高一数学必修一、必修二知识点整合

数学必修一必修二知识点大全数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。

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数学必修一必修二知识点归纳(一)1.并集(1)并集的定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作"A并B");(2)并集的符号表示A∪B={x|x∪A或x∪B｝.并集定义的数学表达式中"或"字的意义应引起注意，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的.x∪A，或x∪B包括如下三种情况：①x∪A，但xB;②x∪B，但xA;③x∪A，且x∪B.由集合A中元素的互异性知，A与B的公共元素在A∪B中只出现一次，因此，A∪B 是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.例如，设A={3，5，6，8｝，B={4，5，7，8｝，则A∪B={3，4，5，6，7，8｝，而不是{3，5，6，8，4，5，7，8｝.2.交集利用下图类比并集的概念引出交集的概念.(1)交集的定义由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B").(2)交集的符号表示A∩B={x|x∪A且x∪B｝.(二)1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∪[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：（1）．有限集含有有限个元素的集合（2）．无限集含有无限个元素的集合（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊂B,且B⊄ A那就说集合A是集合B的真子集，记作A⊆ B(或B⊇ A)③如果 A⊂B, B⊂C ,那么 A⊂C④如果A⊂B 同时 B⊂A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高一数学必修一和二知识点高一数学必修一和二是高中数学的基础课程，主要涵盖了数学的基本概念、运算法则、函数与方程、几何形体等内容。

本文将会逐一介绍这些知识点。

一、数的性质与运算法则1. 整数的概念与性质整数包括正整数、负整数和零，具有加法、减法、乘法和除法等运算法则。

2. 有理数的概念与性质有理数包括整数和分数，可用数轴表示，有加法、减法、乘法和除法等运算法则。

3. 实数的概念与性质实数包括有理数和无理数，能够用不完全循环小数或无穷小数表示。

4. 多项式的运算法则多项式包括单项式和多项式，具有加法、减法、乘法以及乘方等运算法则。

二、函数与方程1. 函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，具有定义域、值域和图像等要素。

函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

2. 一元二次方程一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，解一元二次方程可使用求根公式或配方法等。

3. 一元一次方程组一元一次方程组是一组包含一个未知数的一次方程，可使用消元法、代入法或加减法等来解。

4. 二元一次方程组二元一次方程组是一组包含两个未知数的一次方程，可使用消元法或代入法等来解。

三、平面直角坐标系与直线1. 平面直角坐标系的概念与性质平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，用于表示平面上点的坐标。

2. 直线的性质与方程直线包括斜率、截距和方程等要素，直线的方程可为一般式、点斜式或截距式等形式。

3. 直线的位置关系直线的位置关系包括相交、平行、重合和相交于无穷远点等情况。

4. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系包括相交、相切和外离等情况。

四、三角函数1. 三角函数的概念与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，可用于表示角度之间的关系。

2. 三角函数的基本关系与恒等式三角函数之间有一系列基本关系与恒等式，如正弦定理、余弦定理、和差化积公式等。

3. 三角函数的图像与变换通过改变三角函数的参数，可实现对三角函数图像的平移、伸缩和翻转等变换。

交集并集补集{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或 U C A ={}x x U x A ∈∉且1、德摩根公式：();()U U U U U U C AB C A C B C A B C A C B ==.2、包含关系： A B A A B B =⇔=⇔⊆A B （讨论）3、集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.三个不等式的解法： (1) 分式不等式 (2) 一元二次不等式(3) 绝对值不等式：当a> 0时，有<⇔-<<x a a x a ； >⇔>x a x a 或x a <-. 对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ；()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ； ()()y f x y f x =−−−→=--原点 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去4、函数单调性:增函数：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x < 成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。

D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。

D 则就是f （x ）的递减区间。

函数 单调 单调性 内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓ 外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑ 复合函数 ↑↑↓↓等价关系：(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.5、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。

高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）空集的特性①空集是不含任何元素的集合.②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.③空集单独使用时当集合的，但是放在集合里面又可以当元素使用,如｛Φ｝【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇Φ=A C U UA C U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．o⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法增；若y f =则[()]y f g x =为减．（2）函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[0)、上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作m x f =)(min ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．若0)0(≠f ，则0=x 必不在)(x f 的定义域上③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对． (0,)+∞上为减函p,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b qa->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．高中数学必修1知识点总结第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

- 1 -必修1知识点第一章、集合与函数概念 1、§1.1.1.集合2、集合三要素: 确定性、互异性、无序性。

3、常见集合: 正整数集合: 或 ； 整数集合: ；有理数集合: ； 实数集合: . 集合的表示方法: 列举法、描述法. §1.1.2.集合间的基本关系1.一般地, 对于两个集合A.B, 如果集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素, 则称集合A 是集合B 的子集。

记作 .2.如果集合 , 但存在元素 , 且 , 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3.把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定: 空集合是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集. 4.如果集合A 中含有n 个元素, 则集合A 有 个子集. §1.1.3.集合间的基本运算1. 一般地, 由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合, 称为集合A 与B 的并集.记作: .2. 一般地, 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合, 称为A 与B 的交集.记作： . 1、3.全集、补集: 2、§1.2.1.函数的概念3、一个函数的构成要素为: 定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完全一致, 则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法 解析法、图象法、列表法. 求解析式的方法:1.换元法2.配凑法3.待定系数法4.方程组法 §1.3.1.单调性与最大（小）值注意函数单调性证明的一般格式: 解: 设 且 , 则: =… 五个步骤：取值, 作差, 化简, 定号, 小结 §1.3.2.奇偶性1.一般地, 如果对于函数 的定义域内任意一个 , 都有 , 那么就称函数 为偶函数.偶函数图象关于 轴对称.2、一般地, 如果对于函数 的定义域内任意一个 , 都有 , 那么就称函数 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数 §2.1.1.指数与指数幂的运算1.一般地, 如果 , 那么 叫做 的 次方根。

必修1数学基础知识 第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

必 修 一第一章 集合与函数的概念一、集合：1．集合的定义与表示（1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合（2）集合的表示：常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母,,,c b a 表示（3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质） （4）元素与集合的关系：属于(A a ∈) , 不属于(A a ∉) （5）常用数集：R Q Z N N ,,,,* （6）集合的表示：列举法，描述法2．集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） （1）子集：一般地，对于两个集合,A B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（读作A 含于B ）或A B ⊇（读作B 包含A ）。

韦恩表示图略 （2）集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），称集合A 与集合B 相等。

记作A B =。

韦恩表示图略 （3）真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素,x B ∈且,x A ∉称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂（读作A 真含于B ）或A B ≠⊃（读作B 真包含A ）。

韦恩表示图略（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集。

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 （5）集合的子集个数：含有n 个元素的集合的子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集个数为22-n3．集合的基本运算从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） （1）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作A B （读作：“A 并B ”），即{},A B x x A x B =∈∈ 或，韦恩表示图略 （2）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的交集，记作A B （读作：“A 交B ”），即{},A B x x A x B =∈∈ 且，韦恩表示图略，数轴表示略 （3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ð，即{}=,U A x x U x A ∈∉且ð，韦恩表示图略，数轴表示略说明：求并集、交集与补集时可借用数轴处理4．集合的主要性质和运算律二、函数及其表示1．函数的定义：（集合对应定义法）设A B 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A ∈叫做函数的值域，值域是集合B 的子集. 函数三要素：定义域（集合），值域（集合），解析式（表达式）区间（集合的另一种表示方式）：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开）[][)(]()(]()[)()(,);,;,,,;,,,;,,,,,a b a b a b a b a a b b -∞-∞+∞+∞-∞+∞无穷大的引入：-∞+∞∞,, 2．函数的表示：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图像法：用图表表示两个变量之间的对应关系 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 分段函数：映射：设A B 、是非的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；数学必修 第一章 1 各章知识点总结 集合与函数概念对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于一、集合（一）集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(3)1；(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的 的值组成的集合； x (6) 指数为零底不可以等于零；(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 3. 集合的表示： （ 1）常用数集及其记法 （2）列举法 （ 3）描述法.4、集合的分类：有限集、无限集、空集 相同函数的判断方法 ： ( 以下两点必须同时具备 )5. 常见集合的符号表示：(1) 表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； (2) 定义域一致 .数集 符号自然数集 N正整数集整数集 Z有理数集 Q实数集R求函数值域方法 : （先考虑其定义域）或 NN （ 1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 (2) 应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 (3) 求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等 2. 函数图象知识归纳. . （二）集合间的基本关系1. 子集、真子集、空集； nn-12. 有 n 个元素的集合，含有 2 个子集， 2 个真子集；.3. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 （三）集合的运算.(1) 定义： 在平面直角坐标系中， 以函数 y=f(x) , (x ∈ A) 中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点 P (x ，运算类型交集并集补集y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈ A ) 的图象． C 上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，设 U 是一个集合， A 是 Ux 、y 为坐标的点 (x ，y) ，均在 C 上 . 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集 合 , 叫做 A,B 的交集．记作 A B （读作由所有属于集合 A 或属 的一个子集，由 U 中所有 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据 .(2) 画法 : 描点法 ; 图象变换法 于集合 B 的元素所组成 的集合， 叫做 A,B 的并 不属于 A 的元素组成的集 合，叫做 U 中子集 A 的补集（或余集）定义集．记作： A B （读作 常用变换方法有三种 3．区间的概念: 平移变换 ; 对称变换； * 伸缩变换 . ‘ A 交 ｛ x |xB ’），即 A B=B ｝． ‘ A 并 B ’），即 A B}) B．记作 C U A ，即 A ，且 A ，或 x ={x|x x C U A={ x|xUx ,且（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 4．映射（ 2）无穷区间； （ 3）区间的数轴表示．A}韦恩 图 示一般地，设 A 、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合 A 中的任意一 UAA BBA个元素 x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 . 记作“ f （对应关系） ： A （原象集）对于映射 f ： A →B 来说，则应满足：B （象集）”图 2图 1 A AA A A A=AΦ =Φ A A A A A A=A Φ =A 集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(1) (2) (3) (C u A) (C u A)(C (C u B)= C u (AB) B)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；u B)= C u (A 性质B=B B B A A BB=B B B A Ａ B不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象 .A (C u A)=Uu A)= Φ． 5. 分段函数(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数； (2) 各部分的自变量的取值情况；(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．A(C 二、函数（一）函数的有关概念1. 函数的概念：设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一（二）函数的性质1. 函数的单调性 ( 局部性质 ) （ 1）定义设函数 y=f(x) 的定义域为 个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 数．记作： y=f(x) ， x ∈ A ．其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 f ： A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函的值相对应 A 叫做函数的定义域；与 x 的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x ∈ A } 叫做函数的值域．I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1， x 2， 定义域：能使函数式有意义的实数 2. 常用的函数表示法及各自的优点： ○1 解析法：必须注明函数的定义域；x 的集合称为函数的定义域 . 当 x 1<x 2 时，都有 f(x 1)<f(x 2 ) ，那么就说 间 . f(x) 在区间 D 上是增函数 . 区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区 x 1<x 2 时，都有 f(x 1) ＞f(x 2) ，那么就说 如果对于区间 这个区间上是减函数 D 上的任意两个自变量的值 x 1， x 2，当 f(x) 在 ○2 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； ○3 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． . 区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间 .优点：解析法：便于算出函数值. 列表法：便于查出函数值 . 图象法：便于量出函数值 .（ 2）利用图象求函数的最大（小）值；（ 3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：f ( x 2 ) x 2x 1, x 2f ( x 1 ) x 1D ，且 定 义 的 变 形 应 用 ： 如 果 对 任 意 的x 1 , x 2 D ， 且 x 1 x 2 有0 或 者函数 函数 y=f(x) y=f(x) 在区间 [a ，b] 上单调递增， 在区间 [b ，c] 上单调递减则函数 在区间 [a ，b] 上单调递减， 在区间 [b ，c] 上单调递增则函数y=f(x) y=f(x) 在x=b 处有最大值 在x=b 处有最小值 f(b) f(b). ； ( fx() 2 f ( x 2 ) x 2 fx(x )1x f ( x 1 ) x 1) (2)0 ，则函数 f ( x) 在区间 x 1x 2 有D 上是增函数；如果对任意的 1f (x) ( f ()x 2f ( x 1x )x )(1)0 0 或者 ，则函数 在区间 D 上是减函数 .2第二章 基本初等函数注意：函数的单调性是函数的局部性质 （ 2）图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数. 一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调xn*．a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n ∈ N 性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 (3) 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：.n0 0 .a负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 (a (a 0) 0)nannnaa 当 n 是奇数时，n 是偶数时，| a |，当 ○1 任取 x 1， x 2∈ D ，且 x 1<x 2； a ○2 作差 f(x 1) － f(x 2) ；2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：m○3 变形（通常是因式分解和配方） ； mn○4 定号（即判断差 ○5 下结论（指出函数 f(x 1) － f(x 2) 的正负）； 1m1 a*N nm *n( 0, , , 1)aa (a 0, m, n N , n 1) ， aa m n n f(x) 在给定的区间 D 上的单调性） ． nmna (B) 图象法 ( 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性复合函数 f [ g(x) ] 的单调性与构成它的函数 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 2．函数的奇偶性（整体性质） （ 1）偶函数 )0 的正分数指数幂等于3．实数指数幂的运算性质 0， 0 的负分数指数幂没有意义u=g(x) ，y=f(u) 的单调性密切相关， 其规律：“同增异减” （ 1）a rasar sR) ；（ 2）(a r ) sar sR) ；（ 3）(ab) rabr (a r(a 0, r , s (a 0, r , s 0,r R) ．, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . （二）指数函数及其性质1．指数函数的概念：一般地，对于函数 （ 2）奇函数 一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f( － x )=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函数．y a x( a 0,且a 一般地，函数1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为1． R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和2．指数函数的图象和性质f(x) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f( －x)= — f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函数． （ 3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．a>10<a<1利用定义判断函数奇偶性的步骤 ：○1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2 确定 f( － x) 与 f(x) ○3 作出相应结论：若 的关系； f( － x) = f(x) 或 f( －x) － f(x) = 0，则 f(x) 是偶函数；若 f( － x) = － f (x)11或 f( － x) ＋ f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点定义域 R定义域 R对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称， (1) 再根据定义判定 由 ±f(x)=0; (2) f(-x) 值域 y ＞ 0在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点（值域 y ＞ 0在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点（或 f(x) ／ f (-x)= 3. 函数的解析表达式± 1 来判定 ; (3) 利用定理，或借助函数的图象判定 .（ 1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的 对应法则，二是要求出函数的定义域 （ 2）求函数的解析式的主要方法有：. 0， 1）0， 1）利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.a x ；1 ； f (x ) 取遍所有正数当且仅当 （ 1）在 [a ， b] 上， f ( x ) (a0且a1) 值域是 [f (a), f ( b)] （ a >1）或如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数 f[ g(x)] 的表达式时，可用换元法，这[f (b), f (a)] (0<a<1) 时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程 （ 2）若 x0 ，则 f (x ) f ( x ) xa .R ；组消参的方法求出 f(x)a x （ 3）对于指数函数(a 0且a1) ，总有 f (1) 4．函数最大（小）值（ 1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；二、对数函数2、对数函数的图象和性质：a>10<a<1（一）对数的概念：一般地，如果 axN 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 的对数， (a 0,a N ． ．．11记作： xlog a （ a — N 底数， N — 真数， log a N — 对数式）000 11x说明： ○1 注意底数的限制 两个重要对数：a 0 ，且 a 1 ；○2 a NNx .log a (0, ) (0, )定义域： 值域为 R定义域： 值域为 R○1 ○2 常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 自然对数：以无理数 指数式与对数式的互化e 2.71828 为底的对数的对数 ln N ． 在 R 上递增函数图象都过定点（ 在 R 上递减函数图象都过定点（ 1， 0）1， 0）幂值 真数三、幂函数1．幂函数定义：一般地，形如 2．幂函数性质归纳：by x (a R) 的函数称为幂函数，其中为常数．a log a N ＝ N＝ b（ 1）所有的幂函数在（ 0， +∞）都有定义并且图象都过点（1， 1）；) 上是增函数．特别地，当底数（ 2）当0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, 1时，幂指数对数1时，幂函数的图象上凸； 函数的图象下凸；当 0 时，幂函数的图象在区间 (0, ) 上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，（ 3）当 （二）对数的运算性质图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴．如果 a 0 ，且 a 1 ， M 0 ， N 0 ，那么：第三章 函数的应用○1log a (M log a M ＋ log a N ；· N ) 一、方程的根与函数的零点1 ． 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 yM Nf (x)( x D ) ， 把 使 f (x) 0 成 立 的实 数 叫 做 函 数 x ○2 log a M － log a ； N log a yf (x)( x D ) 的零点 .n○3log a Mn log a M(n R) ．2．函数零点的意义： 函数 y 交点的横坐标 . 即：方程 f (x) 的零点就是方程 f (x) 0 实数根， 亦即函数 yf (x) 的图象与 x 轴 注意：换底公式log b f ( x)0 有实数根 函数 f ( x) 的图象与 x 轴有交点 函数 f ( x) 有零点．y yc log b（ a 0 ，且 a 1 ； c 0 ，且 c 1 ； b 0 ）． a log a3．函数零点的求法：○1 （代数法）求方程 f ( x) c 0 的实数根；利用换底公式可得下面的结论： nm ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程， 性质找出零点． 4．二次函数的零点： 可以将它与函数 yf ( x) 的图象联系起来， 并利用函数的nb（ 1） b ；log m alog a 1log b a（ 2） log a b．2二次函数c ( a 0) ．0 有两不等实根，二次函数的图象与y axbx 2ax（ 1）△＞０，方程 两个零点．（ 2）△＝０，方程 x 轴有两个交点，二次函数有 bx c （三）对数函数ax 2 0 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有bx c y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义1、对数函数的概念：函数 域是（ 0， +∞）．一个二重零点或二阶零点． 2ax 0 无实根，二次函数的图象与（ 3）△＜０，方程 二、函数的应用x 轴无交点，二次函数无零点．bx c 注意： ○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际 问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的 x 50 ，且 如： 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．y2 log 2 x ， ylog 5○2 对数函数对底数的限制： 1 ． a a 关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解 .数学必修 2 各章知识点总结第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系第一章 空间几何体1、空间点、直线、平面之间的位置关系 （ 1） 平面1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）结 构 特 征 （ 1）两底面相互平 性质（ 1）两底面相互平行； （ 2）侧面 图例① ② 平面的概念：平面是无限伸展的 .平面的表示： 通常用希腊字母 α 、β 、 γ 表示，如平面 α （通常写在一个锐角内） ；行，其余各面都是平 行四边形； （ 2）侧棱平行且相 等 . （ 1）底面是多边形， 各侧面均是三角形； （ 2）各侧面有一个公共顶点 . （ 1）两底面相互平 行；（ 2）是用一个平 行于棱锥底面的平面 去截棱锥，底面和截面之间的部分 .的母线平行于圆柱的轴； （ 3）是以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余三边旋转形成的曲也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC. 棱柱圆柱点 A 在平面内，记作 A；点 A 不在平面内，记作 Al 外，记作 A ③ 点与平面的关系： 点与直线的关系： 直线与平面的关系 .点 A 在直线 l 上，记作： A ∈ l ； ：直线 l 在平面 α内，记作 l 点 A 在直线 l.面所围成的几何体 .α ；直线l 不在平面 α 内，记作 l α .（ 1）底面是圆；（ 2）是以直角三 角形的一条直角边所在的直线为 旋转轴，其余两边旋转形成的曲（ 2） 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言” 、“图形语言”列表如下：棱 锥 圆 锥 公理 1公理 2公理 3面所围成的几何体 . 图形 语言 （ 1）两底面相互平行；（ 2）是用一个平行于圆锥底面的 平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 .棱 台 圆 台 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 过不在一条直线上的三点，有 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条文字 语言 且只有一个平面 .直线在此平面内 过该点的公共直线 . .A Al , B l , BlAB , AB , C , 不 共 线 符号 语言公理 P, P（ 1）球心到球面上各点的距离相等； （ 2）是以半圆的直径所l球确定 平 面 C , P l在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 . 2 的三条推论：推论 推论 推论 2、空间几何体的三视图三视图定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） 1： 2： 3： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面；；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度 3、空间几何体的直观图——斜二测画法.经过两条平行直线，有且只有一个平面. （ 3）空间直线与直线之间的位置关系公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行相 交 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ；斜二测画法特点： ①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 轴平行且长度不变；y 轴平行，长度为原来的一半②原来与 y 轴平行的线段仍然与 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积.共 面 直 线① 空间两条直线的位置关系：平 行 直 线 ： 同 一 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 ；（ 1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）异 面 直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ， 没 有 公 共 点 .过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 表面积相关公式 表面积相关公式②异面直线判定： ③异面直线所成角 角（或直角）叫异面直线 2S全S S侧S 2S底S （r ：底面半径， h ：高）棱柱 棱锥 圆柱 圆锥S全S2 r 2 r h ：已知两条异面直线 a,b ，经过空间任一点 O 作直线 a // a, b // b ，把 a , b 所成的锐2（ r ：底面半径， l ：母线长）rrla, b 所成的角（或夹角） a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关，为了简便， . 点 O 通常取在异面直线的一条上； 异面直线所成的角的范围为 (0,90 ] ，如果两条异面直线所成的角是直角，( r '2r 2S r 'l rl )全SSS 上S 下棱台圆台则叫两条异面直线垂直，计算 .记作 ab . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→r ’：上底半径， （ r ：下底半径， l ：母线长） （ 2）柱体、锥体、台体的体积公式④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补 （ 4）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．.体积公式体积公式2r 棱柱 VSh圆柱 Vh1 31 3 2棱锥 VSh圆锥Vr h1 31 322棱台V(S ' SS ' Sh )V(r ' rr' r ) h圆台 三种位置关系的符号表示：（ 5）平面与平面之间的位置关系：a；a ∩ ＝A ； a ∥ . 2= 4 3平行——没有公共点，记作 相交——有一条公共直线，记作 ∥β .∩ β ＝ b.（ 3）球体的表面积和体积公式：； VS = 4 R3R 球面2、空间中的平行问题（ 1）直线与平面平行的判定及其性质②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 . （线面垂直线面平行的判定定理 ：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ,)面面垂直 ） 则该直线与此平面平行 .( 线线平行 线面平行 .用符号表示为： a ? ， ⊥ β? ⊥ β .符号表示为： 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面 a ,b ,a // b a // . （面面垂直线面垂直 ）线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，用符号表示为：，l ， a， ala.那么这条直线和交线平行 a //. 线面平行线线平行4、空间角问题（ 1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为a β符号表示为： aa // bb.0 b②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角 .a ,b ，形成③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线.（ 2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（ 1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角（ 2）直线和平面所成的角那么这两个平面平行 . （线面平行→面面平行） ， ①平面的平行线与平面所成的角：规定为 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为0 .90 .aa // ,b, b //, a b P用符号表示为：//.③平面的斜线与平面所成的角： 平面所成的角 .平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 * （ 2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行 * （ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理. （线线平行→面面平行） ，求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：（ 3）二面角和二面角的平面角“一作，二证，三计算”.①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， （ 1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行. （面面平行→线面平行）这两个半平面叫做二面角的面 . ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 面．内．分别作 垂．直．于．棱的两条射线，这两条∥ β ， a ? 用符号表示为：βa //射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角 .两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那 么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角 * 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角 的平面角（ 2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （面面平行→线线平行）∩ γ ＝ a , β ∩ γ＝ b用符号表示为：∥ β ， a // b.第三章 直线与方程3、空间中的垂直问题（ 1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直 ③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形） 1、直线的倾斜角与斜率（ 1）直线的倾斜角. 定义： x 轴 正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角 . 特别地，当直线与 x 轴平行或重合时 , 我.们规定它的倾斜角为 0 度 . 因此，倾斜角的取值范围是 （ 2）直线的斜率0°≤ α ＜ 180°是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直.①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率. 直线的斜率常用 k 表示 .（ 2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，即 k 当t an . 斜率反映直线与轴的倾斜程度 .0 ,90 90 ,180 时， k 0 ；当时， k 0 ； 90 时， k 不存在 .当 那么这条直线垂直这个平面 . （ 线线垂直线面垂直 ） y y 2 1 ( 2 )②过两点的直线的斜率公式： kx x 用符号表示为： l ⊥ m ， l ⊥ n ， m ∩ n ＝ B ， m ， n l ⊥1x 2x 1性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.x 1x 2 y 1 y 2用符号表示为：a ⊥ ，b ⊥ ? a / /b③ 设 A(,x 1 y 1 )，B （）x 2y,，则线段 AB 中点坐标公式为 (, ) 22 22x 2E2E2y4 F 2、直线的方程（ 1）直线方程的几种形式名称点斜式 斜截式 （ 2）一般方程Dx Ey F 02D2D0 时，方程表示圆，此时圆心为1 2当 ，半径为 D E 22rDE4 F方程y － y 0＝k ( x － x 0)y ＝ kx ＋ b适用范围不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线不含直线 x ＝ x 1( x 1≠x 2) 和直线 y ＝ y 1( y 1≠y 2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面直角坐标系内的直线都适用,224F 2D 2E4F0 时，表示一个点；0 时，方程不表示任何图形当 当 .（ 3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求 .两点式 截距式 一般式y － y 1y2 － y 1＝x － x 1x2 －x1 xa ＋ y b ＝ 1Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A ＋B ≠0)确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出需要求出 D ，E ， F.a ，b ， r ；若利用一般方程，2 2另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置 3、直线与圆的位置关系：. 注意： ○1 各式的适用范围 ; ○2 特殊的方程如：位置关系相交 相切 相离（ 1）弦长公式：几何特征 有两个公共点 有且只有一公共点 没有公共点方程特征方程组有两个不同实根 方程组有且只有一实根方程组无实根几何法 d<rd=r d>r代数法 △ >0△ =0 △ <0x a （ a 为常数） y b （ b 为常数）；平行于 轴的直线：x 平行于 y 轴的直线：.（ 2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线） 0 （ ①平行直线系： 平行于已知直线A 0 xB 0 yC 0 A 0 , B 0 是不全为 0 的常数）的直线系方程为： A 0 x B 0 y C 0 （C 为参r 2d2利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长 | AB |2 0 （ ②垂直直线系： 垂直于已知直线A 0 xB 0 yC 0A 0 ,B 0 是不全为 的常数）的直线系方程为：0 （ 2）过圆外一点的切线：① k 不存在，验证是否成立② k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =B 0 x A 0 yC 0 （C 为参半径，求解 k ，得到方程【一定两解】 ；③过定点的直线系 （ⅰ）斜率为 :k 的直线系方程为 2 (x-a) +(y-b) =r 222 ，圆上一点为 (3) 过圆上一点的切线方程：圆 (x， y ) ，则过此点的切线方程为 0 0 y y 0 C 1C 2k x 0 ， l 2 0 （ x 0，直线过定点x 0, y 0 ；0 的交点的直线系方程为(x 0-a)(x-a)+(y4、圆与圆的位置关系： 0-b)(y-b)= r通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d ）之间的大小比较来确定.: * （ⅱ）过两条直线l 1 C 1A 1 xB 1 y : A 2 x B 2 yC 2222222设圆 ， C 2 : x a 2y b 2RC 1 : x R R rR R a 1 y b 1r l 2 不在直线系中 A 1x B 1 y A 2 x B 2 y 为参数），其中直线.d r r dr r 当 时两圆外离，此时有公切线四条；时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；3、两直线平行与垂直 当 d已知 l 1 : yk 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2 ，则 l 1 // l 2k 1k 2 , b 1b 2 ； l 1l 2k 1k 21R R r 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否 4、两条直线的交点.当 d时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； d0 时，为同心圆 .当 d时，两圆内含；当 A 1 x A 2 x B 1 y B 2 y C 1 C 20 0的一组解 l 1 : A 1 x B 1 y C 10 ， l 2 : A 2 x B 2 y C 20 相交，交点坐标即方程组.注意：已知两圆相切，两圆心与切点共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 5. 空间直角坐标系.l 1 与 l 2 重合方程组无解 5、距离公式：(1) 平面上任意两点 l 1 // l 2 ； 方程组有无数解（ 1）定义 ：从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 Ox 、 Oy 、 Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O - xyz ，点 O 叫做坐标原点， x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴 . 通过每两22P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2) 间的距离为 P 1P 2| ＝x 2 | ( x 2x 1 )( y 2 y 1) .个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面 . （ 2）任意点坐标表示： 空间一点 M 的坐标可以用有序实数组( x, y, z) 来表示，有序实数组 ( x, y, z) 叫做点M 的纵坐标， z叫特别地，当 | P 1 P 2 | | y 1P 1 , P 2 x | P 1P 2 | | x 1| ；当 P 1 , P 2 y 所在直线与 轴平行时， 所在直线与轴平行时，M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 做点 M 的竖坐标）Mx (y z, , ) （x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点y 2 |；(2) 平面上任意一点 ＋ B2). (3) 两条平行直线 P 0( x 0，y 0) 到直线 l ：Ax ＋ By ＋ C ＝0( A ，B 不同时为 0) 的距离为 d ＝ |Ax0 ＋By0＋ C|\r(A2（ 3）空间两点距离坐标公式：222d( x 2x 1 )( y 2y 1 )( z 2 z 1 )l 1：Ax ＋By ＋ C 1＝ 0，l 2：Ax ＋ By ＋ C 2＝ 0( 其中 A ，B 不同时为 0，且 C 1≠C 2 ) 间的距离为 d＝ |C1 － C 2|\r(A2 ＋ B 2).第三章 圆与方程1、圆的定义：2、圆的方程 （ 1）标准方程 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径 .22r 2，圆心 a, b xa y b，半径为 r ；。

高一数学必修一二知识点总结高一数学必修一二知识点总结 1一：函数模型及其应用本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。

主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。

1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。

2、用函数解应用题的基本步骤是：（1）阅读并且理解题意。

（关键是数据、字母的实际意义）；（2）设量建模；（3）求解函数模型；（4）简要回答实际问题。

常见考法：本节知识在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。

多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。

误区提醒：1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。

2.在解决实际问题时，首先要明确问题的含义，区分条件和结论，把握关键词和数量，理顺数量关系，然后将书面语言转化为数学语言，建立相应的数学模型。

【典型例题】例1：（1）某种储蓄的月利率是0。

36%，今存入本金100元，求本金与利息的和（即本息和）y（元）与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和（不计复利）。

（2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。

如果存入本金1000元，每期利率2。

25%，试计算5期后的本利和是多少？解：（1）利息=本金×月利率×月数。

y=100+100×0。

36%·x=100+0。

36x，当x=5时，y=101。

8，∴5个月后的本息和为101。

8元。

例2：某民营企业生产a，b两种产品，根据市场调查和预测，a产品的利润与投资成正比，其关系如图1，b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将a，b两种产品的利润表示为投资的函数，并写出m.chayi5 它们的函数关系式。

高一数学必修一二知识点总结随着高考的逼近，高一的学习显得格外重要。

数学作为一门基础学科，是高中学习的核心内容之一。

为了帮助同学们更好地学习数学，下面对高一数学必修一和必修二的知识点进行总结和归纳。

一、必修一知识点总结1. 实数实数是包含有理数和无理数的数集。

它们可以用数轴上的点表示，有着特定的大小和相对位置关系。

2. 代数式与恒等式代数式是由数、字母及运算符号组成的表达式，而恒等式是两个代数式相等的等式。

对代数式进行运算时，需要遵守相应的运算法则。

3. 一次函数与一次方程一次函数是指函数的自变量的最高次数为一的函数，而一次方程则是自变量的最高次数为一的方程。

解一次方程时，可以运用等式的性质进行变换。

4. 二次根式二次根式是形如√n的表达式，其中n为一个非负实数。

求解二次根式时，需要运用根的性质进行简化和变形。

5. 整式的加、减与乘整式是由常数项和各种有理数的积的和组成的代数式。

在整式的加、减与乘法运算中，需要注意各项之间的运算法则。

6. 因式分解因式分解是将一个多项式分解成几个部分的乘积的过程。

对于不同类型的多项式，可以采用提公因式、公式法、特殊公式等不同的方法进行因式分解。

7. 二次函数二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像为抛物线，求解二次函数的零点时可以运用配方法、求根公式等不同的方法。

二、必修二知识点总结1. 平面向量平面向量是具有大小和方向的量。

平面向量的基本运算包括向量的加法、减法和数量乘法等。

2. 集合集合是由若干个确定的元素构成的。

数学中常用的集合有空集、全集、子集、并集和交集等概念。

3. 不等式与不等式的解法不等式是由等号和不等号组成的数学式，不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。

解不等式时需要注意运算规则和性质。

4. 三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。

常见的三角函数有正弦、余弦、正切和余切等，它们之间存在着特定的关系和性质。

必修一第一章 集合与函数概念 1.1集合的含义与表示集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。

通常，集合用大写字母表示，集合元素用小写字母表示。

如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈。

如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉。

非负整数集（自然数集） N 整数集 N *或N + 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 集合的两种表示方式：列举法，描述法。

1.2集合间的基本关系①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集。

记作：()A BB A ⊆⊇或 读作：A 含于B(或B 包含A)。

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。

Venn 图法表示集合。

空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。

空集的性质：空集是一切集合的子集。

空集是任何非空集合的真子集。

子集的定义：对于两个集合A 与B ，若然任何属于A 的元素也属于B ，我们就说A 是B 的子集。

真子集的定义：如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集。

1.3集合的基本运算交集、并集、全集、补集。

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集。

记作：A ∩B 。

读作：A 交B 。

其含义用符号表示为：{|,}.A B x x A x B =∈∈I 且 用Venn 图表示如下：—般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

记作：A ∪B. 读作：A 并B.其含义用符号表示为：{|,}A B x x A x B =∈∈U 或 用Venn 图表示如下：补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个真子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在S 中的补集记作∁sA. 读作A 在S 中的补集。

高一数学必修一二知识点总结
一、集合与函数概念
集合的表示与运算：了解集合的概念、分类和表示方法（如列举法、描述法），以及集合的运算（如并集、交集、补集等）。

函数的概念与性质：理解函数的定义域、值域、对应法则等基本要素，掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。

二、基本初等函数
指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的定义、性质、图像及变换，理解指数方程和对数方程的解法。

幂函数与三角函数：了解幂函数的定义、性质和图像，掌握三角函数的定义、诱导公式、基本关系式、图像及性质，理解三角恒等变换和三角函数的应用。

三、数列与不等式
数列的概念与性质：理解数列的定义、分类（等差数列、等比数列等）及通项公式，掌握数列的前n项和公式及求和方法。

不等式的解法与应用：掌握不等式的性质、基本不等式（如均值不等式）及解法，理解不等式在实际问题中的应用。

四、平面向量与立体几何初步
平面向量的基本概念与运算：了解向量的定义、表示方法（如坐标表示法），掌握向量的加、减、数乘及数量积等运算。

立体几何的基本概念与性质：理解空间点、直线、平面的基本性质，掌握空间几何体的表面积和体积计算公式。

五、统计与概率初步
统计的基本概念与数据处理：了解统计的基本概念（如总体、样本、平均数、方差等），掌握数据的收集、整理和分析方法。

概率的基本概念与计算：理解概率的定义、性质及计算方法（如古典概型、几何概型等），掌握条件概率、独立事件等概念及计算方法。

以上只是高一数学必修一和必修二的部分知识点总结，具体学习还需结合教材和教辅资料进行深入理解和应用。

在学习过程中，建议注重基础知识的巩固和拓展，多做练习题以提高解题能力和思维水平。

高一数学必修一必修二知识点- 2 - / 5- 2 -必修1知识点第一章、集合与函数概念 §1．1。

１、集合1、集合三要素:确定性、互异性、无序性。

2、常见集合:正整数集合:*N 或+N ； 整数集合：Z ;ﻫ 有理数集合:Q ; 实数集合:R 。

3、集合的表示方法：列举法、描述法。

§1。

1。

2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合Ａ中任意一个元素都是集合Ｂ中的元素，则称集合Ａ是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆,但存在元素B x ∈,且A x ∉,则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B 。

3、把不含任何元素的集合叫做空集．记作：∅。

并规定:空集合是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集．4、如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子集。

§1。

1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合Ａ或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与Ｂ的并集.记作:B A .2、 一般地,由属于集合A 且属于集合Ｂ的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集。

记作：B A 。

3、全集、补集:{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §1。

2.1、函数的概念1、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域。

2、如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等。

§1。

2.2、函数的表示法 解析法、图象法、列表法. 求解析式的方法:1.换元法2.配凑法 3．待定系数法 4．方程组法 §1.3.1、单调性与最大（小）值注意函数单调性证明的一般格式：解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则:()()21x f x f -＝…五个步骤:取值，作差,化简，定号，小结§1.３。

2、奇偶性1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数。

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