第二章 关于独立性的练习

高中数学 第二章 概率 2.3 独立性课后导练 苏教版选修2-3 基础达标1.（天津高考）某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ）A .12581B .12554 C.12536 D.12527 解析:两次击中的概率 P 1=2236.0C ·(1-0.6)=12554，三次击中的概率P 2=0.63=12527. 答案:A2.已知P (B )>0，A 1A 2=，则有( )A.P (A 1｜B )>0B.P (A 1+A 2｜B )=P (A 1｜B )+P (A 2｜B )C.P (A 1A 2｜B )≠0D.P (A 1A 2｜B )=1解析:A 1∩A 2=,∴A 1与A 2互斥.∴P (A 1+A 2｜B )=P (A 1｜B )+P (A 2｜B ).答案:B3.对于事件A 、B ,正确命题是( )A.如果A 、B 互不相容,则A 、B 不相容B.如果A ⊂B ,则A ⊂BC.如果A 、B 对立,则A 、B 也对立D.如果A 、B 互不相容,则A 、B 对立 解析:∵A 、B 对立,则A =B ,B =A .∴A 与B 也对立.答案:C4.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为31,视力合格的概率为61,其他几项标准合格的概率为51,从中任选一学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)…( ) A .94 B .901 C.54 D.95 解析:P =901516131=⨯⨯. 答案:B5.P (A )=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.2,则P (A ｜B )=________,P (B ｜A )=___________. 解析:P (A ｜B )=52)()()(,323.02.0)()(====A P AB P A B P B P AB P . 答案:32 526.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A 型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A 型的,现从甲、乙两盒中各任取一个,则能配成A 型螺栓的概率为_____________.解析:从甲中取一个A 型螺杆的概率为P (A )=54, 从乙中取一个A 型螺母的概率为P (B )=43. ∵两者相互独立,∴P =P (A )·P (B )=53. 答案:53 7.两台独立在两地工作的雷达,每台雷达发现飞机目标的概率分别为0.9和0.85,则有且仅有一台雷达发现目标的概率为________,至少有一台雷达发现目标的概率为__________. 解析:仅有一台发现目标;第一台发现:p 1=0.9×0.15=0.135,第二台发现:p 2=0.1×0.85=0.085,∴P =0.135+0.085=0.22.至少有一台对立事件为全都不发现目标,则有P =1-0.1×0.15=0.985.8.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率是80%.若用A 、A 分别表示甲乙两厂的产品, B 表示产品为合格品, B 表示产品为不合格品,试写出有关事件的概率.解析:P (A )=70%,P (A )=30%,P (B ｜A )=95%,P (B ｜A )=80%,故得P (B ｜A )=5%,P (B ｜A A )=20%.9.设有100个圆柱形零件,其中95个长度合格,92个直径合格,87个长度、直径都合格,现从中任取1件,求:(1)该产品是合格品的概率;(2)若已知该产品直径合格,求是合格品的概率;(3)若已知该产品长度合格,求是合格品的概率.解析:(1)100个中有87个合格,故P =0.87.(2)设事件A 为合格品,B 为长度合格,C 为直径合格,则有P (A ｜B )=95.087.0)()(=B P A P =0.915 9, P (A ｜C)=92.087.0)()(=C P A P =0.945 7. 综合运用10.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2,那么恰好有1个人解决这个问题的概率是( )A .P 1·P 2B .P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1) C.1-P 1·P 2 D.1-(1-P 1)(1-P 2)解析:甲解决该问题的概率为p 1(1-p 2),乙解决该问题的概率为p 2(1-p 1),两事件互为独立事件.∴P =p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1).故选B.答案:B11.有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书,这一事件的概率是__________.解析:设“任取一书是文科书”的事件为A ,“任取一书是精装书”的事件为B ,则A 、B 是相互独立的事件,所求概率为P (A ·B ).据题意可知P (A )=,10710070)(,5210040===B P , ∴P (A ·B )=P (A )·(B )=.25710752=⨯. 答案:257 拓展探究12.某个班级有学生40人,其中有共青团员15人.全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.如果要在班内任选一人当学生代表,那么这个代表恰好在第一小组内的概率为多少?现在要在班级任选一个共青团员当团员代表,问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少?解析:设A ={在班内任选一个学生当学生代表,该学生属于第一小组},B ={在班内任选一个学生,该学生是共青团员},而第二问中所求概率为P (A ｜B ),于是P (A )=1544015404)()()(,414010====B P AB P B A P .。

§2.3.2 事件的独立性
班级姓名学号
A级题基础过关训练
1..下面的说法对吗？
（1）如果昨天有飞机失事，那么今天乘飞机要安全一些。

（2）如果掷一枚硬币接连出现5次正面，第六次出现反面的可能性会增大。

2.某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，问现在年龄为20岁的这种动
物活到25岁的概率为多少？
3. 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌
机被击中的概率.
B级题能力达成训练
4. 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能
投中），设投中最左侧3个小正方区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形区域的事件记为B，试判断A与B是否是独立事件。

5. 口袋中有a 只黑球b 只白球，连摸两次，每次一球. 记A ={第一次摸时得黑球}，B ={第
二次摸时得黑球}. 问A 与B 是否独立？就两种情况进行讨论：① 有放回；② 无放回.
C 级题 拓展提高训练
6. 3人独立地翻译密码，每人译出此密码的概率依次为35.0，30.0，25.0，假定随机变量
X 表示译出此密码的人数，试求：
（1）3人同时译出此密码的概率P （X=3）（2）至多有2人译出此密码的概率)2(≤X P
（3）3人都未译出此密码的概率P （X=0）（4）此密码被译出的概率)1(≥X P
7. 一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性. 现有两系统都由同类电子元件A ,
B ,
C 、
D 所组成.每个元件的可靠性都是p ，试分别求两个系统的可靠性.。

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第二章 2.2 2.2.2 事件的独立性A级基础巩固一、选择题1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!，A发生B不发生的概率为错误!，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）是（ D ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析] 由P(A∩B）＝P（B∩错误!)得P（A)P(错误!）＝P(B）·P(错误!)，即P（A)［1－P(B)］＝P（B）[1－P(A）］,∴P(A)＝P(B)．又P（错误!∩错误!）＝错误!，∴P（错误!）＝P(错误!）＝错误!。

∴P（A）＝错误!．2．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为错误!，错误!，错误!，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( A )A．1532B．错误!C．错误!D．错误!［解析] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2,A3,则P(A1）＝错误!，P （A2)＝错误!，P(A3）＝错误!．不发生故障的事件为(A2∪A3）∩A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3）∩A1]＝［1－P(错误!）·P(错误!）］·P（A1）＝（1－错误!×错误!）×错误!＝错误!。

i=1 100
P( A) =1− ∏[1−P( Ai )]=1− (1− 0.004)100 ≈ 0.33
i=1
100
若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒，则
P(Bn ) =1− (1− ε )n , n =1,2,L
0 < ε <1
limP(Bn ) =1
n→∞
—— 不能忽视小概率事件，小概率事件 迟早要发生
= p (2 + 2 p − 5p + 2 p )
3 2 3
应用举例 —— 肠癌普查 设事件 A 表示被试验者检查为阳性，事件B 表 示被查者患肠癌，已知肠镜检查效果如下：
P( A B) = P( A B) = 0.95, 且P(B) = 0.005
某试验者检查反应为阳性，试判断该试验者 患肠癌的概率 ( P( B A)) 利用Bayes 公式得
P( A Aj Ak ) = P( A )P( Aj )P( Ak ), 1≤ i < j < k ≤ n i i
L L L L L L L L L L L L L L L P( A A2 LAn ) = P( A )P( A2 )LP( An ) 1 1
常根据实际问题的意义判断事件的独立性
定义: 定义:对于可列无穷多个事件 A1, A2 ,⋅ ⋅ ⋅, An ,⋅ ⋅ ⋅ 相互独立是指其中任意有限多个事件都相互 独立. 即: 对任意整数 k ( k ≥ 2) 和
,
1 ≤ i1 < i2 < ⋅ ⋅ ⋅ < ik ,
恒有
P( Ai1 Ai2 ⋅ ⋅ ⋅ Aik ) = P( Ai ) P( Ai ) ⋅ ⋅ ⋅ P( Ai )
1 2 k

第二章 2.2 2.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )A ．49 B ．29 C ．23D ．13[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则P(A)＝23,B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”,则P(B)＝23.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×23＝49．2．张老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,他预估做对第一道题的概率是0.80,做对两道题的概率是0.60,则预估计做对第二道题的概率是( B )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.48[解析] 设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”,A 1,A 2相互独立,由已知得：P(A 1)＝0.8,P(A 1A 2)＝0.6,由P(A 1A 2)＝P(A 1)·P (A 2)＝0.8P(A 2)＝0.6, 解得：P(A 2)＝0.60.8＝0.75．3．如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[解析] P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864．4．甲射手击中靶心的概率为13,乙射手击中靶心的概率为12,甲、乙两人各射一次,那么56等于( D )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率[解析] 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A,则P(A)＝13×12＝16,甲、乙不全击中靶心的概率为P(A )＝1－P(A)＝56．5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12B ．512C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512．6．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题,甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率为( C ) A ．320 B ．42135 C ．47250D ．1735[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.故选C ． 二、填空题7．在某道路A 、B 、C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为__35192__．[解析] 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为512、712、34． ∴所求概率P ＝512×712×34＝35192．8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个,能配成A 型螺栓的概率为__35__．[解析] 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M,从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N,因事件M,N 相互独立,则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200×180240＝35．9．同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是__0.46__．[解析] 设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3),则P(A 1)＝0.8,P(A 2)＝0.6,P(A 3)＝0.5,且A 1,A 2,A 3相互独立,同学甲得分不低于300分对应事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生,故所求概率为P ＝P(A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46． 三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率．[解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧ P (A B )＝14，P (B C )＝112，P (AC )＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·[1－P (B )]＝14， ①P (B )·[1－P (C )]＝112， ②P (A )·P (C )＝29. ③由①、③得P(B)＝1－98P(C),代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0． 解得P(C)＝23或 119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14,即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23．(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,则P(D)＝1－P(D )＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为56．B 级 素养提升一、选择题1．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一个荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上,则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13B ．29C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23,顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827,顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P＝P 1＋P 2＝827＋127＝13．2．甲、乙两人独立地解决同一个问题,甲能解决这个问题的概率是P 1,乙能解决这个问题的概率是P 2,那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )A ．P 1＋P 2B ．P 1P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[解析] 甲能解决这个问题的概率是P 1,乙能解决这个问题的概率是P 2, 则甲不能解决这个问题的概率是1－P 1,乙不能解决这个问题的概率是1－P 2,则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P 1)(1－P 2),则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P 1)(1－P 2),故选D ．二、填空题3．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为__516__ ． [解析] 由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14．设甲,乙两人所付的租车费用相同为事件A, 则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516,即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516．4．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值范围是__⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13__．[解析] 由条件知,⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1,∴P(ξ＝x 2)＝13,∵P(ξ＝x i )≥0,∴公差d 取值满足－13≤d≤13．三、解答题5．某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率． [解析] 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4),则P(A 1)＝0.6, P(A 2)＝0.4,P(A 3)＝0.5, P(A 4)＝0.2．(1)解法一：该选手被淘汰的概率：P ＝P(A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)＋P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976．解法二：P ＝1－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－P(A 1)P(A 2)P(A 3)·P(A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976．(2)解法一：P ＝P(A 1A2∪A 1A 2A3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)·P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576．解法二：P ＝1－P(A 1)－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576．6．甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则P(A)＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23, P(B)＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415． (2)解法一：因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝P(A B )＋P(A B)＋P(AB)＝P(A)·P(B )＋P(A )·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．解法二：因为事件A 、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A B )＝P(A )·P(B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1415＝145．所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(A B )＝1－145＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．。

巩固与提高（事件的独立性）A 组、选择题1若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（A ）A. A 与 AB.A 与 BC. A 与 BD. A 与 B2、抛掷一颗骰子一次，记A 表示事件：出现偶数点，B 表示事件：出现3点或 6点，则事件A 与B 的关系。

（B ）A 、 相互互斥事件B 、 相互独立事件C 、 既相互互斥事件又相互独立事件D 、 既不互斥事件又不独立事件3、在下列命题中为假命题的是（B ）A. 概率为0的事件与任何事件都是互相独立的B. 互斥的两个事件一定不是相互独立的，同样互相独立的两个事件也一 定不是互斥的C. 必然事件与不可能事件是相互独立的D. 概率为1的事件与任何事件都是相互独立的1 1 4、甲乙丙射击命中目标的概率分别为 -、-、2 4一次，目标被设计中的概率是（C ）3、填空题5、某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则 连续三位顾客都使用信用卡的概率为 __________________ 0.0646、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为R ,P 2,P 3,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是 ______________________________ P|P 2 1 F 3 PP 3 1 F 2 F 2 F 3 1 P7、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为 0.8,乙射中的 概率为0.9，贝U 2人中至少有一人射中的概率是 _______ 0.98 三、解答题&甲•乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为 -、-、5 517），求: （1） 三人中有且只有两人及格的概率； （2） 三人中至少有一人不及格的概率。

解：设甲•乙、丙答题及格分别为事件 A 、B 、C ,则A 、B 、C 相互独立 （1）三人中有且只有2人及格的概率为2，现在三人射击一个目标各A. 丄 96B. 47 96C.21 32 D.P P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C4 37 4 3 7 437 1131 -1 -1 -5 5 10551055 10 250(2).三人中至少有一人不及格的概率为4 3 783 1 P ABC1 P A P B P C15 5 10125B 组.选择题2•假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1-P ,且各引擎是否有故障 是独立的，如有至少 50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若 使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P 的取值范围是（A ） 2 211A .-,1 B. 0,-C.丄，1D 0,丄3334二、 填空题3、 每门高射炮射击飞机的命中率为 0.6,至少要 ______ 门高射炮独立的对飞机 同时进行一次射击就可以使击中的概率超过 0.98. 54、 甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为 0.5和 0.6两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率 — ________________ 0.7 三、 解答题5、 设A 、B 为两个事件，若 P （A ）=0.4, p AUB 0.7,P B x ，试求满足下 列条件的X 的值： （1） A 与B 为互斥事件 （2） A 与B 为独立事件解：（1）因为A 与B 为互斥事件，所以AI B .故P AI B p AUB --P A -- P B =0.7--0.4—X,所以 X=0.3⑵.因为A 与B 为独立事件，所以P AI B = P A P B ，由此可得，p AUB = P A + P B -- P AI B = P A + P B -- P A P B ，即 0.7=0.4+X-0.4X 解得 X=0.51.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同则事件 A 发生的概率P （ A ）是（A ）A. B. C.18。

独立性测试题及答案一、选择题1. 在统计学中，独立性指的是两个事件的发生互不影响。

以下哪项描述正确地反映了独立性的概念？A. 事件A的发生增加了事件B发生的概率B. 事件A的发生减少了事件B发生的概率C. 事件A的发生不影响事件B发生的概率D. 事件A和B不能同时发生答案：C2. 假设有两个事件A和B，已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，要判断A 和B是否独立，需要计算：A. P(A ∩ B)B. P(A) + P(B)C. P(A|B) - P(A)D. P(A ∪ B)答案：A3. 如果事件A和B是独立的，那么P(A ∩ B)等于：A. P(A) * P(B)B. P(A) + P(B)C. |P(A) - P(B)|D. P(A) / P(B)答案：A二、填空题4. 如果P(A) = 0.2，P(B) = 0.5，并且A与B独立，那么P(A ∩ B)等于_________。

答案：0.15. 在一次随机抽样调查中，如果P(事件A发生) = 0.3，P(事件B发生|事件A发生) = 0.4，那么事件A和B独立的概率是_________。

答案：0.4三、简答题6. 解释为什么事件A和B的独立性意味着P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

答案：如果事件A和B是独立的，那么意味着事件A的发生不会影响事件B发生的概率，反之亦然。

因此，我们可以将两个独立事件同时发生的概率看作是它们各自发生概率的乘积，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

7. 如果事件A和B不独立，那么P(A ∩ B)与P(A) * P(B)的关系是什么？答案：如果事件A和B不独立，那么它们同时发生的概率P(A ∩ B)不等于它们各自发生概率的乘积P(A) * P(B)。

在这种情况下，P(A ∩ B)可能会大于或小于P(A) * P(B)，具体取决于一个事件的发生是否增加了或减少了另一个事件发生的概率。

四、计算题8. 假设在一个班级中，学生通过数学考试的概率是0.7，通过物理考试的概率是0.6。

1.6 独立性
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、典型例题
一、事件的相互独立性
1.引例
盒中有 5 个球 ( 3 绿 2 红 ), 每次取出一个, 有放 回地取两次. 记
A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球,
则有 P(B A) P(B),
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小.
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响.
若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.
思考：两事件相互独立与两事件互斥的关系？
两事件相互独立 P( AB) P( A)P(B) 一般二者之间
两事件互斥
AB
没有必然联系
n 个事件相互独立
n个事件两两相互独立
二、几个重要定理
定理互一独立,
设 A, 则 P(B
B 是两事件, 且 P( A) 0. 若 A, B 相 A) P(B). 反之亦然.(但若P( A)=0？)
P(B A) P(B | A) P( AB) P( A)P(B) .
定理二 若 A, B 相互独立, 则下列各对事件,
P(B A) P(B) P(AB) P(A)P(B)(P(A) 0)
2.定义
设 A, B 是两事件, 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
说明事件A 与事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生 与事件B 发生的概率无关.
例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}
三、例题讲解

随机事件的独立性一、选择题1．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )A ．22.5%B ．15.5%C ．15.3%D ．12.4%2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不是相互独立事件3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．124．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( )A ．215B ．25C ．1925D ．8155．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23二、填空题6．两个人通过某项专业测试的概率分别为12，23，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．7．甲、乙两人同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．三、解答题9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，求灯亮的概率．10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．素养达标11．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是()A．13B．29C．49D．82712．(多选题)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有()A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”13．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝______；当A，B互斥时，P(A＋B)＝______.14．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值为________．15．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表：在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．一、选择题1．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为() A．22.5%B．15.5%C ．15.3%D ．12.4%D [四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设“加工出来的零件是次品”为事件A ，则P (A )＝(1－2%)×(1－3%)×(1－5%)×(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率为12.4%.]2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不是相互独立事件D [根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与B 不是相互独立事件．]3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．12A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.]4．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( )A ．215B ．25C ．1925D ．815C [两户中至少有一户获得扶持资金的概率为P ＝25×25＋35×35＋25×35＝1925.]5．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23D [由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝19， ∴P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23.] 二、填空题6．两个人通过某项专业测试的概率分别为12，23，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．23 [二人均通过的概率为12×23＝13， ∴至多有一人通过的概率为1－13＝23.]7．甲、乙两人同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．0.65 [由题意知P ＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.]8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．13 23 [甲、乙两人都未能解决的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13， 问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－13＝23.]三、解答题9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，求灯亮的概率．[解]记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件E，则P(E)＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝3 4，则灯亮的概率为P＝1－P(E C D)＝1－P(E)P(C)·P(D)＝1－3 16＝1316.10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．[解]设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9.(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.素养达标11．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是()A．13B．29C．49D．827A[由题意知逆时针方向跳的概率为23，顺时针方向跳的概率为13，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P1＝23×23×23＝827；第二条：按A→C→B→A，P2＝13×13×13＝127，所以跳三次之后停在A上的概率为P1＋P2＝827＋127＝13.]12．(多选题)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有()A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到红球”，事件N ＝“第2次摸到红球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面”CD [在A 中，M ，N 是互斥事件，不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C 中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；在D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件，故选CD ．]13．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P (A ＋B )＝______；当A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝______.0.65 0.8 [当A ，B 相互独立时，有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.当A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝P (A )＋P (B )＝0.8.] 14．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1－p ，则A 与B 同时发生的概率的最大值为________．14 [事件A 与B 同时发生的概率为p (1－p )＝p －p 2(p ∈[0,1])，当p ＝12时，最大值为14.]15．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P )和所需费用如下表：在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．[解]方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，由题表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元．由题表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率为1－(1－0.9)×(1－0.7)＝0.97.联合甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率均小于0.97.所以联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.97.方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施．此时突发事件不发生的概率为1－(1－0.8)×(1－0.7)×(1－0.6)＝0.976.由三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大．。

2.3 独立性练习1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少一人被录取的概率为__________．2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为__________．3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率为__________．4．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少一项合格的概率为__________．5．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率为12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是__________．6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(AB)＝__________，P(A|B)＝__________.7．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有1人解出的概率为__________．8．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班同学平均分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品，而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率．(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．参考答案1.答案：0.88解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以至少有1人被录取的概率为1－0.12＝0.88.2.答案：3 5解析：由题意知P(AB)＝310，P(B|A)＝12，∴3()310()1(|)52P ABP AP B A===.3.答案：14 25解析：设“甲中靶”为事件A，“乙中靶”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7.则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7＝0.56＝14 25.4.答案：2 5解析：设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝15，P(B)＝14.又A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)＝P(A)P(B)＝433545⨯=.故至少有一项合格的概率为P＝1－P(A B)＝32 155 -=.5.答案：2个球不都是白球解析：从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件是相互独立的，故两个小球都是白球的概率为111326⨯=，所以两球不都是白球的概率为15166P=-=.6.答案：0.150.3解析：∵A、B相互独立，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.3×0.5＝0.15.∴P(A|B)＝()()P ABP B＝P(A)＝0.3.7.答案：11 24解析：甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A，则()1111 112344P A⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；乙生解出，而甲、丙不能解出为事件B，则1111 ()113248 P B⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；丙生解出，而甲、乙不能解出为事件C，则1111 ()1142312P C⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴由甲、乙、丙三人独立解答此题只有1人解出的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)＝11111481224++=.8.解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，101()404P A ==. (2)要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．在事件B 发生的条件下，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415. 9. 解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A ，“从1号箱中取出的是红球”为事件B .42()243P B ==+，P (B )＝1－P (B )＝13， (1)P (A |B )＝314819+=+. (2)∵P (A |B )＝31813=+， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝421111933327⨯+⨯=. 10. 解：(1)设A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题意知1(),41(),122(),9P AB P BC P AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩即()()()()()()1([1]41[1]122.9P A P B P B P C P A P C ⎧⋅-⎪⎪⎪⋅-⎨⎪⎪⋅⎪⎩＝，①＝，②＝ ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0，解得P (C )＝23或119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③得P (A )＝13，P (B )＝14.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝231513436-⨯⨯=. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.2 条件概率与事件的独立性（人教实验B版选修2-3）一、选择题（本题包括4小题,每小题7分,给出的四个选项中,只有一个选项正确,共28分）1.下列说法正确的是（）A.P（B｜A）＝P（AB）B.P（B｜A）＝是可能的Ｃ.0＜P（B｜A）＜1Ｄ.P（A｜A）＝02.已知P（B｜A）＝，P（AB）＝，则P（A）等于（）A. B.Ｃ. Ｄ.3.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是（）A.1B.Ｃ. Ｄ.4.盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次.已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是（）A. B.Ｃ. Ｄ.二、填空题（本题共2小题,每小题6分,共12分.请将正确的答案填到横线上）5.抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为 .6.甲袋中有8个白球，2个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为 .三、解答题（本题共5小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤）7.(12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为. （1）求恰有一名同学当选的概率；（2）求至多有两名同学当选的概率.建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分8.（12分）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.9.（12分）甲、乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局. （1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.10.（12分）采用营养液育苗的方法，种子的发芽率为95％，如果在营养液内放两粒种子，求至少有一粒种子发芽的概率. 11.（12分）已知男人中有5％患色盲，女人中有0.25％患色盲.现从100个男人和100个女人中任选一人. （1）求此人患色盲的概率；（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率.2.2 条件概率与事件的独立性（人教实验B版选修2-3）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5. 6.三、解答题7.8.9.10.11.2.2 条件概率与事件的独立性（人教实验B版选修2-3）参考答案一、选择题１．B解析：∵ P（B｜A）＝，≥1，∴ P（B｜A）≥P（AB），则A不正确；当P（A）＝1时，P（B）＝P（AB），则P（B｜A）＝P（B）＝，∴ B正确；而0≤P（B｜A）≤1，P（A｜A）＝1，∴Ｃ、Ｄ不正确.2.Ｃ解析：由P（AB）＝P（A）P（B｜A）可得P（A）＝.3.Ｃ解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然为.4.A 解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，则P（AB）＝＝，P （A）＝＝所以P（B｜A）＝＝×＝.二、填空题5. 解析：设事件A 表示“点数不超过3”，事件B 表示“点数为奇数”，则n（A）＝3，n（AB）＝2，所以P（B｜A）＝＝6. 解析：从甲袋中取白球为事件A，则P（A）＝＝，从乙袋中取白球为事件B，则P（B）＝＝，取得同色球为AB＋，P（AB＋）＝P（AB）＋P（）＝P（A）P（B）＋P（）P（）＝×＋×＝.三、解答题7.解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、Ｃ，则有P（A）＝，P（B）＝，P（Ｃ）＝.（1）因为事件A、B、Ｃ相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P（A）＋P（B）＋P（Ｃ）＝P（A）P（）P（）＋P（）P（B）P（）＋P（）P（）P（Ｃ）＝××＋××＋××＝.（2）至多有两名同学当选的概率为1－P（ABＣ）＝1－P（A）P（B）P（Ｃ）＝＝.8.解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的事件数为n（Ω）＝＝30，根据分步计数原理有n（A）＝＝20，于是P（A）＝＝＝.（2）因为n（AB）＝＝12，于是P（AB）＝＝（3）方法一：由（1）（2）可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P （B ｜A ）＝＝方法二：因为n （AB ）＝12，n （A ）＝20， 所以P （B ｜A ）＝＝9.解：记“第i 局甲获胜”为事件A i （i ＝3，4，5）， “第ｊ局乙获胜”为事件B ｊ（ｊ＝3，4，5）. （1）记“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则 A ＝A 3·A 4＋B 3·B 4，由于各局比赛结果相互独立，故 P （A ）＝P （A 3·A 4＋B 3·B 4）＝P （A 3·A 4）＋P （B 3·B 4） ＝P （A 3）P （A 4）＋P （B 3）P （B 4） ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.（2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 B ＝A 3·A 4＋B 3·A 4·A 5＋A 3·B 4·A 5. 由于各局比赛结果相互独立，故P （B ）＝P （A 3·A 4＋B 3·A 4·A 5＋A 3·B 4·A 5） ＝P （A 3·A 4）＋P （B 3·A 4·A 5）＋P （A 3·B 4·A 5）＝P （A 3）P （A 4）＋P （B 3）P （A 4）P （A 5）＋P （A 3）P （B 4）P （A 5） ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.10. 解：方法一：设“第一粒种子发芽”是事件A ，“第二粒种子发芽”是事件B ， 则事件A ，B 是相互独立的， 是“第一粒种子不发芽”， 是“第二粒种子不发芽”. “至少有一粒种子发芽”包括“两粒种子都发芽”， 或“第一粒种子发芽同时第二粒种子不发芽”， 或“第一粒种子不发芽同时 第二粒种子发芽”这三种情况，即事件AB ，A ，B ，而事件AB ，A 与B 是互斥事件， 所以所求概率为P （AB ）＋P （A ）＋P （B ）＝0.902 5＋0.047 5＋0.047 5＝0.997 5. 方法二：设“至少有一粒种子发芽”是事件Ｃ， 是“两粒种子都不发芽”. 因为P （）＝P （）＝P （）·P （）＝（1－P （A ））·（1－P （B ）） ＝（1－0.95）×（1－0.95）＝0.002 5， 所以P （Ｃ）＝1－P （）＝1－0.002 5＝0.997 5. 11. 解：（1）此人患色盲的概率为： P ＝ ＝.（2）设事件A 表示“从100个男人和100个女人中任选一人，此人患色盲”； 事件B 表示“从100个男人和100个女人中任选一人，此人是男人”. 则P （A ）＝， P （AB ）＝ 故P （B ｜A ）＝＝.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2．32 事件的独立性1.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为1p 、乙解决这个问题的概率为2p 、那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 。

2．右图的图框中的字母代表元件的种类，字母相同但是下标不同的为同一元件，已知A,B,C,D 各类元件正常工作的概率依次为s r q p ,,,，且各元件的工作是相互独立的，则此系统正常工作的概率为 。

3.从甲袋中摸出1个白球的概率为31，从乙袋中摸出1个白球的概率为21，从两个袋内各摸1个球，那么概率为65的是 。

（A ）2个球都是白球 （B ）2个球都不是白球（C ）2个球不都是白球 （D ）2个球中恰好有1个白球4．掷3颗骰子，已知所得的点数都不一样，则含有6点的的概率是 。

5．有4人同猜一个谜语，他们能够猜对的概率都是21，则他们同时猜对的概率为 。

6．某位同学解选择题的概率为0．1，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是 。

7．某举重运动员在1次试举中能打破世界记录的概率为p ，若在比赛中他试举3次，求他打破世界记录的的概率。

8．甲、乙两个人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别是31和41， 试求：（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率。

A BC D 1 D 29．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气的概率分别是54和43，在同一时间内，求：（1）甲、乙同时预报天气准确的概率；（2）至少有一个气象台预报准确的概率。

10．设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别为0．2、0．6、0．3，试求：（1）在三次射击中恰有一次命中的概率；（2）在三次射击中至少有一次命中的概率。

AD1 D2BC。

选修2-3 第二章 2.2 2.2.21．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内，每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内，(1)开关J A 、J B 恰有一个闭合的概率；(2)线路正常工作的概率．[解析] 分别记在这段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合为事件A 、B 、C ，则它们的对立事件为A 、B 、C ，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝0.7，P (A )＝P (B )＝P (C )＝1－0.7＝0.3.根据题意，在这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，即事件A 、B 、C 相互独立．(1)在这段时间内“开关J A 、J B 恰有一个闭合”包括两种情况：一种是开关J A 闭合但开关J B 不闭合(事件A B 发生)；一种是开关J A 不闭合但开关J B 闭合(事件A － B 发生)，根据题意这两种情况不可能同时发生，即事件A B 与事件A B 互斥．根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是：P (A B ∪A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.7×0.3＋0.3×0.7＝0.42.(2)在这段时间内，线路正常工作，意味着3个开关至少有一个能够闭合，即事件A 、B 、C 至少有一个发生，其对立事件为事件A 、B 、C 同时发生．于是所求的概率为：1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－0.3×0.3×0.3＝1－0.027＝0.973.2．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率；(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件正品的概率．[解析] 用A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C ＝A B －∪A －B ，D ＝C ∪AB .(1)由题意知，A 与B 是相互独立事件，且P (B )＝1－P (B －)＝1－0.05＝0.95，P (A )＝0.96，所以两件都是正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95＝0.912.(2)由于事件A B －与A －B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为P (C )＝P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.(3)解法1：由于事件AB 与C 互斥，所以P (D )＝P (AB ∪C )＝P (AB )＋P (C )＝0.912＋0.086＝0.998.解法2：“至少有一件正品”的反面是“全是次品”，故所求概率为1－P (A －)P (B －)＝1－0.04×0.05＝1－0.002＝0.998.。

第二章关于“独立性”练习题一、单项选择题1、注册会计师职业道德规范的基本原则中，既要求注册会计师具有专业知识、技能和经验，又要求其经济、有效地完成客户委托的业务的是( B)A.独立客观公正 B.专业胜任能力 C.XX D.职业行为2、下列情况中，对注册会计师执行审计业务的独立性影响最大的是(D )A．注册会计师的母亲退休后担任被审计单位工会的文艺干事B．注册会计师的配偶现在是被审计单位开户银行的业务骨干C．注册会计师的一位朋友拥有被审计单位的股票D．注册会计师的妹妹大学毕业后在被审计单位担任现金出纳3、下列各项中，属于注册会计师违反职业道德规范行为的是（A ）A．注册会计师可以在一定范围内对其能力进行广告宣传，但没有诋毁同行B．没有利用其知悉的客户信息为自己或他人谋取利益C．按照业务约定和审计准则的要求完成年报审计工作D．除有关法规允许的情形外，没有以或有收费形式为客户提供各种鉴证服务5、下列各情况中，不影响会计师事务所和注册会计师独立性的是( C )A.注册会计师的父亲拥有被审计单位1200股股票B.注册会计师的弟弟是被审计单位的副董事长C.注册会计师的中学同学是被审计单位的一名汽车驾驶员D.会计师事务所的办公用房是向被审计单位租用的6、下列注册会计师的行为中，不违反职业道德规范的是( B )A.对自己的能力进行广告宣传B.不以个人名义承接一切业务C.承接了主要工作由其他专家完成的业务D.按服务成果的大小进行收费7、下列不属于注册会计师基本原则的是（ D ）A.职业行为B.专业胜任能力C.XXD.廉洁8、会计师事务所对无法胜任或不能按时完成的业务，应（ C ）A.聘请其他专业人员帮助B.转包给其他会计师事务所C.拒绝接受委托D.减少业务收费9、下列各情况中，不影响．．．会计师事务所和注册会计师独立性的是（ A ）A.注册会计师的中学同学，是被审计单位的财务经理B.会计师事务所的办公用房系向被审计单位租用的C.注册会计师的父亲，拥有被审计单位12 000股股票D.注册会计师的弟弟，是被审计单位的副董事长10、下列各项中，属于注册会计师违反职业道德规范行为的是（ D ）A.注册会计师应按照业务约定和专业准则的要求完成委托业务B.不得以注册会计师的职业身份对未审计事项发表意见C.注册会计师应对执业过程中知悉的商业秘密XX，并不得利用自己的职权为自己或他人谋取利益D.注册会计师可以对其能力进行广告宣传，但不得诋毁同行12、在下列情况下，审计人员可以承办客户委托的审计业务而无须．．回避的是（ D ）A.审计人员本人拥有客户股票B.审计人员的父母拥有客户的股票C.审计人员的子女拥有客户的股票D.审计人员的好友拥有客户的股票13、审计人员在执业过程中发现自己无法胜任此项工作，应当（ C ）A.出具保留意见的审计报告B.出具无法表示意见的审计报告C.请求会计师事务所改派其他审计人员D.依赖客户职员的才能14、注册会计师的下列行为中不违反职业道德规范的是（ C ）A.承接了主要工作需由事务所外专家完成的业务B.按服务成果的大小进行收费C.不以个人名义承接一切业务D.对自己的能力进行广告宣传二、多项选择题1、下列各项中，不符合注册会计师职业道德规范的有（BC）A．雇佣正在其他会计师事务所执业的注册会计师B．对其能力进行广告宣传C．允许其他单位以本所的名义承办业务D．以降低收费方式招揽业务E．揭露被审计单位的重大舞弊行为2、审计小组成员李莉的丈夫是甲公司的股东，下列防范措施能够消除威胁独立性情形的有( ABD )A.李莉审计甲公司前要求其丈夫出售持有甲公司的全部股份B.将李莉调离审计小组C.在审计报告意见段后增加强调事项段D.请其他注册会计师复核李莉的审计工作底稿E.要求李莉与其丈夫暂时分居3、下列可能威胁独立性情形的有（ACDE ）A、收费主要来源于某一鉴证客户B、与鉴证客户不存在专业服务收费以外的经济利益C、为鉴证客户编制属于鉴证业务对象的数据或其他记录D、鉴证客户的董事、经历或其他关键管理人员是会计师事务所的前高级管理人员E、鉴证客户的董事、经理或其他关键管理人员是会计师事务所的前高级管理人员4、注册会计师可以披露客户有关信息的有（ABD ）A、取得客户的授权B、根据法规要求，为法律诉讼准备文件或提供证据C、接受同业复核D、接受注册会计师协会或监管机构依法进行的质量检查E、取得其他客户的要求5、下列各情况中，影响会计师事务所独立性的是（ABCD ）A.会计师事务所的办公用房系向某委托单位租用的B.会计师事务所为某委托单位代理纳税，同时承揽其会计报表审计业务C.会计师事务所的一名注册会计师是某鉴证客户的独立董事D.会计师事务所为某上市公司提供会计报表审计服务的同时，还为其编制会计报表E.会计师事务所按审计业务工作量的大小进行收费6、会计师事务所和注册会计师接受年报审计业务时，如果与被审计单位之间存在下列关系，需要回避的是（ ACDE ）A．注册会计师的妻子持有委托单位1000股股票B.注册会计师五年前是委托单位的总账会计C．注册会计师的表姐是委托单位的仓库保管员D．会计师事务所曾给委托单位提供一笔二百万借款，至今未还2.E.注册会计师是委托单位的常年会计顾问7、对注册会计师职业道德的基本要求，包括（ABCDE ）A．独立 B．客观 C．守法 D．公正 E．坚持原则8、会计师事务所和注册会计师接受会计报表审计委托业务，如果与委托单位之间存在下列关系需要回避（ACD ）A.注册会计师的儿子持有委托单位少量股票B.注册会计师的姐姐是委托单位的一般职员C.会计师事务所曾给委托单位提供一笔借款，目前尚未收回D.注册会计师的妹妹持有委托单位少量的债券E.注册会计师三年前是委托单位职工三、简答分析题1、什么是审计人员的职业道德?判别下列做法是否违背职业道德,并简要说明理由。

第二章 2.2 2.2.2请同学们认真完成练案[12]A 级 基础巩固一、选择题1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是( A )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[解析] 由概率的相关概念得A 1与A 2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件． 2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )A ．49 B ．29 C ．23D ．13[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49．3．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[解析] P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864．4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射一次，那么56等于( D ) A ．甲、乙都击中靶心的概率 B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率 C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率 D ．甲、乙不全击中靶心的概率[解析] 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝56．5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12 B ．512 C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512．6．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为( C )A ．320 B ．42135 C ．47250D ．1735[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.故选C ．二、填空题7．在某道路A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为__35192__． [解析] 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为512、712、34． ∴所求概率P ＝512×712×34＝35192．8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，能配成A 型螺栓的概率为__35__．[解析] 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35． 9．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是__0.46__．[解析] 设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46． 三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． [解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P A B ＝14，PB C＝112，PAC ＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P A ·[1－P B ]＝14， ①P B ·[1－P C ]＝112， ②PA ·P C ＝29. ③由①、③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0． 解得P (C )＝23或 119(舍去)．将P (C )＝23分别代入③、②可得P (A )＝13、P (B )＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23．(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56．B 级 素养提升一、选择题1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13 B ．29 C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13．2．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )A ．P 1＋P 2B ．P 1P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[解析] 甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个 问题的概率是P 2，则甲不能解决这个问题的概率是1－P 1，乙不能解决这个问题的概率是1－P 2， 则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P 1)(1－P 2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P 1)(1－P 2)，故选D ．二、填空题3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为__516__ ． [解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14．设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516．4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为__13__，问题得到解决的概率为__23__．[解析] 甲、乙两人都未能解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1人能解决问题， ∴P ＝1－13＝23．三、解答题5．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12，(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．[解析] (1)记事件M ：甲连胜四场，则P (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116．(2)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为P ′＝P (ABAB )＋P (ACAC )＋P (BCBC )＋P (BABA )＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，所以，需要进行第五场比赛的概率为P ＝1－P ′＝34．(3)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输， 记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，所以，甲赢的概率为P (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝932．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为P (N )＝1－2×932＝716．6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415． (2)解法一：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A B)＝P(A)·P(B)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－1415＝145．所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(A B)＝1－145＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．。

3
1
记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P(A1∪A2∪A3)
i=1,2,3 3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1∪A2∪A3) = 1 − P ( A1 U A2 U An ) 2
= 1 − P ( A1 A2 A3 )
= 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
P( Ai1 Ai2 LAik ) = P( Ai1 )P( Ai2 )LP( Aik )
则称A1,A2, …,An为相互独立的事件. 包含等式总数为： n n
n 2 + +L+ n 3 n n = (1 + 1) n − − = 2n − n − 1 1 0
得Α与 B 独立。
证明： P ( B ) = 0,∀A, A = AS = AB + AB ,
P ( A ) = P ( AB ) + P( AB ) = P ( AB ) + P ( A )P ( B )
= P ( AB ).
P ( A) P ( B ) = P ( AB )
同理可证： A 与Β，A 与 B 也分别独立。
或 P(B|A)
= P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发 生的概率,这时称事件A、B独立.
一、两事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立？
至少6门炮。

独立性一、判断题1.概率为零的事件与任何事件都是独立的。

（ ）2.设()()0,0>>B P A P 若A 与B 为对立事件，则A 与B 相互独立（ ）3. ()()0,0>>B P A P 若A 与B 相互独立，则A 与B 相容（ ）4. A ,B ,C 相互独立的充分必要条件是他们两两相互独立（ ）5.从一大批产品中“不返回”地抽取，则可以认为各次抽取间产生的事件 是独立的 （ ）二、填空题1.设事件A 与B 相互独立，已知()()8.0,5.0=⋃=B A P A P ， 则()=B A P ()=⋃B A P2.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为,91A 发生B 不发生的概率 与B 发生A 不发生的概率相等，则()=A P三、选择题1.设()()()8.0,7.0,8.0===B A P B P A P ，则下列结论正确的是A ．A 与B 互不相容 B.B A ⊂C ．A 与B 相互独立 D.()()()B P A P B A P +=⋃2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： }{1掷第一次出现正面=A }{2掷第二次出现正面=A}{3正反面各出现一次=A }{4正面出现两次=A ，则A ．321,,A A A 相互独立 B. 432,,A A A 相互独立C ．321,,A A A 两两独立 D. 432,,A A A 两两独立四、设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有 2只蓝球，3只绿球，4只白球。

独立的分别在两只盒子中各取一只球。

1.求至少有一只蓝球的概率；2.求有一只蓝球一只白球的概率；3.已知至少有一只蓝球，求一只篮球一只白球的概率。

五、甲乙两人投篮，甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7 。

今各投三次。

求：1.两人投中次数相等的概率；2.甲比乙投中次数多的概率。

六、证明下列各题1.已知()()()pq q B A P q B P p A P +-=⋃==1,,，证明B A ,相互独立；2.设A , B ,C 三个事情相互独立，试证： B A AB B A -⋃,,皆与C 相互独立。