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bn＝Sn1＋1＋Sn1＋2＋…＋S12n
＝n＋11n＋2＋n＋21n＋3＋…＋2n21n＋1
＝n＋1 1－n＋1 2＋n＋1 2－n＋1 3＋…＋21n－2n1＋1
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＝令nf(＋x1)＝1－2x2＋n1＋1x(1x＝≥21n)，2＋n3n＋1＝2n＋1n1＋3，
本 讲 栏 目 开 关
【高考考情解读】
数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种
本 讲
方法，到处可用．数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习
栏 目
过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用
开 关
数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高
考．
思想方法概述
第1讲 函数与方程思想
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(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可
“知三求二”；
本 讲
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数
栏 目
列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，
开 关
应注意用函数的思想求解．
热点分类突破
已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋
a10＝144.
热点分类突破
类型一 函数与方程思想在数列中的应用
例1 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
本 讲
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通
栏 目
项公式an；
开 关
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝
1 Sn＋1
＋
1 Sn＋2
＋…＋
1 S2n
1．函数与方程思想的含义
本 讲
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数
栏 目
学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关
开 关
系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化
问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、
奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
思想方法概述
本 过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未
讲 栏
知量的方程来解．
目 开
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系
关 问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程
与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要
运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
关 2．和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，
就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有
关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
思想方法概述
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数
的观点去处理数列问题十分重要．
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通
(1)求数列{an}的通项an；
本
(2)设数列{bn}的通项bn＝
1 anan＋1
，记Sn是数列{bn}的前n项和，
讲 栏
若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值．
目
开 关
解
(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144，
∴S10＝145，∴S10＝10a12＋a10，
∴a10＝28，∴公差d＝3.
本 则f′(x)＝2－x12，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
讲 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
栏
目 开
故当 x＝1 时，[f(x)]min＝f(1)＝3，
关 即当n＝1时，(bn)max＝16，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝16，
所以实数k的最小值为16.
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，
建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程
组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得
本
解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解
讲 栏
题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程
目 开
思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
∴an＝3n－2(n∈N*)．
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(2)由(1)知bn＝ana1n＋1＝3n－213n＋1
＝＋…＋bn＝131－3n1＋1， ∴Sn＝3nn＋1.
开 关
∵Sn＋1－Sn＝3nn＋＋14－3nn＋1＝3n＋413n＋1>0，
讲
栏 目
显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．
开 关
∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝(sin x＋12)2－54，
且由x∈(0，π2]知sin x∈(0,1]．
易求得f(x)的值域为(－1,1]．
故a的取值范围是(－1,1]．
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方法二 令t＝sin x，由x∈(0，π2]，可得t∈(0,1]． 将方程变为t2＋t－1－a＝0.
依题意，该方程在(0,1]上有解．
设f(t)＝t2＋t－1－a.
本
讲 栏
其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－12，
目
开 如图所示．
关
因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于ff01<≥00 ，
即－1－1－a≥a<00 ，∴－1<a≤1.故 a 的取值范围是(－1,1]．
∴数列{Sn}是递增数列． 当n≥3时，(Sn)min＝S3＝130， 依题意，得m≤130，∴m的最大值为130.
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类型二 函数与方程思想在方程问题中的应用
例2
如果方程cos2x－sin
x＋a＝0在(0，
π 2
]上有解，求a的取
值范围．
本
解 方法一 设f(x)＝－cos2x＋sin x(x∈(0，π2])．
，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，
求实数k的最小值．
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解 (1)因为a1＝2，a32＝a2·(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
本
讲 栏
(2)因为Sn＝n(n＋1)，
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研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方 程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函
本
讲 数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方
栏
目 程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布
