2020-2021学年山东省泰安市宁阳一中高二(上)期末数学试卷 (解析版)

高二上学期期中测试数学试题一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1. 已知向量(1,3,2)a =-，(2,1,0)b =，则2a b -=（ ） A. (3,1,2)--B. (5,5,2)-C. (3,1,2)-D.(5,5,2)--【答案】A 【解析】 【分析】求出向量2b 的坐标，利用空间向量的减法运算可得答案． 【详解】2(4,2,0)b =，2a b ∴-=(3,1,2)--故选：A2. 若点(3,2)A ，(4,3)B ，(6,)C m 三点共线，则m =（ ） A. 2 B. 4C. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】,,A B C 三点共线，即//AB BC ，利用平面向量共线的坐标表示列方程解出m ．【详解】点(3,2)A ，(4,3)B ，(6,)C m 三点共线，则//AB BC()()1,1,2,3AB BC m ==-，32m ∴-=，解得5m =故选：D3. 抛物线2y x =-的焦点坐标为（ ） A. 1(,0)4B. 1(,0)4-C. 1(0,)4D. 1(0,)4-【答案】D 【解析】【分析】化简抛物线方程，进而求出焦点坐标． 【详解】抛物线方程2y x =-可化简为2x y =- 所以焦点坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D4. 两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为（ ） A.1310B.135C.72D.235【答案】C 【解析】由直线平行的充要条件可得：34,68a a =∴=， 结合平行线之间的距离公式可得，两条平行直线68240x +-=与68110x y ++=间的距离为：357102d ===. 本题选择C 选项.5. 已知点M ，直线(y k x =+与2214x y +=椭圆相交于AB 、两点，则ABM ∆的周长为（ ） A. 2 B. 8C. 12D. 16【答案】B 【解析】 【分析】直线(y k x =+过定点(N ，由椭圆定义可得24AN AM a +==，24BM BN a +==，进而可求出结果．【详解】由椭圆2214x y +=，可知2a =，1b =，c =直线(y k x =+过定点(N ， 所以M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：24AN AM a +==，24BM BN a +==．ABM 的周长为()()()8AB BM AM AN BN BM AM AN AM BN BM ++=+++=+++=，故选：B ．6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F M 为椭圆上一动点，12F MF ∆面积的最大值为12ab ，则椭圆的离心率为（ ）A. 12 B. 1 C. 351【答案】A 【解析】 【分析】由题得当M 在椭圆短轴端点时，12F MF ∆面积取最大值，解方程12ab =122c b ⋅⋅即得解. 【详解】由题得当M 在椭圆短轴端点时，12F MF ∆面积取最大值，解方程12ab =122c b ⋅⋅,所以a=2c,即12e =.故选A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7. 若圆22240x y kx +--=关于直线2x -y +3=0对称，则k 等于（ ） A.32B. -32C. 3D. -3【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得圆心坐标，圆关于直线对称，即直线过圆心，代入坐标，即可求解. 【详解】由题意知，圆22240x y kx +--=的圆心为(k ，0)，圆关于直线2x -y +3=0对称，即直线2x -y +3=0过圆心(k ，0)， 所以2k +3=0，k =-32. 答案：B【点睛】本题考查圆的对称性，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题.8. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A 2D.3【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、多选题(本题共4题，每题5分，共20分，四个选项中全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分)9. 过点(4,1)A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） A. 5x y +=B. 5x y -=C. 40x y -=D.04=+y x【答案】AC【解析】 【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求. 【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为40x y -=；当直线不过坐标原点时，设直线方程为x y a +=，代入点(4,1)A 可得5a =， 即5x y +=. 故选：AC.【点睛】直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为1-.10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A. ()()2212AA AB ADAC ++=B. ()10AC AB AD ⋅-= C. 向量1B C 与1AA 的夹角是60° D. 1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】 【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以111cos ==||||2BD AC BD AC BD AC ⋅⋅，，所以D 不正确.故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题. 11. 下列说法正确的是（ ）A. 双曲线221916y x -=的渐近线方程是43y x =±B. 双曲线221x y -=的离心率e =C. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 到渐近线的距离是bD. 双曲线22142x y -=，直线l 与双曲线交于,A B 两点，若AB 的中点坐标是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为2870x y ++= 【答案】BCD【解析】 【分析】A. 根据双曲线方程得到,a b 和焦点的位置判断；B. 根据双曲线方程得到,a b 判断；C.根据双曲线方程，得到焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离求解判断；D. 设()()1111,,,A x y B x y ，则222211221,14242x y x y -=-=，利用点差法求解判断.【详解】A. 因为双曲线221916y x -=，所以3,4a b ==，焦点在y 轴上，所以渐近线方程是34yx ，故错误； B.因为双曲线221x y -=，所以1,1a b ==，所以离心率e =C.因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，所以焦点坐标为()(),0,,0c c -，渐近线方程为0bx ay -=，所以焦点到渐近线的距离为d b ==，故正确；D. 设()()1111,,,A x y B x y ，则222211221,14242x y x y -=-=，两式相减得：2222121224y y x x --=，因为AB 的中点坐标是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线的斜率为()12121212124y y x x k x x y y -+===--+。

山东省泰安市宁阳县第一中学2020-2021学年高三上学期模块考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为R ，集合{}2|20A x R x x =∈->，集合{}|ln 10B x x =-≤，则()R A B =（ ）A. []0,2B. (]0,2C. []0,eD. (]0,eC分别由集合,A B 求出对应x 范围，先求A R，再求()R A B 即可{}{2202A x R x x A x x =∈-⇒=或}0x <，{}02RA x x =≤≤{}{}|ln 10|0B x x B x x e =-≤⇒=<≤， 则(){}0R A B x x e ⋃=≤≤故选：C 本题考查集合的交并补运算，属于基础题2. 已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A .a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>D容易得出2233311()()1,132log π<<>，从而得出a ，b ，c 的大小关系．由题得2203333111()()()1,log 31322log π<<=>=；c b a ∴>>．故选：D ．本题主要考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3. 命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 1a ≤ B. 2a ≤ C. 3a ≤ D. 4a ≤A“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为22,[1,2]x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案．若“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得22,[1,2]x a x ≥∈恒成立只需()2min22a x≤=，所以1a ≤时，[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件，故选：A ． 本题主要考查了不等式恒成立问题，以及探求命题的充分不必要条件，属于常考题型．4. 若先将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 1B. 3-C. 3D.2C结合函数图像平移法则求出()y g x =表达式，再代值运算即可由题可知，2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后的表达式为：22sin 22sin 22cos 26636y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将所有横坐标伸长为原来的2倍，表达式变为：2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2cos 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2cos 2cos 33366g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C 本题考查由函数图像的平移法则求平移之后的解析式及具体的函数值，属于基础题 5. 如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A. a b +B. 12a b +C.12a b + D.23a b +C根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===，所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．故选C ．本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题． 6. 函数()()23ln 44(2)x x f x x -+=-的图象可能是下面的图象A. B. C. D.C因为()()()()()2233ln 44ln 222x x x f x x x -+-==--，所以函数()f x 的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当0x <时，()()23ln 20,20x x ->-<，所以()0f x <，排除D ．选C ．7. 在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A. 0.012B. 0.052C. 0.125D. 0.235B根据题意圆内接正120边形其等分成120个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为3︒,根据等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3°的近似值. 当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈,故选：B 本题考查三角形与圆的面积公式,属于基础题.解本类题型需认真审题，读懂题意找到等式是关键.8. （2020·山东滨州.高三三模）已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A. 4- B. 2- C. 2 D. 4D根据题意，延长CO 交AB 于D ，求得3OD mOC=，再求得面积比，结合已知条件，即可求得结果.由2OA OB mOC +=-得：12333mOA OB OC +=-设3mOC OD -=，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线，0m >, 3OD m OC ∴= 3313mOD mm m CD ∴==++ 734AOB ABC D S OD m S m C ∆∆∴+=== 4m ⇒=.故选：D.本题考查向量共线定理的应用，属综合中档题.二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9. 设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 90a =C. 117S S >D. 8S 、9S 均为n S 的最大值 ABD利用结论：2n ≥时，1n n n a s s -=-，结合题意易推出89100,0,0a a a >=<，然后逐一分析各选项. 解：由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++， 90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：ABD.本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.10. 已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A. a 与b 的夹角为钝角B. 向量a 在bC. 2m +n =4D. mn 的最大值为2 CD对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误； 对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2a b b ⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD.本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题. 11. 下列命题正确的是：（ ） A. 函数()1f x x x=-的图像关于坐标原点对称， B. 若()13,1,ln ,21,1n x e a x b nx c x -∈===，则b a c <<，C. 如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为6πD. 设,,a b c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 ABC采用逐项进行验证，利用函数的奇偶性可知A ，根据ln x 的范围可知B ，点代入函数并结合余弦函数的性质可知C ，根据向量的运算可知D ，最后可知结果. 解：对A ：()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭则()f x 为奇函数， 故A 正确；对B ：由()1,1x e -∈得()ln 1,0x ∈-，则3ln 2ln ,ln ln ,x x x x >> 故,b a c << 故B 正确；对C ：由题可得43cos 203πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 得232k ϕππ+=+π， 解得6k πϕπ=-+，则当0k =时，ϕ的最小值为6π， 故C 正确；对D ：()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦， 则()()b c a c a b ⋅-⋅与c 垂直，故D 错误.故选：ABC12. 已知函数()=cos sin f x x x -，则下列结论中，正确有（ ） A. π是()f x 的最小正周期B. ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. ()f x 的图象的对称轴为直线()4x k k Z ππ=+∈D. ()f x 的值域为[]0,1 BD由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期，当[0,]4x π∈时，化简()f x 并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数()f x 的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期，当[0,]4x π∈时，()cos sin 2sin()4f x x x x π=-=--，画出()f x 的图象如图所示：由图知，()f x 的最小正周期是2π，A 错误； ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；()f x 的图象的对称轴为(),4k x k Z π=∈，C 错误； ()f x 的值域为[]0,1，D 正确.故选：BD.本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知数列{}n a 为等差数列且76a π=，则()212sin a a +=______．3由已知结合等差数列的性质求得21272a a a +=，代入正弦函数即可． 在等差数列{}n a 中，由76a π=，得212723a a a π+==，()2123sin sin3a a π∴+==． 3本题考查等差数列的性质，求特殊三角函数值，属于基础题，题目意在考查对等差数列性质和特殊三角函数的掌握情况．14. 已知向量()4,2a =，(),1b λ=，若2a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．()()12,111+先求出2a b +与a b -的坐标，再根据2a b +与a b -夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，．向量(4,2)a =，(,1)b λ=，∴2(42,4)a b λ+=+，(4,1)a b λ-=-，若2a b +与a b -的夹角是锐角，则2a b +与a b -不共线，且它们乘积为正值， 即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-220420λλ=+->，求得11λ<<+2λ≠．本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键． 15. 设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=___________ . 2()()2221sin 2sin 111x xx x f x x x +++==+++，令22sin ()1x x g x x +=+，则()g x 为奇函数， 所以()g x 的最大值和最小值和为0，又()()1g x f x =-. 有110M m -+-=，即2m M +=. 答案为：2.16. 如图，设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点D 是ABC 外一点，1CD =，3AD =，则当D ∠=______时，四边形ABCD的面积的最大值为____________(1).56π (2). 533+ 利用正弦定理边角互化结合B 的取值范围可求得3B π∠=，可判断出ABC 为等边三角形，利用余弦定理求得2106cos AC θ=-，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD 的面积关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD 面积的最大值及其对应的θ的值，即可得解.()3cos cos 2sin a C c A b B +=，)23sin cos cos sin 2sin A C A C B +=，所以，()()22sin 3sin 3sin 3sin B A C B B π=+=-=，3CAB π∠=，20,3B π⎛⎫∴∠∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0B >，3sin 2B ∴=，3B π∴∠=， 所以，ABC 为等边三角形， 设D θ∠=，则0θπ<<，由余弦定理可得2222cos 106cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅=-，)2135333sin 106cos 23422ABC S AC πθθ==-=-△， 13sin sin 22ACD S AD CD θθ=⋅=△， 所以，四边形ABCD 的面积为3533353sin 3sin 23ACD ABC S S S πθθθ⎛⎫=+==-+ ⎪⎝⎭△△，0θπ<<，2333πππθ∴-<-<， 所以，当32ππθ-=时，即当56D πθ∠==时，四边形ABCD 的面积取最大值5332+.故答案为：56π；5332+. 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，_________，DC =2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)①234,sin 3AB BC ACB =∠=；②tan 36BAC π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭；③2cos 23BC ACB AC AB ∠=-.（1）求DAC ∠的大小； （2）求△ADC 面积的最大值. （1）3π；（23（1）若选①，利用正弦定理得出6BAC π∠=，再结合2BAD π∠=，即可得出DAC ∠；若选②，由tan 36BAC π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭6BAC π∠=，再结合2BAD π∠=，即可得出DAC ∠；若选③，利用正弦定理的边化角公式化简得出得出6BAC π∠=，再结合2BAD π∠=，即可得出DAC ∠；（2）由余弦定理结合基本不等式得出4AC AD ⋅≤，最后由三角形的面积公式得出△ADC 面积的最大值.（1）解：若选①在ABC ，由正弦定理可得：sin sin AB BCACB BAC=∠∠又234,sin 3AB BC ACB =∠=，可得：1sin ,26BAC BAC π∠=∴∠= 又AB AD ⊥，2BAD π∴∠=，3DAC π∴∠=（2）在ACD △中，=2DC ，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-⋅≥⋅即4AC AD ⋅≤11sin 422ADC S AC AD DAC ∴=⋅∠≤⨯=△当且仅当AC AD =时取“=” 若选择②（1）由tan 6BAC π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭6BAC π∴∠=又AB AD ⊥，,23BAD DAC ππ∴∠=∴∠=（2）在ACD △中，2DC =，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-⋅≥⋅即4AC AD ⋅≤11sin 422ADC S AC AD DAC ∴=⋅∠≤⨯=△当且仅当AC AD =时取“=”.若选③（1）2cos 2BC ACB AC ∠=，由正弦定理得：2sin cos 2sin BAC ACB ABC ACB ∠∠=∠∠()2sin cos 2sin BAC ACB ACB BAC ACB ∴∠∠=∠+∠∠2sin cos 2sin cos 2cos sin BAC ACB ACB BAC ACB BAC ACB ∴∠∠=∠∠+∠∠∠即2sin cos ACB BAC ACB ∠∠=∠sin 0ACB ∠>cos 2BAC ∴∠=()0,BAC π∠∈6BAC π∴∠=又AB AD ⊥，所以,23BAD DAC ππ∠=∴∠=；（2）在ACD △中，2DC =，由余弦定理可得：2224DC AC AD AC AD AC AD ==+-⋅≥⋅即4AC AD ⋅≤11sin 4222ADC S AC AD DAC ∴=⋅∠≤⨯⨯=△ 当且仅当AC AD =时取“=”本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.18. 已知平面向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =．（1）若[]0,x π∈，且2=a b ，求x 的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求a b ⋅的取值范围．（1）3,44x ππ=；（2）3[0,]2a b ⋅∈. （1）根据题目条件直接把向量的模长关系表示出来，再由三角函数值求角； （2）将向量表示出来，再由角的范围求三角函数值．（1）由2=a b ，得= 即22sin cos x x =，解得4x π=或34x π=.（2）记2()3sin cos cos f x a b x x x =⋅=+1cos 222x x +=+1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴30,2a b ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦．本题考查三角函数值求角，要注意角的范围，在该范围内满足条件的角有几个；三角函数求值域时，注意整体换元思想的应用，属于基础题． 19. 设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T（1）2nn a =；（2）111n T n =-+. （1）根据11,1,1n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩计算即可.（2）根据（1）的条件可知n b ，然后根据裂项相消求和即可. 解：（1）当1n =时，112a S ==122,n n S +=-()1222n n S n -∴=-≥ ()122n n n n a S S n -∴=-=≥12a =符合2n n a =∴数列{}n a 的通项公式为：2n n a =（2）()()211111log 211n n b n n n n n ===-+++1111112231n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-+111n =-+20. 已知向量()3sin ,2cos a x x =-，()2cos ,cos b x x =，函数()1()f x a b x =⋅+∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若()2f A =，4Cπ，2c =，求ABC ∆的面积ABC S ∆.（1）()f x 的增区间是,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2 （1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数()f x 的单调递增区间；（2）根据（1）所得的结论和()2f A =，可以求出角A 的值，利用三角形内角和定理可以求出角C 的值，再运用正弦定理可得出a 的值，最后利用三角形面积公式可以求出ABC ∆的面积ABC S ∆..（1）()1f x a b =⋅+2cos 2cos 1x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈解得63k xk ππππ∴()f x 的增区间是,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∵0A π<< ∴262A ππ-=解得3A π=又∵4Cπ∴ABC ∆中，512B π=由正弦定理sin sin a cA C =得sin sin c A a C==∴1sin 2ABC S ac B ∆=132242=⨯=本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式，考查了正弦定理和三角形面积公式，考查了数学运算能力.21. 某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润y （万元）与使用年数()*x x ∈N 的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？（1）()251936y x x =--+，*x ∈N （2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元（1）运用等差数列前n 项和公式可以求出x 年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润y （万元）与使用年数()*x x ∈N 的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值. 解：（1）由题意知，x 年总收入为100x 万元x 年维护总费用为10(123)5(1)x x x ++++=+万元.∴总利润1005(1)180y x x x =-+-，*x ∈N即()251936y x x =--+，*x ∈N（2）年平均利润为36595y x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∵0x >，∴3612x x +≥= 当且仅当36x x=，即6x =时取“=” ∴35yx≤ 答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.22. 已知函数3log ()()f x ax b =+的图象经过点(2,1)A 和(5,2)B ，记()*3,f n n a n N =∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设若2nn na b =，12...n n T b b b =+++，()n T m m Z <∈，求m 的最小值；（3）求使不等式12111(1)(1)...(1)na a a +++≥对一切*n N ∈均成立的最大实数p （1）3log (21)*321,n n a n n N -==-∈；（2）3；（3）max 3p = 分析：(1)先由函数()()3log f x ax b =+的图象经过点()2,1A 和()5,2B ，求出,a b 进而求得函数()f x 的解析式，即可求出数列{}n a 的通项公式；(2) 由（1）得2122n n n n a n b -==，利用错位法相减法求出n T 的表达式，从而可求出m 的最小值；（3）先把原不等式转化为111p a ⎛⎫≤+⎪⎭21111n a a ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对n *∈N 恒成立，再利用数列的单调性求不等式右边的最小值，即可求出最大实数p .详解：（1）由题意得()()33log 21log 52a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得；21a b =⎧⎨=-⎩()()3log 21f x x ∴=-，()3log 21*321,n n a n n N -==-∈ （2）由（1）得2122n n n n a n b -== 2311352321...22222n n n n n T ---∴=+++++ ①234111352321 (222222)n n n n n T +--=+++++② 由错位相减法：①减②得：2312311122221111121...2 (22222222)222n n n n n n n T ++--⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭ 2111112122212212n n n ++--=+⨯-- 132322n n ++=- 2332n n n T +∴=-()n T m m Z <∈min 3m ∴=（3）由题意得*1211111...1,n p n N a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++∈⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭恒成立 记()*1211111...1,n F n n N a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∈⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭则 ()()12112111111...11111111...1n n n F n a a a a F n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭()()2121121n n n ++==>=+()()()0,1F n F n F n >∴+>，即()F n 单调递增()F n 的最小值为()1F = ，p ≤ 即max p =点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。

2021-2022学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、单选题110y --=的倾斜角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】B【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】10y --=变形为1y =-所以k = 设倾斜角为α则tan k α= 因为0180α<< 所以60α=︒ 故选:B【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.2．已知椭圆2214924x y +=的焦点分别为1F ，2F ，椭圆上一点P 与焦点1F 的距离等于6，则12PF F △的面积为（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【分析】由题意可得出a 与c 、16PF =、12F F 的值，在根据椭圆定义得2PF 的值，即可得到12PF F △是直角三角形，即可求出12PF F △的面积.【详解】由题意知16PF =，2127,4924255,10a c c F F ==-=⇒==.根据椭圆定义可知2128PF a PF =-=，∴12PF F △是直角三角形，121211==68=2422PF F PF PF ⋅⨯⨯△S .故选：A.3．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若179a a =，则)(2264a a a -=（ ）A ．6B ．12C ．56D ．78【答案】D【分析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列}{n a 中，由等比数列的性质可得：由24179a a a ==，解得：43a =；由2617+=+可得：26179a a a a ==， 所以)(222649378a a a -=-=. 故选：D4．已知直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣2C ．23-D ．1或﹣2【答案】A【分析】根据题意可得()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解之即可得解.【详解】解：因为直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行， 所以()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1a =.故选：A.5．如图，在三棱锥S -ABC 中，E ，F 分别为SA ，BC 的中点，点G 在EF 上，且满足2EGGF=，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（ ）A ．111326a b c -+B ．111633a b c ++C ．111633a b c -+D ．111326a b c ++【答案】B【分析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解 【详解】因为2EG GF =，所以23EG EF =，因为E ，F 分别为SA ，BC 的中点， 所以1223SG SE EG SA EF =+=+ 12()23SA SF SE =+- 122233SA SF SE =+- 12121()23232SA SB SC SA =+⨯+-⨯ 111633SA SB SC =++, 故选：B6．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦距为(1,2)-，则此双曲线的方程为（ ） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221416x y -=D ．221164x y -=【答案】B【解析】根据题意得到2c =2ba-=-，解得答案.【详解】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c =c =且渐近线经过点(1,2)-，故2b a -=-，故1,2a b ==，双曲线方程为：2214y x -=.故选：B .【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况. 7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ） A ．戊分得34文，己分得31文 B ．戊分得31文，己分得34文 C ．戊分得28文，己分得25文 D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以戊分得28a d +=（文），己分得225a d +=（文）， 故选：C.8．已知曲线:C y =)(:420l mx y m m R +--=∈总有公共点，则m的取值范围是（ ）A ．212,55⎡⎤⎢⎥⎦⎣B ．2,25⎡⎤⎢⎥⎦⎣C ．22,5⎡⎤--⎢⎥⎦⎣D ．122,55⎡⎤--⎢⎥⎦⎣【答案】D【分析】对曲线C 化简可知曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线l 方程化简可得直线l 过定点(4,2)P ，画出图形，由图可知，PA l PD k k k ≤≤，然后求出直线,PA PD 的斜率即可【详解】由y =22(1)4x y -+=，因为0y =，所以曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分， 由420mx y m +--=，得(4)(2)0m x y -+-=，所以4020x y -=⎧⎨-=⎩，得42x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(4,2)P ，如图所示设曲线C 与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)A B -， 直线l 过定点(4,2)P ，M 为曲线C 上一动点， 根据图可知，若曲线C 与直线l 总有公共点，则 PA l PD k k k ≤≤，得204(1)PD m k -≤-≤--，设直线PD 为2(4)y k x -=-，则2=，解得0k =，或125k =， 所以125PD k =， 所以21255m ≤-≤，所以12255m -≤≤-， 故选：D二、多选题9．已知向量(1,1,),(2,1,2)a m b m =-=--，则下列结论中正确的是（ ） A ．若||2a =，则2m =B ．若a b ⊥，则1m =- C ．不存在实数λ，使得λa b D ．若1a b ⋅=-，则(1,2,2)a b +=--- 【答案】AC【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A 选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B 选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C 选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D 选项错误.【详解】对于A 中，由||2a =2221(1)2m +-+，解得2m =A 选项正确；对于B 中，由a b ⊥，可得2120m m --++=，解得1m =，故B 选项错误；对于C 中，若存在实数λ，使得λa b ，则121(1)2m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，显然λ无解，即不存在实数λ，使得λa b ，故C 选项正确；对于D 中，若1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，于是(1,2,2)a b +=--，故D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点F 到准线l 的距离为2 B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =- C ．PA PF +的最小值是3D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切 【答案】ACD【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解； 对B ：由抛物线方程即可求解；对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='，所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立，所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12MM PP QQ '''=+， 又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，所以()1122MM PF QF PQ '=+=， 所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确； 故选：ACD.11．已知}{n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n T ．若数列}{n n a b +的前n 项和)(21821n n G n n n N *=-+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．4d q +=B ．}{n a 的前n 项和的最小值为9SC ．}{n a 的各项中绝对值最小的项是9aD ．)(22223n n n n n T T T T T +=+【答案】ABD【分析】A.根据等差数列等比数列的求和公式求解； B.求出}{n a 的通项公式，分析项的正负情况求解； C.由通项公式可得绝对值最小的项是9a 和10a ； D.由=21n n T -代入计算可求证. 【详解】()()12111111=212211nnn n n b q n n b b d d G S T na d na n q qq q --⎛⎫=+=+++-+-⋅ ⎪---⎝⎭)(21821n n n n N *=-+-∈故=1,22dd =，2q ，4d q +=，故A 对；1182da -=-，可得117a =-，()1721219n a n n =-+-=-，9100,0a a <>，故9S 最小，B 项对；910=1a a =，}{n a 的各项中绝对值最小的项是9a 和10a ，故C 错；由前面分析知，1=11b q--，1=1b ，故12=n n b -，=21n n T - ()()()()()2222222242221+2121+212+122222n n n n n n n n n n T T +=--=--=--⋅+)(()()234223=212+2222222n n n n n n n n n T T T +--=--⋅+，故D 对 故选：ABD12．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．平面PEF ⊥平面ABFDB ．直线DP 与平面ABFD 13C ．点B 到平面PDF 3D ．异面直线PE 与AB 所成角为6π 【答案】ACD【分析】利用面面垂直的判定定理可判断A 选项；以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出点P 的坐标，利用空间向量法可判断BCD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则//AD BC 且AD BC =，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则//AE BF 且AE BF =，且有AE AB ⊥，故四边形ABFE 为矩形，则BF EF ⊥， 因为BF PF ⊥，EFPF F =，则BF ⊥平面PEF ，因为BF ⊂平面ABFD ，故平面PEF ⊥平面ABFD ，A 对；对于BCD 选项，因为BF ⊥平面PEF ，以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则()2,1,0A 、()0,1,0B 、()2,1,0D -、()2,0,0E 、()0,0,0F ， 设点(),0,P a c ，其中0c >，()2,1,DP a c =-，(),0,FP a c =，由题意可知PF PD ⊥，则()220DP FP a a c ⋅=-+=，①因为221FP a c =+=，②所以，2222201a a c a c ⎧-+=⎨+=⎩，解得123a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩132P ⎛ ⎝⎭， 则332DP ⎛=- ⎝⎭，易知平面ABFD 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以，332cos ,21DP n DP n DP n ⋅<>===⨯⋅故直线DP 与平面ABFD 3B 错； 设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，132FP ⎛= ⎝⎭，()2,1,0FD =-， 由130220m FP x m FD x y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取3x =()3,23,1m =-，()0,1,0FB =，所以，点B 到平面PDF 的距离是2334FB m d m⋅===C 对； 33,0,2PE ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AB =-，3cos ,32PE AB PE AB PE AB ⋅-<>===⨯⋅， 因此，异面直线PE 与AB 所成角为6π，D 对. 故选：ACD. 三、填空题13．圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=的公共弦长为______．45【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=两式相减得，公共弦所在直线方程为：20x y -=圆221:20C x y x +-=，圆心为()1:1,0,1C r =1C到公共弦的距离为：d =公共弦长为14．过点)(2,5P 且与直线1x y +=垂直的直线方程为______． 【答案】30x y -+=【分析】先设出与直线1x y +=垂直的直线方程，再把)(2,5P 代入进行求解.【详解】设与直线1x y +=垂直的直线为0x y c -+=，将)(2,5P 代入得：250c -+=，解得：3c =，故所求直线方程为30x y -+=. 故答案为：30x y -+=15．已知数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T =______．【答案】21nn + 【分析】先求出21n a n =-，利用裂项相消法求和.【详解】因为数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，所以数列}{n a 为公差d =2的等差数列，所以)(1121n a a n d n =+-=-， 所以()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.故答案为：21nn +. 四、双空题16．已知双曲线)(2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 到一，则其离心率的值是______；若点P 是双曲线C 上一点，满足1212PF PF =，128PF PF +=，则双曲线C 的方程为______．【答案】 321.5 22145x y -=【分析】求得焦点到渐近线的距离可得d b ==，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得()()22112222144PF PF PFPF PF PF a -=+=-，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0ay bx ±=，焦点到渐近线的距离d 为bcd b c =====，又222+=a b c ，2222225944a a a a c ⎫+=+==⎪⎪⎝⎭， 22294c e a ∴==，1()e ∈+∞,，∴32e =.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a ，即122PF PF a -=，∴()()2111222224841216PF PF PFPF PF PF -=-⨯-=+=，即22(2)416a a ==，解得：24a =，由22294c e a ==，解得：29c ∴=,25b =.∴双曲线C 的方程为22145x y -=. 故答案为：32；22145x y -=. 五、解答题17．已知空间内不重合的四点A ，B ，C ，D 的坐标分别为)(1,,1A k k t t -+-，)(1,0,2B ，)(1,1,2C -，)(1,1,2D -，且//AB CD ．(1)求k ，t 的值；(2)求点B 到直线CD 的距离． 【答案】(1)7k =，7t =-【分析】（1）由AB CD ∥，可得存在唯一实数λ，使得AB CD λ=，列出方程组，解之即可得解；（2）设直线BC 与CD 所成的角为θ，求出sin θ，再根据点B 到直线CD 的距离为sin BC θ即可得解．(1)解： )(2,,3AB k k t t =----，)(2,0,4CD =-，因为AB CD ∥，所以存在唯一实数λ，使得AB CD λ=， 所以)()(2,,32,0,4k k t t λλ----=-，所以22034k k t t λλ-=⎧⎪--=⎨⎪-=-⎩，解得5277k t λ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以7k =，7t =-； (2)解：)(2,1,0BC =-， 则2cos ,55BC CD BC CD BC CD⋅===-，设直线BC 与CD 所成的角为θ，则sin θ== 所以点B 到直线CD 的距离为sin BC θ==18．已知圆C 经过点)(0,3A ，)(2,5B ，且圆心C 在直线270x y +-=上． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点)(4,6P 向圆C 引两条切线PD ，PE ，切点分别为D ，E ，求切线PD ，PE 的方程，并求弦DE 的长．【答案】(1))()(22234x y -+-= (2)4x =或512520x y -+=，DE =【分析】（1）设圆心)(,C a b ，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可； （2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可. (1)设圆心)(,C a b ，因为圆心C 在直线270x y +-=上，所以270a b +-= ①因为A ，B 是圆上的两点，所以CA CB =，所以=50a b +-= ②联立①②，解得2a =，3b =．所以圆C 的半径2r AC ==，所以圆C 的标准方程为)()(22234x y -+-=． (2)若过点P 的切线斜率不存在，则切线方程为4x =．若过点P 的切线斜率存在，设为k ，则切线方程为)(64y k x -=-， 即460kx y k --+=．2=，解得512k =，所以切线方程为512520x y -+=． 综上，过点P 的圆C 的切线方程为4x =或512520x y -+=． 设PC 与DE 交于点F ，因为PC ，CD PD ⊥，PC 垂直平分DE ，所以2PC CF CD =，所以2CD CF PC==所以DE == 19．已知数列}{n a ，}{n b ，其中，}{n a 是各项均为正数的等比数列，满足12318a a +=，24159a a a =，且32log 1n n b a =-．(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)3nn a =，21n b n =-(2))(1133n n S n +=-+【分析】（1）利用公式法，基本量代换求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求和. (1)设等比数列}{n a 的公比为q ，因为22415399a a a a ==，所以433a a =，所以433a q a ==．所以1213618a a a +==，所以13a =， 所以113n n n a a q -==．所以332log 12log 3121nn n b a n =-=-=-，所以3nn a =，21n b n =-．(2))(213n n n n c a b n ==-，所以)()(231133353233213n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，)()(23413133353233213n n Sn n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以)()(23412323333213n n n S n +-=++++⋅⋅⋅+--)()()()(21121123133213133313213n n n n n n -+-+⨯-=+---=----)(16223n n +=---.所以)(1133n n S n +=-+．20．已知抛物线)(2:20C y px p =>上的点M 到焦点F 的距离为5，点M 到x 轴的距离为6p ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线l 与x 轴交于点Q ，过点Q 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FB 的斜率分别为1k ，2k ．求12k k +的值． 【答案】(1)28y x = (2)0【分析】（1）由焦半径公式求C 的方程；（2）设直线AB 方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出12x x +，12x x ，代入12k k +中化简求值即可. (1)设点)(00,M x y ，则06y p =，所以)(2062ppx =，解得03x =．因为03522p pMF x =+=+=，所以4p =．所以抛物线C 的方程为28y x =． (2)由题知，)(2,0F ，)(2,0Q -，直线AB 的斜率必存在，且不为零．设)(11,A x y ，)(22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2y kx k =+，由228y kx k y x=+⎧⎨=⎩，得)(22224840k x k x k +-+=． 所以212284k x x k -+=，124x x =，且)()(2242Δ48166410k k k =--=->，即21k <．所以)()()()()()()()(1212211212121212222222222222k x k x x x x x y yk k k x x x x x x +++-++-+=+=+=------ )(12121228024x x kx x x x -==-++所以12k k +的值为0．21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是平行四边形，1AB =，2AD =，45ABC ∠=︒，四边形ACEF 是矩形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 是线段EF 上的动点．(1)证明：DE BM ⊥；(2)设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，求θ的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)4π. 【分析】（1）要证DE BM ⊥，只需证DE ⊥平面BEF ， 只需证DE BE ⊥（由勾股定理可证），DE EF ⊥， 只需证AC ⊥平面CDE ，只需证EC AC ⊥（由平面ACEF ⊥平面ABCD 可证），AC CD ⊥（由AB AC ⊥可证）， 即可证明结论.（2）以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 写出点B 与点C 的坐标．由于EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，可得出BM 与BC 的坐标． 设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量，求出法向量m .cos cos ,m AC θ=是关于λ的一个式子， 求出cos θ的取值范围， 即可求出θ的最小值． (1)在ABC 中，1AB =，BC =45ABC ∠=︒，所以2222cos 12211AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯=， 所以1AC =．所以ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥． 因为AB CD ∥， 所以AC CD ⊥又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC AC ⊥， 所以EC ⊥平面ABCD 又AC ⊂平面ABCD ， 所以AC EC ⊥又因为EC CD C =，EC ，CD ⊂平面CDE 所以AC ⊥平面CDE 又DE ⊂平面CDE ，所以DE AC ⊥，所以DE EF ⊥在ABD △中，1AB =，AD 135BAD ∠=︒所以22222cos 125BD AD AB AD AB AD AB BAD =+-⋅-⋅∠=++=所以5BD =．又因为2DE =，3EB =， 所以222BD DE EB =+，所以DE BE ⊥ 又EF EB E ⋂=，EF ，EB ⊂平面BEF 所以DE ⊥平面BEF 又BM ⊂平面BEF ， 所以DE BM ⊥． (2)以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．则)(1,0,0B ，)(0,1,0C ．因为EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，，可求得)(1,,1BM λ=-，)(1,1,0BC =-． 设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量则00m BM x y z m BC x y λ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩令1x =，解得11y z λ=⎧⎨=-⎩，所以)(1,1,1m λ=-．又因为)(0,1,0AC =是平面CDE 的法向量． 所以)(2cos cos ,21m AC m AC m ACθλ⋅===⋅+-因为]0,1λ⎡∈⎣32cos θ≤≤．所以当2cos 2θ=时，θ取到最小值4π．22．已知椭圆)(2222:10y x C a b a b +=>>经过点5,23⎛⎫ ⎪⎪ ⎭⎝，且离心率为223．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 是椭圆C 的上，下顶点，点P 是直线6y =上的动点，直线P A 与椭圆C 的另一交点为E ，直线PB 与椭圆C 的另一交点为F ．证明：直线EF 过定点． 【答案】(1)2219y x +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出,a b 的方程组，通过解方程组，即可求出答案.（2）法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ；当0t ≠时，根据点,A P 的坐标写出直线P A 的方程，与椭圆方程联立，可求出点E 的坐标；同理可求出点F 的坐标，然后即可求出直线EF 的方程，从而证明直线EF 过定点.法二：首先根据0=t 时直线EF 的方程为0x =，可判断出直线EF 过的定点M 必在y 轴上，设为)(0,M m ；然后同方法一，求出点E ，F 的坐标，根据ME MF ∥，即可求出m 的值. (1)由题意，知22222451922a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得3a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2219y x +=．(2)法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ，当0t ≠时，直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=．解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+．所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝． 同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝．所以直线EF 的斜率为)()()()()()(22222222222222733327313399391624612991EFt t t t t t t t t k t t t t t t t t t ----+--+-++===++++++， 所以直线EF 的方程为222233932141t t t y x t t t ⎛--⎫-=+⎪ ++⎭⎝，整理得293342t y x t -=+， 所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．当0=t 时，点E ，F 在y 轴上，EF 的方程为0x =，显然过点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．综上，直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．法二：当点P 在y 轴上时，E ，F 分别与B ，A 重合，直线EF 的方程为0x =， 若直线EF 过定点M ，则M 必在y 轴上，可设)(0,M m ． 当点P 不在y 轴上时，设)()(,60P t t ≠，)(11,E x y ，)(22,F x y ，则直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=，解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+，所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝， 同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝，所以)(222332,11m t m t ME t t ⎛⎫--- ⎪=-⎪ ++⎭⎝，)(22232796,99m t m t MF t t ⎛⎫-++- =⎪⎪ ++⎭⎝． 因为E ，F ，M 三点共线，所以ME MF ∥，所以)()(222222327933261919m t m m t m t tt t t t +-+---⨯=⨯++++，整理得)()(22330m t -+=，因为230t +>，所以230m -=，解得32m =，即30,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝． 所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．。

宁阳县2022-2023学年高二上学期期末考试（线上）数 学 试 题 2023.1.9一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆＋＝1的焦点坐标是( )x 225y 2169A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)2.已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1,1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( )A ．(1,1,1)B ．(－1,1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1,1，－1)3.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（ ）A. y 2=-4xB. y 2=4xC. x 2=-4yD. x 2=4y4.等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8　B ．12 C ．16 D ．245.如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若＝＋x ＋y ，则( )BE → AA 1→ AB → AD →A ．x ＝－，y ＝B ．x ＝，y ＝－12121212C ．x ＝－，y ＝－D ．x ＝，y ＝121212126.在等比数列{a n }中，a 4，a 10是方程x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 7＝( ) A ．3B ．－3C ．±3D ．无法确定7.已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）22:2440C x y x y ++++=A.-1B.8.已知空间四面体D ­ABC 的每条棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则·等于( )FE → CD →A ．B ．－C ．D ．－14143434二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.下列说法中，正确的有( )A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为2C ．直线x －y ＋1＝0的倾斜角为30° 3D ．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离为710.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝n 2－4n11. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛2(0)y mx m =>2213y x -=0(2,)P y 物线上，则下列说法错误的是（） A. 双曲线的离心率为2B.8m =C. 双曲线的渐近线为 D. 点P 到抛物线焦点的距离为63y x =±12.已知数列{a n }是等比数列，则下列结论中正确的是( )A.数列{a }是等比数列 2n B.若a 4＝3，a 12＝27，则a 8＝±9 C.若a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是递增数列 D.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1＋r ，则r ＝－1 三、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 13.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为.14.若双曲线的一条渐近线方程为.则.2221(0)x C y m m-=>：20x y -=m =15.已知等差数列，的前n 项和分别为，若，则=. {}n a {}n b ,n n S T 2(2)31n n S n T n +=-55a b 16.已知P (1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，x 24y 22则此弦所在的直线方程为________．四、解答题（本题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分15分)已知圆心为M的圆经过A(0,4)，B(2,0)，C(3,1)三个点．(1)求△ABC的面积；(2)求圆M的方程．18.(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD．19.(本小题满分18分)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，2求实数k的值．20.(本小题满分18分)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；a n(2)记b n＝的前n项和为T n，求T n.3n宁阳县2022-2023学年高二上学期期末考试（线上）数学试题参考答案2023.1.9一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )x 225y 2169A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)【答案】C【解析】由标准方程知，椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝169－25＝144，∴c ＝±12，故焦点为(0，±12)．2．已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1,1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( )A ．(1,1,1)B ．(－1,1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1,1，－1)【答案】B 【解析】因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B 选项符合． 3. 焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（ ） A. y 2=-4x B. y 2=4x C. x 2=-4y D. x 2=4y【答案】B【解析】由题意可设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0）， 由焦点坐标为（1，0），得，即p=2． P12∴抛物的标准方程是y 2=4x ．故选B ．4．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】C【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得Error!解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16．故选C ．5.如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若＝＋x ＋y ，则( )A ．x ＝－，y ＝B ．x ＝，y ＝－12121212C ．x ＝－，y ＝－D ．x ＝，y ＝12121212【答案】A【解析】＝＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋＝－＋＋，∴x ＝－，y ＝．121212121212126．在等比数列{a n }中，a 4，a 10是方程x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 7＝( )A ．3B ．－3C ．±3D ．无法确定【答案】C【解析】∵a 4，a 10是方程x 2－11x ＋9＝0的两根，∴a 4a 10＝9，由等比数列的性质可知a 4a 10＝a ＝9，∴a 7＝±3．故选C ． 277. 已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（） 22:2440C x y x y ++++=A.1B. 【答案】A【解析】变形为，故圆心为，22:2440C x y x y ++++=()()22121x y +++=()1,2--半径为1=.1-8.已知空间四面体DABC 的每条棱长都等于1，点E ，F分别是AB ，AD 的中点，则·等于( ) A ． B ．－ C ． D ．－14143434【答案】B 【解析】如图：∵点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴＝，12∵空间四面体DABC 的每条棱长都等于1， ∴每个面都是等边三角形，∴·＝·＝·＝－·＝－·||·||·cos ＝－×1×1×＝－，故选B ．121212π3121214二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的有( )A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为2C ．直线x －y ＋1＝0的倾斜角为30°3D ．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离为7【答案】ACD 【解析】对于A ，化简得直线y ＝a (x －3)＋2，故直线必过定点(3,2)，故A 正确；对于B ，直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，故B 错误； 对于C ，直线x －y ＋1＝0的斜率为，故倾斜角θ满足tan θ＝，0°≤33333θ<180°，则θ＝30°，故C 正确；对于D ，因为直线x ＝－2垂直于x 轴，故点(5，－3)到直线x ＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D 正确．故选ACD ．10.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝n 2－4n【答案】AD【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝0，a 5＝5，所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：Error!，解方程组得：a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝－3＋(n －1)×2＝2n －5，S n ＝n 2－4n . 故选AD ．11. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在2(0)y mx m =>2213y x -=0(2,)P y 抛物线上，则下列说法错误的是（） A. 双曲线的离心率为2B.8m =C. 双曲线的渐近线为 D. 点P 到抛物线焦点的距离为6 3y x =±【答案】CD【解析】焦点坐标为，离心率，A 正确；2213y x -=()2,0±2c e a ==的焦点坐标为，故，解得：，B 正确； 2(0)y mx m =>,04m⎛⎫⎪⎝⎭24m=8m =双曲线渐近线方程为，C 错误；y =点在抛物线上，故点P 点抛物线焦点的距离为，故D 错误.故选：CD0(2,)P y 224+=12.已知数列{a n }是等比数列，则下列结论中正确的是( )A ．数列{a }是等比数列 2n B ．若a 4＝3，a 12＝27，则a 8＝±9 C ．若a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是递增数列 D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1＋r ，则r ＝－1【答案】AC【解析】设等比数列{a n }公比为q (q ≠0)，则＝＝q 2，即数列{a }是等比数列，即A 正确； a 2n ＋1a2n (a n ＋1a n )2 2n 因为等比数列{a n }中a 4，a 8，a 12同号，而a 4＞0，所以a 8>0，即B 错误； 若a 1＜a 2＜a 3，则a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴Error!或Error!，即数列{a n }是递增数列，C 正确；若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝31－1＋r ＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝2，a 3＝S 3－S 2＝6，所以q ＝＝3＝，∴2＝3(1＋r )，r ＝－，即D 错误．故选AC ．a 3a 2a 2a 113三、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 13.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为.【答案】18 【解析】因为等比数列的首项为2，公比为3，所以a n ＝2·3n －1，所以a 3＝2·33－1＝18．14.若双曲线的一条渐近线方程为.则.2221(0)x C y m m-=>：20x y -=m =【答案】2【解析】双曲线的渐近线方程为，因为，所以2221(0)x C y m m -=>：y x m =±0m >，所以. 112m =2m =15.已知等差数列，的前n 项和分别为，若，则=. {}n a {}n b ,n n S T 2(2)31n n S n T n +=-55a b【答案】1113【解析】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：n 因为()()55955191919199922(92)221129239126132a a a a Sb b b T b aa b b ⨯+======++=-++⨯16.已知P (1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平x 24y 22分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x ＋2y －3＝0　【解析】法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦的两端点为A ，B ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由Error!消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝，4k (k －1)2k 2＋1又∵x 1＋x 2＝2，∴＝2，解得k ＝－． 4k (k －1)2k 2＋112故此弦所在的直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋2y －3＝0．12法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ． 设弦的两端点为A ，B ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1①， x 214y 212＋＝1②， x 24y 22①－②得＋＝0，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴＋y 1－y 2＝0，∴k ＝＝－．x 1－x 22y 1－y 2x 1－x212∴此弦所在的直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋2y －3＝0．12四、解答题（本题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分15分)已知圆心为M 的圆经过A (0,4)，B (2,0)，C (3,1)三个点． (1)求△ABC 的面积； (2)求圆M 的方程．【解析】(1)由A (0,4)，B (2,0)得直线AB 的方程为＋＝1，即2x ＋y －4＝0．x 2y4点C 到直线AB 的距离d ＝＝，|2×3＋1－4|4＋1355A (0,4)，B (2,0)，则|AB |＝＝2， 4＋165则△ABC 的面积S ＝|AB |·d ＝×2×＝3，12125355即△ABC 的面积为3．(2)根据题意，A (0,4)，B (2,0)，C (3,1)，得k AC ＝＝－1，k BC ＝＝1，则k AC ·k BC ＝－1，4－10－31－03－2故直线AC 与BC 垂直，则△ABC 为直角三角形， 故圆M 的圆心M 为边AB 的中点，即M (1,2)， 半径r ＝|AB |＝×2＝，121255故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5． 18.(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD ．【解析】如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)． (1)设BA ＝a ，则A (a,0,0)．所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)． 所以·＝0，·＝0＋4－4＝0．所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD ．又BA ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)由题意及(1)，知E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)， (a 2，1，4)所以＝，＝(0,1,1)． (a 2，1，1)所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0．所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF ．又EG ∩EF ＝E ，所以B 1D ⊥平面EGF ．由(1)，知B 1D ⊥平面ABD ，故平面EGF ∥平面ABD ．19.(本小题满分18分)已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．【解析】(1)联立方程Error!消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0． ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则Error!解得－＜k ＜，且k ≠±1．22∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－， 2k 1－k 221－k 2∴|AB |＝|x 1－x 2|＝·＝． 1＋k 21＋k 2(－2k 1－k 2)＋81－k 2(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝， 11＋k 2∴S △AOB ＝·|AB |·d ＝＝， 12128－4k 2(1－k 2)22即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±． 62∴实数k 的值为±或0．6220.(本小题满分18分)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝的前n 项和为T n ，求T n . a n 3n [解](1)设正项等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12，∴3a 2＝12，∴a 2＝4．又2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a ＝2a 1·(a 3＋1)，即42＝2(4－d )·(4＋d ＋1)，2解得d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2．(2)b n ＝＝＝(3n －2)×， a n 3n 3n －23n 13n ∴T n ＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n －2)×. ① 1313213313n ①×得T n ＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n －5)×＋(3n －2)×.② 131313213313413n 13n ＋1①－②得，T n ＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n －2)× 231313213313413n 13n ＋1＝＋3×－(3n －2)×13132(1－13n －1)1－1313n ＋1＝－×－(3n －2)×， 561213n －113n ＋15 41413n－23n－2213n546n＋5413n∴T n＝－×－×＝－×.。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

山东省泰安市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知a b >，则下列结论正确的是（ ）A >B ．a c b c +>+C ．ac bc >D ．22a b >2．用反证法证明“如果a ＜b ）A =BC =D =3．一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（ ） A ．假命题与真命题的个数相同 B ．真命题的个数是奇数 C ．真命题的个数是偶数 D ．假命题的个数是奇数4．在下列双曲线方程中，表示焦点在y 轴上且渐近线方程为3y x =±的是A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．2219y x -=D ．2219x y -=5．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．2-C ．2D ．126．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=AB C ．2 D ．37．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ）A ．1B ．12C D 8．如图，在三棱锥OABC 中，,,OA OB OC ===a b c ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =（ ）A ．211322--a b cB ．111222-++a b cC ．211322a b c -++D ．221332-+-a b c9．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．172B ．192C ．10D ．1210．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A．1)m B．1)m C．1)m D．1)m11．运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．D ．8二、填空题13．命题0:p x R ∃∈，2lg 0x >，则命题p 的否定为__________．14．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为__________． 15．若两个正实数,x y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为________. 16．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．三、解答题17．设命题:p 实数x 满足2x ≤，或6x >，命题:q 实数x 满足22320x ax a -+<（其中0a >）（1）若2a =，且p q ⌝∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且,26A a π==.（1）若4B π=，求b 的值；（2）若ABC ∆求ABC ∆的周长.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AC AB =.（1）证明：1AB B C ⊥；（2）若111,2,90,60AB AC BC CAB CBB ==∠=︒∠=︒，求二面角1C AB B --的正弦值.20．已知等差数列{}n a 中，公差60,27d S ≠=，且358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，则12n T <. 21．某运输公司有7辆可载6t 的A 型卡车与4辆可载10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车和B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？22．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，离心率为2，已知点A 是抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点1F到抛物线准线的距离是2-（1）求椭圆C 的方程和抛物线E 的方程；（2）若B 是抛物线E 上的一点且在第一象限，满足||4AB =，直线l 交椭圆于,M N 两点，且//OB MN ，当BMN ∆的面积取得最大值时，求直线l 的方程.参考答案1．B 【解析】当1,2,0a b c =-=-=时，A,C,D 不成立，所以选B. 2．D 【解析】解：因为用反证法证明“如果a>b ，”，选D 3．C【解析】一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中真命题的个数可以为0，2，4个，所以选C. 4．C 【解析】由题意，该双曲线的焦点在y 轴上，排除A 、B 项；又方程2219y x -=的渐近线方程为3y x =±，而方程2219x y -=的渐近线方程为13y x =±，故选C.5．D 【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q 的方程，解方程即可确定公比的值. 【详解】由等比数列的性质可得：352a a q =，即：3124q =⨯，解得：12q =.故选D. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题. 6．D 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 7．D 【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0) ，双曲线2213y x -=的一条渐近线为x y -=-= ，所以所求距离为2，选D. 8．C 【解析】MN1111132322MA AB BN OA OB OA BC OA OB OA OC OB =++=+-+=+-+- 211322OA OB OC =-++= 211322a b c -++,选B.9．B 【解析】试题分析：由844S S =得()11828446a d a d +=+，解得1101119,922a a a ==+=. 考点：等差数列. 10．C 【详解】120AC =，60sin 75AB =，sin 30sin 45AB BC=，所以sin 45602120(1)sin30AB BC ⨯===.故选C. 11．D 【解析】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D. 12．D 【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解. 【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则 22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a ca c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8. 故答案为：8. 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号. 13．2,10x R x x ∀∈-+≥ 【解析】因为,x q ∃的否定为,x q ∀⌝，所以 命题p 的否定为：2,10x R x x ∀∈-+≥点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”. 14【解析】如图所示，设,,M N P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，则11,AB BC 夹角为MN 和NP夹角或其补角，112MN AB ==，112NP BC ==，作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形，11,,2PQ MQ AC ABC ==∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，2AC MQ ∴=∴=，在MQP ∆中，2MP ==； 在PMN ∆中，由余弦定理得222222cos 2MN NP PM MNP MN NP +-+-∠===⋅⋅，又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，1AB ∴与1BC所成角的余弦值为5，故答案为5. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及余弦定理，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 15．8 【解析】试题分析：由2142(2)1(2)()448x yx y x y x y x y y x+=+⨯=++=++≥+=（当且仅当4{211x yy xx y=+=即4{2x y ==时等号成立）.考点：基本不等式.16．OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++= 【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=17．（1）{|24}x x <<；（2）3|}2{a a ≤≤ 【解析】试题分析：（1）先解不等式22320x ax a -+<得命题q 成立时实数x 的取值范围，再求补集得p ⌝成立时实数x 的取值范围，最后求交集得结果，（2）由q 是p ⌝的充分不必要条件，得两集合之间包含关系，即命题q 成立时实数x 的取值范围为p ⌝成立时实数x 的取值范围的真子集，结合数轴求实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当2a = 命题:24q x << ∵命题:2p x ≤或6x > ∴:26p x ⌝<≤ 又p q ⌝∧为真命题，∴x 满足2624x x <≤⎧⎨<<⎩∴24x <<∴实数x 的取值范围{|24}x x << （2）由题意得：命题:2q a x a << ∵q 是p ⌝的充分不必要条件∴226a a ≥⎧⎨≤⎩∴23a ≤≤∴实数a 的取值范围{|23}a a ≤≤18．（1）（2）4+ 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得b 的值，（2）根据三角形面积公式得bc =，根据余弦定理得22222cos6b c bc π=+-，解得b c +，即得ABC ∆的周长.试题解析：（1）在ABC ∆中，由题意知,,264A B a ππ===，由正弦定理得：2sin sin 64b ππ=∴2sin sin 4sin sin 6a B b A ππ===（2）∵11sin sin 226ABC S bc A bc π∆===∴bc = 由余弦定理得22222cos6b c bc π=+- ∴()(242b c bc =+-∴2b c +=+∴ABC ∆的周长为4+点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.19．（1）见解析；（2【解析】试题分析：（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，由菱形性质得111B C BC AO B C ，由等腰三角形性质得，再⊥⊥根据线面垂直判定定理得1B C ⊥平面ABO ，即得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角1C AB B --的正弦值.试题解析：（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形， 所以11B C BC ⊥，且O 为1BC 与1B C 的中点，1AC AB =，∴1AO B C ⊥，又AO AB A ⋂=，所以1B C ⊥平面ABO .故1AB B C ⊥（2）在1ABC ∆中，∵1AB AC =，∴1AO BC ⊥.结合（1）可知，11,,BC CB OA 三条直线两两垂直，因此，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.在1ACB ∆中，∵190CAB ∠=︒，∴1AC AB ⊥，又因为O 为1B C 的中点，所以1AO CO B O ==.因为160CBB ∠=︒，所以1CBB ∆为等边三角形，因为2BC =，所以OB =11AO CO B O ===.所以()0,0,1A，)B ，()10,1,0B ，()0,1,0C -. ()3,0,1AB =-，()0,1,1AC =--， 设(),,n x y z =是平面ABC 的一个法向量， 则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即300x z y z ⎧-=⎪--=⎪⎩，所以可取1x =，则(1,3,n =-. 同理，平面1ABB一个法向量(1,3,m =则1cos ,7n m =，所以43sin ,7n m =. 20．（1）1n a n =+；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件转化为关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，即得结果.（2）先根据裂项相消法求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1122n T n =-+，即证得结论.试题解析：（1）由题意得()()()12111656272427a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩整理得112592a d a d +=⎧⎨=⎩∴121a d =⎧⎨=⎩ ∴()211n a n d n =+-=+（2）∵()()111111212n n a a n n n n +==-++++ ∴12231111n n n T a a a a a a +=+++ 111111233412n n =-+-++-++ 111222n =-<+ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +. 21．1304【解析】试题分析：根据任务以及资源限制列约束条件，画出可行域，根据目标函数，确定最值取法，解方程组得最优解.试题解析：设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z 所以x 和y 需满足：070494860360x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩ 可行域如图目标函数为160252z x y =+.把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+ 得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z 随z 变化的一组平行直线.在可行域的整点中，点()5,2M 使得z 取得最小值.所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆成本最小，最低成本1304元.22．（1）椭圆C 的方程为22142x y +=，抛物线E 的方程为28y x =；（2）230x y -+=或230x y --=【解析】试题分析：（1）根据椭圆与抛物线几何条件列方程组，解得2,4a c p ===，得2b ，即得结果.（2）先根据抛物线定义求出B 点坐标，确定MN 斜率，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得底边边长，根据点到直线距离公式得高，代入三角形面积公式得BMN ∆的面积函数关系式，最后根据二次函数最值求法确定直线l 的方程. 试题解析：（1）由题意可列方程组：2222c ap a p c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，解得2,4a c p ===，所以2222b a c =-=. 从而椭圆C 的方程为22142x y +=，抛物线E 的方程为28y x =. （2）可设()00,B x y ，抛物线E 的准线方程为2x =-，由抛物线的定义得：()00224AB x x =--=+=，解得02x =，所以200816y x ==，因为点B 在第一象限，所以04y =.从而()2,4B .由于//OB MN ，所以2MN OB K K ==，l 的方程可设为：2y x m =+，即：20x y m -+=.设()()1122,,,M x y N x y ， 联立方程组222142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2298240x mx m ++-=， 可得()()22836240m m ∆=-->， 整理为218m <，解得：m -<<∴1289m x x +=-，212249m x x -=. 所以MN === 点()2,4B 到直线l的距离d ==.所以11229BMN S MN d ∆====当29m =时，即：3m =±时BMN ∆的面积取得最大值.此时l 的方程为230x y -+=或230x y --=.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.。

山东省泰安市宁阳一中2020学年高二数学上学期第一次月考试题文本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间 120分钟。

第I卷（选择题）一、选择题：（每题5分，共60分）1.假如a和b是异面直线，直线a∥c，那么直线b与c的地点关系是（）A．订交B．异面C．平行D．订交或异面2.正方体内切球和外接球半径的比为( )A. B. C. D.1:23.过点M(2,a)，N(a,4)的直线的斜率为1（），则|MN|2．B ．180C．63D．65A104.线mx y10与直线x2y30平行，则m的值为（）A．1B．1C．2Ｄ．2 225 .一梯形的直观图是一个以下图的等腰梯形，且梯形OA'B'C'的面积为2，则原梯形的面积为（)A．2B．2C．22D．4（5题图）（6题图）6.某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1C．D．7.已知直线l平面，直线m平面，给出以下命题,此中正确的选项是()①//l m②l//m③l//m④l m//A．②④ B.②③④ C.①③ D.①②③8.两条平行直线3x4y30和mx8y50之间的距离是（）A．11B．8C．15D．4 105759.某几何体的三视图以以下图所示，它的体积为() A.B. C. D.10.椭圆5x2ky25的一个焦点是0,2，那么k等于（）A．-1 B．5C．1 D．5已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1对于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A.(x－1)2＋(y＋1)2＝1B.(x＋2)2＋(y－2)2＝1C.(x＋1)2＋(y－1)2＝1D.(x－2)2＋(y＋2)2＝112.若圆x2y26x2y60上有且仅有三个点到直线ax y10(a是实数）的距离为1，则a（）A．1B．2C．23 4D．2第II卷（90分）二、填空题：（4个小题，每题5分，共20分）13.若直线l1：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a.14.直线ykx与圆x224订交于A,B两点，若AB23，则k的2y1取值范围是______．15.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，）,椭圆C的方程为α，β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：①假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③假如α∥β，mα，那么m∥β.④假如m∥n，m，n，则α∥β此中正确的命题有.（填写全部正确命题的编号）三、解答题：（共70分）17.（10分）（1）求经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程;（2）求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程．18.（12分）已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M（126，1），M（22，1），且=5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．19.（12分）如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C平面BA1C（2）若AC=BC，求几何体A1ABC的体积V．20.（12分）已知圆22,直线C:x1y225L:2m1xm1y7m40mR．（1）证明:不论m取什么实数,L与圆恒交于两点;（2）求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程．21.（12分）已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．1）求证：EF∥平面PAD；2）求证：EF⊥CD；22.（12分）已知椭圆的中心在原点，左焦点为F（3,0）,且过点.D（2,0）（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点A1（，）PA的中点M的轨迹方1，若P是椭圆上的动点，求线段2程.高二文科数学试题参照答案及评分标准一、选择题（每题 5分，共60分）2.B3.D4.A5.D6.A二、填空题（每题 5分，共20分）4,013.1 14. 315. 2=116.②③. +y三、解答题（共 6题，共70分） （10分）（1）求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0与l 2：7x ＋15y ＋1＝0的交点，且平行于 直线x ＋2y －3＝0的直线方程;（2）求与直线 3x ＋4y －7＝0垂直，且与原点的距离为 6的直线方程．262x3y50x解：（1）联立3,，解得7x 15y 1 0y37 9交点P 的坐标26, 37 ．-------------------------2分39设平行于直线x+2y-3=0 的直线方程为x+2y+n=0．--------- 3 分代入得：26237 n0 解得：n=- 4-------------4分399所求直线方程为：x+2y -4=0，即9x ＋18y －4＝0------ 5 分92）设与直线3x+4y-7=0垂直的直线方程为：4x-3y+m=0---6分∵与原点的距离为6，m6，解得m=30．-----------------9分4223所求直线方程为： 4x －3y ±30＝0．------------------- 10 分18.（12分）已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M （26，1），M （2，1），且=5．12（Ⅰ）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）由题意，得 =5.，化简，得x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣23=0--------------------------------3分即x12y1225．∴点M的轨迹方程是x12y1225------------------5分轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．--------------------6分（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，∴l：x=﹣2切合题意．-----------------------------------8分当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（222．）+4=5，解得k=∴直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0-------------------12分（12分）如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．（1）证明：∵C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，因此AC⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，∴AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，∴BC⊥平面AA1C．又∵BC?平面BA1C，∴平面AA1C⊥平面BA1C．----------------6分2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，∴．-----------12分2225,直线L:2m1x m1y7m40mR．20.已知圆C:x1y2（1）证明:不论m取什么实数,L与圆恒交于两点;（2）求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程．证明：（1）将L的方程整理为x y4m2x y70，x y 4 0x 3由y 7 得，2x 0y 1直线L 经过定点A3,1 ,∵3-121-225<25点A 在圆C 的内部, 直线L 与圆恒有两个交点． -------------------6分（2）圆心M1,2,当截得弦长最小时, 则LAM ,k AM2 11k L21 3,2L 的方程y12x 3 即2xy 5 0．----------------------12分（12分）已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：EF ⊥CD ；证明：（1）取PD 中点Q ，连AQ 、QF ，则AE ∥QF---- 2分∴四边形AEFQ 为平行四边形 ∴EF ∥AQ---------- 3分又∵AQ平面PAD ，EF 平面PAD-----------5分∴EF ∥面PAD ； ---------------------6分（2）证明∵PA ⊥平面ABCD,CD 平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，----7 分∵矩形ABCD ∴CD ⊥AD-----------------------8分∵PA ∩AD=A ，PA 平面PAD ，AD 平面PAD ∴CD ⊥面PAD------ 10 分又∵AQ平面PAD∴CD ⊥AQ---------------------- 11分∵EF ∥AQ ∴CD ⊥EF ；-----------------------12分22.已知平面直角坐标系中的一个椭圆，中心在原点，左焦点为F （3,0）,且过点D （2,0）.（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点1PA 的中点M 的轨迹方程.（，）A1，若P 是椭圆上的动点，求线段2解：（1）由题意得椭圆的半长轴a 2，半焦距c 3，椭圆的焦点在 x 轴上,则半短轴ba 2 c 2 1∴椭圆的标准方程为x 2y 21.------------------------------5分4（2）设线段PA 的中点为 M （x,y ）,点P 的坐标是（ x 0）,y 0，x 0 1xx 0 2x 12由1，得y 0 2y1，y 022y2（21）2∵点P 在椭圆上,∴2x1（2y1,4）2∴线段PA 中点M 的轨迹方程是（x124（y12 1.------------12分））24。