二次函数的对称性在解题中的运用PPT课件

（一）、教学内容1.二次函数的解析式六种形式① 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点）③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2 (a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax 2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上) ⑥y= ax 2 +bx (a ≠0) (图象过原点)2.二次函数图像与性质 对称轴：2bx a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小☆ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)y xO当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。

2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x =（C ）2x = （D ）3x =3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。

4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ） 5、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x6、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）A. 0B. －1C. 1D. 2题型2 比较二次函数的函数值大小1、、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）cy–1 1 3 Oxy–1 3 3 O xP12、 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小题型3 与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____2、与y= 212x -3x+25关于Y 轴对称的抛物线________________3、求将二次函数3x 2x y 2+--=的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。

二次函数图象对称性在解题中的应用一、一些基本概念和性质：1、抛物线的对称轴是直线。

2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。

3、若抛物线与轴的两个交点是A （，0），B（，0），则抛物线的对称轴是4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用x1、m表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。

二、在解题中的应用：例1、二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。

总结：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。

例2、已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足. （1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。

例3、已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。

例4、已知抛物线的顶点A在直线上。

（1）求抛物线顶点的坐标；（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标；例5、若函数，则当自变量取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是（）（A）540（B）390（C）194（D）97三、做后反思通过以上几个例子可得到这样的经验：（1）在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式；（2）在解答有关函数问题的题目时要尽可能地去画出函数图象，那怕是它的草图，这样有利于寻找解题的思路；（3）在解答有关二次函数的问题时，若能充分、合理地应用二次函数图象的对称性，就能使解题过程顺畅简捷，提高解题效率。

巩固提高1、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（21，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0）3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3 Ｄ．44、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值（ ） A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y =m6、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧y–1 13Ox与x 轴交点的坐标是( )A ．(0.5，0)B ．(1，0)C ．(2，0)D ．(3，0)7、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬 说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截 得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x +时，函数值为（ ） Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c9、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

二次函数图象对称性的应用摘要：二次函数图象具有对称性，充分、合理地使用这一特性，对于解决有关二次函数的问题，会使问题得到的正确、高效的解答，同时它也是一种重要的解题途径。

关键词：二次函数，抛物线，对称。

我们知道二次函数图象是一条具有对称性的抛物线，合理使用抛物线的这一特征，对于解答有关二次函数的一类问题，会取得很好的效果，近年的中考命题及初中数学竞赛，涉及这方面的题目不断出现，并产生了不少的上佳题目。

本文试就初中毕业班总复习阶段，在二次函数这部分内容教与学上，如何引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题，谈谈教学感想和体会。

一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线。

2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。

3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。

4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。

5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC 是等腰三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的对称轴上。

二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。

解题分析：注意到图象所过的两个点A、B，都在x轴上，故可由性质3，容易得到该抛物线的对称轴是直线x=1，进而得出该抛物线的顶点坐标是（1，-8），所以，可以用顶点式先设出所求的二次函数形式，再用待定系数法，求得结果。

从本题可得到这样的经验：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。

例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。