高中数学思想专题讲座-整体的思想方法

中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

中学数学思想方法之整体思想1p 中学数学思想方法之整体思想山东省邹平一中王宏东李王梅所谓整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后，得出结论。

整体思想的应用，主要根据整体的集合性，相对性几统一性等特殊性，做到观察全局、整体代入、整体换元、局部补全、整体构造、化零为整等。

一，整体观察，化繁为简例1：（1）已知，求：的值（99年高考题）（2）已知函数则【思路点拔】（1）先将结论因式分解，然后将和都看作整体进行运算，分别令或，易得到结果为1。

（2）如果注意到，就易发现此题的结果为。

【点评】（1）题主要考察学生的整体观察能力，即不能将割裂来求，否则加大了运算难度；（2）题与（1）有类似情况，其关键是将作为一个整体运算，从问题的结构中也易发现这层关系，利用整体运算带来轻松的快感。

二，整体构造（式或形），化难为易例2：已知是等比数列的前n项的和，且，求。

【思路点拔】此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比还要考虑进行分类讨论，若注意到，，依次相差n项，以此构造三个整体：，通过分析可知这三个数构成等比数列。

从而得【点评】在解决问题中，有时将局部的问题通过适当的增减，使之成为一个完整的有联系的整体，让问题中的局部与整体的关系有机地联系起来，显露出问题的本质，从而使问题的解决找到捷径。

不妨再看一例。

例3：已知三棱锥P ? ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，其外接球的半径为R。

（1）求证：为定值；（2）求三棱锥P ? ABC体积的最大值。

【思路点拔】（1）首先此问题的定值只能与R发生关系，但碰到的棘手问题是球心O的位置难以确定，条件乍看也难以联系、利用。

如果联想到此三棱锥是长方体的一部分（三条侧棱两两相互垂直作为一个整体考虑），且长方体的外接球与此三棱锥有相同的外接球（即唯一性），于是尝试将此三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC 作为长方体的棱补成长方体，这样就避开了球心位置的确定，而直接确定球的直径为长方体的对角线，从而得到：（定值）（2）由（1）得当。

探究高中数学的整体代入思想方法发布时间：2022-07-06T00:43:41.619Z 来源：《科学教育前沿》2022年4期作者：赵平[导读] 【摘要】整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式，整体结构，整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法，从整体上去认识问题，思考问题，常常能化繁为简，变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性，敏捷性；整体思想的主要表现形式有：整体代入，整体加减，整体代换，整体联想，整体补形，整体改造等等，数与式，方程与不等式，函数与图像，几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用；所谓整体思想即分析问题时不局限在问题的局部上，而是有意的从大处着手、从整体入手，把一些形似独立、实为联系紧密的量作为一个整体来处理，利用这个思想不仅可以化繁为简、变难为易，更能培养思维的灵活性和敏捷性；整体思想是一种重要的解题策略，解题时如果从整体入手，采用整体代入的思想方法，往往能达到出奇制胜的效果。

【关键词】整体代入整体思想高中数学赵平（商丘市实验中学河南商丘 476000）【摘要】整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式，整体结构，整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法，从整体上去认识问题，思考问题，常常能化繁为简，变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性，敏捷性；整体思想的主要表现形式有：整体代入，整体加减，整体代换，整体联想，整体补形，整体改造等等，数与式，方程与不等式，函数与图像，几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用；所谓整体思想即分析问题时不局限在问题的局部上，而是有意的从大处着手、从整体入手，把一些形似独立、实为联系紧密的量作为一个整体来处理，利用这个思想不仅可以化繁为简、变难为易，更能培养思维的灵活性和敏捷性；整体思想是一种重要的解题策略，解题时如果从整体入手，采用整体代入的思想方法，往往能达到出奇制胜的效果。

【关键词】整体代入整体思想高中数学中图分类号：G63 文献标识码：Ａ文章编号：ISSN1004-1621（2022）01-069-02一．数学运算是重要的数学学科核心素养《普通高中数学课程标准》中指出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这些数学学科核心素养既相互独立又相互交融，是一个有机整体，其中数学运算能力在高中数学学习中占据相当重要的作用，数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。

数学解题思想——整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

一．整体代入在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形,再整体代入求值，使问题化难为易。

例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根,求代数式22211a a a a--+的值。

分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=,则21-a a -=，2=1a a +,再整体带入即可。

二．整体设元在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解.例2 阅读材料：求2320141+2+2+2...2++的值。

解：设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++，两式相减得 2S-S=201521-，即S=201521-;故2320141+2+2+2...2++=201521-。

请你仿照此方法计算：（1）23101+3+3+3...3++;（2）231+5+5+5...5n ++(其中n 为正整数）.分析：（1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++，再与已知等式相减，得2S=1131-,即可求出所求式子的值；（2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++，再与已知等式相减,得4S=151n +-,即可求出所求式子的值；三．整体构造就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造,从而解决问题。

例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。

【备战2013高考数学专题讲座】 第7讲：数学思想方法之整体思想探讨数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

通常混称为“数学思想方法”。

常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨整体思想的应用：（1）整体运算；（2）整体代换；（3）整体设元；（4）整体变形、补形。

一、整体运算：整体运算是着眼结构的整体性，根据问题的条件进行运算（包括整体配方、求导等），达到简化解题思路，确定解题的突破口或者总体思路。

典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为【 】()A 1ln 2- ()Bln 2)- ()C 1ln 2+ ()D ln 2)+【答案】B 。

【考点】反函数的性质，导数的应用。

【解析】∵函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，∴它们的图象关于y x =对称。

∴函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =设函数1()2x g x e x =-，则1()12x g x e '=-，∴min ()1ln 2g x =-。

∴min d =。

∴由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-。

高中数学思想方法专题（六）——整体的思想方法一、知识要点概述人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而简捷地解决问题的目的，像这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称之为“整体的思想方法”。

整体的思想方法在中学数学里体现是很充分的。

众所周知，数学概念是对一客观现象经过整体性思考。

抽象、概括而形成的；数学运算法则是从同一类运算实践的的整体中，经过归纳、概括建立起来的；解答数学问题是纵观条件和结论的整体情境之后，通过对数学方法的运用环节调节而求得结果的；数学的各个分支之间、空间形成与数量关系之间，又表现出高度的协调一致，呈现着和谐的数学美，这一切说明数学是一个有机的整体。

高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。

二、解题方法指导1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。

2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。

3．运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。

三、范例剖析例 1 一个项数为奇数的等差数列{a n }，其奇数项之和为51，偶数项之和为 1，求其通项公式。

例2直线交曲线 及渐近线于A 、B 、C 、D 四点， 如图，求证：|AB|=|CD|.例3 已知sinx+siny=1,求cosx+cosy 的取值范围.例4 有5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法有_______种。

整体数学思想方法总结数学思想方法是指数学家在解决问题时使用的思维方式和方法论。

它涉及到问题的分析、抽象、推理等过程，以及数学概念、原理和定理之间的联系。

数学思想方法是数学研究和应用中不可或缺的部分，它帮助人们更好地理解和应用数学知识，并发现新的数学规律和理论。

下面将对整体数学思想方法进行总结。

一、问题分析和理解是数学思想方法的基础。

在解决数学问题时，我们首先需要对问题进行分析和理解，明确问题的条件、目标和限制。

通过对问题的深入思考和分析，我们可以了解问题的性质和内在规律，从而为后续的解决方法提供基础。

二、抽象是数学思想方法的核心。

抽象是指将具体的问题抽象化为一般性的数学概念和模型，从而使问题在更抽象的层面上得以解决。

通过抽象，我们可以将具体问题归结为一般性的数学问题，从而更好地利用数学工具和方法解决问题。

抽象是数学领域中重要的思维方式，它使得我们可以从具体问题中归纳出一般性的结论和定理。

三、推理是数学思想方法的重要环节。

推理是指根据已知条件和规则，通过逻辑推演得出结论的过程。

在数学中，推理可以有不同的形式，如归纳法、演绎法等。

通过推理，我们可以由已知条件推导出新的结论，并进一步扩展和应用已有的数学知识。

推理是数学研究和证明的基本方法，它使得数学成为一门严密和系统的学科。

四、实例和反例是数学思想方法中的重要工具。

通过实例和反例，我们可以具体地展示一个数学概念或结论的性质和特点。

实例是指具体的例子，可以帮助我们理解和验证一个数学命题的正确性。

反例是指一个例子，它可以推翻一个命题的正确性。

通过实例和反例，我们可以更好地理解和应用数学知识，加深对数学概念和结论的理解。

五、归纳和演绎是数学思想方法的两种基本形式。

归纳是从具体事实中推导出一般性规律的过程，通过观察和分析具体例子，我们可以总结出一般性的规律和定理。

演绎是从一般性规律中推导出具体结论的过程，通过已有的理论和定理，我们可以推导出具体问题的解答。

归纳和演绎是数学研究和证明的基本模式，它们相互依存，相互推进。

整体意识的运用江苏省昆山中学 缪林整体意识是在全局的观点上看问题，整体把握条件和结论之间的联系，或将条件中的某一部分、几何图形中的某一部分视作整体用于问题的研究，或将所要研究的结论视作一个整体，或问题的处理过程中，用整体的意识探寻解题策略，它与分解意识相互联系也相互转化。

例1 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ．分析：记6παβ+= ，则22124ππαβ+=-。

由α为锐角，可得263ππβ<<。

由4cos()cos 65παβ+==，可得3sin 5β==。

从而2247sin 22sin cos ,cos 212sin 2525βββββ===-=，sin(2)sin(2)sin 2cos cos 2sin 1244450ππππαβββ+=-=-= 注：通过将题中的部分“式子”看成一个整体，实现问题的转化。

例2 求函数22(1)3sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值之和.分析：若直接求最值是非常困难的，结论不是分别求最大值和最小值，而求整体探求最大值和最小值之和，故而可尝试研究函数f(x)的对称性，再从整体角度探究两最值之和 由于22222(1)sin 213sin 23sin ()1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，记223sin ()1x xg x x +=+，则易证g(x)为奇函数，从而max min ()()0g x g x +=， 因此max min max min max min ()()[1()][1()]2()()2f x f x g x g x g x g x +=+++=++=， 即M+m=2。

注：将所求结论看成一个整体，例3 已知一个长方体的表面积为48cm 2，所有棱长之和为36cm ，试求该长方体体积的取值范围.分析：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c ，则有,,0,24,9.a b c ab bc ca a b c >⎧⎪++=⎨⎪++=⎩从而 29,24()924.a b c ab c a b c c +=-=-+=-+故a,b 是方程22(9)(924)0t c t c c --+-+=两正实根。

数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c a b b c a c ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n +=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+ 分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21xyx =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元． 依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以第9题YXO 1-1第10题654321IHGFED CBA目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，第11题OP FEDCBA123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCDS S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。

整体思想是指以全局的视角来思考问题，从而把握整个问题的解决方案。

在高中数学解题中，整体思想的应用有很多，可以帮助学生更好地理解数学概念，把握数学解题思路。

首先，整体思想可以帮助学生更好地理解数学概念。

学生可以从整体上把握数学概念，把它们拆分成若干个子概念，并建立起它们之间的关系，从而更好地理解数学概念。

其次，整体思想可以帮助学生把握数学解题思路。

学生可以从整体上把握数学解题的思路，将解题步骤拆分成若干个子步骤，并建立起它们之间的联系，从而把握数学解题的思路。

最后，整体思想可以帮助学生更好地解决数学问题。

学生可以从整体上分析问题，把握问题的解决方案，并将其分解成若干个子问题，从而更好地解决数学问题。

总之，整体思想在高中数学解题中有着重要的作用，可以帮助学生更好地理解数学概念，把握数学解题思路，更好地解决数学问题。

数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．第9题YXO 1-14321I HEDBA说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法第11题OP FEDCBA在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCD S S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。

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浅析高中数学解题中整体思想的运用
作者：李岳
来源：《理科考试研究·高中》2015年第08期
整体思想作为一种重要的数学思想方法，在高中数学解题过程中有着无可替代的作用.运
用整体的思想，把一些式子和图形看作一个整体去处理，分析题设和结论之间的关系，能有效提高解题的速度和准度.本文在分析整体思想内涵作用的基础上，结合具体实例阐述了在高中
数学解题中整体思想的运用.
一、整体思想的内涵
所谓整体思想就是通过观察分析、变形改造发现题设和结论之间的整体结构特征，用集成的眼光，从宏观整体上把握问题实质，把一些独立的个体看做是一个整体，通过代入、换元、补形等手段来简化解题过程，实现解题目的的一种数学解题思想方法.整体思想方法在高中数
学中应用广泛，整体代入、整体设元、整体变形、整体构造、整体补形都是整体思想在数学解题中的具体运用.。

高中数学解题中的整体思想运用及经验阐述作者：孙宇泽来源：《新教育时代·学生版》2017年第26期摘要：文章以提高数学学习水平为前提，针对解题过程中整体思想的运用，介绍了几点学习经验，有利于降低数学学习难度，培养逻辑性思维。

关键词：高中数学解题整体思想知识架构数学学习期间，要想真正提高学习效果，需要掌握好的学习方法，而这并不意味着只需要掌握教材中的数学知识，也要具备高效的解题方法。

例如整体思想的应用，立足于问题整体性质，重点围绕问题整体结构进行解析与改造，从而了解问题整体结构特点，使用集成性目光，将公式或者图形视为整体，掌握这些因素之间的联系，从而顺利完成解题，如此便能够得到事半功倍的学习效果。

一、整体思想应用高中数学解题有效性当我们求解数学题过程中，需要将局部复杂且模糊的细节忽略，从整体角度出发求解，如此便可以顺利得出结果。

这是一种最为基础且常见的思想。

我们学习数学知识时，如果可以熟练运用整体思想，可以将复杂的习题简化，降低难度的同时，提高解题正确率。

二、高中数学解题中的整体思想运用经验1.在问题中设置悬念数学知识带有极强的逻辑性，并且随着年级的增长，数学知识难度也越来越高。

当我们学习数学知识时，可以通过设置悬念的方式，调动学习的积极性[1]。

以“曲线与方程”这一课为例，学习时，老师提问：“地球绕太阳运行的轨迹如果使用数学方程怎样表示？”，该问题中关系到地球、太阳，因为对其比较熟悉，所以会引发出探索欲望。

随后观看地球围绕太阳运动轨迹，了解运行轨迹为椭圆形，这时便可以了解到曲线形成的过程。

当我们已经有了基础认知，这时再使用多媒体设备了解平面中点按照规律运动形成曲线，便可以理解方程概念。

2.设计解题步骤当有了学习的兴趣之后，需要合理设计解题步骤。

以往数学学习过程中，主要是采用从局部至整体、由简单至复杂、由特殊至一般这几种学习模式，例如以实例的方式来巩固数学概念，在习题中对概念进行应用[2]。