位叠加原理，求得场点P的电位为£ dL —2 r0 式中r0z I 2r2。

故InzIn-因E ，可知电场强度的z分量为E z 习题图2-5IL 2 L z —22i . sin 24 o r2IL 2.z — r Y 2z L 2, z L 2 V 1r \r1' 22rl1 1 z2r2rz L 2 24 o r L 2 2 电场强度的r分量为z L 22 r 2 L 2 z L 2 2 r 2z L22 r 2rL 2 z L 22 r 2sin E r14 o ro r 1tan21」14 o ricos4 o r式中1arctan —-z1 tan2COS cossin1 COs 2arctan —，z —sin cos 20,l2 o re r1tan22那么，合成电强为cos 1,则合成电场强度为z L 2 2 z L 2 r r z L 2 2r1 tan11tan21可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。

2-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度0 sin , 0 ，试求圆心处的电场强度。

解建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。

那么，点电荷d在圆心处产生的电场强度具有两个分量E＜和Ey。

由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的E y分量，即i dld E d E y 2 sin4 o a考虑到d| ad ,为i 0 sin ，代入上式求得合成电场强度E e y sin d e y y 0 4 o a 8 o a y2-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为i ,试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。

x习题图2-7解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7 所示。

那么，点电荷| dl 在z 轴上P 点产生的电位为idl4 o r根据叠加原理，圆环线电荷在P 点产生的合成电位为l 2 adl 1 dl4 o r 0场强度为试求空间任一点的电场强度(a)(b)习题图2-8解 建立直角坐标，且令带状电荷位于xz 平面内，如习 题图2-8所示。

带状电荷可划分为很多条宽度为dx 的无 限长线电荷，其线密度为s dx 。

那么，该无限长线电荷ia2 o 、a 2 z 2因电场强度，则圆环线电荷在P 点产生的电e ziaz笃。

a 2八2-8 设宽度为W 面密度为s 的带状电荷位于真空中，产生的电场强度与坐标变量2z 无关，即那么2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a ,面电荷密度 为S ，位于z =0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘 轴线上任一点电场强度Ex习题图2-9解 如图2-9所示，在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的 圆环，该圆环具有的电荷量为d q 2 r d r s 。

由于对称性， 该圆环电荷在z轴上任一点P 产生的电场强度仅的r 有z 分量。

根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P2w 2wxyx —e xIn2 2e y- arctan -------- - 4 0w22 0yx—y22x x2w x — 2 arctan — ydEsdxe r式中 e re yx e y ydEsdxe y ydxe y yrxeX别位于x = 0及x = 1平面，试求x 1, 0 域中的电场强度。

解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。

因此，位 于x = 0平面内的无限大面电荷S ，在x < 0区域中产 生的电场强度E 1 e x E 1，在x > 0区域中产生的电场强度E 1e x E 1。

位于x = 1平面内的无限大面电荷 S ，在x < 1区域中产生的电场强度E 2 e x E 2，在x > 1区域中 产生的电场强度E 2e x E 2。

由电场强度法向边界条件获知，oE 1sx 00 E20 E 2sx 00E 1s x 00E 2 0E 2s x 1E 已 E2e x E 1e x E 2 0, x 0E E 1E 2e x E 1e x E 2s, 0 x 1E 已E 2 e x E 1 e x E 2 0, x 1各区域中的电场强度应为dEzr s drd E z3 22 0 r 2 z 2 3那么， 整个圆盘电荷在P 产生的电场强度为azrd r 0 2 2 3 2 z rz—z 2—a 22-10 已知电荷密度为S 及的两块无限大面电荷分0 1即 0E 1由此求得E 1E 2根据叠加定理， 产生的电场强度的z 分量为sz2-11 若在球坐标系中，电荷分布函数为0, 10 6 0,D F er式中q 为闭合面S 包围的电荷。

那么2 > r e r qr试求球内外各点的电位。

解在r a 区域中，电位为r E dr E d r E d r — a 2 r 2— rra2aa在r a 区域中， r E dr qr-2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为试求0 r a, a r b 区域中的电通密度D 。

解作一个半径为r 的球面为高斯面，由对称性可知因此,因此, 2-12 a 区域中， b 区域中， q dvv由于q = 0 ，因此D = 0。

闭合面S 包围的电荷量为10 6 - r 3 a 333 3r a D2e r3 r 210 6 b 区域中，闭合面S 包围的电荷量为q vdv 106彳八 a 3 633r 10 b a D 2e r3 r 2若带电球的内外区域中的电场强度为v53r , r aEe ra 5—,r a r试求空间的电荷密度r 2, 0 r a(r)0,rar 为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。

解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理在0 r a 区域中r2 24 5qr d v4 r r d r —r v51 451r3E e r2 re rr 4 r 255在r a 区域中2r 2dr解利用高斯定理的微分形式E —,得知在球坐标系中r E丄2 ,r dr那么，在r a 区域中电荷密度为1 d r 0 ~2~~r dr a 区域中电荷密度为1 d r 0 ~~T~r d rr 2E r2or2-14 已知真空中的电荷分布函数为式中2-15 已知空间电场强度E 3e x 4e y 5e z ，试求（0,0,0 ）与（1,1,2 ）两点间的电位差。

解 设R 点的坐标为（0,0,0, ） , P 2点的坐标为（1,1,2,）,那么，两点间的电位差为VP 2E Pdl式中E4e y5e z , dl e x dx e y dy e z dz ，因此电位差为1,1,2V0, 0,03d x 4d y 5dz 3 V2-16 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为b 。

若填充介质的相对介电常数r 2。

试求在 外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导 体半径之比。

解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q !，则同轴线内 电场强度E 乩 e r 。

为了使同轴线获得最高耐压，应在2 r保持内外导体之间的电位差V 不变的情况下，使同轴线 内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面r a处的电场强度达到最小值。

因为同轴线单位长度内的电 容为q 1则同轴线内导体表面r a 处电场强度为b|ne r4 r 25a 5-E(a)5a令b 不变，以比值-为变量，对上式求极值，获知当比 a 值-e 时，E a 取得最小值，即同轴线获得最高耐压。