组合与组合数公式
1．组合的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质 2．组合数的概念、公式、性质
组合数
定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个
数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数
表示法
C m
n
组合数 公式 乘积式 C m n
＝A m
n A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！
阶乘式
C m
n ＝
n ！
m ！（n －m ）！
性质 C m
n ＝C n －m
n ，C m
n ＋1＝C m
n ＋C m －1
n 备注
①n ，m ∈N *
且m ≤n ；②规定：C 0
n ＝1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 2
3.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 2
4个积．( ) (3)C 3
5＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 016
2 017＝C 1
2 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3
n ＝8C 2
n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
答案：A
计算：(1)C 3
7＝________；(2)C 18
20＝________． 答案：(1)35 (2)190
甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．
解析：车票的票价有C23＝3种．
答案：3
探究点1 组合概念的理解
判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？
(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？
【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．
(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．
判断一个问题是否是组合问题的方法技巧
区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
判断下列问题是排列问题还是组合问题：
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．
探究点2 组合数公式、性质的应用
计算下列各式的值．
(1)3C 3
8－2C 2
5； (2)C 3
4＋C 3
5＋C 3
6＋…＋C 3
10； (3)C 5－n
n ＋C 9－n
n ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 2
5＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.
(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1
n ， 则C 3
4＋C 3
5＋C 3
6＋…＋C 3
10 ＝C 4
4＋C 3
4＋C 3
5＋…＋C 3
10－C 4
4 ＝C 4
5＋C 3
5＋…＋C 3
10－C 4
4＝ …
＝C 411－1＝329.
(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，
5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.
又因为n ∈N *
，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 1
4＋C 5
5＝5. 当n ＝5时，原式＝C 0
5＋C 4
6＝16.
[变条件]若将本例(2)变为：C 5
5＋C 5
6＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10，如何求解？ 解：原式＝(C 6
6＋C 5
6)＋C 5
7＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10 ＝(C 6
7＋C 5
7)＋C 5
8＋C 5
9＋C 5
10＝… ＝C 6
10＋C 5
10＝C 6
11＝C 5
11 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1
＝462.
关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用n
n －m
C m
n －1＝
n
n －m
·
（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！
＝C m
n 进
行计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C m
n ＝
n ！
m ！（n －m ）！
计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质C m
n ＝C n －m
n 简化运算．
1.C 5
8＋C 98
100C 7
7＝________．
解析：C 5
8＋C 98
100C 7
7＝C 3
8＋C 2
100×1
